精品解析：吉林省松原市宁江区第一中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上学期期末教学质量检测 八年级数学试题 数学试题共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子有意义，则下列说法正确是（ ） A. 且 B. C. D. 3. 下列正确的是（ ） A B. C. 是最简分式 D. 4. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则________． 8. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的___________． 9. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 10. 如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则______． 11. 边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12 解分式方程：． 13. 先化简，再求值：，其中． 14. 如图，在中，过点作，，点、是上两点，连接、，且，与全等吗？为什么？ 15. 如图，这是一道例题部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为 ，多项式为__________，例题的计算结果为__________； （2）计算：． 16. 从体育强国到健康中国，“带动3亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现，也直接推动了群众体育发展．我市某中学组织八年级360名学生到北大湖滑雪场开展冬令营活动．学校到某旅游公司租车，该公司现有A，B两种车型，A型车与B型车的座位数的比为；如果分别租用这两种车型，所需A型车的数量比B型车多2辆．求该公司A，B两种车型各有多少个座位． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，请用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点A重合）； （3）在图③中，在边上找一点E，连接，使得平分的面积． 18. 如图，在中，，，点D是的中点，点M在上，连接，以为边向右作等边，连接，．求证： （1）； （2）． 19. 小区绿化是一个集生态、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）计算：______； （2）求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） （3）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 20. “浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟的天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． （1）①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． （2）完成任务中的问题． 21. 综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 22. 如图，已知在中，，，的面积是12．于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）线段的长为 ，的长为 ． （2）用含的代数式表示线段的长： （3）在线段上取点，使，连接，当与全等时．求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末教学质量检测 八年级数学试题 数学试题共6页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，请你将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，请你按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 若式子有意义，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件分母不为零计算即可 【详解】解：由题意可知： ∴ 故选：C 【点睛】本题考查分式有意义的条件，正确理解分式含义是关键． 3. 下列正确的是（ ） A. B. C. 是最简分式 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂、科学记数法、分式的化简、幂的运算． 根据相关定义和运算法则逐一判断各选项． 【详解】解：A：，故A错误，不符合题意． B：，故B正确，符合题意． C：， 可约分， ∴不是最简分式， 故C错误，不符合题意． D：，∴， 故D错误，不符合题意． 故选B． 4. 如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 5. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：∵，点D，E分别是，的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 6. 甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做10个，甲做120个所用时间与乙做150个所用的时间相等，设乙每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做x个零件，则甲每小时做个零件，由题意，得； 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质得到a=2b，再代入原式可得结果． 【详解】解：∵， ∴a=2b，代入， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质，细心计算． 8. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的___________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 9. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据长方形的周长和面积计算公式可得的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，，以C为圆心，长为半径画弧，交于D、E，分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点F，连结，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了作垂线，三角形内角和定理等知识．由作图可知，，即，由，可得． 【详解】解：如图，设交于点H， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 11. 边长为的等边在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴上，交轴于点、轴，为坐标原点，连接，若，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据平行线的性质易知，结合等边三角形性质得到，根据，得到，即可得解． 【详解】解：点在轴上，交轴于点、轴， ， 是边长为的等边三角形， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边乘，得 解得：． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 13. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先进行括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 14. 如图，在中，过点作，，点、是上两点，连接、，且，与全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定条件，依据平行线的性质及等式的性质找到与全等的条件． 【详解】解：．理由如下： ， ， ， 即， 在和中， ． 15. 如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： （1）多项式为 ，多项式为__________，例题的计算结果为__________； （2）计算：． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除，熟练运用计算法则和乘法公式是解题关键． （1）由题意得：，，即可得到多项式及多项式，再化简即可解答； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 两边同除以y得：， 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：， 故答案为：，，； 小问2详解】 解： ． 16. 从体育强国到健康中国，“带动3亿人参加冰雪运动”这一愿景已经成功实现，也直接推动了群众体育发展．我市某中学组织八年级360名学生到北大湖滑雪场开展冬令营活动．学校到某旅游公司租车，该公司现有A，B两种车型，A型车与B型车的座位数的比为；如果分别租用这两种车型，所需A型车的数量比B型车多2辆．求该公司A，B两种车型各有多少个座位． 【答案】1辆A型车的座位数为45个，则1辆B型车的座位数为60个． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设1辆A型车的座位数为个，则1辆B型车的座位数为个，根据“所需A型车的数量比B型车多2辆”，即可得出关于的分式方程，解之即可得解． 【详解】解：设1辆A型车的载客量为人，则1辆B型车的载客量为人， 依题意得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴，， 答：1辆A型车的座位数为45个，则1辆B型车的座位数为60个． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均为格点，请用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，以为腰画一个等腰直角三角形； （2）在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点A重合）； （3）在图③中，在边上找一点E，连接，使得平分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据全等三角形的判定和性质作，则，，可得是以为腰的等腰直角三角形； （2）根据全等三角形的判定和性质作即可； （3）以为对角线作矩形交于点E，连接即可得答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，或都是满足条件的等腰直角三角形； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为腰的等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：如图②，即为所作； 根据题意得，， ∴； 【小问3详解】 解：如图③，以为对角线作矩形交于点E，连接． ∵矩形交于点E， ∴， ∴是中线， ∴平分的面积． 18. 如图，在中，，，点D是中点，点M在上，连接，以为边向右作等边，连接，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂直平分线的性质； （1）由直角三角形的性质和D是的中点得到，再结合为等边三角形，即可证明； （2）由，得到，为的垂直平分线，则，再由，得到． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，． ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴，． ∴， ∴． 即． 在和中， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 19. 小区绿化是一个集生态、健康、社交、经济和美学价值于一体的综合性系统工程，是衡量一个社区品质和宜居程度的重要标尺．如图，在小区内有一块长为米，宽为米的长方形地块，现将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为米的正方形区域． （1）计算：______； （2）求绿化的面积S；（用含a，b的式子表示，并化简） （3）若，，绿化的费用是每平方米60元，求完成绿化共需要多少元？ 【答案】（1） （2） （3）完成绿化共需要6600元 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘法运算，代数式求值． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）根据正方形面积公式，长方形面积公式，结合整式的乘法运算法则计算即可； （3）将，代入（2）中结果求出绿化的面积，再乘以费用即可． 【小问1详解】 解： ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：当，时， ， （元）， 答：完成绿化共需要6600元． 20. “浓情端午，将爱传递”的实践活动策划方案： 实践背景 某学校计划在端午节期间采购彩纸和竹条制作龙舟模型送给幼儿园的小朋友． 信息 嘉嘉和淇淇到手工材料店询问后，整理信息如下： 每包彩纸比每捆竹条贵元，元能买到的彩纸包数是元能买到的竹条捆数的倍． 任务 嘉嘉设______■．依题意，得方程． 淇淇设彩纸每包元．依题意，得方程______▲． 信息 制作时，嘉琪发现自己一天可以制作个小龙舟或制作个大龙舟，并且制作个小龙舟天数和制作个大龙舟的天数一样． 任务 求嘉琪每天可以制作小龙舟的个数． （1）①方案中“■”处的内容为______，“▲”处的内容为______． ②彩纸每包______元，竹条每捆______元． （2）完成任务中的问题． 【答案】（1）①买到的竹条捆数为，；②， （2）个 【解析】 【分析】（）①根据题意解答即可；②利用淇淇的方法求出方程的解即可求解； （）根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：①方案中“■”处的内容是买到的竹条捆数为，“▲”处的内容为， 故答案为：买到竹条捆数为，； ②设彩纸每包元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴彩纸每包元，竹条每捆元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴嘉琪每天可以制作小龙舟个． 21. 综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【解析】 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 22. 如图，已知在中，，，的面积是12．于点，点在直线上，且在点的左侧，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设运动的时间为（秒），回答下列问题． （1）线段的长为 ，的长为 ． （2）用含的代数式表示线段的长： （3）在线段上取点，使，连接，当与全等时．求的值； （4）在点运动的过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）3，4； （2） （3）2或10 （4）当△是等腰三角形时，的值为3或4或或14． 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的性质，列代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论； （1）根据的面积，利用三角形面积公式可求出的长，根据可求出的长，即可得答案； （2）利用三线合一定理求出的长，进而求出的长，根据点的运动速度和运动时间，分两种情况求出线段的长即可； （3）分两种情况：当点在点左侧，△△，点在点右侧，则△△，根据全等三角形对应边相等分别列出方程，解方程即可得到答案； （4）分三种情况讨论：，和，分别求得的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，的面积是12．于点， ∴， ∴ 故答案为：3，4； 【小问2详解】 解：已知在△中，，，于点，， ， ； 动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度从点沿射线运动，设运动的时间为（秒）， ， 当时，； 当时，； 综上所述，； 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得； ， ， ， ， 当△与△全等时，分两种情况讨论： 当点在点左侧时，△△， ， ， 解得：； 当点在点右侧时，△△， ， ， 解得：； 综上所述，当或时，△与△全等， 故答案为：2或10； 【小问4详解】 解：当时，点与点重合，则， ； 当时， ①当在点的左侧时，， ； ②当在点的右侧时，， ； 当时，如图，设，则， 在△中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ； 综上所述，当△是等腰三角形时，的值为3或4或或14． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $