精品解析：山东省烟台市莱阳市四校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025—2026第一学期初四数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上对应题目的横线上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题关键是利用白球的概率公式列方程求解得到白球的个数．利用频率估计概率得到摸到白球的概率为，然后根据概率公式计算得到白球的个数即可得到黄球的个数． 【详解】设布袋中可能装有个白球， 布袋中装有个球，且白球的频率稳定在左右， ， 解得， 即布袋中可能装有个白球， ， 布袋中黄球可能有个黄球． 故选：A． 2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图像分布在一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图像与坐标轴无交点 D. 若点在它的图像上，则点也在它的图像上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据反比例函数的定义及性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：A：反比例函数中，，因此图象分布在第一、三象限，正确； B：当时，反比例函数在每一象限内随的增大而减小，但若未限定“在每一象限内”，当跨越正负时（如从增大到），会从增加到，此时反而增大，因此选项B的表述不严谨，错误； C：反比例函数定义域为，值域为，故图象与坐标轴无交点，正确； D：若点在图象上，则，即，点代入函数得，因，等式成立，故也在图象上，正确； 故选：B 3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键．分别画出各选项得出的左视图，再判断即可． 【详解】解：A、取走①时，左视图为 ，既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 ，既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 4. 将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可， 【详解】解：将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，所得直线解析式为：． 故选：D． 5. 函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． 由函数图象可知，当或时，函数在的图象的上方，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知， 当或时，函数在的图象的上方， ∴， 故选：C． 6. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， ∵S1+S2＝12， ∴×π×+π×+AC×BC﹣π×＝12， ∴AC×BC＝24， AB＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查扇形的面积及勾股定理、完全平方公式，关键是根据扇形面积公式列出算式然后利用完全平方公式及勾股定理进行化简求解即可． 7. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正切等知识．如图，连接，交于点由菱形的性质可得，，设菱形的边长为，则，，，勾股定理求得，进而根据，计算求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，交于点 由菱形的性质可得，， 设菱形的边长为，由图形为全等的含角的小菱形组成的网格， ∴，，，． ∴． 故选：B． 8. 以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由题意可得，再由圆周角定理计算即可得解，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵点E所对应的量角器上的读数为， ∴， ∵为直径，， ∴点在上， ∴， 故选：C． 9. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆的综合，熟练掌握圆内接正多边形的相关计算是解题的关键． 先求出圆内接正十二边形的中心角，然后求出，，在中，求出，，进而求出圆内接正十二边形的周长，然后根据即可得出答案． 【详解】解：十二边形是圆内接正十二边形， ， ，， ，，， 在中，， ， ， 圆内接正十二边形的周长， ， 故选：． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．则下列结论：①；②；③；④方程的四个根的和为s，则；⑤，其中，正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象开口方向，对称轴，顶点坐标，以及与x轴、y轴的交点坐标综合进行判断即可． 【详解】解：由抛物线的开口向下可得，对称轴在轴的左侧， 所以，， 而， ∴，故①正确； ∵，， ∴ ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴，故②错误； ∵二次函数的图象与x轴交于点及另一点，且， ∴，故③正确， ∵方程有四个根， ∴方程即有2个根，设为和；方程即有2个根，设为和，则有： ， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故④正确， ∵当时，； 当时，， ∴，故⑤错误； 综上，正确的结论是①③④，共3个， 故选：B． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的综合运算能力，特殊角的三角函数值，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中两次摸到的球都是白球的情况有种， 故两次摸到的球都是白球的概率为， 故答案为：． 13. 一个圆锥的母线长为10，其侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．据此解答即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为：r， 由题意可得：， 解得：， 故答案为：7． 14. 有一轮船由东向西航行，在处测得西偏北有一灯塔，继续航行海里后到处，又测得灯塔在西偏北，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是____海里． 【答案】 【解析】 【分析】作PD⊥AB于D，则PD即为所求距离．根据已知先求得BP的长，再根据三角函数即可求得PD的长． 【详解】由题意得，∠1=15°，∠2=30°，AB=10， ∴∠APB=∠2-∠1=15°， ∴∠1=∠APB=15°， ∴AB=PB=10， 作PD⊥AB于D， 在Rt△PDB中，∠2=30°， ∴PD=PB=×10=5（海里）． 故答案为5. 【点睛】此题考查的是方向角在实际生活中的运用，解答此类题目关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解答． 15. 如图，A，B，C是上的三点，且C是弧的中点，弦于点E，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用三角函数的定义求线段，圆的性质，勾股定理等内容，解题的关键是掌握三角函数的定义，利用勾股定理，得到方程． 如图，作直径，连接，先根据弦，弧的关系可得，，利用三角函数的定义可得，设，利用勾股定理可得，求解即可． 【详解】解：如图，作直径，连接， ∵， ∴， ∵C是弧的中点， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， 由勾股定理得，即，解得， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出抛物线的顶点坐标，即可得出，再利用图象上对称两点的坐标，即可求出的值，从而得出抛物线的解析式，然后把代入，即可得出答案． 【详解】解：抛物线与x轴只有一个公共点， 该抛物线的顶点坐标为，且， ， 抛物线过点，， 该抛物线的对称轴为直线， 即：， ， 把代入，得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，的图象与性质，中点坐标公式等知识点，根据题意求得的值是解题的关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据特殊角的三角形函数值，零指数幂化简，再根据实数的混合运算求解即可； （2）根据特殊角的三角函数值，绝对值意义，负整数指数幂，算术平方根进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 19. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与，若点C到地面的距离为，坐垫中轴E处与点B的距离为，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 【答案】点E到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意；过点C作于点H，过点E作垂直于延长线于点F，设，则，，然后可得，则有，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：由题意得：， 过点C作于点H，过点E作垂直于延长线于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， 由可知：， 解得：， ∵，， ∴， 则点E到地面的距离为， 答：点E到地面的距离约为． 20. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是圆的内接四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，再由，即可得出．根据圆周角定理结合题意可知，即得出．由此易证，即得出． （2）过点作，垂足为．根据题意可求出，结合（1）可知，即可求出．根据题意又可求出，利用三角函数即可求出，最后再利用三角函数即可求出最后结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作，垂足为． ∵，， ∴． 由（1）知． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形．利用数形结合的思想并正确作出辅助线是解答本题的关键． 21. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、相似三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用先求出反比例函数的关系式，得到，再利用待定系数法求解一次函数关系式即可； （2）先求出，，再分两种情况：当时，当时，分别利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象分别交于点和点， ∴，， ∴反比例函数， 当时，， ∴； 将，代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：在中，当时，，即， 当时，，解得：，即， ∵与相似， ∴当时，， ∴， 设点P的坐标为， 则， 解得， ∴此时点的坐标为； 当时，， ∴， 设，则，，， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：根据题意得， 所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式， 自变量x的取值范围是 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得 ， ∵， ∴当，W随x的增大而增大． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元． 【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 23. 如图，为的直径，F为弦的中点，连接并延长交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵F为弦的中点， ∴． ∵， ∴． ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定和性质、扇形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）欲证明是的切线，只要证明，即可； （2）由，推出，推出，求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵F为弦的中点， ∴，． ∴ ∵， ． ． ． ． 在中，， ． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵F为弦的中点， ∴点是的中点， ∴， ∴， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 【答案】（1）y＝−x2＋2x＋；（2）；（3）（，2）或（，2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的交点式，结合待定系数法即可求解； （2）△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA，即可求解； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解． 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝，即C（0，）， 设抛物线的表达式为y＝a（x−5）（x＋1）， 将点C的坐标代入上式得：＝a（0−5）（0＋1）， 解得a＝−， ∴抛物线的表达式为：y＝−（x−5）（x＋1）＝−x2＋2x＋； （2）由抛物线的表达式得：顶点M（2，）， 过点M作MH∥y轴交AC于点H， 设直线AC的表达式为y＝kx＋t， 则，解得：， ∴直线AC的表达式为：y＝−x＋， 当x＝2时，y＝，则MH＝−＝3， 则△AMC的面积＝S△MHC＋S△MHA＝×MH×OA＝×3×5＝； （3）点D在直线AC上，设点D（m，−m＋）， 由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可， ∴EF2＝OD2＝m2＋（−m＋）2＝m2−m＋， ∵＞0，故EF2存在最小值（即EF最小），此时m＝1， ∴点D（1，2）， ∵点P、D的纵坐标相同， ∴2＝−x2＋2x＋，解得x＝ 故点P的坐标为（，2）或（，2）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026第一学期初四数学试卷 温馨提示： 1．本试卷共4页，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，必须用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡上对应题目的横线上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 在一个不透明的布袋中装有个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在左右，则布袋中黄球可能有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 对于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 图像分布在一、三象限 B. y随x的增大而减小 C. 图像与坐标轴无交点 D. 若点在它的图像上，则点也在它的图像上 3. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 将抛物线先向左平移5个单位，再向下平移4个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 函数与的图象如图所示，当时，x的取值范围是（ ） A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或或 6. 如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图是由全等的含角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点，，在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 以O为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．D为斜边上一点，作射线交弧于点E，如果点E所对应的量角器上的读数为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．也就是说通过作圆内接正多边形割圆，来计算圆周率，正多边形的边数越多所得到的圆周率精确度越高．下图就是从正六边形开始割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，…．边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．这样再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率．设圆的半径为，先计算图1中圆内接正六边形的周长，根据正六边形与圆的周长近似相等，可计算出．接下来根据图2圆的内接正十二边形计算圆周率，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．则下列结论：①；②；③；④方程的四个根的和为s，则；⑤，其中，正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 化简______． 12. 一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是______． 13. 一个圆锥的母线长为10，其侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径是______． 14. 有一轮船由东向西航行，在处测得西偏北有一灯塔，继续航行海里后到处，又测得灯塔在西偏北，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是____海里． 15. 如图，A，B，C是上的三点，且C是弧的中点，弦于点E，若，则的长为________． 16. 若抛物线与x轴只有一个公共点，且过点，，则______． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． （1）求直线的表达式； （2）已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 19. 如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为，现测得、与的夹角分别为与，若点C到地面的距离为，坐垫中轴E处与点B的距离为，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：，，） 20. 如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 21. 直线与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的关系式； （2）若点是轴上一动点，当与相似时，求点的坐标． 22. 为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题： （1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，为的直径，F为弦的中点，连接并延长交于点D，过点D作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若时，求图中阴影部分的面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求的面积； （3）若点Р是抛物线上的一个动点，过点Р作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $