精品解析：吉林省吉林市第二十三中学2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度第一学期综合练习 八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是不同学科的图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（ ） A. 40海里 B. 70海里 C. 80海里 D. 110海里 4. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 A. B. C. D. 6. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为，则_______． 8. 分解因式：__________． 9. 若，则_______． 10. 如图，为的中点，，则_____． 11. 如图，中，，垂直平分线交于E，连接，，则的周长是_______． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 化简： 14. 如图，在中，，交于点，求线段的长． 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF. 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是△ABC的角平分线. 17. （1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 18. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点． 仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法： （1）在图①中，画出以线段为腰的等腰锐角． （2）在图②中，画出以线段为腰的等腰直角． （3）在图③中，画出以线段为腰的等腰钝角． 19. 如图，是边长为的等边三角形，，两点分别从点，同时出发，点以的速度沿折线向终点匀速运动，点以的速度沿线段向终点匀速运动．设点的运动时间为（）． （1）当点在线段上时，_______，_______ ．（用含x的代数式表示） （2）当为等边三角形时，求的值． （3）若为等边三角形，则值为_______． （4）当为直角三角形时，直接写出的值． 20. 现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） （1）若，则_______． （2）若，电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． （3）_______．（用含，的式子表示）． 21. 自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： （1）若，则_______，_______． （2）已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． （3）若，则_______． （4）当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 22. 【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期综合练习 八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项最符合题意．每小题3分，共18分） 1. 通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是不同学科的图形，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解． 【详解】解：∵选项A：，∴A错误． ∵选项B：，∴B错误． ∵选项C：，∴C错误． ∵选项D：，∴D正确． 故选：D． 3. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（ ） A. 40海里 B. 70海里 C. 80海里 D. 110海里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．如图（见解析），先根据题意可得，，，海里，再求出，然后根据等腰三角形的判定即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，，（海里）， ∴，， ∴， ∴海里， 即处与灯塔的距离为80海里， 故选：C． 4. 如图是用尺规作图“作一个角等于已知角”，通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作一个角等于已知角；实际上作的是三边对应相等，根据三边对应相等两三角形全等，全等三角形的对应角相等可知所作的角等于已知角． 【详解】解：由作图痕迹得：， ∴， ∴． 故选：D． 5. 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x个，根据题意可列分式方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+4）个，根据题意可得等量关系：（原计划20天生产的零件个数+10个）÷实际每天生产的零件个数=15天，根据等量关系列出方程：．故选A． 6. 如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若，则点P到的距离是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于，根据平行线的性质得到，根据角平分线的性质计算，得到答案． 【详解】解：过点作于， ， ， 和分别平分和， ， ，， ， , 即点到的距离是5， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单位换算及科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用纳米与米的单位换算关系，将纳米转换为米，并用科学记数法表示即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 9. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值． 利用完全平方公式将展开，再结合已知条件和进行计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 10. 如图，为的中点，，则_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，由点是的中点可得，由对顶角相等得，可证，得到，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 ． 11. 如图，中，，的垂直平分线交于E，连接，，则的周长是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意知，根据的周长为，通过线段的等量关系，得，计算求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴的周长为， 故答案为：． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，先利用积的乘方法则计算，再利用同底数幂乘法法则计算，最后按负指数计算即可．． 详解】解：原式 ． 13. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式与平方差公式是解题的关键．根据多项式乘多项式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： ． 14. 如图，在中，，交于点，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是判断出是等腰三角形. 先根据直角三角形中所对的边是斜边的一半，求出的长；再判断是等腰三角形，求出的长，即可解答； 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，6 【解析】 【分析】先对所求式子进行化简，然后根据，可以求得化简后式子的值，本题得以解决． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值． 16. 如图，在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE=CF. 求证：（1）△BDE≌△CDF； （2）AD是△ABC的角平分线. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出BD=DC，∠DEB=∠DFC=90°，根据HL即可证Rt△BDE≌Rt△CDF；（2）由△BDE≌△CDF可得DE=DF，再根据角平分线的判定即可得AD是△ABC的角平分线. 【详解】（1）∵点D是BC的中点， ∴BD=DC， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中 ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）； （2）∵△BDE≌△CDF， ∴DE=DF， 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC， 即AD是△ABC的角平分线. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握相关内容是解此题的关键. 17. （1）已知，求的值．（用含m，n的代数式表示） （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方法则的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ． 18. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点． 仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法： （1）在图①中，画出以线段为腰的等腰锐角． （2）在图②中，画出以线段为腰的等腰直角． （3）在图③中，画出以线段为腰的等腰钝角． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查无刻度直尺作图，涉及等腰三角形的定义，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键． （1）根据等腰三角形的定义画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的定义画出图形即可； （3）根据等腰钝角三角形的定义画出图形即可． 【小问1详解】 取格点C，使，连接， 即为所求作． 理由：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴是等腰锐角三角形． 【小问2详解】 取格点D，使，，连接， 则即为所求作． 理由：∵，， ∴是等腰直角三角形． 【小问3详解】 解：取格点E，使，，连接， 则即为所求作． 理由：∵，，且， ∴， ∴是等腰钝角三角形． 19. 如图，是边长为的等边三角形，，两点分别从点，同时出发，点以的速度沿折线向终点匀速运动，点以的速度沿线段向终点匀速运动．设点的运动时间为（）． （1）当点在线段上时，_______，_______ ．（用含x的代数式表示） （2）当为等边三角形时，求的值． （3）若为等边三角形，则的值为_______． （4）当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）的值为 （3） （4）当为直角三角形时，的值为、 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，等边三角形的性质与判定，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动的起点，以及运动的方向和速度计算即可； （2）当为等边三角形时，，代入计算即可； （3）当为等边三角形时，，代入计算即可； （4）根据或进行分类讨论，再结合度所对的直角边是斜边的一半，进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：当点在线段上时， ，， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当点在线段上时， ，， 若为等边三角形， 则， ∴， 解得， 当点在线段上时， ， 该情况下不可能为等边三角形， 综上，的值为． 【小问3详解】 解：若等边三角形，只能点在上，如下图所示： ∵， ， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【小问4详解】 解：当时，如下图： 图中， ， 在中， ∵， ∴， ∴， 得， 解得，此时点恰与点重合，满足要求； 当时，如下图： 图中， ， 在中， ∵， ∴， ∴， 得， 解得，满足要求； 综上，当为直角三角形时，的值为、． 20. 现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） （1）若，则_______． （2）若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值． （3）_______．（用含，的式子表示）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键， （1）根据和，代入可求得，取倒数即可得到答案； （2）设的电阻值为，由题意可得，再根据列出方程，解方程即可得到答案； （3）由可得，取倒数即可得到． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 21. 自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中实现自我价值．通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成长．例：已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得， 另一个因式为，m的值为． 请你根据上述信息，解答下列问题： （1）若，则_______，_______． （2）已知二次三项式分解因式后，有一个因式，求另一个因式以及k的值． （3）若，则_______． （4）当多项式（m，n是常数）分解因式后，有一个因式是时，直接写出代数式的值． 【答案】（1）， （2）另一个因式为，k的值为； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数幂的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点． （1）直接计算后作答即可； （2）仿照题干作答即可； （3）计算后求出值，进而作答即可； （4）设另一个因式为，然后利用多项式乘多项式法则计算，根据计算结果用含的代数式表示出，，再代入，最后根据同底数幂的除法可得结论． 【小问1详解】 解：， 则， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设另一个因式为，得 则， ， 解得， 另一个因式为，k的值为； 【小问3详解】 解：， 则， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设另一个因式为，得 则， ∴，， 解得：，， ∴ ∴， ∴代数式的值为． 22. 【教材呈现】 如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容 15.1.2线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质． 探究 如图，直线l垂直平分，点在l上，分别比较点与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？ 可以发现，，如果把线段沿直线l对折，线段与、线段与、线段与都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质． 如图，直线，垂足为C，，点P在l上． 求证：． 证明：当点P与点C不重合时， 请你写出完整的证明过程． （1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图①，在中，是的垂直平分线，，的周长为13，求的周长． （3）如图②，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，垂足分别为点M，N，已知的周长为15，则的长为_______． 【拓展应用】 （4）如图③，在中，，E、P分别是、上任意一点，当时，直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析（2）（3）（4） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，，，可证，即得； （2）根据垂直平分线的性质得到，得到，即可求出答案； （3）根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，而的周长为，故，从而求得； （4）连接，过作于，交于，连接，由，，可得，可求；根据，，有，故，当、、共线时，，那么当，则最小，此时与重合，与重合，最小值为的长，然后根据三角形面积求解即可． 【详解】（1）证明：当点P与点C不重合时， ∵， ， ，， ， ； （2）解：∵是的垂直平分线，， ∴, ∵的周长为13， ∴， ∴， 即的周长为． （3）解：是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ，即， 故答案为：； （4）连接，过作于，交于，连接， 如图： ，， ， ， ， ； ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 当、、共线时，， ∴当时，则最小，此时与重合，与重合，的最小值为的长， ， ， 解得， ∴的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $