精品解析：辽宁省营口市盖州市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度上学期九年级期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答． 【详解】、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 2. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，即可获得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移4个单位，表达式变为， 再向上平移2个单位，表达式变为． 故选：B． 3. 已知的半径为，点在外，则的长（ ） A. 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系：掌握点到圆心的距离与半径的关系是解题的关键． 根据圆的性质，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 【详解】解：∵点在外， ∴半径，即， 故选：A． 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可知，，则，然后通过三角形内角和定理即可求解， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，是的直径，，是的弦．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、直角三角形两锐角互余等知识，熟记圆周角定理是解决问题的关键．先由是的直径，则，再由同弧所对的圆周角相等得到，最后在△中，由直角三角形两锐角互余代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ，， ， 在△中，，， ， 故选：C． 6. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数的对称性及增减性． 根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线，图象开口向上，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴直线， 距离对称轴越近，函数值越小， ，，， 点距离对称轴1个单位长度，点距离对称轴2个单位长度，点距离对称轴5个单位长度， ． 故选：D． 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 实数根的个数与的取值有关 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的情况的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程．可借助平移性质得到长为、宽为的矩形草坪，然后利用矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为， 故选：B． 9. 如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点， 六边形是正六边形，点是它的中心， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ， 即它的内切圆半径为 ， 故选：D． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 一元二次方程有实数根 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由图象开口方向判断出a，由对称轴得出b，抛物线与y轴的交点判断c，抛物线与x轴的交点的个数确定，再结合的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，进行逐项分析，即可求解． 【详解】解：抛物线顶点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 抛物线与轴的一个交点在点和之间， 当时，，即，故A选项错误，不符合题意； 抛物线顶点坐标为， 抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， ， ，故B选项正确，符合题意； 抛物线的开口向下， 抛物线的最大值为， 直线与抛物线没有交点， 一元二次方程没有实数根，故C选项错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线，即， ， 时，， ，即，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程的根与系数的关系，两根之积为常数项，代入已知根可求另一个根． 【详解】解：设方程的两根为和，则， 设，则， 所以， 故答案为：． 12. 下表是某种子公司为检测某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果， 种子个数 400 750 1500 3500 7000 … 发芽种子个数 369 662 1335 3203 6335 … 发芽率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 … 根据上表中的数据，可估计该种子发芽的概率为_____________．（结果精确到0.1） 【答案】 0.9 【解析】 分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论． 【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右， ∴该种子发芽的概率为0.9． 故答案为：0.9． 13. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，以及直角三角形的性质的运用．根据阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，边长为6，点D为中点，连接，点E为线段上一动点（不与A，D重合），连接，以为边在下方作等边，连接，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质、全等三角形判定与性质，直角三角形的性质及垂线段最短，解题关键是通过证明全等确定点的运动轨迹，易错点是对全等条件或轨迹分析错误，解题思路为：先证确定的运动轨迹，再根据垂线段最短求的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴； ∴； ∵点D为中点，， ∴是的角平分线，是等边的高，， ∴， ∴点在与成角的直线上运动， 根据 “垂线段最短”，当时，最小， 在中，，则． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）采用公式法求解即可； （2）采用公式法求解即可． 【小问1详解】 ，， ∵ ∴ 即， 【小问2详解】 将方程化为一般形式，得 ，， ∵ ∴ 即， 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并直接写出，的坐标． （2）在（1）的条件下，求点经过的路径长． 【答案】（1）图见解析；， （2）经过的路径长为 【解析】 【分析】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． （1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求，其中，； 【小问2详解】 解：∵， ， ∴弧的长度为． 18. 为了提升学生的文明素养与环保意识，某校在“创文创卫”活动周中，设置了A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁；D．垃圾分类四个主题，每个学生选一个主题参与活动． （1）张宇同学从四个主题中随机选择一个，他选择文明礼仪主题的概率为________． （2）李静和周凯两位同学分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择相同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率计算及列表法或树状图法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法计算概率是解题关键． （1）直接利用概率公式计算即得； （2）利用列表法求出李静和周凯分别从四个主题中随机选择一个，即可求出答案． 小问1详解】 解：∵从四个主题中随机选择一个， ∴张宇同学选择文明礼仪主题的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可得，共有16种等可能的结果，其中他们选择相同主题的结果有4种， ∴李静和周凯两位同学选择相同主题的概率为． 19. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，确定二次函数的解析式是解题的关键． （1）设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值． （2）设球出手时，他跳离地面的高度为，则可得，再解方程即可． 【小问1详解】 ∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 由图知图象过以下点：， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 设球出手时，他跳离地面的高度为， 因（1）中求得， 则球出手时，球的高度为， ∴， ∴， 答：球出手时，他跳离地面的高度为． 20. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 【答案】（1） （2）20元或40元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设每次降价的百分率为，则，再求解即可； （2）设每套涨价元，则月销售量减少套，得到利润，再求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， ，即， ， 因降价百分率，故， 得， 答：该款帐篷价格每次下降； 【小问2详解】 解：设每套涨价元，则月销售量减少套， 此时，每套盈利：元；月销售量：套 则月销售利润为， 解得或， 当时，涨价元，时，涨价元， 答：该款帐篷每套可以涨价20元或40元． 21. 如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． （1）求证： （2）若，，，求半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，因为是的切线，所以，再根据四边形内接于求出，则，从而得到，又由等弧所对的圆周角相等得，即可得出结论； （2）连接，设与相交于点F，设．由垂径定理求出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ∵， ∴是的直径， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，设与相交于点F，设． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理的推论，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 22. 四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． （1）如图1，当时，的度数为_________． （2）如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． （3）在旋转过程中，当时，若，求的长． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质，正方形的性质及等腰三角形的性质求得，再根据正方形的性质结合，利用三角形内角和得，从而求解；　 （2）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，进而得到，证明，推出，利用勾股定理结合线段的和差关系即可得出结论； （3）分和两种情况，根据全等面积转化，以及同高三角形的面积比等于底边比，结合线段之间的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，，， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当，分两种情况： ①当，如图， 由（2）可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，延长至点，使，连接， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”，例如点是函数的图象的“相反点”． 基础求解 （1）请直接写出函数图象上的“相反点”的坐标． 综合分析 （2）若抛物线上有两个“相反点”，分别为点和，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当面积为12时，求点B的坐标． 拓展探究 （3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求t的值． 【答案】 （1）和；（2）；（3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程；熟练掌握函数的图象及性质，理解定义，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）由“相反点”的定义可知，“相反点”在上，再联立求解即可； （2）由题意知，再将“相反点”代入得，，进而得到，再由三角形面积公式得，接着解方程即可； （3）先根据定义先求出的“相反点”，接着分有且仅有1个“相反点”，且与的“相反点”不重合，有2个“相反点”，有1个与的“相反点”重合，结合一元二次方程的求解即可． 【详解】解：（1）“相反点”满足横、纵坐标互相反数，即， 联立，得， 解得或， ∴“相反点”的坐标为和； （2）点是“相反点”，故，即， 点在抛物线上，代入， 得：， 点代入抛物线得：，即， 将（2）代入（1）：， 即， 抛物线对称轴为， 点关于对称轴的对称点为，故， 根据函数图象可得在的上方， ∴的高为， ∵， 解得， 所以； （3）函数，其顶点为， 所以绕旋转后，的顶点为，开口向上， 则解析式为：， “相反点”满足，分别联立、与： 联立：，即， 解得或，则有2个“相反点”和， 联立：，即， 因、组成的图象恰有3个“相反点”， 有且仅有1个“相反点”，且与的“相反点”不重合， 方程有两个相等的根， 即，解得； 有2个“相反点”，有1个与的“相反点”重合， 若“相反点”重合，则，解得， 时，方程为，解得或， 此时有2个“相反点”和， ，共有3个“相反点”、、，符合题意； 若“相反点”重合，则，解得， 时，方程为，解得或， 此时有2个“相反点”和， ，共有3个“相反点”、、，符合题意； 综上，或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期九年级期末质量监测 数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点在外，则的长（ ） A 大于 B. 小于 C. 大于 D. 不大于 4. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，是的弦．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象上有三个点，其坐标分别为、、，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 实数根的个数与的取值有关 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 一元二次方程有实数根 D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是________． 12. 下表是某种子公司为检测某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果， 种子个数 400 750 1500 3500 7000 … 发芽种子个数 369 662 1335 3203 6335 … 发芽率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 … 根据上表中的数据，可估计该种子发芽的概率为_____________．（结果精确到0.1） 13. 如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 14. 如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分面积为______． 15. 如图，是等边三角形，边长为6，点D为中点，连接，点E为线段上一动点（不与A，D重合），连接，以为边在下方作等边，连接，则的最小值为_____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕点A顺时针旋转后得到的，并直接写出，的坐标． （2）在（1）的条件下，求点经过的路径长． 18. 为了提升学生文明素养与环保意识，某校在“创文创卫”活动周中，设置了A．文明礼仪；B．环境保护；C．卫生保洁；D．垃圾分类四个主题，每个学生选一个主题参与活动． （1）张宇同学从四个主题中随机选择一个，他选择文明礼仪主题的概率为________． （2）李静和周凯两位同学分别从四个主题中随机选择一个，求他们选择相同主题的概率． 19. 一名运动员在距篮下处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式． （2）该运动员身高，在这次跳投过程中，球在头顶上方处出手，球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 20. 近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长为进一步拓展市场，某露营装备店在“露营季”期间对一款帐篷进行降价促销，这款帐篷原来的价格是每套300元，经两次降价后变为每套243元． （1）若该店铺两次降价的百分率相同，求该款帐篷价格每次下降的百分率． （2）活动结束后，经市场调研发现，当这款帐篷每套盈利40元时，月销售量为200套，如果调整销售单价，每涨价10元，则月销售量就减少20套．要使月销售利润达到9600元，那么该款帐篷每套可以涨价多少元？ 21. 如图，四边形内接于，，过点D作的切线与延长线交于点E，连接． （1）求证： （2）若，，，求半径长． 22. 四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． （1）如图1，当时，的度数为_________． （2）如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． （3）在旋转过程中，当时，若，求的长． 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”，例如点是函数的图象的“相反点”． 基础求解 （1）请直接写出函数图象上“相反点”的坐标． 综合分析 （2）若抛物线上有两个“相反点”，分别为点和，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点C（不与A点重合），当面积为12时，求点B的坐标． 拓展探究 （3）若函数的图象记为，将其绕点旋转后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有3个“相反点”时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $