专题03 乘法公式（六大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................3 【题型3:完全平方公式】......................................................................................................9 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】............................................................................11 【题型5: 完全平方公式变形求值】.....................................................................................21 【题型6 求完全平方式中的字母系数】..............................................................................24 【题型1: 平方差公式运算】. 1．计算： 【答案】9996 【分析】本题考查平方差公式，直接利用平方差公式求解即可． 【详解】解： ． 2．利用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)39996 (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握这个公式是解题的关键． 3．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】直接利用平方公式计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即（a+b）（a-b）=a2-b2． 4．用乘法公式计算：． 【答案】4 【分析】原式变形后——，利用平方差公式计算即可． 【详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式—— 是解题的关键． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式 ，解题关键在于熟练掌握其运算方法即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 2．图①是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割、剪拼，得到如图②所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据已知条件得到平方差公式是解题的关键． 图①通过长方形的面积公式得到,图②的阴影部分面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，据此得到等式． 【详解】解：图①长方形的面积为，图②的阴影部分面积为， 根据题意得， 故选：D． 3．如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，根据题意可得，再由长方形面积计算公式可得长方形的面积，据此可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴长方形的面积， 故选：D． 4．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)请表示图①中阴影部分的面积； (2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； (3)比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式与图形面积问题，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据正方形面积公式及题意可直接进行求解； （2）由图②可知长方形的长为，宽为，然后根据面积公式可进行求解； （3）由（1）（2）可进行求解． 【详解】（1）解：由图①可知：阴影部分的面积为； （2）解：由图②可知：长方形的长为，宽为， ∴面积为； （3）解：由（1）（2）的结果可知结论为：． 5．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____． A．        B．        C． (2)请你运用从（1）中得到的等式，进行简便计算：． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，运用平方差公式计算,掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）根据平方差公式变形为进而计算，即得答案． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解： 6．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．     C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1)A (2) 【分析】此题主要考查平方差公式的验证，根据图形找到面积关系是解答的关键． （1）根据第一个图形两个正方形面积的差，构造一个长为，宽为的长方形，相同的面积用不同的表达式表示，从而可推导验证乘法公式中的平方差公式； （2）变形原式，再利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第二个长方形面积为， 第一个图形中大正方形减去小正方形后的面积为， ∴， 故答案为：A． （2）解： ． 7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1)C (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式与图形面积，平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题关键． （1）根据图1中阴影部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面即得出，图2的面积为：，即可得出等式； （2）①根据平方差公式计算即可； ②根据平方差公式可将原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2的面积为：， ∴上述操作能验证的等式是． 故选C． （2）解：①∵ ∴． ∵， ∴； ② ． 【题型3:完全平方公式】 1． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 利用完全平方公式展开计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式，，其中 ，， ∴ ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式计算，根据完全平方公式进行计算即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故答案为： 3． ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式“”进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 5．若，则的值为 ． 【答案】35 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．利用完全平方公式计算即可求出m，n的值，即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： ． 6． ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，含乘方的有理数的混合运算，利用完全平方公式化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了列代数式，理解题意，正确列出代数式是解题的关键．根据题意依次表示出阴影部分的面积、正方形的面积、长方形的面积，结合图形即可得出结论． 【详解】解：由题意得，阴影部分的面积为，正方形的面积为，长方形的面积为， 阴影部分的面积等于正方形的面积减去4个长方形的面积， ． 故选：B． 2．如图所示，通过图形拆分计算面积可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据正方形的组成及面积公式得到完全平方公式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 故选：B ． 3．现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据题意列出关系式，利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 则还需取C纸片的张数是6张． 故选：C． 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是___________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】___________； 【方法2】___________； (3)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系：___________； (4)根据（3）题中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 【答案】(1)； (2)、； (3)； (4)14． 【分析】（1）阴影正方形的边长恰好是长a与宽b的差，列式即可； （2）方法1：用正方形的面积等于边长的平方计算；方法2：用大正方形的面积减去4个矩形的面积计算； （3）根据面积之间的关系确定即可． （4）根据（3）的结论得，然后代入计算即可． 【详解】（1）图2的阴影部分的正方形的边长是； （2）方法1：； 方法2：； （3）由（2）得，； （4）根据（3）的结论得 因为，， 所以 所以 所以． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，正确理解题意，熟知基本知识是解题的关键． 5．图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法一：________________； 方法二：________________． (2)观察图②，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查根据图形理解完全平方公式，以及利用整体代入的方法求代数式的值． （1）阴影部分的面积可以看作是边长（m-n）的正方形的面积，也可以看作边长（m+n）的正方形的面积减去4个小长方形的面积，从而可得答案； （2）由（1）的结论直接写出即可； （3）利用（2）的结论，得，把数值整体代入即可． 【详解】（1）解：方法一、阴影部分的面积是阴影正方形的面积即：， 方法二、或阴影部分的面积用大的正方形面积减去四个小长方形的面积即：； 故答案为： 方法一，方法二． （2）由（1）的面积关系可得：； （3）当，，时， ． 6．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)①的值为；②图中阴影部分的面积和为 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用图形面积之间的关系得到，，之间的等量关系式是解题的关键． （1）根据大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和，可得结论； （2）①利用（1）中关系式计算可得结论； ②利用三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，然后整体代入即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积等于4个小长方形和小正方形面积之和， ∴． ∴． 故答案为：； （2）①∵，为正方形，边长分别为， ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ② ． 7．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②直接写出三个代数式之间的等量关系______； (2)应用：如图③，两个正方形的边长分别为a，b．若，请运用（1）中的关系式计算图中阴影部分的面积为______． (3)拓展延伸：若，求的值． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解完全平方公式的结构特征是解决问题的前提，掌握公式的变形是正确解答的关键． （1）由题意可知，图②中的四个长方形面积和为，再根据大正方形面积减四个长方形面积等于中间小正方形面积列式，即可得到答案； （2）根据图形得出阴影部分的面积为，然后根据完全平方公式，变形求值即可； （3）令，求出，由已知可得，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由图形可知，， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分面积为： ． （3）解：令， ∴， ， ， ， ， ． 8．在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 【答案】[初步尝试]；[灵活运用]53平方米 【分析】本题考查了完全平方公式与几何面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． [初步尝试]结合题意，得，再把，，分别代入进行计算，即可作答． [灵活运用]由题意先得出，再运用，得出，结合图形，得阴影部分面积，进行化简，再代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：[初步尝试]∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：； [灵活运用]∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 9．在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______． 【答案】（1）；（2），理由见详解；（3）5 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积，即可变形为； （3）由（1）（2）结论可知：，代入数值求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）发现：， 理由：图2中图形的面积， ， ， ； （3）在直角中，，三边分别为、、， 由（1）（2）结论可知：， ，， ， ； 9．通过对完全平方公式：的学习，我们可以将完全平方公式经过适当的变形，来解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边作正方形且边长分别为、，设，两正方形的面积之和，求三角形的面积． 【答案】(1)4 (2)3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可求解； （2）根据题目要求正方形的四条边都相等，可得，，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 1．已知．求的值． 【答案】52 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知，，求①和②的值； 【答案】①1；②13 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用．利用两边平方，求出，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴； ． 3．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)15 (2)11 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用，代数式求值． （1）将原式变形为，再将式子的值代入即可求解； （2）由（1）得，将原式变形为，再将式子的值代入即可求解． 将原式变形为已知的形式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴． 4．已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开得出，，两式相加即可求出的值． （2）两式相减即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ，， 两式相加得：， ． （2）解：，， 两式相减得：， ． 5．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)3 (2)6 (3)8 【分析】本题主要考查代数式的求值，完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用与完全平方公式． （1）把原式去括号变形，将，的值代入计算即可； （2）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得； （3）利用完全平方公式把原式变形，将，的值代入计算可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 6．阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式的计算是关键． （1）根据材料提示，结合完全平方公式的变形计算即可； （2）运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据所给多项式可确定两平方项为，则可确定一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴， 故答案为：． 2．若是完全平方式，则m的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征，比较系数求解即可． 【详解】解：由于是完全平方式， ①， 则，即， ②， 则，即， 因此，m的值为1或， 故答案为：1或． 3．已知是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查完全平方式公式，掌握完全平方式是解题的关键． 根据完全平方公式的结构特征，比较系数求解即可． 【详解】∵是一个完全平方式， 假设其完全平方式为， 则 则，解得，所以， 故答案为：16． 4．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．运用完全平方公式求出对照求解即可． 【详解】解：由， ∴被墨水遮住的部分为， 故答案为：． 1．下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 2．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的概念，根据完全平方式的形式求解即可． 【详解】解：∵，且是一个完全平方式， ∴， 故选：C． 3．已知，则的值为（   ） A．39 B．29 C．69 D．49 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握． 利用完全平方公式的变形，得到，直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 4．的计算结果是（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，通过观察数字关系，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：∵， ∴， 故选A 5．如图，将甲图中的阴影部分无重叠、无缝隙拼成乙图，根据两个图形中阴影部分面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式与图形，解决本题的关键是利用数形结合思想．分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等列式即可． 【详解】解：如图，阴影部分的面积是， 阴影部分的面积可以看作边长为a的正方形的面积减去2个长为，宽为b的长方形的面积，再加上边长为b的小正方形的面积， ∴阴影部分的面积为， ∴． 故选：C． 6．已知整式，整式．若是完全平方式，则a的值（） A． B．1 C．1或 D．或7 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键． 先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得值即可； 【详解】解： ， 为完全平方式 ， 或； 故选C． 7．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． 【详解】（1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 8．如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，掌握根据图形准确列式，并灵活运用完全平方公式进行变式应用是关键． （1）由观察图可得两种方法表示出图的总面积为和，关于，的等式； （2）由题意得，，两个等式作差可求得此题结果； （3）由题意得，从而可解得此题结果； 【详解】（1）解∶用两种方法表示出图的总面积为和 ， 关于，的等式， 故答案为：， ，； （2）根据题意，得：，， ； （3）根据题意，得图中阴影部分的面积为 ， 当，时， 图中阴影部分的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式（六大题型） 【题型1: 平方差公式运算】.................................................................................................1 【题型2:平方差公式的几何背景】........................................................................................2 【题型3:完全平方公式】.......................................................................................................5 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】.............................................................................5 【题型5: 完全平方公式变形求值】......................................................................................10 【题型6 求完全平方式中的字母系数】................................................................................11 【题型1: 平方差公式运算】. 1．计算： 2．利用平方差公式计算： (1)． (2)． (3)． 3．运用平方差公式计算： （1）；（2）． 4．用乘法公式计算：． 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2:平方差公式的几何背景】 1．如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（   ） A． B． C． D． 2．图①是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割、剪拼，得到如图②所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积验证了一个乘法公式，则这个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形中，摆放着正方形（点在上）和正方形（点在上），延长交于点．设正方形和正方形的边长分别为a、b，若，，则长方形的面积等于（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 4．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)请表示图①中阴影部分的面积； (2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图②所示，请你表示出它的面积； (3)比较（1）（2）的结果，你能发现什么结论？ 5．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是____． A．        B．        C． (2)请你运用从（1）中得到的等式，进行简便计算：． 6．如图，将一个边长为a的正方形，剪掉一个边长为b的小正方形后，剩余部分沿对角线分成I 和 II 两部分，剪开后的 I 和 Ⅱ 可以拼成一个长方形． (1)以上操作过程可以验证的乘法公式是___________ ．（填正确选项的字母代号） A．    B．   C． (2)利用（1）中的结论，求的值． 7．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．    (1)上述操作能验证的等式是______； A．    B． C．    D． (2)应用你从（1）得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【题型3:完全平方公式】 1． 2．计算： ． 3． ． 4．计算： ． 5．若，则的值为 ． 6． ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 1．如图，用四个完全相同的长方形拼成一个正方形．可以用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，则由列出的代数式能得到的等式是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．如图所示，通过图形拆分计算面积可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 3．现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片9张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)图2的阴影部分的正方形的边长是___________． (2)用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】___________； 【方法2】___________； (3)观察图2，写出，，这三个代数式之间的等量关系：___________； (4)根据（3）题中的等量关系，解决问题：若，，求的值． 5．图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②拼成一个正方形． (1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法一：________________； 方法二：________________． (2)观察图②，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 6．如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． (1)由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是 ； (2)根据（1）中的结论，解决下列问题： ①两个正方形，如图3摆放，边长分别为．若，，求的值； ②求图中阴影部分的面积和． 7．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②直接写出三个代数式之间的等量关系______； (2)应用：如图③，两个正方形的边长分别为a，b．若，请运用（1）中的关系式计算图中阴影部分的面积为______． (3)拓展延伸：若，求的值． 8．在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 9．在学习第八章“整式乘法与因式分解”这一章内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：______； （2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）在直角中，，三边分别为a、b、c，，，直接写出c的值为______． 9．通过对完全平方公式：的学习，我们可以将完全平方公式经过适当的变形，来解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ∴，， ∴， ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，是线段上的一点，分别以，为边作正方形且边长分别为、，设，两正方形的面积之和，求三角形的面积． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 1．已知．求的值． 2．已知，，求①和②的值； 3．已知，，求： (1)的值； (2)的值． 4．已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 5．已知，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3) 6．阅读理解： 已知，，求的值． 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， 参考上述过程解答： (1)若，．求和的值； (2)已知，，求的值． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 1．已知多项式是完全平方式，则m的值为 ． 2．若是完全平方式，则m的值为 ． 3．已知是一个完全平方式，则的值为 ． 4．某同学在利用完全平方公式进行整式乘法计算时，不小心将墨水滴在了结果上，那么结果“”中被墨水遮住的部分可能是 ． 1．下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．若是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．8 B． C． D． 3．已知，则的值为（   ） A．39 B．29 C．69 D．49 4．的计算结果是（    ） A．1 B． C．0 D． 5．如图，将甲图中的阴影部分无重叠、无缝隙拼成乙图，根据两个图形中阴影部分面积关系得到的等式是（    ） A． B． C． D． 6．已知整式，整式．若是完全平方式，则a的值（） A． B．1 C．1或 D．或7 7．图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 8．如图，有型、型、型三种不同形状的纸板，型是边长为的正方形，型是边长为的正方形，型是长为，宽为 的长方形．现用型纸板一张，型纸板一张，型纸板两张拼成如图 的大正方形． (1)观察图，请你用两种方法表示出图的总面积． 方法∶ ； 方法∶ ； 请利用图的面积表示方法，写出一个关于，的等式： ． (2)已知图的总面积为，一张型纸板和一张型纸板的面积之和为，求 的值； (3)用一张型纸板和一张型纸板拼成图所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $