（新课衔接）第二单元 第1节 比例的认识（探索新知+二大重点难点题型讲练+难度分层训练 共28题）-2026年北师大版数学六年级寒假学习讲义

第二单元 比例 第1节 比例的认识 【原卷版】 探索新知 1 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 2 【新知学习二：探究比例的基本性质】 4 重点难点题型讲练 5 题型一：比例的意义 5 题型二：比例的基本性质 5 难度分层训练 6 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 6 能力提升练（共10题 限时15分钟） 7 【学习目标】 1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”等情境，找到相等的比，理解比例的意义，认识比例各部分名称，能通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。 2.通过观察、计算，发现并理解“比例中两个内项的积等于两个外项的积”并能根据这一规律判断两个比能否组成比例。 3.经历观察比较、自主探究等活动提高分析和概括能力。 【重点难点】 重点:比例的基本性质，应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 难点:应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 【新旧知识链】求比值 小红有6张画片，小明有21张画片，小红的画数量片与小明的画片的比是多少? 6:21=( ) 组成比例 4:6和8：12是否能组成比例? 因为4：6=,8：12=，所以4：6和 8:12( )组成比例，即4：6=（ ： )。 【新知引入】 1. 什么叫作比？ 两个数相除又叫两个数的比。 2. 什么叫作比值？ 比的前项除以比的后项所得的商，叫作比值。 3. 什么叫作比的基本性质？ 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外），比值不变。 4.求下列比的比值 4∶5＝（ ） ：=（ ） 0.5∶0.7＝（ ） 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 【例1】请同学们联系比的知识，再想一想，怎样的两张图片像？ 请你写出每张照片的长和宽的比，并求出比值。 A: 6∶4= B: 3∶2= C: 8∶3= D: 12∶8= E: 12∶2= 比相等的图像，比不相等的图不像。如A和D两张图片， 长与长、 宽与宽的比相等， 6∶12＝4∶8 ， 所以就像。 请写出图A、图B中长与宽的比，图A与图D的长与长、 宽与宽的比，并求出比值。 图A与图B长与长、宽与宽的比：6 ∶3＝2 4∶2=2 图A与图D长与长、宽与宽的比： 6∶12 ＝      4∶8 = 自学要求： ★( )叫做比例的项 ★( )叫做比例的外项 ★( )叫做比例的内项 ★12和4是（ ）项；（ ）和（ ）是内项。 ★把12∶6＝8∶4写成分数形式（ ），（ ） 和（ ）内项。 像12∶6＝8∶4，6∶4＝3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。 12∶6＝8∶4，也可以写成 。 右表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况，根据比例的意义，你能写出比例吗？写一写。 10∶ 2＝ 15∶ 3，这两个比化简后都是5∶ 1。 两杯水一样甜。 3∶ 2和15∶ 10两个比的比值都是1.5， 所以3∶ 2＝ 15∶ 10。 比和比例相同吗？有什么区别？ 【新知学习二：探究比例的基本性质】 【例2】写出上节课学习的几个比例，仔细观察，你会有新的发现。 12×4=6×8； 6×2=3×4； 3×10=2×15； 10×3=15×2。 两个内项积和两个外项积相等 淘气的发现你同意吗？再写几个比例验证一下 在比例中，两个外项积和两个内项积相等。这就是比例的基本性质。 题型一：比例的意义 【例1】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）下面（    ）中的两个比能组成一个比例。 A．8∶7和14∶16 B．0.6∶0.2和9∶3 C．19∶11和10∶7 D．6∶7和 【变式1】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下面（    ）组两个比不能组成比例。 A．和7∶0.9 B．和 C．7∶8和14∶16 D．5∶2.5和1∶0.5 【变式2】（2024·辽宁营口·小升初真题）用12个边长为1cm的小正方形可以拼成( )种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例为( )。 【变式3】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）下面哪组的两个比可以组成比例。（    ） A．12∶18和8∶16 B．0.2∶0.5和5∶7.5 C．和 D．3∶4和5∶10 题型二：比例的基本性质 【例2】（2025·陕西榆林·小升初真题）一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 【变式1】（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【变式2】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）下面四组数中，能组成比例的是（    ）。 A．2、4、6、8 B．5、9、12、20 C．0.6、1.2、、2 D．、、24、16 【变式3】（24-25六年级下·广东深圳·期中）如果，那么( )∶( )。 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 1．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）下面各比中，能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．8∶3 B． C．30∶80 D．6∶11 2．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）根据ab＝df，下面组成的比例错误的是（    ）。 A．d∶b＝a∶f B．f∶a＝b∶d C．b∶f＝a∶d D．a∶d＝f∶b 3．（24-25六年级下·广东茂名·期中）把1.6a＝4b改写成比例，正确的是（    ）。 A．1.6∶a＝4∶b B．a∶4＝1.6∶b C．1.6∶4＝b∶a D．4∶1.6＝b∶a 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）在10∶2＝25∶5中，( )和( )是比例的内项。 5．（24-25六年级下·广西贺州·期中）根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 6．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）3，4，12，9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的一个內项，那么这个比例可以写成( )；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成( )。 7．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）比例8∶3＝24∶9的内项是3和24。( )（判断对错） 8．（24-25六年级下·陕西西安·期末）∶3＝∶6可以组成比例。( )（判断对错） 9．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和            （2）1.1∶0.6和5.5∶3 （3）6∶7和9∶12                 （4）2.4∶5.1和8∶17 10．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）（1）写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ （2）写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ 能力提升练（共10题 限时15分钟） 1．（2025六年级下·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。③大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。⑤如果、都不为0，如果，那么。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·四川成都·小升初真题）能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 3．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）如果a∶＝16∶b，那么ab＝( )；如果5a＝3b（a，b均不为0），那么a∶b＝( )：( )。 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果（m，n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 5．（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外项是3。( )（判断对错） 6．（2025·广东湛江·小升初真题）若（a，b均不为0），则a∶b＝3∶4。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 8．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）根据比例的内项与外项积的关系，判断下面哪组中的两个比可以组成比例？并将组成的比例写出来。 （1）3∶5和6∶7          （2）0.8∶1.2和12∶18 （3）4.5∶5和      （4）和 9．（22-23六年级下·广西桂林·期中）判断下面的比是否能组成比例，并将能组成比例的写出来。 0.3∶0.2和45∶30            50∶40和4∶5           ∶4和2∶5 10．（20-21六年级下·陕西渭南·期中）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例。把组成的比例写出来。 6∶9和9∶12                     1.4∶2和∶1 和2.4∶2.5                 和 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例 第1节 比例的认识 【解析版】 探索新知 1 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 2 【新知学习二：探究比例的基本性质】 4 重点难点题型讲练 5 题型一：比例的意义 5 题型二：比例的基本性质 8 难度分层训练 10 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 10 能力提升练（共10题 限时15分钟） 15 【学习目标】 1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”等情境，找到相等的比，理解比例的意义，认识比例各部分名称，能通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。 2.通过观察、计算，发现并理解“比例中两个内项的积等于两个外项的积”并能根据这一规律判断两个比能否组成比例。 3.经历观察比较、自主探究等活动提高分析和概括能力。 【重点难点】 重点:比例的基本性质，应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 难点:应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 【新旧知识链】 组成比例 4:6和8：12是否能组成比例? 因为4：6=,8：12=，所以4：6和 8:12( )组成比例，即4：6=（ ： )。 求比值 小红有6张画片，小明有21张画片，小红的画数量片与小明的画片的比是多少? 6:21=( ) 【新知引入】 1. 什么叫作比？ 两个数相除又叫两个数的比。 2. 什么叫作比值？ 比的前项除以比的后项所得的商，叫作比值。 3. 什么叫作比的基本性质？ 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外），比值不变。 4.求下列比的比值 4∶5＝（ ） ：=（ ） 0.5∶0.7＝（ ） 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 【例1】请同学们联系比的知识，再想一想，怎样的两张图片像？ 请你写出每张照片的长和宽的比，并求出比值。 A: 6∶4= B: 3∶2= C: 8∶3= D: 12∶8= E: 12∶2= 比相等的图像，比不相等的图不像。如A和D两张图片， 长与长、 宽与宽的比相等， 6∶12＝4∶8 ， 所以就像。 请写出图A、图B中长与宽的比，图A与图D的长与长、 宽与宽的比，并求出比值。 图A与图B长与长、宽与宽的比：6 ∶3＝2 4∶2=2 图A与图D长与长、宽与宽的比： 6∶12 ＝      4∶8 = 自学要求： ★( )叫做比例的项 ★( )叫做比例的外项 ★( )叫做比例的内项 ★12和4是（ ）项；（ ）和（ ）是内项。 ★把12∶6＝8∶4写成分数形式（ ），（ ） 和（ ）内项。 像12∶6＝8∶4，6∶4＝3∶2这样表示两个比相等的式子叫作比例。 12∶6＝8∶4，也可以写成 。 右表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况，根据比例的意义，你能写出比例吗？写一写。 10∶ 2＝ 15∶ 3，这两个比化简后都是5∶ 1。 两杯水一样甜。 3∶ 2和15∶ 10两个比的比值都是1.5， 所以3∶ 2＝ 15∶ 10。 比和比例相同吗？有什么区别？ 【新知学习二：探究比例的基本性质】 【例2】写出上节课学习的几个比例，仔细观察，你会有新的发现。 12×4=6×8； 6×2=3×4； 3×10=2×15； 10×3=15×2。 两个内项积和两个外项积相等 淘气的发现你同意吗？再写几个比例验证一下 在比例中，两个外项积和两个内项积相等。这就是比例的基本性质。 题型一：比例的意义 【例1】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）下面（    ）中的两个比能组成一个比例。 A．8∶7和14∶16 B．0.6∶0.2和9∶3 C．19∶11和10∶7 D．6∶7和 【答案】B 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出各选项中两个比的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【完整解答】A．8∶7＝8÷7＝ 14∶16＝14÷16＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； B．0.6∶0.2＝0.6÷0.2＝3 9∶3＝9÷3＝3 3＝3，比值相等，能组成比例； C．19∶11＝19÷11＝ 10∶7＝10÷7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例； D．6∶7＝6÷7＝ ∶＝÷＝×7＝ ≠，比值不相等，不能组成比例。 故答案为：B 【变式1】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）下面（    ）组两个比不能组成比例。 A．和7∶0.9 B．和 C．7∶8和14∶16 D．5∶2.5和1∶0.5 【答案】A 【思路引导】判断两个比是否能组成比例，根据比与除法的关系计算每组中两个比的比值，来判断是否能组成比例，比值相等则能组成比例，反之则不能，据此计算解答即可。 【完整解答】A．，，因为不等于，所以这两个比不能组成比例。 B．，，所以这两个比能组成比例。 C．，，所以这两个比能组成比例。 D．5∶2.5＝5÷2.5＝2，1∶0.5＝1÷0.5＝2，所以这两个比能组成比例。 所以选项A中的两个比不能组成比例。 故答案为：A 【变式2】（2024·辽宁营口·小升初真题）用12个边长为1cm的小正方形可以拼成( )种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有( )，选择其中的四个数组成一个比例为( )。 【答案】 3 1、2、3、4、6、12 1∶3＝4∶12 【思路引导】边长是1cm的小正方形面积是1cm2，长方形的面积＝1×12＝12cm2；根据长方形面积公式：面积＝长×宽；即长×宽＝12，又因为长和宽都是整厘米数，所以12＝12×1；12＝6×2；12＝4×3；据此可知拼成的长方形有几种； 根据找一个数的因数的方法：列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组的写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 再根据比例的意义：表示两个比值相等的式子，叫做比例，据此写出一个比例（答案不唯一）。 【完整解答】12＝12×1＝6×2＝4×3 长方形的长是12cm，宽是1cm； 长方形的长是6cm，宽是2cm； 长方形的长是4cm，宽是3cm。 一共有3种不同形状的长方形。 12＝12×1＝6×2＝4×3 12的因数有1，2，3，4，6，12。 1∶3＝4∶12 用12个边长为1cm的小正方形可以拼成3种形状不同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有1，2，3，4，6，12，选择其中的四个数组成一个比例为1∶3＝4∶12。 【变式3】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）下面哪组的两个比可以组成比例。（    ） A．12∶18和8∶16 B．0.2∶0.5和5∶7.5 C．和 D．3∶4和5∶10 【答案】C 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。 【完整解答】A．12∶18 ＝12÷18 ＝ 8∶16 ＝8÷16 ＝ 因为≠，所以12∶18和8∶16不能组成比例。 B．0.2∶0.5 ＝0.2÷0.5 ＝2÷5 ＝ 5∶7.5 ＝5÷7.5 ＝50÷75 ＝ 因为≠，所以0.2∶0.5和5∶7.5不能组成比例。 C． ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 因为＝，所以和能组成比例。 D．3∶4 ＝3÷4 ＝ 5∶10 ＝5÷10 ＝ 因为≠，所以3∶4和5∶10不能组成比例。 故答案为：C 题型二：比例的基本性质 【例2】（2025·陕西榆林·小升初真题）一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），则另一个外项是( )。 【答案】/0.25 【思路引导】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，最小的合数是4，整数的倒数是这个整数分之一，据此确定另一个外项。 【完整解答】一个比例中，两个内项互为倒数，已知其中一个外项是最小的合数（在自然数中），根据分析，则另一个外项是。 【变式1】（24-25六年级下·广东清远·期中）希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 【答案】A 【思路引导】根据“参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多”可得出等式：人工智能科创人数×＝美术社团人数×；再根据比例的基本性质把它改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【完整解答】人工智能科创人数×＝美术社团人数× 人工智能科创人数∶美术社团人数＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶5 则人工智能科创人数∶美术社团人数＝2∶5。 故答案为：A 【变式2】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）下面四组数中，能组成比例的是（    ）。 A．2、4、6、8 B．5、9、12、20 C．0.6、1.2、、2 D．、、24、16 【答案】D 【思路引导】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫作比例的基本性质。据此逐项判断每组中，较大数与较小数的乘积与另两个数的乘积是否相等。若相等，即可组成比例。 【完整解答】A．2×8≠4×6，所以2、4、6、8不能组成比例；该选项不符合题意。 B．5×20≠9×12，所以5、9、12、20不能组成比例；该选项不符合题意。 C．0.6×2≠1.2×，所以0.6、1.2、、2不能组成比例；该选项不符合题意。 D．×24＝×16，所以、、24、16能组成比例。该选项符合题意。 故答案为：D 【变式3】（24-25六年级下·广东深圳·期中）如果，那么( )∶( )。 【答案】 1 2 【思路引导】根据比例的基本性质，将等式转化为比例式，再通过化简比的方法求出结果。 【完整解答】由，根据比例的基本性质可得： 如果，那么。 基础夯实练（共10题 限时10分钟） 1．（24-25六年级下·陕西汉中·期末）下面各比中，能与3∶8组成比例的是（    ）。 A．8∶3 B． C．30∶80 D．6∶11 【答案】C 【思路引导】分别求出题干3∶8以及各个选项比的比值，若比值相等，则能组成比例。比值的计算方法是比的前项除以后项，据此回答。 【完整解答】3∶8＝3÷8＝ A．8∶3＝8÷3＝，不等于，该选项错误； B． ∶＝÷＝×2＝，不等于，该选项错误； C．30∶80＝30÷80＝＝，与相等，该选项正确； D．6∶11＝6÷11＝，与不相等，该选项错误。 所以能与3∶8组成比例的是30∶80。 故答案为：C 2．（24-25六年级下·安徽淮北·期中）根据ab＝df，下面组成的比例错误的是（    ）。 A．d∶b＝a∶f B．f∶a＝b∶d C．b∶f＝a∶d D．a∶d＝f∶b 【答案】C 【思路引导】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，把各选项的比例式改写成两数相乘的形式，找出与ab＝df不一样的等式，即是错误的比例。 【完整解答】A．d∶b＝a∶f可得出：ab＝df，符合题意，比例正确； B．f∶a＝b∶d可得出：ab＝df，符合题意，比例正确； C．b∶f＝a∶d可得出：af＝bd，不符合题意，比例错误； D．a∶d＝f∶b可得出：ab＝df，符合题意，比例正确。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东茂名·期中）把1.6a＝4b改写成比例，正确的是（    ）。 A．1.6∶a＝4∶b B．a∶4＝1.6∶b C．1.6∶4＝b∶a D．4∶1.6＝b∶a 【答案】C 【思路引导】在比例中，两个内项的乘积等于两个外项的乘积，分别求出各选项中两个内项的乘积和两个外项的乘积，即可求得。 【完整解答】A．由比例的基本性质可知，1.6∶a＝4∶b，则1.6b＝4a，不符合题意； B．由比例的基本性质可知，a∶4＝1.6∶b，则ab＝1.6×4，不符合题意； C．由比例的基本性质可知，1.6∶4＝b∶a，则1.6a＝4b，符合题意； D．由比例的基本性质可知，4∶1.6＝b∶a，则1.6b＝4a，不符合题意。 故答案为：C 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）在10∶2＝25∶5中，( )和( )是比例的内项。 【答案】 2 25 【思路引导】在比例a∶b＝c∶d中（b，d不为0），中间的两项（b和c）叫做比例的内项，两端的两项（a和d）叫做比例的外项。对于比例10∶2＝25∶5，两端的项：10和5（外项），中间的项：2和25（内项）。 【完整解答】10∶2＝25∶5，两端的项：10和5是外项，中间的项：2和25是内项。 所以在10∶2＝25∶5中，2和25是内项。 5．（24-25六年级下·广西贺州·期中）根据写出两个不同的比例是：( )和( )。 【答案】 3.6∶1.8＝3∶1.5 1.8∶3.6＝1.5∶3 【思路引导】在比例a∶b＝c∶d中，a和d是外项，b和c是内项，且外项之积等于内项之积，即a×d＝b×c。反过来，若有a×d＝b×c，则可以把a、d作为外项，b、c作为内项组成比例；也可以把a、d作为内项，b、c作为外项组成比例。 对于，把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项，根据比例的基本性质可得：3.6∶1.8＝3∶1.5。如把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项，根据比例的基本性质可得：1.8∶3.6＝1.5∶3。 【完整解答】把3.6和1.5作为外项，1.8和3作为内项。 3.6∶1.8＝3∶1.5 把3.6和1.5作为内项，1.8和3作为外项。 1.8∶3.6＝1.5∶3 根据写出两个不同的比例是：3.6∶1.8＝3∶1.5和1.8∶3.6＝1.5∶3。（答案不唯一） 6．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）3，4，12，9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的一个內项，那么这个比例可以写成( )；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成( )。 【答案】 4∶3＝12∶9 3∶4＝9∶12 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。在比例中，两内项之积等于两外项之间，据此，把3作为内项或外项，写出两个积相等的式子，再写出比例。 【完整解答】3×12＝4×9＝36 可以写成的比例有： 4∶3＝12∶9 9∶3＝12∶4 3∶4＝9∶12 3∶9＝4∶12 3，4，12，9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的一个內项，那么这个比例可以写成（4∶3＝12∶9或9∶3＝12∶4）；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成（3∶4＝9∶12或3∶9＝4∶12）。 7．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）比例8∶3＝24∶9的内项是3和24。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，据此解答。 【完整解答】分析可知，比例8∶3＝24∶9的内项是3和24，外项是8和9，所以原题说法正确。 故答案为：√ 8．（24-25六年级下·陕西西安·期末）∶3＝∶6可以组成比例。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，分别求出∶3与∶6的比值，比值相等的能组成比例；反之，比值不相等的，就不能组成比例。 【完整解答】∶3＝÷3＝×＝ ∶6＝÷6＝×＝     比值相等，∶3＝∶6可以组成比例。原题说法正确。 故答案为：√ 9．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比可以组成比例，并写出组成的比例。 （1）和            （2）1.1∶0.6和5.5∶3 （3）6∶7和9∶12                 （4）2.4∶5.1和8∶17 【答案】（1）；（2）1.1∶0.6＝5.5∶3 （3）不能组成比例；（4）2.4∶5.1＝8∶17 【思路引导】依据比例内项积与外项积的关系（若两个比的内项积等于外项积，则能组成比例），分别计算每组比的内项积和外项积，判断是否相等来确定能否组成比例。 （1）和：内项积：，外项积：。，所以能组成比例。 （2）1.1∶0.6和5.5∶3：内项积：0.6×5.5＝3.3，外项积：1.1×3＝3.3。3.3＝3.3，所以能组成比例。 （3）6∶7和9∶12：内项积：7×9＝63，外项积：6×12＝72。63和72不相等，所以不能组成比例。 （4）2.4∶5.1和8∶17：内项积：5.1×8＝40.8，外项积：2.4×17＝40.8。40.8＝40.8，所以能组成比例。 【完整解答】（1）内项积： 外项积： （2）内项积：0.6×5.5＝3.3 外项积：1.1×3＝3.3 3.3＝3.3 1.1∶0.6＝5.5∶3 （3）内项积：7×9＝63 外项积：6×12＝72 63≠72 不能组成比例。 （4）内项积：5.1×8＝40.8 外项积：2.4×17＝40.8 40.8＝40.8 2.4∶5.1＝8∶17 10．（24-25六年级下·辽宁·随堂练习）（1）写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ （2）写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ 【答案】（1）边长与边长的比1∶2，周长与周长的，1∶2；能 （2）1∶4；不能 【思路引导】（1）分别计算出两个正方形的边长比、周长比，并判断这些比是否能组成比例；如果两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例。 （2）正方形的面积＝边长×边长，据此分别计算出两个正方形的面积，看它们的比值是否等于边长的比，如果相等就能组成比例，否则不能组成比例。 【完整解答】（1）3∶6＝（3÷3）∶（6÷3）＝1∶2＝ 3×4＝12（cm） 6×4＝24（cm） 12∶24＝（12÷12）∶（24÷24）＝1∶2＝ 答：这两个比能组成比例。 3×3＝9（） 6×6＝36（） 9∶36＝（9÷9）∶（36÷9）＝1∶4＝ ≠ 答：这个比与边长之间的比不能组成比例。 能力提升练（共10题 限时15分钟） 1．（2025六年级下·辽宁·专题练习）下列说法中，正确的有（    ）。 ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。③大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。⑤如果、都不为0，如果，那么。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。所有两端都在圆上的线段中，直径最长； 水结成冰，是以水的体积为单位“1”，体积增加，水的体积是11份，那么冰的体积是11＋1＝12份，冰化成水，是以冰为单位“1”，用减少的份数除以总份数即可； 任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数， 我们把它叫做圆周率，用字母π表示，是一个无限不循环小数； 在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴； 根据“积一定，一个因数越小另一个因数就越大”解答；据此分别判断各个说法即可。 【完整解答】①圆内最长的线段是直径。说法正确； ②11＋1＝12 （12－11）÷12 ＝1÷12 ＝ 水结成冰时，冰的体积比水的体积增加，冰化成水时，冰的体积减少。原说法错误； ③大小不同的圆，圆周率都一样。原说法错误； ④如图所示： 无数条对称轴，2条对称轴，1条对称轴，则大小不等的两个圆组成的图形最多有无数条对称轴。原说法错误； ⑤a×＝b× ，则，即a＜b。原说法正确； 说法正确的有①、⑤共2个。 故答案为：B 2．（2025·四川成都·小升初真题）能与∶组成比例的是（    ）。 A．8∶2 B．1∶2 C．∶ D．2∶1 【答案】D 【思路引导】根据比例的意义，若两个比的比值相等，则这两个比可以组成比例，据此逐一分析各项即可。 【完整解答】∶ ＝÷ ＝×8 ＝2 A．8∶2 ＝8÷2 ＝4 4≠2 则8∶2与∶不可以组成比例； B．1∶2 ＝1÷2 ＝ ≠2 则1∶2与∶不可以组成比例； C．∶ ＝÷ ＝×4 ＝ ≠2 则∶与∶不可以组成比例； D．2∶1 ＝2÷1 ＝2 2＝2 则2∶1可以与∶组成比例。 故答案为：D 3．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）如果a∶＝16∶b，那么ab＝( )；如果5a＝3b（a，b均不为0），那么a∶b＝( )：( )。 【答案】 4 3 5 【思路引导】比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积；据此即可解答。 【完整解答】 因为 所以 4．（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如果（m，n都不为0），那么m∶n＝( )∶( )。 【答案】 7 6 【思路引导】根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。已知（m，n都不为0），可得6m＝7n。再将6m＝7n改写成比例形式m∶n，即m和6是外项，n和7是内项。 【完整解答】（m，n都不为0） 6m＝7n m和6是外项，n和7是内项。 所以m∶n＝7∶6。 5．（24-25六年级下·陕西西安·期中）一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外项是3。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。已知两个内项的积是8，其中一个外项是5，用内项积除以已知的一个外项即可求出另一个外项，再判断即可。 【完整解答】8÷5＝1.6 在比例中，两外项之积等于两内项之积。已知两内项积为8，其中一个外项是5，则另一个外项是1.6，原说法错误。 故答案为：× 6．（2025·广东湛江·小升初真题）若（a，b均不为0），则a∶b＝3∶4。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】已知（a，b均不为0），根据比例的基本性质，两内项积等于两外项积，则变为3a＝4b。把a和3看作是外项，b和4看作是内项，由3a＝4b，可得a∶b＝4∶3。 【完整解答】（a，b均不为0） 3a＝4b 把a和3看作是外项，b和4看作是内项。 3a＝4b变为a∶b＝4∶3。 所以a∶b应为4∶3，原说法错误。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 （1）6∶9和8∶12    （2）1.4∶2和4.2∶6    （3）和    （4）和 【答案】（1）（2）（3）；6∶9＝8∶12；1.4∶2＝4.2∶6；＝ 【思路引导】根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，分别计算每组中两个比的内项积和外项积是否相等，进而确定能否组成比例。 （1）6∶9和8∶12，把9和8看作内项，把6和12看作外项。 （2）1.4∶2和4.2∶6，把2和4.2看作内项，把1.4和6看作外项。 （3）和，把和看作内项，把和看作外项。 （4）和，把和看作内项，把和看作外项。 【完整解答】（1）6∶9和8∶12 9×8＝72 6×12＝72 所以6∶9和8∶12能组成比例，比例为6∶9＝8∶12。 （2）1.4∶2和4.2∶6 2×4.2＝8.4 1.4×6＝8.4 所以1.4∶2和4.2∶6能组成比例，比例为1.4∶2＝4.2∶6。 （3）和 所以和能组成比例，比例为＝。 （4）和 即内项积不等于外项积，所以和不能组成比例。 （1）（2）（3）中的比能组成比例，比例为6∶9＝8∶12，1.4∶2＝4.2∶6，＝。 8．（23-24六年级下·陕西榆林·期中）根据比例的内项与外项积的关系，判断下面哪组中的两个比可以组成比例？并将组成的比例写出来。 （1）3∶5和6∶7          （2）0.8∶1.2和12∶18 （3）4.5∶5和     （4）和 【答案】（1）（2）（3）（4）见详解 【思路引导】根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【完整解答】（1）3×7≠5×6，所以3∶5和6∶7不能组成比例； （2）0.8×18＝1.2×12，所以0.8∶1.2和12∶18能组成比例。 （3）4.5×＝5×，4.5∶5和能组成比例。 （4）×≠×，和不能组成比例。 9．（22-23六年级下·广西桂林·期中）判断下面的比是否能组成比例，并将能组成比例的写出来。 0.3∶0.2和45∶30            50∶40和4∶5           ∶4和2∶5 【答案】0.3∶0.2＝45∶30；不成比例；∶4＝2∶5 【思路引导】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各组比的比值，比值相等的写成比例即可。 【完整解答】0.3∶0.2＝0.3÷0.2＝1.5、45∶30＝45÷30＝1.5，0.3∶0.2和45∶30能组成比例，0.3∶0.2＝45∶30； 50∶40＝50÷40＝1.25、4∶5＝4÷5＝0.8，50∶40和4∶5不能组成比例； ∶4＝÷4＝×＝、2∶5＝2÷5＝，∶4和2∶5能组成比例，∶4＝2∶5。 【考点再现】关键是理解比例的意义，会求比的比值。 10．（20-21六年级下·陕西渭南·期中）应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可以组成比例。把组成的比例写出来。 6∶9和9∶12                     1.4∶2和∶1 和2.4∶2.5                 和 【答案】6∶9和9∶12不能组成比例； 1.4∶2和∶1能组成比例，即1.4∶2＝∶1； 和2.4∶2.5能组成比例，即＝2.4∶2.5； 和能组成比例，即＝。 【思路引导】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式。 【完整解答】（1）因为6×12≠9×9， 所以6∶9和9∶12不能组成比例； （2）因为1.4×1＝×2， 所以1.4∶2和∶1能组成比例，即1.4∶2＝∶1； （3）因为×2.5＝×2.4， 所以和2.4∶2.5能组成比例，即＝2.4∶2.5 （4）因为×＝×， 所以和能组成比例，即＝。 【考点再现】此题主要考查了根据比例的基本性质构造比例的能力。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 第二单元比例 第1节比例的认识 【原卷版】 口目录索引 探索新知。。。。。。。。。…1 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 1。。2 【新知学习二：探究比例的基本性质】 ……4 重点雅点题型讲练.。。5 题型一：比例的意义………… 题型二：比例的基本性质.… 难度分层训练…6 基础夯实练（共10题限时10分钟) 能力提升练（共10题限时15分钟) 口目标导航 【学习目标】 1.结合“图片像不像”“调制蜂蜜水”等情境，找到相等的比，理解比例的意义，认识比例各部分名称， 能通过化简比或求比值等方法正确判断两个比能否组成比例。 2.通过观察、计算，发现并理解“比例中两个内项的积等于两个外项的积”并能根据这一规律判断两个比 能否组成比例。 3.经历观察比较、自主探究等活动提高分析和概括能力。 【重点难点】 重点：比例的基本性质，应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 难点：应用比例的基本性质判断两个比是否能构成比例。 口探索新知 第1页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【新旧知识链】 求比值 组成比例 小红有6张画片，小明有21张 4:6和8：12是否能组成比例？ 画片，小红的画数量片与小明 2 的画片的比是多少？ 因为4：68：23， 所以4：6和 3 6:21=( 8:12( )组成比例，即4：6=（：)。 【新知引入】 1.什么叫作比？ 两个数相除又叫两个数的比。 2.什么叫作比值？ 比的前项除以比的后项所得的商，叫作比值。 3.什么叫作比的基本性质？ 比的前项和后项同时乘或者除以相同的数(0除外)，比值不变。 4.求下列比的比值 4:5=( ) 0.5:0.7=（) 【新知学习一：认识比例各部分的名称】 【例1】请同学们联系比的知识，再想一想，怎样的两张图片像？ B 请你写出每张照片的长和宽的比，并求出比值。 A:6:4= B:3:2= C:8:3= D:12:8= E:12:2= 第2页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 比相等的图像，比不相等的图不像。如A 和D两张图片，长与长、宽与宽的比相 等，6：12=4：8，所以就像。 请写出图A、图B中长与宽的比，图A与图D的长与长、宽与宽的比，并求出比值。 图A与图B长与长、宽与宽的比：6：3=24：2=2 图A与图D长与长、宽与宽的比： 6:12=1 1 4:8= 2 自学要求： ★( )叫做比例的项 ★( )叫做比例的外项 ★( )叫做比例的内项 ★12和4是()项：()和()是内项。 ★把12：6=8：4写成分数形式( ),()和( )内项。 像12：6=8：4,6：4=3：2这样表示两个比相等的式子叫作比例。 12:6=8:4, 也可以写成2_8。 64。 12:6=8: 4 内项」 0 外项 右表是调制蜂蜜水时蜂蜜和水的配比情况，根据比例的意义，你能写出比例吗？写一写。 调制蜂蜜水配比情况表 蜂蜜水A 蜂蜜水B 蜂蜜/杯 2 3 水/杯 10 15 第3页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 3：2和15：10两个比的比值都 10：2=15：3,这两个比化简 是1.5，所以3：2=15：10。 后都是5：1。两杯水一样甜。 比和比例相同吗？有什么区别？ 由( )个数组成，是一个（)， 比 表示( 由( )个数组成，是一个( 比例 表示( )。 【新知学习二：探究比例的基本性质】 【例2】写出上节课学习的几个比例，仔细观察，你会有新的发现。 12×4-6×8: 12:6=8:4 6×2-3×4: 6:4=3:2 3×10-2X15: 3:2=5:10 10×3=15×2。 10:2=5:3 两个内项积和两个外项积相等 淘气的发现你同意吗？再写几个比例验证一下 15:12:10:8 15:0.5=3:1 15×8=12×10 15×1=0.5×3 在比例中，两个外项积和两个内项积相等。这就是比例的基本性质。 第4页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 口重点难点题型讲练 题型一：比例的意义 【例1】(2025·辽宁沈阳·小升初真题)下面( )中的两个比能组成一个比例。 A.8:7和14：16B.0.6:0.2和9：3C.19:11和10：7 D.6:7和 【变式1】(24-25六年级下·陕西榆林·期中)下面( )组两个比不能组成比例。 A和7：09 B和号 C.7:8和14：16 D.5:2.5和1：0.5 【变式2】(2024·辽宁营口·小升初真题)用12个边长为1cm的小正方形可以拼成( )种形状不 同的长方形，且长方形的长、宽都是整厘米数，所以12的因数有( ),选择其中的四个数组成一个 比例为( ）。 〖变式3】(24-25六年级下·辽宁营口·期中)下面哪组的两个比可以组成比例。( A.12:18和8：16 B.0.2:0.5和5：7.5 c.和 D.3:4和5：10 题型二：比例的基本性质 【例2】(2025·陕西榆林·小升初真题)一个比例中，两个内项互为倒数，己知其中一个外项是最小的合 数（在自然数中），则另一个外项是( )。 【变式1】(24-25六年级下·广东清远·期中)希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科 创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数：美术社团人数=( )。 A.2:5 B.5:2 C.2:7 D.7:2 【变式2】(24-25六年级下·陕西渭南·期末)下面四组数中，能组成比例的是( A.2、4、6、8 B.5、9、12、20 C.0.6、1.2、÷2 D.0合2416 【变式3】(24-25六年级下·广东深圳·期中)如果A=0.3B,那么A:B=( ):( 第5页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 口难度分层训练 基础夯实练（共10题限时10分钟) 1.(24-25六年级下·陕西汉中·期末)下面各比中，能与3：8组成比例的是( A.8:3 B. C.30:80 D.6:11 2.(24-25六年级下·安徽准北·期中)根据ab=df,下面组成的比例错误的是( A.d:b=a:f B.f a=b d C.b:f=a:d D.a:d=f:b 3.(24-25六年级下·广东茂名·期中)把1.6a=4b改写成比例，正确的是( )。 A.1.6:a=4:bB.a:4=1.6:bC.1.6:4=b:a D.4:1.6=b:a 4.(24-25六年级下·陕西汉中·期中)在10：2=25：5中，（ )和( )是比例的内项。 5.(24-25六年级下·广西贺州·期中)根据3.6×1.5=1.8×3写出两个不同的比例是：（ )和 )。 6.(24-25六年级下·安徽阜阳·期中)3,4,12,9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的 一个内项，那么这个比例可以写成( )；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成 )。 7.(24-25六年级下·陕西渭南·期中)比例8：3=24：9的内项是3和24。( )(判断对错) 8.(24-25六年级下·陕西西安·期末)}：3=：6可以组成比例。( )(判断对错) 9.(24-25六年级下·陕西咸阳·期中)应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪几组的两个比 可以组成比例，并写出组成的比例。 (1)利 (2)1.1:0.6和5.5：3 (3)6:7和9：12 (4)2.4:5.1和8：17 第6页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 10.(24-25六年级下·辽宁·随堂练习)(1)写出下图中图A、图B两个正方形的边长与边长的比以及 周长与周长的比，这两个比能组成比例吗？ (2)写出两个正方形面积与面积的比，这个比与边长之间的比能组成比例吗？ A B 3 cm 6cm 能力提升练（共10题限时15分钟） 1.(2025六年级下·辽宁·专题练习)下列说法中，正确的有( ①圆内最长的线段是直径。②水结成冰时，冰的体积比水的体积增加品冰化成水时，冰的体积减少。@ 大小不同的圆，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小。④大小不等的两个圆组成的图形最多有2条对称轴。 ⑤如果a、b都不为0，如果a×号=b×子那么a<b。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2025·四川成都·小升初真题)能与}：组成比例的是( )。 A.8:2 B.1:2 c日 D.2:1 3.(24-25六年级下·安徽阜阳·期中)如果a:16:b,那么ab=( );如果5a=3b(a, b均不为0)，那么a:b=( ):( )。 4.(24-25六年级下·陕西汉中·期中)如果”=”(m,n都不为0)，那么m:n=( ):( ）。 6 5.(24-25六年级下·陕西西安·期中)一个比例中，两个内项的积是8，其中一个外项是5，则另一个外 项是3。（ ）(判断对错) 6.(2025·广东湛江·小升初真题)若：=b(a,b均不为0)，则a:b=3:4。( ）（判断对错) 第7页共8页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 7.(24-25六年级下·陕西西安·期中)下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 (1)6:9和8：12 (2)1.4:2和4.2：6 (3)3 (4)3.6:2和9.4号 8.(23-24六年级下·陕西榆林·期中)根据比例的内项与外项积的关系，判断下面哪组中的两个比可以 组成比例？并将组成的比例写出来。 (1)3:5和6：7 (2)0.8:1.2和12：18 (3)45:5和2：1 109 (4):品 9.(22-23六年级下·广西桂林·期中)判断下面的比是否能组成比例，并将能组成比例的写出来。 0.3:0.2和45：30 50:40和4：5 号：4和2：5 10.(20-21六年级下·陕西渭南·期中)应用比例内项的积与外项的积的关系，判断下面哪组的两个比可 以组成比例。把组成的比例写出来。 6:9和9：12 14:2和品1 4:5和2.4：2.5 1:1和2.1 56 2污84 第8页共8页