（新课衔接）第二单元 比例（章节复习）（新知总结+十大重点难点题型讲练+难度分层训练 共50题）-2026年北师大版数学六年级寒假学习讲义

第二单元 比例（章节复习） 【解析版】 知识总结 2 知识点梳理01：比例的意义 2 知识点梳理04：比例尺 4 知识点梳理05：比例尺的应用 4 知识点梳理06：图形的放大与缩小 4 重点难点题型讲练 5 题型一：比例的意义 5 题型二：比例的基本性质 6 题型三：解比例 7 题型四：比例的应用 9 题型五：比例尺的意义 10 题型六：图上距离与实际距离的换算 11 题型七：比例尺应用 12 题型八：应用比例尺画图 13 题型九：图形的放大和缩小 15 题型十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 19 难度分层训练 20 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 20 能力提升练（共10题 限时20分钟） 26 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 33 【学习目标】 1.结合具体情境，理解比例的意义和“比例中内项的积等于外项的积”的规律，认识比例的各部分名称，结合解决问题的过程学习解比例。 2.经历观察、操作与交流等活动，体会比例尺产生的必要性和实际意义，初步理解比例尺的意义，会求比例尺，能按给定的比例尺求相应的图上距离或实际距离。 3.初步理解图形的放大与缩小，能利用方格纸按一定的比将简单的图形放大或缩小，发展空间观念。 4.运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，体会数学与生活的联系。 【重点难点】 重点：理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。使学生自主探索出解比例的方法，并能解出比例中的未知项。理解比例尺的意义。把图形按一定的比放大或缩小。 难点：通过对比和比例的比较，使学生深刻体会比例的意义；用比例解决生活中的实际问题；能熟练解答比例尺的有关问题；会把图形按一定的比放大或缩小。 知识点梳理01：比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式： 例如：80:2=200:5 （2）分数式： 例如： （3）乘积式： 例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点梳理02：比例的基本性质 1. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点梳理03：解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的认识和意义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点梳理05：比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点梳理06：图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 题型一：比例的意义 【例1】（25-26六年级·全国·假期作业）如图，三角形a边上的高是b，m边上的高是n，则m∶a＝ ∶ 。 【答案】 b n 【思路引导】三角形的底和高要一一对应。根据三角形的面积＝底×高÷2可知，这个三角形的面积是a×b÷2或m×n÷2，那么a×b÷2＝m×n÷2，即ab＝mn；再根据比例的基本性质“在比例里，两个外项的积等于两个内项的积”，据此解答。 【规范解答】a×b÷2＝m×n÷2 ab＝mn 所以m∶a＝b∶n。 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 【答案】（1）18 （2）3 【思路引导】（1）在比例a∶b＝c∶d（b≠0，d≠0）中，根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，即ad＝bc。这是判断四个数能否组成比例的重要依据。根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第四项应该是多少，再用第四项变化后的数减去18即为所求； （2）根据内项之积等于外项之积，先求出变化后的第二项应该是多少，用9减去第二项变化后的数即为所求。 【规范解答】（1）（9＋9）×6÷3 ＝18×6÷3 ＝108÷3 ＝36 36－18＝18 故第四项加上18后式子仍然能组成比例，3∶18＝6∶36。 （2）（18－6）×3÷6 ＝12×3÷6 ＝36÷6 ＝6 9－6＝3 故内项9减去3后比例仍然成立，3∶6＝6∶12。 题型二：比例的基本性质 【例2】．（25-26六年级·全国·假期作业）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【答案】①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝； 【思路引导】根据“两内项之积等于两外项之积”判定哪组中的两个比可以组成比例。 【规范解答】①0.8∶0.4和3.2∶1.6中0.8×1.6＝1.28，3.2×0.4＝1.28， 3.2×0.4＝0.8×1.6，即0.8∶0.4和3.2∶1.6可以组成比例。 ②和10∶ 6中，，，即和10∶ 6不可以组成比例。 ③和中，，即，即和不可以组成比例。 ④48∶16和中，，即48∶16和可以组成比例。 即①和④可以组成比例； 0.8∶0.4＝3.2∶1.6； 48∶16＝。 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，要使比例仍成立，下列说法错误的是（    ）。 A．将12扩大到原来的10倍 B．将4缩小到原来的 C．将9扩大到原来的10 倍 【答案】C 【思路引导】在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，即，根据内项之积等于外项之积，即可求出要使比例仍成立其他的项如何变化。 【规范解答】A．将12扩大到原来的10倍，则外项之积＝×12×10＝36，内项之积＝4×9＝36，内项之积＝外项之积，符合题意，仍成比例。 B．将4缩小到原来的，则外项之积＝，内项之积＝4××9＝，内项之积＝外项之积，符合题意，仍成比例。 C．将9扩大到原来的10 倍，则外项之积＝，内项之积＝4×9×10＝360，内项之积≠外项之积，不符合题意，不成比例。 故答案为：C 题型三：解比例 【例3】（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 x∶45＝24∶36          15∶x＝0.2∶44 解：（    ）x＝（    ）×（    ）     解： x＝（    ）                       x＝（    ）                            【答案】36；45；24；30；15；44；0.2；3300； x＝；x＝8 【思路引导】（1）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以36即可。 （2）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以0.2即可。 （3）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以3.16即可。 （4）根据比例的基本性质，把比例转化为，再简化方程，最后根据等式的性质，方程两边同时除以0.25即可。 【规范解答】解：                                   解：                                              解：                                              解：                                           【变式】．（25-26六年级·全国·随堂练习）水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 【答案】24厘米 【思路引导】先将水车的实际高度12米转换为厘米，然后根据水车模型的高度水车的实际高度，列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 【规范解答】解： 设水车模型的高度是xcm。                                      答：水车模型的高度是24厘米。 题型四：比例的应用 【例4】（25-26六年级·全国·随堂练习）因为水和冰的密度不同，所以相同质量的水和冰的体积之比是9∶10一块体积是66dm3的冰，化成水后的体积是多少？ 【答案】59.4dm3 【思路引导】根据相等质量的水和冰的体积之比，设50的冰化成水后的体积是，列出比例式，据此解答。 【规范解答】解：设化成水后的体积是xdm3。                    答：化成水后的体积是59.4dm3。 【变式】（25-26六年级·全国·随堂练习）用食盐水浸泡菠萝，能缓解菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，让菠萝更香甜可口。水果超市将10g食盐与80g水配制成食盐水来浸泡菠萝。 （1）现有20g食盐，需要多少克水？ （2）700g水里需要加多少克食盐？ 【答案】（1）160g （2）87.5g 【思路引导】（1）设需要xg水，根据“食盐的质量：水的质量＝10：80”列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 （2）设700g水里需要加yg食盐，根据“食盐的质量：水的质量＝10：80”列出比例式，根据比例的基本性质，解比例即可。 【规范解答】（1）解：设需要xg水。                                        答：需要160g水。 （2）解：设700g水里需要加yg食盐。                                       答：700g水里需要加87.5g食盐。 题型五：比例尺的意义 【例5】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【答案】30厘米 【思路引导】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据实际距离×比例尺＝图上距离，求出在比例尺为1∶20000的地图上的距离。 【规范解答】1厘米∶300米 ＝1厘米∶30000厘米 ＝1∶30000 20÷ ＝20×30000 ＝600000（厘米） 600000×＝30（厘米） 答：在比例尺为1∶20000的地图上，甲。乙两地之间的距离是30厘米。 【变式】．（25-26六年级·全国·假期作业）天安门广场的长是880米，宽是500米，在一幅地图上量得天安门广场的长是4.4厘米。在这幅地图上天安门广场的宽是多少厘米？ 【答案】2.5厘米 【思路引导】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，先根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”求出这幅图的比例尺（注意1米＝100厘米），再根据“图上距离＝实际距离×比例尺”求出在这幅地图上天安门广场的宽，据此解答。 【规范解答】图上距离∶实际距离 ＝4.4厘米∶880米 ＝4.4厘米∶（880×100）厘米 ＝4.4∶88000 ＝（4.4÷4.4）∶（88000÷4.4） ＝1∶20000 500米＝50000厘米 50000×＝2.5（厘米） 答：在这幅地图上天安门广场的宽是2.5厘米。 题型六：图上距离与实际距离的换算 【例6】（25-26六年级·全国·假期作业）中国空间站又称“天宫空间站”，它距离地球表面约400~450km。把它画在一幅比例尺是1∶20000000的图上，在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是( )cm，最远距离是( )cm。 【答案】 2 2.25 【思路引导】已知天宫空间站距离地球表面最近和最远的实际距离和比例尺，首先根据1km＝100000cm，将单位换算为cm，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，计算得出在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离和最远距离。 【规范解答】400×100000＝40000000（cm） 450×100000＝45000000（cm） 40000000×＝2（cm） 45000000×＝2.25（cm） 即在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是2cm，最远距离是2.25cm。 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 【答案】 1200 600 3 【思路引导】观察题目，每空单位都是厘米，所以首先根据“1厘米＝10毫米”将零件的实际长度的单位换算为厘米，得到60毫米＝6厘米，然后根据“图上距离＝实际距离×比例尺”进行计算即可。 【规范解答】比例尺：200∶1＝200；100∶1＝100；1∶2＝ 60毫米＝6厘米 6×200＝1200（厘米） 6×100＝600（厘米） 6×＝3（厘米） 一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画1200厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画600厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画3厘米。 题型七：比例尺应用 【例7】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【答案】12小时 【思路引导】先根据比例尺，实际距离＝图上距离÷比例尺，用18厘米除以即可计算出北京到西安的实际距离，然后根据1千米＝1000米＝100000厘米，将该距离单位从厘米转换为千米，用北京到西安的实际距离除以自驾的速度90千米/小时即可求出从北京到西安需要多少小时。 【规范解答】18÷=18×6000000＝108000000（厘米） 108000000÷100000＝1080（千米） 1080÷90＝12（小时） 答：从北京到西安需要12小时。 【变式】（25-26六年级·全国·随堂练习）能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 【答案】110千米/时 【思路引导】比例尺表示图上距离与实际距离的比，即图上1厘米代表实际距离20000000厘米。已知图上距离是3.3厘米，要求实际距离，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算。由于计算结果的单位是厘米，而问题要求的单位是千米，计算后根据进行单位换算，最后根据路程÷时间－甲车的速度即可求出乙车的速度。 【规范解答】（厘米） （千米/时） 答：乙车的平均速度是110千米/时。 题型八：应用比例尺画图 【例8】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 【答案】（1）东；北；30；600； （2）（3）见详解 【思路引导】（1）由比例尺1∶20000可知，图上1厘米表示实际距离200米，把数值比例尺转化为线段比例尺，描述物体的位置时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合题中角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定物体的位置； （2）以学校为观测点，在学校北偏西40°方向上截取400÷200＝2厘米，标出角度，终点处标注少年宫； （3）在学校正西方向截取500÷200＝2.5厘米，然后在终点处画出与滨河路垂直的直线，并在该直线上标注步行街，据此解答。 【规范解答】由数值比例尺可知，图上1厘米代表实际距离20000厘米，20000厘米＝200米。 （1）200×3＝600（米） 分析可知，以学校为观测点，科技馆在学校的东偏北30°或者北偏东90°－30°＝60°方向，距离学校600米处。 （2）（3）作图如下： 【变式】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 【答案】（1）2000；1∶200000 （2）见详解 【思路引导】（1）根据已知的图上距离和实际距离求出图上1cm代表的实际距离，再根据，得出比例尺； （2）先根据比例尺算出博物馆到育才小学的图上距离，再结合方向在图上进行标注。 【规范解答】（1）4000÷2＝2000（m） 4000m＝400000cm 图上1cm表示实际距离2000m，这幅图的比例尺是1∶200000。 （2）6000m＝600000cm 解：设图上距离为cm。 博物馆到育才小学的图上距离为3cm。 画图如下： 题型九：图形的放大和缩小 【例9】（2025·福建泉州·小升初模拟）（1）按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按2∶1的比例画出三角形放大后的图形。（图中一格为1cm） （2）上图原长方形是学校操场按照的比例尺画出的平面图，那么操场的实际面积是多少m2？（图中一格为1cm） 【答案】（1）见详解 （2）9600m2 【思路引导】①图中一格为1cm，由图可知长方形的长是6cm，宽是4cm。按1∶2的比例缩小，即长和宽都除以2，即缩小后的长为6÷2＝3cm，宽为4÷2＝2cm。所以画一个长3cm（3格），宽2cm（2格）的长方形。三角形的底为2cm，高为4cm，按2∶1的比例放大，即三角形的底和高都乘2，放大后三角形的底为2×2＝4cm，高为4×2＝8cm，画一个底4cm（4格），高8cm（8格）的三角形。 ②比例尺表示图上1cm代表实际2000cm，图上原长方形的长为6cm，宽为4cm。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，用6除以得出操场的实际长，用4除以得出操场的实际宽，然后根据长方形面积公式：面积＝长×宽，把数据代入计算即可（最后注意单位的转化）。 【规范解答】①6÷2÷1＝3（格） 4÷2÷1＝2（格） 画一个长3格，宽2格的长方形。 2×2÷1＝4（格） 4×2÷1＝8（格） 画一个底4格，高8格的三角形。 ②6÷ ＝6×2000 ＝12000（cm） 4÷ ＝4×2000 ＝8000（cm） 1m＝100cm 12000÷100×（8000÷100） ＝12000÷100×80 ＝120×80 ＝9600（m2） 操场的实际面积是9600m2。 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，点O的位置用数对表示是（4，10），每个小正方形的边长表示1厘米。按要求画图。 （1）画出将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变，第二个数除以2后的图形。 （2）画出将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 （3）画出将三角形①按2∶1的比放大后的图形。 （4）画出一个与三角形①面积相等的平行四边形。 【答案】见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变即列不变，第二个数除以2即行数除以2，得出新的数对，连接后形成新图形。 （2）根据旋转的特征，将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。 （3）按2∶1的比放大三角形①，则三角形①的底和高都乘2，即是放大后三角形的底和高，据此画出放大后的三角形。 （4）要画一个与三角形①面积相等的平行四边形，先根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形①的面积；再根据平行四边形的面积＝底×高，得出平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。 【规范解答】（1）点O（4，10），新数对为（4，5）； 原（8，10）的新数对为（8，5）； 原（7，12）的新数对为（7，6）； 据此画出新的三角形，如下图。 （2）将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形，如下图。 （3）放大后三角形的底为：4×2＝8（厘米） 放大后三角形的高为：2×2＝4（厘米） 画出一个底为8厘米、高为4厘米的三角形，如下图。 （4）三角形①的面积：4×2÷2＝4（平方厘米） 平行四边形的面积：2×2＝4（平方厘米） 画一个底为2厘米、高为2厘米的平行四边形。 如图： （平行四边形画法不唯一） 题型十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【例10】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 4 50.24 【思路引导】根据C＝2πr可知r＝C÷π÷2，据此算出得出原来圆的半径，再算出缩小后的圆的半径。再根据S=πr2，代入数据即可计算出此时圆的面积。 【规范解答】50.24÷3.14÷2 ＝16÷2 ＝8（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是4厘米，面积是50.24cm2。 【变式】（22-23六年级下·陕西西安·期中）一个平行四边形的底是4厘米，对应的高是2厘米，将这个平行四边形按放大，放大后图形的面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．256 C．64 D．48 【答案】A 【思路引导】将这个平行四边形按放大，就是放大后的平行四边形的底和高是原平行四边形的底和高长度的4倍，则放大后的平行四边形的底是4×4＝16厘米，高是2×4＝8厘米，依据平行四边形面积，将数据代入即可。 【规范解答】（4×4）×（2×4） ＝16×8 ＝128（平方厘米） 放大后图形的面积是（128）平方厘米。 故答案为：A 【考点再现】理解放大的意义，求得放大后平行四边形的底和高的长度是解答本题的关键。 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（25-26六年级·全国·假期作业）随着生活水平日益提高，大家对产品的科学性、美观性等方面的要求也越来越高。如高清电视屏幕的长与宽之比由原来的4∶3发展为16∶9，因为16∶9更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。某品牌50英寸电视的长约为111cm，它的宽约为（    ）。 A．62cm B．68cm C．83cm 【答案】A 【思路引导】已知高清电视屏幕的长与宽之比是16∶9，已知某品牌50英寸电视的长约为111cm，设它的宽为xcm，可得出等量关系：电视的长∶宽＝16∶9，根据比例的基本性质解比例即可。 【规范解答】解：设它的宽为xcm。 111∶x＝16∶9 16x＝111×9 16x＝999 x＝999÷16 x≈62 它的宽约为62cm。 故答案为：A 2．（25-26六年级·全国·假期作业）凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，A的个数∶奖卡的个数＝10∶3，由此即可设他是用个A换的15张奖卡，则列出方程10∶3＝∶15，根据比例的基本性质内项之积等于外项之积即可解方程。 【规范解答】解：设他是用个A换的15张奖卡 10∶3＝∶15 即他是用50个A换的15张奖卡。 故答案为：D 3．（25-26六年级·全国·假期作业）坐落于西安市未央区的西安北客站是亚洲最大高铁站之一，西成（西安至成都）高铁就从这里出发，实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活梦想。在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为( )千米。 【答案】660 【思路引导】两地的实际距离＝图上距离÷比例尺，然后根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，得到1千米＝100000厘米，从小单位往大单位化，除以进率。 【规范解答】6.6÷ ＝6.6×10000000 ＝66000000（厘米） 66000000÷100000 ＝660（千米）。 因此，在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为660千米。 4．（25-26六年级·全国·假期作业）一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是( )。 【答案】1∶5/ 【思路引导】图上距离与实际距离的比叫做比例尺。比例尺＝图上距离∶实际距离，或比例尺＝。为了方便，通常根据比的基本性质把比例尺的前项化为1（图上距离大于实际距离的，常把后项化为1）。据此解答。 【规范解答】根据分析： 2∶10 ＝（2÷2）∶（10÷2） ＝1∶5 一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是1∶5。 5．（25-26六年级·全国·假期作业）甲乙不为零，甲的等于乙的75%，甲乙的最简整数比是8∶9。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据题意，甲的等于乙的75%，75%可转化为，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可得：甲＝乙，根据比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，把甲数和看成比例的外项，把乙数和看成比例的内项，据此改写成比例的形式，甲∶乙＝∶，然后根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘12，化简得到最简整数比即可。 【规范解答】75%＝，所以：甲＝乙×， 甲∶乙＝∶ ∶ ＝（×12）∶（×12） ＝9∶8 所以甲乙的最简整数比为9：8，不是题目中的8：9； 故答案为：× 6．（25-26六年级·全国·随堂练习）解方程或比例。                         【答案】；；； 【思路引导】①根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以2即可； ②根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以40即可； ③根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以4.5即可； ④根据比例的基本性质，把式子转换成，再化简方程，最后根据等式的性质，把方程两边同时除以0.4即可； 【规范解答】        解：                        解：                                       解：                                       解：                              7．（24-25六年级下·安徽亳州·期中）科技馆里展出一种精密仪器零件，在比例尺是5∶1的图纸上，量得这个零件的长度是8毫米，这个零件的实际长度是多少厘米？ 【答案】0.16厘米 【思路引导】比例尺5∶1表示图上距离是实际距离的5倍。已知图上距离是8毫米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可得实际长度为8÷5＝1.6毫米。因为1厘米＝10毫米，低级单位换算成高级单位，需要除以进率。所以1.6毫米换算成厘米需要除以进率10。 【规范解答】比例尺5∶1表示图上距离是实际距离的5倍。 8÷5＝1.6（毫米） 1厘米＝10毫米 1.6÷10＝0.16（厘米） 答：这个零件的实际长度是0.16厘米。 8．（24-25六年级下·广西贺州·期中）经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 【答案】190厘米 【思路引导】根据题意可知，长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，模型高度∶实际高度＝1∶30，据此列出比例方程，并求解。 【规范解答】解：设模型高度为x米。 x∶57＝1∶30 30x＝57×1 30x＝57 x＝57÷30 x＝1.9 1.9米＝190厘米 答：此模型的高度是190厘米。 9．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）将图形A缩小，使缩小后的图形与原图形的边长比是1∶3。 【答案】图见详解 【思路引导】图形按1∶3缩小，即各边长度变为原来的。缩小后长为6×＝2格，宽为6×＝2格，据此画图。 【规范解答】 10．（24-25六年级下·陕西西安·期中）先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 【答案】见解析 【思路引导】梯形按1∶2缩小，则梯形各边都缩小到原来的，据此画出缩小后的梯形；按3∶1放大，则各边都放大到原来的3倍，据此画出放大后的图形。 【规范解答】根据分析，作图如下： 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（25-26六年级·全国·假期作业）下面的图形是按一定的比例缩小的，x是（    ）。 A．6 B．7.5 C．8 D．10 【答案】B 【思路引导】根据“原来长方形的长∶缩小后长方形的长＝原来长方形的宽∶缩小后长方形的宽”，列比例：12∶x＝8∶5，解比例，即可解答。 【规范解答】12∶x＝8∶5 解：8x＝12×5 8x＝60 x＝60÷8 x＝7.5 图形是按一定的比例缩小的，x是7.5。 故答案为：B 2．（25-26六年级·全国·假期作业）在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 【答案】D 【思路引导】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，先求出第一个比的后项加上30，两个内项的积，用第一个比的后项增加30后两个内项的积除以35，求出另一个外项应该是几，减去原来的这个外项即可。 【规范解答】（10＋30）×21 ＝40×21 ＝840 840÷35－6 ＝24－6 ＝18 所以第二个比的后项应加上18才能使该比例成立。 故答案为：D 【考点再现】本题的解题关键是：先算出第一个比的后项加30后的数值，再依据比例内项积等于外项积，求出变化后第二个比的后项，最后用该数值减去原后项，得到需添加的数。 3．（25-26六年级·全国·假期作业）如图，把中间的三角形按一定的比缩小和放大后，分别得到左边和右边两个三角形，则x＝( )，y＝( )。 【答案】 2.5 15 【思路引导】因第一个三角形和第三个三角形是中间的三角形按一定的比缩小和放大后的图形，所以这三个三角形形状一样，只是大小不同，这种图形的对应边的长度的比是可以组成比例的，也就是说对应边的比值是固定的。我们可以先找出已知对应边的比，再列出比例式，用“解比例”的方法算出未知的斜边x和y。从图里能看到：左边小三角形直角边是1.5、2，斜边是x；中间三角形直角边是3、4，斜边是5；右边大三角形直角边是9、12，斜边是y。所以，第一个三角形和第二个三角形对应边的比为：，和，第二个三角形和第三个三角形对应边的比为：，和。按分析列出比例求解即可。 【规范解答】根据分析： 解： 解 所以：，。 4．（25-26六年级·全国·假期作业）电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按( )放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按( )缩小了。 【答案】 5∶1 1∶3 【思路引导】第一个空，把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍，放大后图形与原图形对应边长的比是n∶1，据此写出变大后的长与原来长的比，化简即可；第二个空，把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的，缩小后图形与原图形对应边长的比是1∶n，据此写出缩小后的长与原来长的比，化简即可。 【规范解答】15cm∶3cm＝（15÷3）∶（3÷3）＝5∶1 1cm∶3cm＝1∶3 电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按5∶1放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按1∶3缩小了。 5．（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                【答案】x＝4.05；x＝2；x＝19 【思路引导】根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以3.2； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以24； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以。 【规范解答】 解：                                   解：                              解：                         6．（25-26六年级·全国·假期作业）为迎接母亲节，甲、乙两个花店各进了一批康乃馨，甲、乙两店康乃馨的数量比是5∶6，如果甲店给乙店20枝康乃馨，那么甲、乙两店康乃馨的数量比是3∶4。甲、乙两个花店原来各有康乃馨多少枝？ 【答案】甲店：350枝，乙店：420枝 【思路引导】设甲、乙两个花店共有康乃馨枝。甲、乙两个花店的康乃馨数量比是5∶6，即分别占总数的和，求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；那么甲花店有枝康乃馨和乙花店有枝康乃馨； 如果甲店给乙店20枝康乃馨，那么甲、乙两店康乃馨的数量比是3∶4。由此即可列式，由此即可解方程。用解出的两个花店共有康乃馨枝乘每个花店对应分率即可求出甲、乙两个花店原来各有康乃馨多少枝。 【规范解答】解：设甲、乙两个花店共有康乃馨枝。 甲店：（枝） 乙店：（枝） 答：甲店原来有康乃馨350枝，乙店原来有康乃馨420枝。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 【答案】9厘米 【思路引导】图上距离＝比例尺×实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，先求出甲、乙两地之间的实际距离，再根据新的比例尺，求出图上距离。 【规范解答】30千米＝3000000厘米 15÷ ＝15×3000000 ＝45000000（厘米） 45000000×＝9（厘米） 答：甲、乙两地之间的距离应该画9厘米。 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）按要求画一画。 （1）将长方形①放大，使放大后的图形②与原图形对应线段长的比为2∶1，画出图形②。 （2）在方格纸中画一个长方形③，使它的长与宽的比为4∶3。 【答案】图见详解 【思路引导】（1）将长方形①的长和宽同时扩大到原来的2倍，画出放大后的图形②； （2）根据长与宽的比，选择合适的方格数（如长 4 格、宽 3 格），在方格纸中画出长方形③。（答案不唯一） 【规范解答】（1）先观察长方形①：长方形①的长占 3 个方格，宽占 2 个方格；按2：1放大后，长变为个方格，宽变为个方格；在方格纸中，画出长 6 格、宽 4 格的长方形，即为图形②。 （2）选择长为 4 个方格、宽为 3 个方格（长与宽的比为4：3），在方格纸的空白区域画出该长方形，即为图形③（答案不唯一）。 如下图： 9．（25-26六年级·全国·随堂练习）在下面的方格纸上画出长方形按2∶1放大后的图形，画出三角形按1∶3缩小后的图形。 【答案】图见详解 【思路引导】根据图形放大和缩小的意义，把长方形的长和宽均放大到原来的2倍，所得到的图形就是原图形按放大后的图形。 根据图形放大和缩小的意义，把三角形的两直角边均缩小到原来的，所得到的图形就是原图形按缩小后的图形。 【规范解答】长方形： 三角形： 作图如下： 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）量一量，算一算，画一画。 （1）量出数学课本封面的长和宽，其中长是（    ）cm，宽是（    ）cm。（取整厘米数） （2）要把数学课本封面画在下图所示的方框中，比例尺选择（    ）比较合适。按照所填的比例尺，计算图上距离，并把数学课本封面的平面图画在框中。 【答案】（1）26；18 （2）1∶10；图见详解 （答案不唯一） 【思路引导】（1）先测量得到数学课本封面的长和宽； （2）方框长约7cm、宽约6cm，要把数学课本封面画在方框中，选择合适的比例尺，根据图上距离=实际距离×比例尺，求出画图的图上距离，据此作图。 【规范解答】（1）长是26cm，宽是18cm （2）比例尺：1∶10 长：（cm） 宽：（cm） （答案不唯一） 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·吉林长春·小升初真题）在比例尺是1∶30000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.6厘米。一辆汽车按3∶2的比，分两天行完全程，两天行的路程差是（    ）千米。 A．672 B．336 C．1008 D．1680 【答案】B 【思路引导】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知：实际距离＝图上距离÷比例尺。代入数值计算出实际距离（注意单位统一）； 两天的行程按3∶2分配，则将第一天的路程看作3份，第二天的路程看作2份，用（3＋2）求出总份数，（3－2）求出份数差； 用实际距离除以总份数，即可计算每一份的路程； 用每一份的路程乘份数差，即可计算两天行的路程差； 据此计算。 【规范解答】5.6 ＝5.6×30000000 ＝168000000（厘米） 168000000厘米＝1680千米 1680÷（3＋2）×（3－2） ＝1680÷5×1 ＝336×1 ＝336（千米） 两天行的路程差是336千米。 故答案为：B 【考点再现】本题主要考查比例尺和比的应用，根据公式“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出实际距离是关键。 2．将一个三角形按1 ：3缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【解析】首先三角形的面积=底×高×，三角形按1 ：3缩小，底缩小到原来的，高缩小到原来的，所以面积缩小为原来的。 【规范解答】三角形按1 ：3缩小，底和高都缩小为原来的 ×= 故答案为：C 【考点再现】本题考查比例的应用，注意图形的放大和缩小，只改变大小，不改变形状。 3．（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 【答案】55 【思路引导】设减去的数是，得，根据所得的新分数约分后是，即分数值相等，根据比与分数的关系，可得比例：＝。根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，解此比例，即可求出减去的数的值。 【规范解答】解：设减去的数是。 ＝ 减去的数是55。 【考点再现】根据分数值相等，列出比例求解是关键。 4．（2023·四川成都·小升初真题）张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 【答案】4080 【思路引导】张家与李家本月的收入钱数之比是，可以设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元，本月开支的钱＝本月收入的钱－结余的钱，再根据题意列出比例，然后解比例。两家的总收入＝张家收入钱＋李家收入钱 【规范解答】设张家本月的收入7x元，李家本月的收入为5x元。 （7x－630）∶（5x－700）＝7∶4 （5x－700）×7＝（7x－630）×4 35x－4900＝28x－2520 7x＝2380 x＝2380÷7 x＝340 340×7＋340×5 ＝2380＋1700 ＝4080（元） 则本月两家共收入4080元。 5．（21-22五年级下·广东湛江·期末）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     【答案】x＝68；x＝28；x＝ 【思路引导】x÷4＋3＝x÷3－，根据分数与除法的关系，把x÷4写出；x÷3写出，原式化为：＋3＝－，再根据等式的性质1，方程两边同时减去，再加上，原式化为：－＝3＋，化简含有x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可； 7x－5×（x＋）＝x＋27，化简，去掉括号，原式化为：7x－5x－1＝x＋27，再根据等式的性质1，方程两边同时减去x，再加上1，原式化为：7x－5x－x＝27＋1，再进行计算； ＝（5x＋5）÷6，把（5x＋5）÷6化为，＝，解比例，原式化为：6×（4x－1）＝3×（5x＋5），化简，原式化为：24x－6＝15x＋15，再根据等式的性质1，方程两边同时减去15x，再加上6，原式化为：24x－15x＝15＋6，化简方程左边含有x的算式，即求出24－15的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以24－15的差，即可。 【规范解答】x÷4＋3＝x÷3－ 解：＋3＝－ －＋3＋＝－－＋ －＝ x－x＝ x＝ x÷＝÷ x＝×12 x＝68 7x－5×（x＋）＝x＋27 解：7x－5x－1＝x＋27 2x－1＝x＋27 2x－x－1＋1＝x－x＋27＋1 x＝28 ＝（5x＋5）÷6 解：＝ 6×（4x－1）＝3×（5x＋5） 24x－6＝15x＋15 24x－15x－6＋6＝15x－15x＋15＋6 9x＝21 x＝21÷9 x＝ 6．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】0.75平方厘米 【思路引导】根据题意可知，图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，且图形①和②的一条边长度相同。根据长方形面积公式（面积＝长×宽），如果一条边的长度相同，那么面积之比将直接反映另一条边的长度之比。因此，图形①和②在宽度上的比为1∶2。图形①与②的公共边长度相等，且涂色部分所在长方形与图形③的对应边存在相同比例关系，由此可得图形①和②面积比等于涂色部分所在长方形和图形③的面积比。将涂色部分所在长方形的面积设为x平方厘米，再根据比例关系列出比例，解比例即可求出涂色部分所在长方形的面积。又因为空白三角形和小长方形等底等高，所以空白三角形的面积是小长方形的一半，由此可知涂色部分面积占所在小长方形面积的一半。据此解答。 【规范解答】根据分析： 解：设涂色部分所在长方形面积为x平方厘米。 （平方厘米） 答：涂色部分的面积是0.75平方厘米。 【考点再现】解题的关键是用已知面积的比例，推出未知小长方形的面积；用三角形和长方形的关系：三角形面积是等底等高长方形的一半，得到涂色部分的面积也占长方形的一半。 7．（25-26六年级·全国·假期作业）一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是9厘米，先按4∶1放大，再按1∶3缩小，求缩小后的梯形的面积。 【答案】144平方厘米 【思路引导】将梯形先按4∶1放大，再按1∶3缩小，就是将原来梯形的上底、下底和高先分别扩大到原来的4倍，再分别缩小到原来的，所以原来梯形的上底变为6×4×（厘米），下底变为12×4×（厘米），高变为9×4×（厘米）；再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算出变化后梯形的面积。 【规范解答】上底：6×4× ＝24× ＝8（厘米） 下底：12×4× ＝48× ＝16（厘米） 高：9×4× ＝36× ＝12（厘米） 面积：（8＋16）×12÷2 ＝24×12÷2 ＝288÷2 ＝144（平方厘米） 答：缩小后的梯形的面积是144平方厘米。 【考点再现】不要只对其中一条边缩放，必须保证上底、下底和高同时缩放；图形的缩放是边长的等比例缩放，面积的缩放比例为边长缩放比例的平方，与缩放顺序无关。 8．（25-26六年级·全国·假期作业）已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 【答案】D缩小到原来的 【思路引导】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，已知A∶B＝C∶D，可得AD＝BC。根据A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，写出变化后A和B的比2A∶B，化简得变化后A和B的比是4A∶B，C不变，假设变化后的D为D1，新的比例是4A∶B＝C∶D1，再根据比例的基本性质，得出4AD1＝BC，即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D，即D缩小到原来的。 【规范解答】已知A∶B＝C∶D，根据比例的基本性质可得AD＝BC。 A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的， 即2A∶B＝（2A×2）∶（B×2）＝4A∶B， C不变，假设变化后的D为D1，4A∶B＝C∶D1，根据比例的基本性质可得4AD1＝BC， 即4AD1＝AD，因为4A×D＝AD，所以D1＝D。 答：D要缩小到原来的才能使比例仍然成立。 【考点再现】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质。 9．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）根据平移的特征，将图形A的各顶点分别向上平移4格，依次连接即可得到平移后的图形B。 （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形B的各顶点关于对称轴的对称点后，依次连接各点得到图形C。 （3）根据旋转的特征，将图形D绕点O顺时针旋转90°，点O位置不变，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形E。 （4）图形E是一个底为4、高为2的平行四边形，按1∶2缩小，原来平行四边形的底和高都除以2，则缩小后平行四边形的底为2、高为1，据此画出缩小后的图形F。 【规范解答】如图： 【考点再现】掌握作平移后图形、作旋转后图形、补全轴对称图形以及作缩小后图形的作图方法是解题的关键。 10．（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 【答案】见详解 【思路引导】（1）看清平移的方向和距离，画出平移后的图形即可； （2）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出原半图的关键对称点，依次连接即可； （3）根据旋转的特征，三角形绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形； （4）将图③的底和高同时缩小到原来的，画出缩小后的图形。 【规范解答】如图： 【考点再现】本题考查了图形的平移、画轴对称图形、旋转、图形的放大与缩小，关键是能准确画图。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 比例（章节复习） 【原卷版】 知识总结 2 知识点梳理01：比例的意义 2 知识点梳理04：比例尺 4 知识点梳理05：比例尺的应用 4 知识点梳理06：图形的放大与缩小 4 重点难点题型讲练 5 题型一：比例的意义 5 题型二：比例的基本性质 5 题型三：解比例 6 题型四：比例的应用 6 题型五：比例尺的意义 7 题型六：图上距离与实际距离的换算 7 题型七：比例尺应用 7 题型八：应用比例尺画图 8 题型九：图形的放大和缩小 9 题型十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 10 难度分层训练 10 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 10 能力提升练（共10题 限时20分钟） 12 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 14 【学习目标】 1.结合具体情境，理解比例的意义和“比例中内项的积等于外项的积”的规律，认识比例的各部分名称，结合解决问题的过程学习解比例。 2.经历观察、操作与交流等活动，体会比例尺产生的必要性和实际意义，初步理解比例尺的意义，会求比例尺，能按给定的比例尺求相应的图上距离或实际距离。 3.初步理解图形的放大与缩小，能利用方格纸按一定的比将简单的图形放大或缩小，发展空间观念。 4.运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，体会数学与生活的联系。 【重点难点】 重点：理解比例的意义，能应用比例的意义判断两个比能否组成比例。使学生自主探索出解比例的方法，并能解出比例中的未知项。理解比例尺的意义。把图形按一定的比放大或缩小。 难点：通过对比和比例的比较，使学生深刻体会比例的意义；用比例解决生活中的实际问题；能熟练解答比例尺的有关问题；会把图形按一定的比放大或缩小。 知识点梳理01：比例的意义 1. 比例的意义 （1）表示两个比相等的式子叫做比例。 （2）根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 2. 比例的各部分名称 （1）组成比例的四个数，叫做比例的项。 （2）在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 3. 比例的三种常见形式 （1）比例式： 例如：80:2=200:5 （2）分数式： 例如： （3）乘积式： 例如：80×5=200×2 4. 判断两个比能不能组成比例，关键要看它们的比值是否相等，若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。 知识点梳理02：比例的基本性质 1. 比例的基本性质 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质，用字母表示：如果a∶b=c∶d（b、d均不为0），那么ad=bc。 2. 比和比例的联系与区别 比 比例 意义 两个数相除又叫做这两个数的比，比表示两个数相除的关系。 表示两个比相等的式子叫做比例，比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 构成 由两项组成，分别叫做比的前项和后项。 由四项组成，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 基本性质 比的前项和后项同时乘或除以同一个数(0除外)，比值不变。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 3. 乘积式变形的常见八种形式。 如果a×b=c×d，那么 ①根据比例的基本性质变形：a:c=d:b； ②换比形式：d:b=a:c； ③换内项形式：a:d=c:b； ④换比形式：c:b=a:d； ⑤换外项形式：b:c=d:a； ⑥换比形式：d:a=b:c； ⑦前后换形式：c:a=b:d； ⑧换比形式：b:d=c:a。 4. 比例中项 如果a、b、c三个量成比例，即a:b=b:c，那么b叫做a和c的比例中项，根据比较的基本性质有ac=b2。 注意：只有内项要相等时才称为比例中项 5.先假设两个比能组成比例，再分别算出它们内、外项的积，如果内、外项的积相等，则能组成比例；如果内、外项的积不相等，则不能组成比例。 知识点梳理03：解比例 1. 列比例式的关键是找到对应关系的两个比，解比例的依据是比例的基本性质。 2. 根据比例的基本性质解比例，先把比例转化为两个外项的积与两个内项的积相等的形式，即以前学过的方程，再通过解方程求出未知数的值。 知识点梳理04：比例尺 1. 比例尺的认识和意义 一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺，一般用文字描述为图上1厘米表示实际距离多少厘米。 2. 比例尺主要有两种分类，即线段比例尺和数值比例尺 3. 比例尺三种形式的写法 （1）比的形式：比例尺是图上距离与实际距离的最简整数比，可以写成带比号的形式； （2）分数形式：也可以写成分数形式，即比例尺1∶2500也可以写成； （3）线段形式： 注意：实际上，通常图上距离的单位是厘米，实际距离的单位是千米，因此计算时一定要进行单位换算。 4. 比例尺基本关系式 （1）图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺 （2）实际距离=图上距离÷比例尺； （3）图上距离=实际距离×比例尺。 知识点梳理05：比例尺的应用 1. 根据比例尺和图上距离求实际距离，可以根据“=比例尺”列比例来求，也可以利用“实际距离=图上距离÷比例尺”直接列式计算。 2. 运用比例尺画图，要先根据比例尺求岀图上距离，再根据图上距离画出相应的平面图，最后标明平面图的名称及比例尺。 知识点梳理06：图形的放大与缩小 1.图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。 2.把图形的各边按一定的比放大或缩小后，图形的大小发生了变化，形状没有发生变化。 3.在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步，一看，看原图每边各占几格；二算，计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；三画，按计算岀 的各边长度画出放大或缩小后的图形。 题型一：比例的意义 【例1】（25-26六年级·全国·假期作业）如图，三角形a边上的高是b，m边上的高是n，则m∶a＝ ∶ 。 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）根据3∶9＝6∶18，回答下面的问题。 （1）如果第二项加上9，第一项和第三项不变，那么第四项加上多少后式子仍然能组成比例？ （2）如果把外项18减去6，第一项和第三项不变，那么内项9减去多少后比例仍然成立？ 题型二：比例的基本性质 【例2】．（25-26六年级·全国·假期作业）下面哪组中的两个比可以组成比例？把组成的比例写出来。 ①0.8∶0.4和3.2∶1.6 ②和10∶ 6 ③和 ④48∶16和 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）在3∶4＝9∶12 中，将3缩小到原来的，要使比例仍成立，下列说法错误的是（    ）。 A．将12扩大到原来的10倍 B．将4缩小到原来的 C．将9扩大到原来的10 倍 题型三：解比例 【例3】（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 x∶45＝24∶36          15∶x＝0.2∶44 解：（    ）x＝（    ）×（    ）     解： x＝（    ）                       x＝（    ）                            【变式】．（25-26六年级·全国·随堂练习）水车是一种历史悠久的灌溉工具。园园爸爸对照兰州水车园内的水车制作了一架水车模型，模型的高度与水车实际高度的比是1∶50。已知园中一架水车的实际高度是12m，则水车模型的高度是多少厘米？ 题型四：比例的应用 【例4】（25-26六年级·全国·随堂练习）因为水和冰的密度不同，所以相同质量的水和冰的体积之比是9∶10一块体积是66dm3的冰，化成水后的体积是多少？ 【变式】（25-26六年级·全国·随堂练习）用食盐水浸泡菠萝，能缓解菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，让菠萝更香甜可口。水果超市将10g食盐与80g水配制成食盐水来浸泡菠萝。 （1）现有20g食盐，需要多少克水？ （2）700g水里需要加多少克食盐？ 题型五：比例尺的意义 【例5】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是的地图上量得甲、乙两地之间的距离是20厘米。在比例尺为1∶20000的地图上，甲、乙两地之间的距离是多少厘米？ 【变式】．（25-26六年级·全国·假期作业）天安门广场的长是880米，宽是500米，在一幅地图上量得天安门广场的长是4.4厘米。在这幅地图上天安门广场的宽是多少厘米？ 题型六：图上距离与实际距离的换算 【例6】（25-26六年级·全国·假期作业）中国空间站又称“天宫空间站”，它距离地球表面约400~450km。把它画在一幅比例尺是1∶20000000的图上，在这幅图上天宫空间站距离地球表面的最近距离是( )cm，最远距离是( )cm。 【变式】（25-26六年级·全国·假期作业）一种零件长60毫米，若画在比例尺是200∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是100∶1的图纸上则应画( )厘米；若画在比例尺是1∶2的图纸上则应画( )厘米。 题型七：比例尺应用 【例7】（25-26六年级·全国·假期作业）在比例尺是1∶6000000的图纸上量得北京到西安的距离是18厘米。今年暑假，华华爸爸准备带华华去西安参观兵马俑，若开车自驾，每小时行90千米，从北京到西安需要多少小时？ 【变式】（25-26六年级·全国·随堂练习）能力提升 新素材 科技成就 西成（西安至成都）高铁实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活。在比例尺是1∶20000000的地图上量得两地间的铁路长3.3cm。甲、乙两列火车同时从两地相对开出，2小时后相遇，甲车的平均速度是220千米/时。乙车的平均速度是多少？ 题型八：应用比例尺画图 【例8】（24-25六年级下·陕西汉中·期末）学校周围环境如下图所示。 （1）科技馆在学校的（    ）偏（    ）（    ）°方向，距离学校（    ）米处。 （2）少年宫在学校北偏西40°方向，距离学校400米处，在图中标出少年宫的位置。 （3）学校西面500米处，有一条步行街与滨河路垂直，用直线表示出步行街。 【变式】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）如图，已知育才小学到图书馆的实际距离是4000m，图上距离是2cm。 （1）图上1cm表示实际距离（      ）m，这幅图的比例尺是（            ）。 （2）已知博物馆在育才小学的西偏北20°方向上、距育才小学的实际距离是6000m，在图中标出博物馆的位置。 题型九：图形的放大和缩小 【例9】（2025·福建泉州·小升初模拟）（1）按1∶2的比例画出长方形缩小后的图形，按2∶1的比例画出三角形放大后的图形。（图中一格为1cm） （2）上图原长方形是学校操场按照的比例尺画出的平面图，那么操场的实际面积是多少m2？（图中一格为1cm） 【变式】（2025·陕西榆林·小升初真题）如图，点O的位置用数对表示是（4，10），每个小正方形的边长表示1厘米。按要求画图。 （1）画出将三角形①轮廓点的数对的第一个数不变，第二个数除以2后的图形。 （2）画出将三角形①绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 （3）画出将三角形①按2∶1的比放大后的图形。 （4）画出一个与三角形①面积相等的平行四边形。 题型十：运用图形的放大与缩小解决面积的变化问题 【例10】（23-24六年级下·辽宁·课后作业）一个圆的周长是50.24cm，把它按1∶2的比缩小后，圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。 【变式】（22-23六年级下·陕西西安·期中）一个平行四边形的底是4厘米，对应的高是2厘米，将这个平行四边形按放大，放大后图形的面积是（    ）平方厘米。 A．128 B．256 C．64 D．48 基础夯实练（共10题 限时15分钟） 1．（25-26六年级·全国·假期作业）随着生活水平日益提高，大家对产品的科学性、美观性等方面的要求也越来越高。如高清电视屏幕的长与宽之比由原来的4∶3发展为16∶9，因为16∶9更符合人的视觉体验，也有利于视频画面的呈现。某品牌50英寸电视的长约为111cm，它的宽约为（    ）。 A．62cm B．68cm C．83cm 2．（25-26六年级·全国·假期作业）凡是书写得A等的同学可以用10个A换取3张奖卡，明明现在有15张奖卡，他是用（    ）个A换的。 A．15 B．30 C．40 D．50 3．（25-26六年级·全国·假期作业）坐落于西安市未央区的西安北客站是亚洲最大高铁站之一，西成（西安至成都）高铁就从这里出发，实现了西安人“早上肉夹馍，中午川火锅”的生活梦想。在比例尺为1∶10000000的高速铁路线路图上，量得两地的线路长是6.6厘米，两地的实际距离为( )千米。 4．（25-26六年级·全国·假期作业）一个长10厘米的零件，画在图纸上，长是2厘米，这幅图的比例尺是( )。 5．（25-26六年级·全国·假期作业）甲乙不为零，甲的等于乙的75%，甲乙的最简整数比是8∶9。( )（判断对错） 6．（25-26六年级·全国·随堂练习）解方程或比例。                         7．（24-25六年级下·安徽亳州·期中）科技馆里展出一种精密仪器零件，在比例尺是5∶1的图纸上，量得这个零件的长度是8毫米，这个零件的实际长度是多少厘米？ 8．（24-25六年级下·广西贺州·期中）经过几代人的竭力奋斗，我国的航天事业取得了辉煌成就，长征五号系列运载火箭研制成功，是中国由航天大国迈向航天强国的关键一步。长征五号系列C－5基本型号运载火箭高约57米，某科技馆收藏该型号的火箭模型，模型高度与实际高度的比是1∶30，此模型的高度是多少厘米？ 9．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）将图形A缩小，使缩小后的图形与原图形的边长比是1∶3。 10．（24-25六年级下·陕西西安·期中）先画出将梯形按1∶2缩小的图形，再画出将缩小后的图形按3∶1放大的图形。 能力提升练（共10题 限时20分钟） 1．（25-26六年级·全国·假期作业）下面的图形是按一定的比例缩小的，x是（    ）。 A．6 B．7.5 C．8 D．10 2．（25-26六年级·全国·假期作业）在比例35∶10＝21∶6中，如果将第一个比的后项加上30，第一个比的前项和第二个比的前项不变，那么第二个比的后项应加上（    ）才能使该比例成立。 A．36 B．30 C．24 D．18 3．（25-26六年级·全国·假期作业）如图，把中间的三角形按一定的比缩小和放大后，分别得到左边和右边两个三角形，则x＝( )，y＝( )。 4．（25-26六年级·全国·假期作业）电脑上有一张长3cm、宽2.4cm的图片，拖动鼠标后，图片的长变为15cm，宽变为12cm，相当于把这张图片按( )放大了；若图片的长变为1cm，宽变为0.8cm，则相当于把这张图片按( )缩小了。 5．（25-26六年级·全国·随堂练习）解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                6．（25-26六年级·全国·假期作业）为迎接母亲节，甲、乙两个花店各进了一批康乃馨，甲、乙两店康乃馨的数量比是5∶6，如果甲店给乙店20枝康乃馨，那么甲、乙两店康乃馨的数量比是3∶4。甲、乙两个花店原来各有康乃馨多少枝？ 7．（25-26六年级·全国·假期作业）一幅地图的线段比例尺是，甲，乙两地在这幅地图上相距15厘米。如果把它们画在比例尺是1∶5000000的地图上，那么甲、乙两地之间的距离应该画多少厘米？ 8．（25-26六年级·全国·随堂练习）按要求画一画。 （1）将长方形①放大，使放大后的图形②与原图形对应线段长的比为2∶1，画出图形②。 （2）在方格纸中画一个长方形③，使它的长与宽的比为4∶3。 9．（25-26六年级·全国·随堂练习）在下面的方格纸上画出长方形按2∶1放大后的图形，画出三角形按1∶3缩小后的图形。 10．（25-26六年级·全国·随堂练习）量一量，算一算，画一画。 （1）量出数学课本封面的长和宽，其中长是（    ）cm，宽是（    ）cm。（取整厘米数） （2）要把数学课本封面画在下图所示的方框中，比例尺选择（    ）比较合适。按照所填的比例尺，计算图上距离，并把数学课本封面的平面图画在框中。 思维拓展练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·吉林长春·小升初真题）在比例尺是1∶30000000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.6厘米。一辆汽车按3∶2的比，分两天行完全程，两天行的路程差是（    ）千米。 A．672 B．336 C．1008 D．1680 2．将一个三角形按1 ：3缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的（    ）。 A． B． C． 3．（2025六年级下·全国·专题练习）分数的分子和分母都同时减去某一个数，根据所得的新分数约分后是，减去的这个数是 。 4．（2023·四川成都·小升初真题）张家与李家本月的收入钱数之比是，本月开支的钱数之比是，月底张家结余630元，李家结余700元，则本月两家共收入( )元。 5．（21-22五年级下·广东湛江·期末）解方程。      7x－5×（x＋）＝x＋27     6．（25-26六年级·全国·假期作业）如下图，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形。如果图形①、②、③的面积分别为1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？ 7．（25-26六年级·全国·假期作业）一个梯形的上底是6厘米，下底是12厘米，高是9厘米，先按4∶1放大，再按1∶3缩小，求缩小后的梯形的面积。 8．（25-26六年级·全国·假期作业）已知A∶B＝C∶D，现在将A扩大到原来的2倍，B缩小到原来的，C不变，D要怎样变化才能使比例仍然成立？ 9．（23-24六年级下·山西吕梁·期中）画一画。 （1）图形A向上平移4格得到图形B。 （2）以图中的虚线为对称轴，画出图形B的轴对称图形C。 （3）画出图形D绕点O顺时针旋转90°后的图形E。 （4）将图形E缩小，使新图形F与图形E对应线段长的比为1∶2。 10．（2022·陕西渭南·小升初真题）按要求在方格纸上画一画。 （1）将图①先向右平移8格，再向下平移3格 （2）以虚线MN为对称轴，画出图②的轴对称图形的另一半。 （3）将图③绕点O逆时针旋转 （4）将图③缩小，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $