第二章 分式与分式方程 期末复习题 2025--2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程期末复习题 一、单选题 1．若分式的值为0，则等于（   ） A．0 B．2 C．3 D．6 2．下列各式，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．方程的解是（   ） A． B． C． D． 5．如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．扩大为原来的倍 6．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 8．已知，则（   ） A． B． C．1 D．5 9．已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11．下列从左到右的分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 12．已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ）． A．且 B． C．且 D．且 二、填空题 13．化简： ． 14．已知，则 ． 15．已知为整数且满足代数式的值为整数，则的所有取值为 16．分式方程的解是 ． 17．随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为 ． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)； 19．分式化简求值：，其中x为满足的整数 20．解分式方程． (1)； (2)． 21．义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务．一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质．已知A、B两个采血点到市中心血库的路程分别为，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息： 信息一：采血点运送车辆的平均速度是采血点运送车辆平均速度的倍； 信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时． (1)求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？ (2)若采血点完成采血的时间为3小时，判断血液运送到市中心血库后会不会变质？ 22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23．某区为了落实中央的“精准扶贫政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍；若乙队单独施工，则恰好在规定时间内完成．如果由甲、乙队先合作30天，那么余下的工程再由乙队单独完成还需10天． (1)这项工程的规定时间是多少天？（列方程解应用题） (2)已知甲队每天的施工费用为4500元，乙队每天的施工费用为7000元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合作来完成，则该工程施工费用是多少？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0需分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式值为0， ∴分子，且， 解得，且， ∴， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是解决本题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子）逐一判断各式即可． 【详解】解：由题意得，：分母为1，无字母，不是分式； ：分母含字母，是分式； ：分母含字母和，是分式； ：分母为常数，无字母，不是分式； ：分母5为常数，无字母，不是分式． ∴分式有2个． 故选B． 3．B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球，采用新技术前，生产时间为天，采用新技术后，生产时间为天，再根据一共用了21天完成任务即可列出对应的方程． 【详解】解：设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球， 由题意得，， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可． 【详解】解：原式去分母，方程两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的计算原则是解题的关键． 将与都扩大为原来的3倍，代入代数式并化简，比较与原式的关系． 【详解】解：与都扩大为原来的3倍， 得： ， ， ， ，即与原式相等， 代数式的值不变； 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可求出，把所求式子变形为，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：A． 7．B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了分式的加减以及分式性质，读懂题意，根据通分得出是解本题的关键． 根据得出，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．C 【分析】本题主要考查分式的化简求值、完全平方公式，由已知方程变形得到 ，利用完全平方公式可得，最后代入化简后的表达式求解． 【详解】解：，且 ， 等式两边除以，可得：， ， ， ， ， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查分式的运算，乘法公式． 根据分式的运算法则结合乘法公式逐一计算后判断即可． 【详解】解：对于A：，错误； 对于B：，错误； 对于C：，正确； 对于D：，，错误； 故选：C． 11．C 【分析】本题考查分式的基本性质，即分子分母同乘或同除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，原变形错误； B．当时，无意义，原变形错误； C． ，原变形正确； D． 无法通过分式的基本性质变为，原变形错误； 故选：C． 12．C 【分析】本题主要考查了含参分式方程的解法．熟练掌握分式的解法，增根的概念，是解题的关键． 先解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零，得到且． 【详解】解：，且 ， ， 两边同乘 ，得：， 化简得：， ， ， 方程的解是正数， ，即 ， ， 又， ， ， 且． 故选：C． 13． 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14．6 【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键． 由已知可以得到，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式= 故答案为：6 15．或或 【分析】本题考查了分式的特殊解，熟悉掌握因式分解化简分式是解题的关键． 先简化代数式，将除法转化为乘法并约简，得到最简分式；令分式值为整数，利用整数条件求解，并排除使分母为零的值． 【详解】原式= = = = =， 设 （为整数），则， 整理得：， ∴， 令（为整数且），则， 由于为整数，需为整数，故为的因数：，， 代入求： 时，； 时，； 时，； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零）； 时，（舍去，因分母为零） 综上，的所有取值为：，，， 故答案为：，，． 16． 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；先去分母，然后再进行求解方程即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得： 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：是原方程的解； 故答案为． 17． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算． （1）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可； （2）先将除法转化为乘法，然后计算乘法即可． 【详解】（1）解：原式= = = = （2）解：原式= = = = 19．； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．根据分式混合运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件求出x的值，代入数据求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∵x为满足的整数， ∴x只能取0， ∴把代入得：原式． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，找到最简公分母将分式方程转化为整式方程是解题的关键． （1）方程两边乘，再化简求解，检验即可； （2）方程两边乘，再化简求解，检验即可． 【详解】（1）解：方程两边乘，得， 整理，得：， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为； （2）解：方程两边乘，得， 解得：． 检验：当时，， 原分式方程的解为． 21．(1)A采血点运送车辆的平均速度是，B采血点运送车辆的平均速度是 (2)B采血点采集的血液不会变质 【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，理解题意，确定相等关系列出正确的方程是解本题的关键． （1）设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为，再根据“A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为小时”建立分式方程求解即可； （2）由采血点采集的血液加上运输时间与4小时比较即可． 【详解】（1）解：设采血点运送车辆的平均速度是，则采血点运送车辆的平均速度为， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：采血点运送车辆的平均速度是，采血点运送车辆的平均速度为； （2）解：采血点运送车辆的行驶时间为． 依题意，， ∴采血点采集的血液不会变质． 22．(1)甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 (2)购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元 【分析】本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，且，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台， 且，即，且为非负整数， 根据题意，得， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元． 23．(1)60天 (2)414000元 【分析】本题主要考查了列分式方程解决工程问题，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据施工方案列出方程求解即可； （2）结合（1）中的甲、乙施工天数，求出合作施工天数，然后求解即可． 【详解】（1）解：设工程的规定时间为天，则甲单独施工所用时间为天，乙单独施工所用时间为天，根据题意得， ， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 所以，这项工程的规定时间是60天； （2）解：所需天数为：（天）， ∴施工费用为：（元）， 所以，该工程施工费用是414000元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $