（新课衔接）第一单元 圆柱和圆锥（章节复习）（新知总结+十五大重点难点题型讲练+难度分层训练 共60题）-2026年北师大版数学六年级寒假学习讲义

第一单元 圆柱和圆锥（章节复习） 【解析版】 知识总结 2 知识点梳理01：圆柱的认识和特征 2 知识点梳理03：圆柱的侧面积和表面积 3 知识点梳理04：圆柱的切拼问题 3 知识点梳理05：圆柱的旋转构成法 4 知识点梳理06：圆柱的体积 5 知识点梳理07：圆柱体积中的两种关系 5 知识点梳理08：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 6 知识点梳理09：排水法求不规则物体的体积 6 知识点梳理10：圆锥的认识和特征 6 知识点梳理11：圆锥的切面积问题 7 知识点梳理12：圆柱与圆锥的关系问题 7 重点难点题型讲练 7 题型一：圆柱的认识及特征 7 题型二：圆锥的认识及特征 8 题型三：圆柱的展开图 9 题型四：圆柱的侧面积 10 题型五：圆柱的表面积 11 题型六：组合体的表面积(圆柱) 13 题型七：圆柱的体积 14 题型八：圆柱的容积 15 题型九：立体图形的切拼(圆柱) 16 题型十：圆柱与圆锥体积的关系 17 题型十一：圆锥的体积（容积） 18 题型十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 19 题型十三：立体图形的切拼（圆锥) 21 题型十四：组合体的体积(圆柱、圆锥) 22 题型十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 24 难度分层训练 25 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 25 能力提升练（共10题 限时25分钟） 30 思维拓展练（共10题 限时30分钟） 36 【学习目标】 1.掌握圆柱表面积的计算方法，能运用圆柱表面积的知识解决生活中实际的问题。 2.经历“类比猜想一验证”的活动，探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，体会圆柱、圆锥体积知识在生活中的实际应用，能利用有关知识解决生活中实际问题。 3.通过圆柱和圆锥体积公式的探索，使学生体会转化、推理、极限、变中有不变等数学思想。 【重点难点】 重点:探索并掌握圆柱表面积的计算方法，能运用圆柱表面积的知识解决生活中实际的问题。 难点:圆柱的表面积和体积的计算公式的推导；圆锥体积的计算公式的推导；圆柱与圆锥的体积之间的关系。 知识点梳理01：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点梳理02：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点梳理03：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点梳理04：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点梳理05：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点梳理06：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点梳理07：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点梳理08：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点梳理09：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点梳理10：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点梳理11：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点梳理12：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的认识及特征 【例1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）下面图形经过一定的运动不能形成圆柱的是（    ）。 A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．长方形 【答案】C 【思路引导】圆柱体的形成：通常通过旋转长方形（或正方形）绕一边，或平移圆形（直线平移）来实现，三角形旋转可能形成圆锥体或其他旋转体，平移形成棱柱体，无法形成圆柱，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，经过一定的运动不能形成圆柱的是三角形。 故答案为：C 【变式】（24-25六年级下·广东茂名·期末）想一想，连一连。 【答案】见详解 【思路引导】圆柱是由以长方形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体；以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；以半圆的直径为旋转轴，曲线绕旋转轴旋转一周可以形成球体。据此解答。 【完整解答】 题型二：圆锥的认识及特征 【例2】（21-22六年级下·陕西咸阳·期中）将正方形以对角线为轴进行旋转得到的立体图形是（    ）。 A．B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将正方形以对角线为轴，可以看成是两个等腰直角三角形沿斜边旋转，据此即可判断。 【完整解答】以正方形的对角线为轴旋转，对角线的两个端点旋转一周仍然是两个点，另外两个顶点旋转所形成的图形是圆，所以得到的立体图形是两个倒置的圆锥。 故答案为：D 【考点再现】看准题意，明确是以哪条线为轴旋转是解答此题的关键。 【变式】（2021·辽宁沈阳·小升初真题）如果用一个长方体盒子将圆锥包装起来，最少需要（    ）平方厘米的纸板。 A．25.12 B．128 C．112 【答案】B 【思路引导】观察图形可知，这个圆锥的底面直径是4厘米，高是6厘米，所以包装盒的底面是长和宽都是4cm，高是6cm的长方体盒子；根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【完整解答】（4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝（40＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方厘米） 故答案为：B 【考点再现】本题考查长方体表面积公式的应用，关键是明确长方体的底面的长与宽等于圆锥的底面的直径。 题型三：圆柱的展开图 【例3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）如图是一个无盖圆柱体纸盒的平面展开图，计算这个无盖圆柱体的表面积。 【答案】301.44cm2 【思路引导】圆柱侧面展开后长方形的长就是圆柱的底面周长，宽是圆柱的高。已知长方形长（圆柱的底面周长）为25.12cm，宽（圆柱的高）为10cm。根据圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14，r为半径），则r＝C÷π÷2。把数据代入即可得出圆柱的底面半径。再利用圆的面积公式：S＝πr2计算底面面积；根据圆柱的表面积的计算方法，用侧面积（长方形面积）加上1个底面的面积即可。 【完整解答】25.12÷3.14÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 25.12×10＝251.2（cm2） 50.24＋251.2＝301.44（cm2） 这个圆柱的表面积是301.44cm2。 【变式】（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 【答案】(1) 长 宽 (2)1∶2π 【思路引导】（1）看图可知，这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆柱的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽。 （2）当底面周长和高相等时，圆柱的侧面展开后是一个正方形。底面周长＝2πr，即高＝2πr。据此求出底面半径和高的比。 【完整解答】（1）圆柱的底面周长＝长方形的长；圆柱的高＝长方形的宽。 （2）r∶2πr ＝（r÷r）∶（2πr÷r） ＝1∶2π 所以如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是1∶2π。 题型四：圆柱的侧面积 【例4】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 【答案】9.04千克 【思路引导】油漆仅需涂侧面，无需涂上下底面，所以需要计算圆柱的侧面积。圆柱侧面积公式为：S＝2πrh（r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），共有6根柱子，所以需要涂的总面积为：2πrh×6，底面半径是4分米，高20分米，每平方米用油漆0.3千克；把数据代入计算后，把单位换算成平方米，再与0.3相乘即可解答。 【完整解答】2×3.14×4×20×6＝3014.4（平方分米） 1平方米＝100平方分米 3014.4÷100＝30.144（平方米） 0.3×30.144≈9.04（千克） 答：一共需要油漆大约9.04千克。 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）把一张边长是30厘米的正方形纸卷成一个最大的圆柱形纸筒，它的底面周长是( )厘米，侧面积是( )平方厘米。 【答案】 30 900 【思路引导】把正方形纸卷成最大圆柱形纸筒，正方形的边长与圆柱底面周长、圆柱的高存在对应关系，即正方形边长分别为圆柱底面周长和高。利用圆柱侧面积公式S＝Ch（C为底面周长，h为高）求解，据此解答。 【完整解答】求底面周长：因为正方形纸卷成圆柱时，正方形的边长就是圆柱底面的周长，已知正方形边长30厘米，所以圆柱底面周长为30厘米。 求侧面积： 圆柱侧面积公式为S＝Ch，这里C＝30厘米（底面周长，即正方形边长），h＝30厘米（圆柱的高，即正方形边长），则侧面积S＝30×30＝900（平方厘米）。 它的底面周长是30厘米，侧面积是900平方厘米。 题型五：圆柱的表面积 【例5】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，两位同学分别对一个高是6cm，底面半径是3cm的圆柱平均切成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了( )，乙同学切分后，表面积比原来增加了( )。 【答案】 56.52 72 【思路引导】甲：平行于圆柱底面切成两部分，表面积增加了2个底面积，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，据此求出1个底面的面积，乘2即可； 乙：垂直于底面直径切成两部分，表面积增加了2个长方形的面，长方形的长＝圆柱的高，长方形的宽＝圆柱的底面直径，因为这个圆柱的高＝底面直径，因此增加的是2个正方形的面，根据正方形面积＝边长×边长，求出1个正方形的面积，乘2即可。 【完整解答】甲：3.14×32×2 ＝3.14×9×2 ＝56.52（） 乙：3×2＝6（cm） 6×6×2＝72（） 甲同学切分后，表面积比原来增加了56.52，乙同学切分后，表面积比原来增加了72。 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，以长方形的长边为轴旋转一周得到一个立体图形，计算这个立体图形的表面积。 【答案】226.08dm2 【思路引导】以长方形的长边（5dm）为轴旋转一周，得到的立体图形是一个底面半径为4dm，高为5dm的圆柱。圆柱的表面积公式为S＝2πr2＋2πrh（r为底面半径，h为高，π取3.14）。把数据代入计算即可。 【完整解答】2×3.14×42＋2×3.14×4×5 ＝2×3.14×16＋2×3.14×4×5 ＝100.48＋125.6 ＝226.08（dm2） 这个立体图形的表面积是226.08dm2。 题型六：组合体的表面积(圆柱) 【例6】（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【思路引导】根据题意和图意可知，制作一个这样的“博士帽”至少需要黑色卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，代入数据计算求解。 【完整解答】30×30＋3.14×16×10 ＝900＋502.4 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作一个这样的“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 【变式】（23-24六年级下·山西晋城·期末）“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【答案】1402.4平方厘米 【思路引导】根据题意，这种“博士帽”的上面是正方形，下面是无盖无底的圆柱，所以制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积＝正方形的面积＋圆柱的侧面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆柱的侧面积公式S＝πdh，代入数据计算，求出制作一顶“博士帽”至少需要卡纸的面积。 【完整解答】3.14×16×10＋30×30 ＝50.24×10＋900 ＝502.4＋900 ＝1402.4（平方厘米） 答：制作这样的一顶“博士帽”至少需要1402.4平方厘米的黑色卡纸。 题型七：圆柱的体积 【例7】（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【答案】251.2 【思路引导】将一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，高不变，体积不变，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半（πr），用这个长方体的长12.56除以3.14即可求得圆柱的底面半径；拼成的长方体表面积比圆柱多了长方体的左右两个面，这两个长方形的面的长和圆柱的高相等，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加40平方厘米，先用40÷2求出一个面的面积，再除以半径，即可求出高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出圆柱的体积。 【完整解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 40÷2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 12.56×4×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是251.2立方厘米。 【变式】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）一根长3米的圆柱形木料，锯成三段小圆柱后表面积增加16平方分米，这根木料的原体积是( )立方分米。 【答案】120 【思路引导】把圆柱形木料锯成三段，就要锯2次，每次增加2个圆柱的底面，也就是增加了（2×2）个底面，已知表面积增加16平方分米，用16÷4即可求出底面面积。再将3米换算成30分米，代入圆柱的体积公式：V＝Sh计算即可。 【完整解答】3米＝30分米 （3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 16÷4×30 ＝4×30 ＝120（立方分米） 这根木料的原体积是120立方分米。 题型八：圆柱的容积 【例8】．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）妈妈给小红买了一瓶水。小红喝了一些后，进行了一次测量，发现瓶子的底面直径是8cm，水的高度是7cm。她把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高是18cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】 1256毫升 【思路引导】根据题意得：由于瓶子是密闭的，瓶子倒置、放平，瓶中无水部分体积是相等的，此时可用放平的水体积加上倒置后无水体积，圆柱体积＝，圆柱底面直径为8厘米，圆柱高为7＋18＝25厘米，运用圆柱体积公式计算得出答案。 【完整解答】根据题意得：瓶子的体积为一个圆柱，圆柱底面直径为8厘米，高为（7＋18），则体积为： 3.14×（8÷2）2×（7＋18） ＝3.14×16×25 ＝1256（立方厘米）＝1256毫升 答：这个瓶子的容积是1256毫升。 【变式】（24-25六年级下·吉林长春·期末）笑笑要把1200毫升果汁倒入底面直径8厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满（   ）杯。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】先把1200毫升转化为1200立方厘米，再根据“”求出圆柱形玻璃杯的容积，计算可知，玻璃杯的容积是502.4立方厘米，求果汁可以倒满几杯就是求1200立方厘米里面有多少个502.4立方厘米，用除法计算，最后结果用“去尾法”取整数，据此解答。 【完整解答】1200毫升＝1200立方厘米 3.14×（8÷2）2×10 ＝3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 1200÷502.4≈2（杯） 所以，最多能倒满2杯。 故答案为：A 题型九：立体图形的切拼(圆柱) 【例9】（24-25六年级下·陕西西安·期中）李师傅把一个棱长为的正方体钢锭削成一个最大的圆柱，剩余部分的体积是( )。 【答案】13.76 【思路引导】在正方体中削一个最大的圆柱，削成的圆柱的高与底面直径和棱长相等，用正方体体积减去削成圆柱体体积即可。正方体体积：，圆柱体积：。 【完整解答】444－3.14（4÷2）24 ＝64－3.1444 ＝64－50.24 ＝13.76（立方厘米） 所以剩余体积为13.76立方厘米。 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）如图，把一个底面半径是4cm的圆柱沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了144cm2，这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】904.32 【思路引导】根据题意，把一个圆柱沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积增加144cm2，那么增加的表面积是2个长方形的面积（即长方体的左右面），每个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；用增加的表面积除以2，求出一个长方形的面积，再除以底面半径，即可求出圆柱的高；然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求出这个圆柱的体积。 【完整解答】圆柱的高： 144÷2÷4 ＝72÷4 ＝18（cm） 圆柱的体积： 3.14×42×18 ＝3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（cm3） 这个圆柱的体积是904.32cm3。 题型十：圆柱与圆锥体积的关系 【例10】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）一个圆柱比和它等底等高的圆锥的体积大72cm3，这个圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 108 36 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份，那么圆柱的体积比圆锥的体积多3－1＝2份。已知圆柱比圆锥的体积大72cm3，且多2份，所以每份的体积是72÷2＝36cm3。因为圆锥的体积是1份，所以圆锥的体积是36cm3。因为圆柱的体积是3份，所以圆柱的体积是36×3＝108cm3。 【完整解答】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，把圆锥的体积看作1份，圆柱的体积就是3份。 3－1＝2（份） 72÷2＝36（cm3） 36×1＝36（cm3） 36×3＝108（cm3） 所以这个圆柱的体积是108cm3，圆锥的体积是36cm3。 【变式】（23-24六年级下·四川成都·期末）妈妈榨了一大杯橙汁（如图1），倒入如图2所示的小杯中，可以倒满（    ）（两个杯子的杯口同样大，杯壁厚度忽略不计）。 A．9杯 B．6杯 C．5杯 D．3杯 【答案】A 【思路引导】图1圆柱形杯子和图2圆锥形杯子的杯口同样大，所以它们的底面积相同；又因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，图1中每个7cm高度的橙汁可以倒满3杯图2的小杯，求出21cm里面有几个7cm，就可以倒满几个3杯，据此解答。 【完整解答】21÷7×3 ＝3×3 ＝9（杯） 所以可以倒满9杯。 故答案为：A 题型十一：圆锥的体积（容积） 【例11】（2025·广东湛江·小升初真题）一个圆柱和圆锥，底面周长之比为3∶2，体积之比为9∶2，则圆锥与圆柱高的比为( )。 【答案】3∶2 【思路引导】圆柱和圆锥的底面均为圆形，根据“圆的周长公式C＝2πr”，周长比等于半径比。已知底面周长之比为3∶2，因此圆柱与圆锥的底面半径比为3∶2，圆柱与圆锥的体积比为9∶2。 根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高），则圆柱高：h＝V÷（πr2），把圆柱的半径看作3，体积看作9，所以圆柱的高为：9÷（π×32）＝。圆锥体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高），则圆锥的高：h＝V÷÷（πr2），把圆锥的半径看作2，体积看作2，所以圆锥的高为：2÷÷（π×22）＝，即圆锥与圆柱高的比为∶，然后化简即可。 【完整解答】底面周长比等于半径比，圆柱与圆锥的底面半径比为3∶2。 把圆柱的半径看作3，体积看作9。 9÷（π×32） ＝9÷9π ＝ 把圆锥的半径看作2，体积看作2。 2÷÷（π×22） ＝2×3÷（π×4） ＝6÷4π ＝ 圆锥与圆柱高的比：∶ ∶ ＝（×2π）∶（×2π） ＝3∶2 圆锥与圆柱高的比为3∶2。 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）在一个从里面量高是3分米，底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装满水，水中完全浸没着一个底面直径是12厘米，高是15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，这时水面下降了多少厘米？（取圆锥体过程中带出的水忽略不计） 【答案】1.8厘米 【思路引导】圆锥的体积就是水面下降的体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出水面下降的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【完整解答】3.14×（12÷2）2×15÷3 ＝3.14×62×15÷3 ＝3.14×36×15÷3 ＝565.2（立方厘米） 565.2÷（3.14×102） ＝565.2÷（3.14×100） ＝565.2÷314 ＝1.8（厘米） 答：水面下降了1.8厘米。 题型十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例12】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】0.96厘米 【思路引导】铁锤取出后水面下降的体积等于圆锥形铁锤的体积。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。已知圆锥形铁锤底面直径是8厘米，则底面半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，代入公式可得：×3.14×42×18＝6×3.14×16＝301.44立方厘米。 圆柱形容器底面直径是20厘米，那么半径为20÷2＝10厘米，已知下降的水的体积是301.44立方厘米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14），则h＝V÷π÷r2，把数据代入公式计算即可得出水面下降了多少厘米。 【完整解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×18 ＝×3.14×16×18 ＝6×3.14×16 ＝301.44（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 301.44÷3.14÷102 ＝96÷100 ＝0.96（厘米） 答：容器中的水面下降了0.96厘米。 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 【答案】0.8厘米 【思路引导】圆锥形铁块底面直径8厘米，因此半径为8÷2＝4厘米，高为15厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可计算出圆锥形铁块的体积（水面下降部分的水体积）。 水面下降部分的水形成一个圆柱体，其体积等于圆锥体积，圆柱形杯子底面直径20厘米，因此半径为20÷2＝10厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷（πr2），把计算出的圆锥体积，和圆柱形杯子底面半径代入计算即可。 【完整解答】8÷2＝4（厘米） ×3.14×42×15 ＝×3.14×16×15 ＝251.2（立方厘米） 20÷2＝10（厘米） 251.2÷（3.14×102） ＝251.2÷（3.14×100） ＝251.2÷314 ＝0.8（厘米） 答：杯子里的水面会下降0.8厘米。 题型十三：立体图形的切拼（圆锥) 【例13】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 【答案】 188.4 376.8 【思路引导】根据题意，把一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积即三角形的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积。 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，求出与它等底等高的圆柱的体积，再用减法求出圆锥比圆柱少的体积。 【完整解答】圆锥的底面直径： 60÷2×2÷5＝12（dm） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×5 ＝×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（cm3） 圆柱的体积： 188.4×3＝565.2（cm3） 圆锥比圆柱的体积少： 565.2－188.4＝376.8（cm3） 则这个圆锥的体积是（188.4）dm3，比和它等底等高的圆柱体积少（376.8）dm3。 【变式】把一个圆锥沿着高切开，得到两个如下图所示的物体，截面的面积是10平方厘米。如果原来圆锥的高是5厘米，它的底面积是 平方厘米？体积是 立方厘米？ 【答案】 12.56 【思路引导】根据题意可知：截面是以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形，根据三角形的面积公式：s=ah÷2，即可求出三角形的底（圆锥底面直径），再根据圆的面积公式：s=π  ， 把数据代入公式求出底面积，据此解答。 【完整解答】底面直径：10×2÷5=4（厘米） 底面积：3.14×（4÷2）2 =3.14×4 =12.56（平方厘米）； 体积：×12.56×5=（立方厘米） 题型十四：组合体的体积(圆柱、圆锥) 【例14】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【思路引导】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【完整解答】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 【变式】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）计算下面立体图形的体积。 【答案】62.8cm3 【思路引导】观察可知立体图形的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，根据圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （cm3） 题型十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例15】（2024·黑龙江大兴安岭地·小升初真题）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 【答案】2.4厘米 【思路引导】已知圆锥底面周长，根据“C÷π÷2”求出底面半径，再依据圆锥体积公式“V＝πr2h”算出圆锥体积；接着用圆柱形容器底面直径除以2求出底面半径，根据圆的面积公式“S＝πr2”计算出圆柱的底面积；最后用圆锥体积（也就是下降的水的体积）除以圆柱底面积，得到水面下降的高度。 【完整解答】37.68÷3.14÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） ×3.14×62×20 ＝×3.14×36×20 ＝3.14×12×20 ＝37.68×20 ＝753.6（立方厘米） 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 753.6÷314＝2.4（厘米） 答：容器内水面下降了2.4厘米。 【变式】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个圆柱形玻璃容器的底面直径为16厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径是6厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，水面下降了1.5厘米，求这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【思路引导】水面下降的体积就是圆锥形铅锥的体积，圆柱形容器的底面积×水面下降的高度＝铅锥的体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，列式解答即可。 【完整解答】3.14×（16÷2）2×1.5 ＝3.14×82×1.5 ＝3.14×64×1.5 ＝301.44（立方厘米） 301.44×3÷（3.14×62） ＝904.32÷（3.14×36） ＝904.32÷113.04 ＝8（厘米） 答：这个圆锥形铅锤的高是8厘米。 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 【答案】B 【思路引导】圆柱的特征：有两个底面，是圆形，一个侧面，是曲面；以长方形的一条边所在的直线为轴，把长方形旋转一周可以得到一个圆柱。 【完整解答】以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个圆柱。 故答案为：B 2．（24-25六年级下·广西贺州·期中）计算一个圆柱形通风管需要多少铁皮，就是求圆柱的（    ）。 A．底面积 B．侧面积 C．底面积与侧面积之和 D．体积 【答案】B 【思路引导】首先，根据生活常识，弄清一个圆柱形通风管因为需要通风，所以是不需要底面的，据此判断即可。 【完整解答】因为圆柱形通风管没有底面，所以需要的铁皮就是求该圆柱的侧面积。 故答案为：B 3．（2025·四川成都·小升初真题）将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】石块的体积等于水面上升部分的体积，即底面积乘水面上升高度，所以底面积越小，水面上升越多，比较四个容器的底面积大小即可。 【完整解答】A．底面积为6×8＝48（平方厘米） B.  底面积为3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） C.  底面积为8×8＝64（平方厘米） D.  底面积为10×8＝80（平方厘米） 48＜50.24＜64＜80，A的底面积最小，水面上升最多。 故答案为：A 4．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）“铁杵磨成针”的故事大家都知道，假如当时那位老奶奶拿的铁杵长40cm，底面直径是10cm，这根铁杵的体积是( )dm3。 【答案】3.14 【思路引导】铁杵的形状是个圆柱，底面直径÷2＝底面半径，底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。注意统一单位。 【完整解答】3.14×（10÷2）2×40 ＝3.14×52×40 ＝3.14×25×40 ＝3140（cm3） 3140cm3＝3.14dm3 这根铁杵的体积是3.14dm3。 5．（24-25六年级下·河南商丘·期中）将下面的直角三角形分别绕长直角边和短直角边所在的直线旋转一周，可形成两个圆锥。两个圆锥的高分别是( )cm和( )cm，底面半径分别是( )cm和( )cm。 【答案】 9 6 6 9 【思路引导】从图中可知，直角三角形的两条直角边分别为9cm和6cm。 当绕长直角边（9cm）所在直线旋转一周时：此时长直角边就是圆锥的高9cm，短直角边就是圆锥的底面半径6cm。 当绕短直角边（6cm）所在直线旋转一周时：此时短直角边就是圆锥的高6cm，长直角边就是圆锥的底面半径9cm。 【完整解答】绕长直角边旋转时：圆锥的高是9cm，圆锥的底面半径是6cm。 绕短直角边旋转时：圆锥的高是6cm，圆锥的底面半径9cm。 两个圆锥的高分别是9cm和6cm，底面半径分别是6cm和9cm。 6．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】长方体、正方体、圆柱的体积公式均为底面积乘高，而圆锥的体积公式为底面积乘高再乘。因此，圆锥的体积不能用“底面积×高”直接计算。 【完整解答】长方体体积：底面积（长×宽）×高，符合公式； 正方体体积：底面积（棱长×棱长）×高，符合公式； 圆柱体积：底面积（圆面积）×高，符合公式； 圆锥体积：底面积×高×，不能用“底面积×高”直接计算； 因此，原说法错误。 故答案为：× 7．（24-25六年级下·广东清远·期中）求下面圆锥的体积。 【答案】84.78dm3 【思路引导】已知圆锥的底面积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh，代入数据计算求出它的体积。 【完整解答】×28.26×9＝84.78（dm3） 圆锥的体积是84.78dm3。 8．（24-25六年级下·河南商丘·期中）一个圆柱形油桶的底面直径是80厘米，高120厘米。小朋友们进行滚油桶比赛，赛道长5024厘米，要想完成比赛，油桶至少要转多少圈？ 【答案】20圈 【思路引导】圆柱形油桶的底面是圆，圆的周长就是油桶滚动一圈的长度。 已知油桶底面直径d＝80厘米，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14），把数据代入可得3.14×80＝251.2（厘米）。赛道长5024厘米，滚动圈数＝赛道长度÷底面周长，把数据代入计算即可。 【完整解答】3.14×80＝251.2（厘米） 5024÷251.2＝20（圈） 答：油桶至少要转20圈。 9．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【思路引导】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【完整解答】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 10．（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 【答案】（1）买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算 （2）25次 【思路引导】（1）用两种规格牙膏的售价分别除以克数，求出两种规格的牙膏每克各是多少钱，然后把两种规格每克牙膏的价格进行比较，即可解答； （2）首先根据1厘米＝10毫米，把厘米转换成毫米，再根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据，求出原来每次使用牙膏的体积，再用原来每次使用牙膏的体积乘上使用次数，求出牙膏原包装的体积，然后再用牙膏原包装的体积除以新包装的每次用的体积，就是新包装的牙膏能用的次数。 【完整解答】（1）4.5÷120＝0.0375（元） 5.6÷160＝0.035（元） 0.035＜0.0375 答：她买160克的每支5.6元规格的牙膏比较合算。 （2）1厘米＝10毫米 3.14×（5÷2）2×10×36 ＝3.14×2.52×10×36 ＝3.14×6.25×10×36 ＝19.625×10×36 ＝196.25×36 ＝7065（立方毫米） 3.14×（6÷2）2×10 ＝3.14×32×10 ＝3.14×9×10 ＝28.26×10 ＝282.6（立方毫米） 7065÷282.6＝25（次） 答：这一支牙膏只能用25次。 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·四川成都·小升初真题）一张长5cm、宽4cm的长方形纸，如果绕它的长旋转一周形成甲圆柱，绕它的宽旋转一周形成乙圆柱，则（    ）。 A．甲圆柱的体积大 B．乙圆柱的体积大 C．两个圆柱的体积一样大 【答案】B 【思路引导】一张长5cm、宽4cm的长方形纸，以长方形的长为轴旋转得到的甲圆柱的底面半径是4cm，高是5cm；以长方形的宽为轴旋转得到的乙圆柱的底面半径是5cm，高是4cm，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积，然后进行比较即可。 【完整解答】以长为轴得到甲圆柱的体积： π×42×5 ＝π×16×5 ＝80π（cm3） 以宽为轴得到乙圆柱的体积： π×52×4 ＝π×25×4 ＝100π（cm3） 100π＞80π 乙圆柱的体积大。 故答案为：B 2．（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 【答案】C 【思路引导】①多边形内角和的计算，把多边形转化成若干个三角形，根据三角形的内角和推导出多边形的内角和公式； ②小数乘法的计算运用了“转化”的思想方法，计算小数乘法，先把小数乘法转化为整数乘法，根据整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点； ③根据平行四边形的面积公式的推导方法，把平行四边形转化为长方形，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式； ④圆柱体积公式的推导运用了“转化”的思想方法，即把圆柱切拼成一个近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 据此解答即可。 【完整解答】根据分析： ①②③④运用了“转化”的思想方法。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把一个底面直径是20cm的圆锥形铁块放入一个底面半径是2dm，高是7dm的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了5cm且水未溢出。这个圆锥铁块的体积是 ，高是 cm。 【答案】 6280 60 【思路引导】圆锥形铁块放入圆柱形容器里完全浸没水中水未溢出且水面上升了5cm，说明圆柱形容器水面上升的体积就是圆锥铁块的体积，水面上升的体积又是求底面半径是2dm，高为5cm的圆柱的体积，根据这一等量关系可以先求出圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式求出圆锥的高。 【完整解答】 设圆锥的高为。 即 所以这个圆锥铁块的体积是6280，高是60cm。 4．（24-25六年级下·广西贺州·期中）一根长5米的圆木，如果锯成2段，表面积就增加18.84平方分米，那么这根圆木的体积是( )立方分米。 【答案】471 【思路引导】先根据“1米＝10分米”统一单位。锯成2段，表面积会增加2个底面的面积。将表面积增加部分18.84平方分米除以2，求出圆木的底面积。再根据“圆柱的体积＝底面积×高”求出这根圆木的体积。 【完整解答】5米＝50分米 18.84÷2×50 ＝9.42×50 ＝471（立方分米） 所以，这根圆木的体积是471立方分米。 5．（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】机器人绕柱子清扫一圈，走过的路径是一个圆的周长，把圆柱体底面看作是一个内圆，机器人绕柱子一圈看作是一个外圆，则扫地机器人扫过的面积看作是圆环面积。 圆柱体底面直径是14dm，则半径（内圆半径）为14÷2＝7dm，扫地机器人底面直径6dm，所以外圆的直径为14＋6＝20dm，即半径（外圆半径）为20÷2＝10dm，根据圆的周长公式C＝πd（π取3.14，d为直径），圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入计算后再判断即可。 【完整解答】14÷2＝7（dm） 14＋6＝20（dm） 20÷2＝10（dm） 3.14×20＝62.8（dm） 3.14×（102－72） ＝3.14×（100－49） ＝3.14×51 ＝160.14（dm2） 机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是160.14dm2，原说法错误。 故答案为：× 6．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）求体积。 【答案】113.04 【思路引导】图形由一个底面直径为4，高为7的圆柱和一个底面直径为4，高为6的圆锥组成，图形体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝，圆锥体积＝，据此计算得出答案。 【完整解答】图形中的圆柱、圆锥底面半径为：4÷2＝2，则图形的体积为： 7．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 【答案】455.3平方厘米 【思路引导】从图中可知，长方形卡纸的长31.4厘米等于圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，可知d＝C÷π，由此求出圆柱形笔筒的底面直径； 长方形的宽22厘米等于圆柱的高与底面直径之和，用宽减去圆柱的底面直径，求出圆柱的高； 根据无盖圆柱的表面积＝圆柱的一个底面积＋圆柱的侧面积，其中圆柱的底面积公式S底＝πr2，圆柱的侧面积＝长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，求出这个笔筒的表面积。 【完整解答】圆柱的底面直径：31.4÷3.14＝10（厘米） 圆柱的底面半径：10÷2＝5（厘米） 圆柱的高：22－10＝12（厘米） 圆柱的表面积： 3.14×5²＋31.4×12 ＝3.14×25＋31.4×12 ＝78.5＋376.8 ＝455.3（平方厘米） 答：这个笔筒的表面积是455.3平方厘米。 8．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）用下面的长方形硬纸卷成圆柱形，再给这个圆柱形硬纸配一个面积最小的底，制成一个硬纸筒，这个硬纸筒的体积大约是多少立方厘米？（如果遇到形如“2.34×3.12”的计算，可以先把其中较小数2.34保留一位小数即2.3，再计算2.3×3.12。） 【答案】29.202立方厘米 【思路引导】长方形硬纸卷成圆柱形，则有两种情况。方式1：长方形硬纸的长作为圆柱的底面周长，此时长方形硬纸的宽是圆柱的高。 方式2：长方形硬纸的宽作为圆柱的底面周长，此时长方形硬纸的长是圆柱的高。 再根据可知：圆柱的底面半径。结合题意中“给这个圆柱形硬纸配一个面积最小的底”，因为圆的面积，所以如果想让圆柱底面的面积最小，则半径也要最小，也就是底面周长也要最小。6.28厘米＜9.42厘米，所以方式2符合题意。再根据圆的底面周长求出圆柱纸筒的底面半径，进而求出纸筒的体积。据此代入数据计算即可。 【完整解答】要使这个圆柱形硬纸配一个面积最小的底，则这个硬纸筒圆柱的底面周长为6.28厘米，硬纸筒圆柱的高为9.42厘米。 硬纸筒圆柱的半径： （厘米） 硬纸筒圆柱的体积： （立方厘米） 答：这个硬纸筒的体积大约是29.202立方厘米。 9．（24-25六年级下·广东清远·期中）炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 【答案】847.8千焦 【思路引导】由图可知，冰激凌的形状是一个圆锥，已知圆锥底面直径为6厘米，那么底面半径为6÷2＝3厘米，高为15厘米。圆锥体积公式为：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），把数据代入公式后计算出圆锥的体积。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量，把圆锥体积单位换算成毫升后与6相乘即可解答。 【完整解答】6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×15 ＝×3.14×9×15 ＝3×3.14×15 ＝141.3（立方厘米） 141.3立方厘米＝141.3毫升 6×141.3＝847.8（千焦） 答：这个冰激凌大约含有847.8千焦热量。 10．（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 【答案】80立方厘米 【思路引导】瓶身是圆柱体，圆柱容积＝底面积×高。根据左图，将瓶子的底面积乘5厘米，求出水的体积。根据右图，将10厘米减去7厘米，求出没有水区域的高，再将瓶子的底面积乘这个高，求出没有水区域的容积。将水的体积加上没有水区域的容积，求出瓶子的容积。 【完整解答】10×5＋10×（10－7） ＝50＋10×3 ＝50＋30 ＝80（立方厘米） 答：瓶子的容积是80立方厘米。 思维拓展练（共10题 限时30分钟） 1．两块正方体花岗岩的体积之差为25立方分米，如果把这两块花岗岩分别加工成两个最大的圆柱（如图所示），这两个圆柱的体积相差（    ）立方分米。 A．大于25 B．等于25 C．小于25 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据题意，假设两个正方体的棱长分别为a分米，b分米。那么两个圆柱体的底面半径分别为分米，分米。然后根据圆柱体积公式：即可解答。 【完整解答】解：设两个正方体的棱长分别为a分米，b分米，且a＞b，则：a3﹣b3＝25，两个圆柱体的底面半径分别为分米，分米。 体积差为：π×（）2×a﹣π×（）2×b ＝π×（－） ＝π×（） ＝3.14×（25÷4） ＝19.625（立方分米） 19.625＜25 故答案为：C。 【考点再现】此题主要考查了学生对圆柱体积公式的灵活应用。 2．把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了（ ） A．18.84平方米 B．28.26平方米 C．37.68平方米 D．56.52平方米 【答案】D 【解析】将一个圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了两个底面积，已知圆柱的侧面积和高，求底面周长，用圆柱的侧面积÷高=底面周长，然后用底面周长÷2÷π=底面半径，最后用公式：S=πr2求出圆柱的底面积，再乘2即可解答. 【完整解答】18.84÷1=18.84（米） 18.84÷2÷3.14 =9.42÷3.14 =3（米） 3.14×32×2 =3.14×9×2 =28.26×2 =56.52（平方米） 故答案为：D. 3．（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水( )L。 【答案】36 【思路引导】水面高度正好是圆锥高度的一半，说明圆锥容器的高是容器内水面高的2倍，则圆锥容器的半径也水面半径的2倍，圆锥体积＝圆周率×底面半径的平方×高÷3，所以容器的容积是容器内水的体积的（22×2）倍，据此分析。 【完整解答】22×2＝4×2＝8 4.5×8＝36（L） 这个圆锥形容器一共能装水36L。 【考点再现】关键是掌握并灵活运用圆锥体积公式，理解圆锥容积和水的体积之间的关系。 4．一个圆柱的底面半径为5厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】2464.9 【思路引导】侧面展开图是一个正方形，说明：圆柱的底面周长＝圆柱高，根据底面半径5厘米，求出周长：5×2×3.14＝31.4（厘米），即：圆柱的高＝31.4厘米。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答即可。 【完整解答】3.14×52×（5×2×3.14） ＝3.14×25×31.4 ＝78.5×31.4 ＝2464.9（立方厘米） 【考点再现】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 【答案】15700立方厘米 【思路引导】如图，将木料分成两部分，先求出高40厘米的圆柱体积，再加上高是60－40厘米圆柱体积的一半即可。 【完整解答】20÷2＝10（厘米） 3.14×10×40＋3.14×10×（60－40）÷2 ＝12560＋314×20÷2 ＝12560＋3140 ＝15700（立方厘米） 【考点再现】本题考查了组合体的体积，分割后右边部分是圆柱的一半。 6．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 【答案】（1）62.8升 （2）502.4升 【思路引导】（1）根据圆柱的体积计算公式“”即可求出这个圆柱形容器的容积是多少立方分米，再根据“立方分米与升是等量关系二者互化数值不变”转化成升。 （2）如果把这个圆锥沿高剖开，整个圆锥的剖面是一个大三角形，有水部分是一个小三角形，大三角形的高是小三角形高的2倍，则大三角形的底是小三角形底的2倍，即大圆锥的底面半径是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥体积是小圆锥体积的倍，即8倍，即水的体积是整个圆锥容积的。把圆锥的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义即可解答。 【完整解答】（1） （立方分米） 62.8立方分米升 答：这个圆柱形容器的容积是62.8升。 （2）由题意可知，在圆锥底面半径是小圆锥底面半径的2倍，设小圆锥的底面半径为，则大圆锥的底面半径为 水的体积是： 圆锥的容积是： 62.8÷ ＝62.8×8 ＝502.4（升） 答：这个圆锥形容器一共能装502.4升水。 【考点再现】（1）根据公式计算即可，不难；（2）关键是求出水的体积占整个圆锥容器的几分之几，这也是解答本题的难点。 7．如图，一种水稳磨米机的漏斗由圆柱和圆锥两部分组成。其中底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4dm。每立方分米稻谷重0.65kg。 （1）这个漏斗大约能装多少千克稻谷？（得数保留两位小数） （2）如果稻谷的出米率是70%，那么一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ 【答案】（1）27.22kg （2）19.054kg 【思路引导】（1）这个漏斗能装多少千克稻谷，可先计算出这个漏斗的容积，漏斗的容积等于底面直径4分米高2分米的圆柱的容积和高4分米的圆锥的容积之和，圆柱的容积公式：底面积×高；圆锥的容积公式：底面积×高×，把数代入即可求出漏斗的容积，再用漏斗的容积×0.65即可； （2）用这个漏斗装的稻谷重量乘出米率即可求出大约能磨出多少千克大米。 【完整解答】（1）4÷2＝2（分米） 3.14×22×2＋3.14×22×4× ＝25.12＋12.56×4× ＝25.12＋50.24× ≈25.12＋16.75 ＝41.87（立方分米） 41.87×0.65＝27.2155≈27.22（千克） 答：这个漏斗大约能装27.22千克稻谷 （2）27.22×70%＝19.054（千克） 答：一漏斗稻谷大约能磨出19.054千克大米 【考点再现】本题主要考查圆柱与圆锥的体积公式的计算应用，熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式并灵活运用。 8．（2014六年级·全国·课后作业）一个密闭的容器（如下图）是由一个圆柱和一个圆锥组成的，圆柱的高是，圆锥的高是，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的高是多少厘米？ 【答案】11cm 【思路引导】根据圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的3倍可知，装满圆锥所需的水，装在与这个圆锥等底的圆柱中时，高度为，所以将题中圆柱内高为的水倒入圆锥中，正好把圆锥装满，则圆柱内剩下的水的高为，由圆锥的高度＋圆柱内剩下的水的高度即可得到容器倒放时，从圆锥的顶点到液面的高。 【完整解答】；   ； ； 答：从圆锥的顶点到液面的高是。 【考点再现】能够灵活利用圆柱的体积是与它等底等高的圆锥的体积的关系是解答本题的关键，一定要先求出把圆柱内高为多少的水倒入圆锥中，再求出圆柱内剩下的水的高度，进而解答即可。 9．一种矿泉水的瓶身成呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是600ml，其中装有一些矿泉水，正放时水的高度是15cm，倒放时空余部分的高度是9cm。瓶内现有矿泉水多少毫升？ 【答案】375毫升 【思路引导】矿泉水瓶可以看成高是15＋9厘米的圆柱，水的高度是15厘米，占整个瓶子容积的，据此根据分数乘法的意义列式解答即可。 【完整解答】600× ＝600× ＝375（毫升） 答：瓶内现有矿泉水375毫升。 【考点再现】本题考查了不规则图形的体积，要运用转化思想。 10．（22-23六年级下·陕西·期末）有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 【答案】182.12平方厘米 【思路引导】这个零件接触空气的部分涂防锈漆的面积即这个零件的表面积，零件的表面积等于圆柱体的表面积加上圆柱形圆孔的侧面积；根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的侧面积公式：侧面积＝底面周长×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×10＋3.14×2×5 ＝3.14×4×2＋12.56×10＋6.28×5 ＝12.56×2＋125.6＋31.4 ＝25.12＋125.6＋31.4 ＝150.72＋31.4 ＝182.12（平方厘米） 答：一共要涂182.12平方厘米。 【考点再现】熟练掌握圆柱的侧面积公式、圆柱的表面积公式是解答本题的关键。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱和圆锥（章节复习） 【原卷版】 知识总结 2 知识点梳理01：圆柱的认识和特征 2 知识点梳理03：圆柱的侧面积和表面积 3 知识点梳理04：圆柱的切拼问题 3 知识点梳理05：圆柱的旋转构成法 4 知识点梳理06：圆柱的体积 5 知识点梳理07：圆柱体积中的两种关系 5 知识点梳理08：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 6 知识点梳理09：排水法求不规则物体的体积 6 知识点梳理10：圆锥的认识和特征 6 知识点梳理11：圆锥的切面积问题 7 知识点梳理12：圆柱与圆锥的关系问题 7 重点难点题型讲练 7 题型一：圆柱的认识及特征 7 题型二：圆锥的认识及特征 8 题型三：圆柱的展开图 8 题型四：圆柱的侧面积 9 题型五：圆柱的表面积 9 题型六：组合体的表面积(圆柱) 10 题型七：圆柱的体积 10 题型八：圆柱的容积 10 题型九：立体图形的切拼(圆柱) 11 题型十：圆柱与圆锥体积的关系 11 题型十一：圆锥的体积（容积） 11 题型十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 12 题型十三：立体图形的切拼（圆锥) 12 题型十四：组合体的体积(圆柱、圆锥) 13 题型十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 14 难度分层训练 14 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 14 能力提升练（共10题 限时25分钟） 17 思维拓展练（共10题 限时30分钟） 19 【学习目标】 1.掌握圆柱表面积的计算方法，能运用圆柱表面积的知识解决生活中实际的问题。 2.经历“类比猜想一验证”的活动，探索并掌握圆柱和圆锥体积的计算方法，体会圆柱、圆锥体积知识在生活中的实际应用，能利用有关知识解决生活中实际问题。 3.通过圆柱和圆锥体积公式的探索，使学生体会转化、推理、极限、变中有不变等数学思想。 【重点难点】 重点:探索并掌握圆柱表面积的计算方法，能运用圆柱表面积的知识解决生活中实际的问题。 难点:圆柱的表面积和体积的计算公式的推导；圆锥体积的计算公式的推导；圆柱与圆锥的体积之间的关系。 知识点梳理01：圆柱的认识和特征 1. 圆柱的形成 圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的，把一张长方形的硬纸贴在木棒上，快速转动木棒，长方形硬纸形成的图形就是圆柱，生活中常见的圆柱形物体有水杯、固体胶棒、卷纸、树桩等等。 2. 圆柱的特征 （1）圆柱是由两个圆面和一个曲面组成的，两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面。 （2）圆柱两个底面之间的距离，叫做圆柱的高，任意一个圆柱都有无数条高。 知识点梳理02：圆柱的侧面展开图 1. 当沿高展开时，展开图是长方形，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 2. 当底面周长和高相等时，沿高展开图是正方形。 3. 当不沿高展开时（斜向切开），展开图是平行四边形。 知识点梳理03：圆柱的侧面积和表面积 1. 圆柱的侧面积。 当圆柱沿高展开时，侧面展开图是一个长方形，其中长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此： 圆柱的侧面积=长方形的面积=长×宽=圆柱底面的周长×高，即S侧=Ch=2πrh。 2. 圆柱的表面积=侧面积+2×底面积，即S表=S侧+2S底=Ch+2πr2。 3. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的有一个底面，如厨师帽、无盖水桶等；有的没有底面，如圆柱形水管、通风管等。 4. 在实际应用中，有时需要根据实际情况，不管被舍去的部分最高位上的数比5大还是比5小，都要向前一位进一，这种取近似值的方法叫做“进一法”。 知识点梳理04：圆柱的切拼问题 1. 圆柱中高的增减变化引起的表面积变化。 高的增减变化引起的表面积变化问题，由于底面积没有改变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以先求出底面周长，再进而求出表面积，即底面周长=变化的表面积÷变化的高度。 2. 圆柱中横切引起的表面积变化。 横切，即沿着底面或平行于底面将圆柱切一刀，此时表面积会多出两个面的面积，这两个面是底面，每多切一刀，便多增加两个面，即面数=刀数×2，相反，如果两段圆柱拼接在一起，则会减少两个底面。 3. 圆柱中竖切引起的表面积变化。 竖切，即沿着直径，垂直于底面切，此时多出的两个面是长方形，它是以底面圆的直径为长，以圆柱的高为宽的长方形。 4. 如果把正方体削成一个最大的圆柱，那么正方体的棱长是圆柱的高，也是圆柱底面的直径。 5. 圆柱与长方体的切拼引起的表面积变化。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形。 知识点梳理05：圆柱的旋转构成法 1. 圆柱的旋转构成。 一个长方形以一条边为轴顺时针或逆时针旋转一周，所经过的空间叫做圆柱体。 2. 在旋转时，以不同的边作为轴进行旋转所得到的圆柱是不一样的，因此，我们可以得到以下四种不同的旋转方法。 旋转方法①：如图所示，以宽为轴进行旋转。 以宽为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长就是底面圆的半径。 旋转方法②：如图所示，以长为轴进行旋转。 以长为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽就是底面圆的半径。 旋转方法③：如图所示，以两条长中点的连线为轴进行旋转。 以两条长中点的连线为轴进行旋转，宽就是圆柱的高，长的一半就是底面圆的半径。 旋转方法④：如图所示，以两条宽中点的连线为轴进行旋转。 以两条宽中点的连线为轴进行旋转，长就是圆柱的高，宽的一半就是底面圆的半径。 总结：以谁为轴进行旋转谁就是圆柱的高，而另一条边则是底面的半径。 知识点梳理06：圆柱的体积 1. 圆柱的体积和容积。 （1）一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积；一个圆柱所能容纳物体的体积，叫做这个圆柱的容积。 （2）圆柱形容器容积的求法和体积的求法是一样的，只是所需的数据要从容器的内部量。 2. 圆柱体积的推导方法。 将一个底面半径为r，高为h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱多2个面积大小为hr的长方形，这个长方体的底面积和高与圆柱的底面积和高分别相等，由长方体体积公式（底×高）我们可以推导得出圆柱体体积公式。 如果用V表示圆柱的体积，用S表示圆柱的底面积，用h表示圆柱的高，则圆柱的体积=底面积×高，用字母表示为V=Sh=πr2h。 3. 体积和容积单位进率。 1m3＝1000dm3；1dm3＝1000cm3；1L＝1000mL；1L=1dm3；1mL＝1cm3。 4. 根据圆柱的体积公式=底面积×高，用字母表示为V=Sh，可将体积公式变形反求底面积或高，即： ①S底=V柱÷h ②h=V柱÷S底 知识点梳理07：圆柱体积中的两种关系 其一：比例关系。 1. 当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：高之比就是体积之比。 2. 当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：底面积之比就是体积之比。 3. 已知底面积之比和高之比，求体积之比：分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。 其二：倍数关系。 1. 当高不变时，底面积扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）； 2. 当底面积不变时，高扩大几倍（或缩小为原来的几分之一），体积就扩大几倍（或缩小为原来的几分之一）。 知识点梳理08：长方体中的最大圆柱·圆柱中的最大长方体·正方体中的最大圆柱 1. 长方体中的最大圆柱。 在长a厘米，宽b厘米，高c厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这个圆柱的体积是多少立方厘米，要以长方体底面的宽作为圆柱底面圆的直径，长方体的高作为圆柱的高，再来计算圆柱的体积。 2. 圆柱中的最大长方体。 圆柱中的最大的长方体，高和圆柱的高相等，长方体的底面是一个正方形，这个正方形的对角线恰好是圆柱的底面直径，因此，底面正方形的面积=对角线×对角线÷2，再根据“长方体体积=底面积×高”求出这个长方体的体积。 3. 正方体中的最大圆柱。 把正方体加工成一个最大的圆柱，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长，再利用圆柱的体积公式V柱＝πr2h求圆柱的体积。 知识点梳理09：排水法求不规则物体的体积 1. 转化法求不规则物体的体积。 在遇到不规则的物体计算体积或容积时，可以利用转化法把不规则物体的体积转化为规则物体的体积来计算， 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤如下： （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式。 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在- h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点梳理10：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点梳理11：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点梳理12：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱的认识及特征 【例1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）下面图形经过一定的运动不能形成圆柱的是（    ）。 A．圆形 B．正方形 C．三角形 D．长方形 【变式】（24-25六年级下·广东茂名·期末）想一想，连一连。 题型二：圆锥的认识及特征 【例2】（21-22六年级下·陕西咸阳·期中）将正方形以对角线为轴进行旋转得到的立体图形是（    ）。 A．B． C． D． 【变式】（2021·辽宁沈阳·小升初真题）如果用一个长方体盒子将圆锥包装起来，最少需要（    ）平方厘米的纸板。 A．25.12 B．128 C．112 题型三：圆柱的展开图 【例3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）如图是一个无盖圆柱体纸盒的平面展开图，计算这个无盖圆柱体的表面积。 【变式】（24-25六年级下·辽宁营口·期中） (1)圆柱的底面周长＝长方形的( )；圆柱的高＝长方形的( )。 (2)如果圆柱的侧面展开后是一个正方形。这个圆柱的底面半径与高的比是( )。 题型四：圆柱的侧面积 【例4】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）公园的凉亭有6根圆柱形柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高20分米，工人打算油漆这些柱子，每平方米用油漆0.3千克，一共需要油漆大约多少千克？（得数保留两位小数） 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）把一张边长是30厘米的正方形纸卷成一个最大的圆柱形纸筒，它的底面周长是( )厘米，侧面积是( )平方厘米。 题型五：圆柱的表面积 【例5】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，两位同学分别对一个高是6cm，底面半径是3cm的圆柱平均切成两部分。甲同学切分后，表面积比原来增加了( )，乙同学切分后，表面积比原来增加了( )。 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，以长方形的长边为轴旋转一周得到一个立体图形，计算这个立体图形的表面积。 题型六：组合体的表面积(圆柱) 【例6】（2024·山西晋城·小升初真题）如图的博士帽是用黑色卡纸做成的，上面是边长30厘米的正方形，下面是底面直径16厘米、高10厘米的无底无盖的圆柱。制作一个这样的“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 【变式】（23-24六年级下·山西晋城·期末）“博士帽”被视为博学的象征，如图所示的“博士帽”是用黑色卡纸做成的，上面是边长为30厘米的正方形，下面是底面直径为16厘米、高为10厘米的无底无盖圆柱。制作这样的一顶“博士帽”至少需要多少平方厘米的黑色卡纸？ 题型七：圆柱的体积 【例7】（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【变式】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）一根长3米的圆柱形木料，锯成三段小圆柱后表面积增加16平方分米，这根木料的原体积是( )立方分米。 题型八：圆柱的容积 【例8】．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）妈妈给小红买了一瓶水。小红喝了一些后，进行了一次测量，发现瓶子的底面直径是8cm，水的高度是7cm。她把瓶盖拧紧，把瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高是18cm。这个瓶子的容积是多少毫升？ 【变式】（24-25六年级下·吉林长春·期末）笑笑要把1200毫升果汁倒入底面直径8厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中（杯壁厚度忽略不计），最多能倒满（   ）杯。 A．2 B．3 C．4 D．5 题型九：立体图形的切拼(圆柱) 【例9】（24-25六年级下·陕西西安·期中）李师傅把一个棱长为的正方体钢锭削成一个最大的圆柱，剩余部分的体积是( )。 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）如图，把一个底面半径是4cm的圆柱沿底面直径切成若干等份，拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了144cm2，这个圆柱的体积是( )cm3。 题型十：圆柱与圆锥体积的关系 【例10】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）一个圆柱比和它等底等高的圆锥的体积大72cm3，这个圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。 【变式】（23-24六年级下·四川成都·期末）妈妈榨了一大杯橙汁（如图1），倒入如图2所示的小杯中，可以倒满（    ）（两个杯子的杯口同样大，杯壁厚度忽略不计）。 A．9杯 B．6杯 C．5杯 D．3杯 题型十一：圆锥的体积（容积） 【例11】（2025·广东湛江·小升初真题）一个圆柱和圆锥，底面周长之比为3∶2，体积之比为9∶2，则圆锥与圆柱高的比为( )。 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）在一个从里面量高是3分米，底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装满水，水中完全浸没着一个底面直径是12厘米，高是15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，这时水面下降了多少厘米？（取圆锥体过程中带出的水忽略不计） 题型十二：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例12】（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个底面内直径是20厘米的装有一些水的圆柱形容器，水中浸没着一个底面直径是8厘米，高18厘米的圆锥形铁锤，当把铁锤从水中完全取出时，容器中的水面下降了多少厘米？ 【变式】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个底面直径是20厘米的圆柱形杯子中装有水，水里完全浸没着一个底面直径是8厘米，高是15厘米的圆锥形铁块，当铁块从水中完全取出时，杯子里的水面会下降多少厘米？ 题型十三：立体图形的切拼（圆锥) 【例13】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 【变式】把一个圆锥沿着高切开，得到两个如下图所示的物体，截面的面积是10平方厘米。如果原来圆锥的高是5厘米，它的底面积是 平方厘米？体积是 立方厘米？ 题型十四：组合体的体积(圆柱、圆锥) 【例14】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【变式】（24-25六年级下·陕西榆林·期中）计算下面立体图形的体积。 题型十五：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例15】（2024·黑龙江大兴安岭地·小升初真题）一个底面直径是20厘米的圆柱形容器，容器内的水中浸没着一个底面周长是37.68厘米，高是20厘米的圆锥形铁块，当取出铁块后，容器内水面下降了多少厘米？ 【变式】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个圆柱形玻璃容器的底面直径为16厘米，它里面装有一部分水，水中浸没着一个底面半径是6厘米的圆锥形铅锤，当取出铅锤后，水面下降了1.5厘米，求这个圆锥形铅锤的高是多少厘米？ 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）以长方体的长所在的直线为轴旋转一周，就得到一个（    ）。 A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．以上都有可能 2．（24-25六年级下·广西贺州·期中）计算一个圆柱形通风管需要多少铁皮，就是求圆柱的（    ）。 A．底面积 B．侧面积 C．底面积与侧面积之和 D．体积 3．（2025·四川成都·小升初真题）将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）“铁杵磨成针”的故事大家都知道，假如当时那位老奶奶拿的铁杵长40cm，底面直径是10cm，这根铁杵的体积是( )dm3。 5．（24-25六年级下·河南商丘·期中）将下面的直角三角形分别绕长直角边和短直角边所在的直线旋转一周，可形成两个圆锥。两个圆锥的高分别是( )cm和( )cm，底面半径分别是( )cm和( )cm。 6．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）长方体、正方体、圆柱和圆锥都可以用“底面积×高”来计算体积。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·广东清远·期中）求下面圆锥的体积。 8．（24-25六年级下·河南商丘·期中）一个圆柱形油桶的底面直径是80厘米，高120厘米。小朋友们进行滚油桶比赛，赛道长5024厘米，要想完成比赛，油桶至少要转多少圈？ 9．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 10．（2025·吉林长春·小升初真题）有关牙膏的数学问题： （1）小颖去买牙膏，同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：120克的，每支4.5元，160克的，每支5.6元，她买哪种规格的牙膏比较合算呢？请帮忙算一算。 （2）牙膏出口处直径为5毫米，小颖每次刷牙挤出1厘米长的牙膏，这样，一支牙膏可用36次，该品牌牙膏推出的新包装是将出口直径改为6毫米，小颖还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？ 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·四川成都·小升初真题）一张长5cm、宽4cm的长方形纸，如果绕它的长旋转一周形成甲圆柱，绕它的宽旋转一周形成乙圆柱，则（    ）。 A．甲圆柱的体积大 B．乙圆柱的体积大 C．两个圆柱的体积一样大 2．（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 3．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）把一个底面直径是20cm的圆锥形铁块放入一个底面半径是2dm，高是7dm的圆柱形容器里，铁块完全浸没水中，水面上升了5cm且水未溢出。这个圆锥铁块的体积是 ，高是 cm。 4．（24-25六年级下·广西贺州·期中）一根长5米的圆木，如果锯成2段，表面积就增加18.84平方分米，那么这根圆木的体积是( )立方分米。 5．（2025·广东湛江·小升初真题）一台圆柱体扫地机器人底面直径6dm，一座美术馆大厅柱子直径14dm，这台机器人绕着柱子清扫一圈，则机器人走过的路径长为62.8dm它扫过的面积是28.26dm2。( )（判断对错） 6．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）求体积。 7．（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）劳动课上，笑笑从一张长方形卡纸上剪下一个长方形和一个圆（如图中阴影部分），做成一个无盖的笔筒（接口处忽略不计）。这个笔筒的表面积是多少平方厘米？ 8．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）用下面的长方形硬纸卷成圆柱形，再给这个圆柱形硬纸配一个面积最小的底，制成一个硬纸筒，这个硬纸筒的体积大约是多少立方厘米？（如果遇到形如“2.34×3.12”的计算，可以先把其中较小数2.34保留一位小数即2.3，再计算2.3×3.12。） 9．（24-25六年级下·广东清远·期中）炎炎夏季冰激凌总会带给我们清凉的感觉。每毫升的冰激凌约含有6千焦的热量。淘气买了一个冰激凌（如图），你知道这个冰激凌大约含有多少千焦热量吗？ 10．（24-25六年级下·辽宁营口·期中）一个盖着瓶盖的玻璃瓶里装着一些水（如下图所示），玻璃的厚度忽略不计，瓶子的底面积为10平方厘米。请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是多少立方厘米？ 思维拓展练（共10题 限时30分钟） 1．两块正方体花岗岩的体积之差为25立方分米，如果把这两块花岗岩分别加工成两个最大的圆柱（如图所示），这两个圆柱的体积相差（    ）立方分米。 A．大于25 B．等于25 C．小于25 D．无法确定 2．把一段长1米，侧面积18.84平方米的圆柱体的木料，沿着和底面平行的方向截成两段，这时它的表面积增加了（ ） A．18.84平方米 B．28.26平方米 C．37.68平方米 D．56.52平方米 3．（2024六年级下·辽宁·专题练习）如图一个圆锥形容器中装4.5L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个圆锥形容器一共能装水( )L。 4．一个圆柱的底面半径为5厘米，侧面展开后正好是一个正方形，圆柱的体积是( )立方厘米。 5．下图是圆柱形木料被削去一半后的形状，计算出它的体积。（单位：cm） 6．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 7．如图，一种水稳磨米机的漏斗由圆柱和圆锥两部分组成。其中底面直径都是4dm，圆柱高2dm，圆锥高4dm。每立方分米稻谷重0.65kg。 （1）这个漏斗大约能装多少千克稻谷？（得数保留两位小数） （2）如果稻谷的出米率是70%，那么一漏斗稻谷大约能磨出多少千克大米？ 8．（2014六年级·全国·课后作业）一个密闭的容器（如下图）是由一个圆柱和一个圆锥组成的，圆柱的高是，圆锥的高是，容器内的液面高。当将这个容器倒过来放时，从圆锥的顶点到液面的高是多少厘米？ 9．一种矿泉水的瓶身成呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是600ml，其中装有一些矿泉水，正放时水的高度是15cm，倒放时空余部分的高度是9cm。瓶内现有矿泉水多少毫升？ 10．（22-23六年级下·陕西·期末）有一个圆柱形的零件，高10厘米，底面直径是4厘米，零件的一端有一个圆柱形的孔，孔的底面直径是2厘米，孔深是5厘米（如图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $