18.1.2勾股定理的应用 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦沪科版八年级下册“勾股定理及其逆定理的应用”，以装修工人检测瓷砖边垂直的实际问题导入，先通过测量边长验证平方关系讲解逆定理判定垂直，再结合构造直角三角形列方程解决实际问题，形成递进的学习支架。 其亮点在于融合生活实例（梯子靠墙、折断树）、数学文化（《九章算术》“葭生中央”“折竹抵地”）及跨学科元素（语文古算诗），通过具体情境培养学生抽象能力与几何直观。学生能提升用数学眼光观察现实世界的意识，教师可借助分层训练（中档练、提升练）与丰富例题优化教学效果。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 18.1.2勾股定理的应用 第18章 勾股定理及其逆定理 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 1．运用勾股定理的逆定理判定垂直，从实际问题中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构建直角三角形，运用勾股定理解决实际问题. 2．能在具体情境中抽象出直角三角形，将实际问题转化为数学问题. 问题 装修工人李叔叔想检测某块装修用砖(如图)的边AD和边BC是否分别垂直于边AB. D C A B 思考 (1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗? (1)能.若卷尺足够长，则只要量得AD，BC，AB，BD，AC 的长， 然后验证 AD2+AB2是否等于BD2及BC2+AB2是否等于AC2即可. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 4 (2)李叔叔测得边AD长30cm，边AB长40cm，点B，D之间的距离是50cm.边 AD垂直于边AB吗? (2)边AD垂直于边AB. 因为AD2+AB2=302+402=2 500，BD2=502=2 500， 所以AD2+AB2= BD2， 所以△ABD 为直角三角形，且∠A=90°， 所以AD⊥AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 5 (3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20cm的刻度尺，那么他能检验边AD是否垂直于边AB吗? (3)他能检验边AD是否垂直于边AB. 如在边AB，AD上各量出一段较短的线段AB′，AD′的长度，连接B′D′，再量出线段B′D′的长度， 若B′D′2=AB′2+AD′2，则边AD垂直于边AB； 否则，边AD不垂直于边 AB. 同样的方法可检验边BC是否垂直于边AB. 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 B′ D′ 6 (第1题) 1.如图，将长为的梯子 斜靠在墙 上，使其顶端距离地面 ，则梯子 底端距离墙底端的距离 为( ) A A. B. C. D. 中考考法 7 2．[莆田月考]如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m，这棵大树在折断前的高度为(　　) A．10 m B．15 m C．18 m D．20 m C 中考考法 8 跟踪训练 五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图所示的三个图中哪个图形是正确的？ 知识点1 利用勾股定理逆定理判定垂直 解：图(2)正确.因为7 2 +24 2 =25 2，15 2 +20 2 =25 2 ， 所以只有图(2)中摆成的两个三角形是直角三角形. 9 思考 如图，正方形纸片ABCD的边长为8cm，点E是边AD的中点，将这个正方形纸片翻折，使点C落到点E处，折痕交边AB于点G，交边CD于点F.你能求出DF的长吗? 知识点2 勾股定理的应用 A E D F G B C 解：设DF=x cm，则EF=FC=DC-DF=(8-x)cm. 因为点E是AD的中点，所以DE=AD=4 cm. 在Rt△DEF中，由勾股定理，得 DE 2 +DF 2 =EF 2 ，即4 2 +x 2 =(8-x) 2，解得x=3， 所以DF的长为3 cm. 10 例1 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问：水深、葭长各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少? 注：“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈=10尺。 知识点2 勾股定理的应用 11 解：设水池的深度OA为x尺，则芦苇的长度OB为(x+1)尺. 由于芦苇位于水池中央，所以AC为5尺. 在Rt△OAC中，由勾股定理，得 AC²+OA²=OC²， 即 5²+x²=(x+1)². 解得 x=12. 12+1=13. 因此，水池的深度是12尺，芦苇的长度是13尺. 知识点2 勾股定理的应用 12 3. (真实情境)如图是一块长方形草坪，AB是一条被踩踏的小路，已知AC＝12 m，BC＝9 m．为了避免行人继续踩踏草坪(走线段AB)，小梅分别在A，B处挂了一块下面的牌子，则牌子上“？”处是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D 中考考法 13 4. (创新题·新题型)如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100 m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点作同心圆，并将同心圆平均分成十二份．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是(　　) A．5 m B．400 m C．500 m D．300 m C 中考考法 14 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： (1)读懂题意，分析已知、未知间的关系； (2)构造直角三角形； (3)利用勾股定理等列方程； (4)解决实际问题. 知识点2 勾股定理的应用 15 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 16 解析：设折断处离地面的高度AC为x尺，则AB=(10-x)尺. 由题意可得AC⊥BC，所以∠ACB=90°. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC²+BC²=AB²， 即x²+4²=(10-x) ²，解得x=， 所以折断处离地面的高度为尺. 知识点2 勾股定理的应用 17 跟踪训练 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? 题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高?则折断处离地 面的高度为 尺. 知识点2 勾股定理的应用 18 5.如图，在高为，斜坡长为 的 楼梯台阶上铺地毯，则需要地毯的总 长是___ . 7 中考考法 19 6.(跨学科·语文)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为________________. 中考考法 20 7. 某校在一次消防演练中，消防队员 需要通过攀爬长的云梯，到 高的宿 舍楼顶营救“被困”学生.已知消防车按如图所示 停放，云梯的底端距离地面，与宿舍外墙 的 距离是 .请问云梯够长吗？说明理由. 中考考法 21 解：够长，理由如下： 如答图，过点作于点,于点 ， 连接，则 , ,, ， ， . ， 云梯够长． 中考考法 22 2星题 中档练 8.(数学文化 无锡模拟)《九章算术》中“折竹”问题(如图)：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．(1丈＝10尺)问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有(　　) A．3尺 B．4尺 C．4.55尺 D．5尺 C 中考考法 23 9.(数学文化淮南二模)我国明朝数学著作《直指算法统宗》中有一道关于勾股定理的问题：如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地 的垂直高度CF＝2.5 m，它的绳索 始终拉直，则绳索AC的长是 ________m. 3.25 中考考法 24 10. (真实情境)刷牙是我们每天都要做的事，坚持早、晚刷牙有利于健康．如图，一把长为15 cm的牙刷置于底面直径为6 cm，高为8 cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是________. 5≤h≤7 中考考法 25 (第10题) 11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯 子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离 为，顶端距离地面 .如果保持梯子底 端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距 离地面.则小巷的宽度为____ . 22 中考考法 26 12．[安徽模拟]如图，甲、乙两船同时从 码头开出，45分钟后，甲船到达 码头，乙船 到达 码头；已知甲船航行的速度是12海里/时， 乙船航行的速度是16海里/时，甲船航行的方向 15 n mile 是北偏东 ，乙船航行的方向是南偏东 ，则甲、乙两 船之间的距离 是________. 27 3星题 提升练 13. (立德树人·弘扬传统文化)在某市“非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些数学问题，他设计了如下的方案：如图，先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15 m，根据手中余线长度，计算出AC的长度为17 m，牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5 m．已知点A，B，C，D在同一平面内．(8分) 28 (1)求风筝离地面的垂直高度CD； 解：(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E， 则易得AE＝BD＝15 m，AB＝DE＝1. 5 m， ∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，由勾股定理得CE＝ 即风筝离地面的垂直高度CD为9. 5 m. 29 (2)在余线仅剩7.5 m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12 m，请问能否成功？请说明理由． 解：不能成功，理由如下： 假设能上升12 m，如图，延长DC至点F，使CF＝12 m，连接AF，∴EF＝CE＋CF＝8＋12＝20(m)． 在Rt△AEF中，由勾股定理得AF＝ 30 ∵AC＝17 m，余线仅剩7. 5 m，而17＋7. 5＝24. 5<25，∴不能上升12 m，即不能成功． x2＋22＝ ＝＝8， ∴CD＝CE＋ED＝8＋1. 5＝9. 5， ＝＝25. $