精品解析：浙江省五校联盟（杭州市第二中学等）2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试题

五校联盟2025学年第一学期12月教学质量检测 高一数学试卷 命题：杭二富春 审题：杭二钱江 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 角满足，则角终边一定过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 对数中实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（ ）（参考：，.） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 成立的条件是角是锐角 B. 与的终边相同 C. 的解集是 D. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 二．填空题：本小题共3分，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是______. 13. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为_____________ 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 18. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于的不等式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． （1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） （2）证明：函数存在“2倍值区间”； （3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五校联盟2025学年第一学期12月教学质量检测 高一数学试卷 命题：杭二富春 审题：杭二钱江 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法，求得集合A，根据一元二次不等式的解法，求得集合B，根据并集运算的概念，即可得答案. 【详解】由，解得，所以， 由，解得，所以， 所以. 故选：C 2. 角满足，则角终边一定过第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式以及各象限三角函数值的符号即可判断得出结论. 【详解】由可得， 又，可知角终边一定在第四象限. 故选：D 3. 对数中实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 4. 函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意. 故选：C 5. 已知函数恒成立，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，是函数的最大值，由正弦函数的图像与性质求解即可. 【详解】由题意得，是函数的最大值， ,得， ，又． 故选：A 6. 已知函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合，则有，再利用基本不等式可得答案. 【详解】将函数分拆为两函数之积，都是递增函数， 要使得不等式恒成立，则两因式必须保持同号或为0， 即可得两函数零点重合，则有， 即，当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是将函数分拆为两函数之积，根据它们的单调性可得两函数零点重合. 7. 已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对进行变形，得出函数的单调性，再利用函数的单调性和奇偶性解不等式. 【详解】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，，所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为. 故选：B 8. 若，则的最小值为（ ）（参考：，.） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式变形得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】因为，则， 即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二．多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ） A. 成立的条件是角是锐角 B. 与的终边相同 C. 的解集是 D. 若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据诱导公式，特殊角的三角函数值，终边相同的角、象限角的定义，逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据诱导公式，时，，故A错误； 对于B，，所以与的终边相同，故B正确； 对于C，由可得或，故C错误； 对于D，若是第二象限角，则， 所以，是第一象限或第三象限角，故D正确. 故选：BD. 10. 已知为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，即， 解得，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，即， 解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由，得，则， 当且仅当时取等号，C错误； 对于D，由，得，且， 因此 ， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 已知定义域为，，且，当时，.则下列说法正确的有（ ） A. 直线是的对称轴 B. 在上单调递减 C. D. 设与图象的第i个交点为（），若与的图象有个交点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】依据题意判断函数的奇偶性，对称性，周期性，然后依据性质逐一判断即可. 【详解】由题可知：，可知函数关于对称，又，可知函数为奇函数， 所以，则， 即，所以4为函数的一个周期. 对A，由函数关于对称，且4为函数的一个周期，故是的对称轴，正确； 对B，，所以函数在的单调性与函数在单调性相同， 由，，且函数为上的奇函数，所以函数在单调递增，错误； 对C, ，则 又，所以，正确； 对D，函数为上的奇函数，函数也为上的奇函数，所以可知两函数图象在轴的左右两边交点个数相同， 且对应交点的横坐标互为相反数，且都过原点，所以，正确. 故选：ACD 二．填空题：本小题共3分，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是______. 【答案】 【解析】 【详解】根据全称量词命题的否定可知，命题“”的否定是“”. 13. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】首先由方程，求得或，再画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围，即可求解. 【详解】令， 所以或，如图，画出函数的大致图象， 时，与的图象有3个交点， 所以与的图象只能有2个交点，则或， 所以或. 故答案为：或 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有8个元素②.若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值与最小值之和为________. 【答案】210 【解析】 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可. 【详解】因集合满足：①每个集合恰有8个元素②.故集合中一定分别含有8个不同数值. 当集合中元素的最小值分别是6，7，8时，最大值为29，22，15时，幸运数的和最小， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最小值为； 当集合中元素的最小值分别是6，13，20时，最大值为29，28，27时，幸运数的和最大， 此时，，幸运数为；，幸运数为；幸运数为， 则取得最大值为. 故的最大值与最小值之和为. 故答案为：210. 四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； （2）由题可知，列出不等式进行计算即可． 【小问1详解】 当时，或； ∵， ∴或； 【小问2详解】 ∵“”是“”的充分条件，∴， ∵，即， ∴或，∴或， 而，要使得， 需有或， ∴或． 16. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x的取值． 【答案】（1） （2）当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可； （2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可. 【小问1详解】 由， 所以函数的单调递增区间为； 【小问2详解】 令，因为，所以， 因为函数在单调递增，在单调递减， 在，， 所以， 因此当时，即当时，函数有最小值， 当时，即当时，函数有最大值. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销，两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销，商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品. （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益. 【答案】（1） 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为投入10万元，所以， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 【小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18. 已知函数，. （1）求证：为奇函数； （2）解关于的不等式； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数，即， 可得，解得或， 可得的定义域为，关于原点对称， 又，则为奇函数. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案； （2）设，根据在上的单调性可得答案； （3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 不等式，即为式， 设，即，可得在上单调递减， 所以由，所以，解得， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，则，解得， 所以恒成立，即恒成立， 化为，即对恒成立 由， 当且仅当，即时，取得等号， 所以，即的取值范围是. 19. 已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． （1）判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） （2）证明：函数存在“2倍值区间”； （3）设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 【答案】（1）是 （2） 取，∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”. （3） 【解析】 【分析】（1）取，结合题意分析说明； （2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析证明； （3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果. 【小问1详解】 取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即. 【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法 （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解． （2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $