第03讲 乘法公式（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年北师大版七年级数学下册《知识解读·题型专练》

本讲义聚焦乘法公式核心知识点，系统梳理平方差公式、完全平方公式的推导过程，从结构特征识别切入，逐步延伸至正向应用、逆向变形及与整式加减、幂运算的混合运算，构建“推导-识别-应用-拓展”的学习支架。 资料特色在于融入几何直观（数学眼光），通过图形面积验证公式（如正方形剪拼推导平方差公式），设计变式训练与逆向应用题型（如已知a+b和ab求a²+b²）培养推理能力（数学思维），课中辅助教师突破公式识别、中间项处理等难点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

第02讲 乘法公式 考点1：平方差公式的识别与正向应用 考点2：完全平方公式的识别与正向应用 考点3：公式的混合运算与化简求值 考点4：公式的拓展应用 重点： 1.平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 2.公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 3.公式与整式加减、幂运算的混合运算。 难点： （1）公式的准确识别 ①混淆平方差公式与完全平方公式 ②处理含负号、系数不为1的多项式时，无法快速识别“相同项”“相反项”或“首项、尾项” （2）完全平方公式的中间项处理 ①漏乘 ②“2”符号错误 （3）公式的逆向与综合应用 ①无法根据已知条件灵活变形公式 ②混合运算中，顺序错误（应先算乘方、乘法，再算加减） 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 知识点1：平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1: 平方差公式运算】. 【典例1】计算： (1) ； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式的运算， （1）根据平方差公式直接计算即可； （2）根据平方差公式直接计算即可； （3）根据平方差公式直接计算即可； （4）根据平方差公式直接计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据平方差公式对每个选项逐一判断即可． 【详解】A、可以用平方差公式，故此选项符合题意； B、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； C、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； D、前后两个因式中没有相同项，不能用平方差公式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】已知，则=（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 利用平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式：． 根据平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型2:平方差公式的几何背景】 【典例2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了平方差公式在几何图形中的应用，掌握图形面积的不同求法是解题关键． （1）根据图中阴影部分面积的不同计算方式即可求解； （2）由（1）中所得结论即可求解． 【详解】（1）解：由左图可知：阴影部分的面积； 由右图可知：阴影部分的面积； 故可以验证的等式是B 故答案为：B （2）解：， 由（1）知， ， ∴ 【变式1】从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式分解因式，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）根据题意，将前后两个图形的阴影面积表示出来即可； （2）由，可得，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：图1中，边长为a的正方形的面积为：， 边长为b的正方形的面积为：， ∴图1 的阴影部分面积为：， 图2中长方形的长为：， 长方形的宽为：， ∴图2长方形的面积为：， ∴验证的等式是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)， (2) (3)①4；②750000 【分析】本题考查平方差公式的应用，代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据图像利用长方形与正方形的面积公式进行列式即可； （2）根据和的面积相等可以验证平方差公式； （3）利用平方差公式进行变形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得： ，． （2）以上结果可以验证的乘法公式是． （3）①，， ． ② ． 【变式3】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 知识点2：完全平方公式 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 。 【题型3:完全平方公式】 【典例3】 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式．直接利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】运用乘法公式计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，直接根据完全平方公式进行计算即可. 【详解】解：； 故答案为： 【变式3】利用因式分解计算： ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的运用，将原式化简为，即可利用完全平方公式求解． 【详解】解： 故答案为： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 【典例4】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． 【变式1】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； (3)根据（2）中的结论，若，求． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式乘多项式等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察图形，根据正方形的面积等于边长的平方，即可作答． （2）观察图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积，列式计算，即可作答． （3）由（2）的结论得到，再把代入即可求得的值． 【详解】（1）解：依题意，阴影部分是小正方形，且边长为， ∴图2中的阴影部分的面积为， 故答案为：； （2）解：结合图形，大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个小长方形的面积， 即， 故答案为：； （3）解 【变式2】合探究． 把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【答案】（1）①；②；（2）（，见解析；（3）①；②1 【分析】此题考查完全平方公式的几何背景，利用面积、边的关系建立等量关系是解决问题的关键． （1）①观察图形，可得图中大正方形的边长为，每一块长方形木板的长为a，宽为b，根据正方形的面积边长的平方，长方形的面积长宽即可求解； ②观察图形，可得图中空心部分的正方形边长为，根据正方形的面积边长的平方即可求解； （2）根据利用（1）中结论代值求解即可； （3）利用完全平方公式及（1）中结论求解即可． 【详解】解：（1）①由图知，大正方形面积减去四块木板的面积为， ②用空心部分的正方形边长的平方表示为：， 故答案为：，； （2）， 证明：∵左边， 右边，左边右边， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∴． ②∵ ，，， ∴ ∴． 【变式3】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则_____； (2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)20； (2)7 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的定义是关键． （1）根据化简求解即可得到答案； （2）根据化简求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：20； （2）解：， ， ， 四边形，是正方形，， ，， ， 即：， ． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 【典例5】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)32 (2)28 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式的变形． （1）由题意知，代值求解即可； （2）由题意知，代值求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【变式1】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解： ． 【变式2】已知，．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式得再把两式子相加，进行计算即可． （2）根据完全平方公式得再把两式子相减，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 上两式子相加得， ∴． （2）解：∵，， ∴ 上两式子相减得， ∴． 【变式3】已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，掌握完全平方公式是关键． （1）根据完全平方公式的变形计算，代入计算即可； （2）根据完全平方公式的变形计算，代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【典例6】如果是完全平方式，那么m的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求完全平方式中的字母系数，根据完全平方式的定义，将表达式与标准形式比较系数求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式，根据完全平方式的结构特点，首项是x的平方，末项， ∴中间项， ∴ ． 故选：C． 【变式1】若是一个完全平方公式，则的值是（   ） A．4 B． C．或4 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了求完全平方公式中的系数，利用完全平方公式的形式，比较系数求解即可． 【详解】解：∵ 是完全平方公式， ∴ 或， 故选C． 【变式2】若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方式的特点是关键；根据完全平方式的定义，比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，则； 当时，则； ∴或． 故选：D． 【变式3】如果是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．9 B．6 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】题目主要考查完全平方公式的计算，熟练掌握是解题关键． 根据完全平方公式，表达式应匹配 的形式，通过比较系数求出 ，再根据常数项关系解出． 【详解】解：∵ 是完全平方式， ∴设 ， 比较系数，得 ， ∴ ， 又 ， ∴，即， ∴， 故选：D． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．运用乘法公式计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查的知识点是完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 原式利用完全平方公式化简即可得到结果． 【详解】 解：原式． 故选：． 3．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的特征：两数和与这两数差相乘可使用平方差公式，形如，即可得出答案． 【详解】解：A．，能用平方差公式，故本选项符合题意； B．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D．，显然不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意． 故选：A． 4．已知关于x的二次三项式可以写成一个完全平方式，则k的值是（   ） A． B．36 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查的是完全平方式的字母系数．根据一次项系数以及完全平方式确定k值即可． 【详解】解：∵的二次三项式可以写成一个完全平方式， ∴， 故选：D． 5．若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将代数式变形为，把，，代入计算即可得到答案． 【详解】解： ，， ， 故选：B ． 6．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式，利用正方形的面积公式即可得出结论，本题验证了平方差公式的几何意义． 【详解】第一个图中阴影部分的面积为，第二个图中阴影部分的面积为，由两个图中的阴影部分面积相等得到恒等式， 故选：A． 7．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 先将原式变形为，再根据平方差公式进行简便计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 8．已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得，进而推出，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∴， ∴， 故选：C． 9．如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，设，，则，，再利用三角形面积公式分别用代数式表示两个阴影三角形的面积和，再根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：设，，则，， 所以 ． 故选：C． 10．填空：（ ）． 【答案】/ 【分析】本题考查的是平方差公式，掌握平方差公式是解题关键，根据平方差公式直接解决问题即可． 【详解】解：， 故答案为：． 11．已知：，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 根据完全平方公式把展开后，把，代入计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故答案为：9． 12．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积的计算，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据题意，大正方形的边长为，其面积等于，等于边长为的正方形的面积加上长、宽为的两个长方形的面积加上边长为的正方形的面积，由此即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 13．计算： 【答案】1 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算单项式乘以多项式，完全平方公式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，牢记公式的形式是解题关键． 分别运用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可． 【详解】解： ． 15．先化简．再求值：，其中． 【答案】，42 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式及整式的加减运算，熟练掌握公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开式子，再合并同类项化简，最后代入数值计算． 【详解】解： ， 当，时，原式． 16．若已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)8； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①，②， ①②得：， 则． （2）①②得：， 即． 17．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题考查了完全平方公式，灵活运用该公式是解决本题的关键． （1）图中阴影部分面积=大正方形的面积减去两个长方形的面积，阴影部分的面积=两个正方形的面积和，即可得到等式； （2）①根据（1）中的公式，将，代入即可；②令，根据（1）中的公式，将代入即可． 【详解】（1）解：图（b）中阴影部分的面积，图b中阴影部分的面积， ∴等式为； （2）①由（1）知，， 当时，， 解得：； ②令， ∴， ， ， ， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 乘法公式 考点1：平方差公式的识别与正向应用 考点2：完全平方公式的识别与正向应用 考点3：公式的混合运算与化简求值 考点4：公式的拓展应用 重点： 1.平方差公式、完全平方公式的结构特征与正向应用。 2.公式的逆向应用（尤其是求值问题中，利用公式变形简化计算）。 3.公式与整式加减、幂运算的混合运算。 难点： （1）公式的准确识别 ①混淆平方差公式与完全平方公式 ②处理含负号、系数不为1的多项式时，无法快速识别“相同项”“相反项”或“首项、尾项” （2）完全平方公式的中间项处理 ①漏乘 ②“2”符号错误 （3）公式的逆向与综合应用 ①无法根据已知条件灵活变形公式 ②混合运算中，顺序错误（应先算乘方、乘法，再算加减） 1.能通过多项式乘法推导平方差公式和完全平方公式，说出公式的结构特征。 2.能准确识别平方差公式、完全平方公式的适用场景，正向完成基础运算，做到符号正确、不遗漏项。 3.能结合同类项合并，完成两步以内的公式简单应用，结果格式规范 知识点1：平方差 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 2.平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 【题型1: 平方差公式运算】. 【典例1】计算： (1) ； (2) (3)； (4)． 【变式1】下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则=（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【变式3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【题型2:平方差公式的几何背景】 【典例2】如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．    (1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是______； A． B． C． D． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知：，，求的值； 【变式1】从边长为a的正方形上剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)已知，，求的值． 【变式2】将边长为的正方形的左上角剪掉一个边长为的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）． (1)设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，请用含、的式子表示和； (2)用上面的结果可以验证哪个乘法公式？ (3)利用（2）中得到的公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【变式3】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 知识点2：完全平方公式 1.完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 2.拓展、补充公式 ；； ；. 。 【题型3:完全平方公式】 【典例3】 ． 【变式1】计算 ． 【变式2】运用乘法公式计算的结果是 ． 【变式3】利用因式分解计算： ． 【题型4: 完全平方公式下的几何背景】 【典例4】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【变式1】如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． (1)图2中的阴影部分的面积为_______；（用a、b的代数式表示） (2)观察图2请你写出、、之间的等量关系是_______； (3)根据（2）中的结论，若，求． 【变式2】合探究． 把四块长为a、宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题： 【初步概括】（1）按要求用含a，b的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简，保留原式）： ①用大正方形面积减去四块木板的面积表示： ； ②直接用空心部分的正方形边长的平方表示： ； 【深入总结】（2）由（1）可得等式： ，并证明你的结论； 【应用拓展】（3）根据（2）中的等式，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，，求的值． 【变式3】根据下列条件，解决下列问题： (1)若，，则_____； (2)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【题型5: 完全平方公式变形求值】 【典例5】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【变式1】已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【变式2】已知，．求： (1)； (2)的值． 【变式3】已知，，求下列式子的值： (1)； (2)． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【典例6】如果是完全平方式，那么m的值为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】若是一个完全平方公式，则的值是（   ） A．4 B． C．或4 D．2或 【变式2】若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【变式3】如果是一个完全平方式，那么m的值是（ ） A．9 B．6 C．3 D．3或 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．运用乘法公式计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3．在下列式子中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的二次三项式可以写成一个完全平方式，则k的值是（   ） A． B．36 C． D．9 5．若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证了一个等式（　　） A． B． C． D． 7．计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D．2026 8．已知，，则（   ）． A． B．24 C． D．12 9.如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，连接，，，，点A，E，B在同一条直线上，点C，B，D在同一条直线上，则阴影部分的面积是（  ） A．12 B．18 C．24 D．30 10．填空：（ ）． 11．已知：，，则 ． 12．观察下面图形，你能利用图中面积的相等关系写出一个你熟悉的公式吗？ 答： ． 13．计算： 14．计算：． 15．先化简．再求值：，其中． 16．若已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．【阅读材料】我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题． 在一次数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片1张，乙种纸片1张，丙种纸片2张拼成了如图（b）所示的一个大正方形． (1)理解应用：观察图（b），用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式 ； (2)拓展升华：利用上面的等式解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $