（新课衔接）第一单元 第3节 圆柱的体积（探索新知+三大重点难点题型讲练+难度分层训练 共32题）-2026年北师大版数学六年级寒假学习讲义

第一单元 圆柱和圆锥 第3节 圆柱的体积 【原卷版】 探索新知 1 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 2 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 4 重点难点题型讲练 5 题型一：圆柱的体积 5 题型二：圆柱的容积 8 题型三：立体图形的切拼（圆柱) 12 难度分层训练 14 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 14 能力提升练（共10题 限时25分钟） 19 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点:掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 【新旧知识链】 计算圆柱的体积 一个圆柱，底面半径是3厘米，高是10厘 米，求它的体积。 3.14X3²X( )=282.6(立方厘米) 计算长方体的体积 一个长方体木块，底面是边长为6厘米的正方形，高是10厘米，求它的体积。6X6X( )=360(立方厘米） 【新知引入】 问：什么是圆柱的体积呢？ 答：圆柱所占空间的大小是圆柱的体积。 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 【例1】想一想，怎样计算圆柱的体积呢？ 我猜想圆柱的体积也可能等于“底面积x高 长方体、正方体的体积都等于“底面积 x高” 方法一：堆硬币法 通过叠硬币，我们发现硬币的( )是固定的，每增加一枚硬币，（ )就增加一些，（ )也随之增大。 方法二：转化法 要求： 1.圆柱通过切拼后,转化为近似的长方体,什么变了? 什么没变? 2.长方体的底面积与原来圆柱的哪部分有关系? 有什么关系? 3.长方体的高与原来圆柱的哪部分有关系? 有什么关系? 4.你认为圆柱的体积可以怎样计算?尝试写出公式。 如果用 V 表示圆柱的体积，S 表示圆柱的底面积，h 表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式可以表示为 【例2】笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m，高为5m。你能算出它的体积吗？ 【例3】从水杯里面量，水杯的底面直径是6 cm，高是16 cm，这个水杯能装多少毫升水？ 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 【例4】金箍棒底面周长是 12.56cm，长是 200cm。这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米的铁重7.9g，这根金箍棒质量为多少千克？ 题型一：圆柱的体积 【例1】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则物体放入圆柱形容器后（物体完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将物体从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 【变式1】（24-25六年级下·广西贺州·期中）一根长5米的圆木，如果锯成2段，表面积就增加18.84平方分米，那么这根圆木的体积是( )立方分米。 【变式2】（24-25六年级下·安徽淮北·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．①号与②号的底面积比是5∶2 B．①号与②号的体积比是5∶2 C．③号与④号的底面积比是4∶25 D．③号与④号的体积比是2∶5 【变式3】（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 题型二：圆柱的容积 【例2】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【变式1】（2025·陕西榆林·小升初真题）一个正方体容器的棱长之和是96cm，若将它装满水后倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满。这个圆柱形容器的底面积是（    ）cm2。（容器的厚度忽略不计） A．64 B．76 C．92 D．108 【变式2】（24-25六年级下·福建南平·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 【变式3】小军是个“科学迷”，在一次课外探究实验中，小军在底面积为的空圆柱形容器内水平放置由两个实心圆柱组成的“几何体”（如图①）。他向容器内匀速注水，注满为止。在注水过程中，小军发现水面高度h与注水时间t之间的关系如图②所示。请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器的高为______，匀速注水的水流速度为______（直接写出答案）； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，请帮助小军求出“几何体”上方圆柱的高和底面积。 题型三：立体图形的切拼（圆柱) 【例3】（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【变式1】（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【变式2】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314dm2；若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加400dm2。这根木料原来的体积是( )m3。 【变式3】（22-23六年级下·陕西榆林·期中）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（20-21六年级下·陕西榆林·期末）一个圆柱形油桶装满了油，从里面量底面直径是10分米，高是12分米，倒出，倒出了（    ）升油。 A．942 B．628 C．314 D．157 2．（2022·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆柱体的罐头盒，底面半径是4厘米，高是10厘米，它的体积是（    ）立方厘米。 A．125.6 B．251.2 C．502.4 3．（20-21六年级下·陕西宝鸡·期中）已知1m3钢材的质量为7900kg，现要知道一段圆柱形钢材的质量，需先求出这段钢材的（    ）。 A．高 B．侧面积 C．底面积 D．体积 4．（2025·四川成都·小升初真题）将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 5．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把棱长为4分米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是( )立方分米。 6．（24-25六年级下·陕西·期末）如图，把圆柱平均切割成若干（偶数）份后拼成一个近似的长方体，这个长方体的高等于圆柱的高，长方体的底面积等于圆柱的( )，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝( )，这个过程体现了( )的数学思想方法。 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积不变。( )（判断对错） 8．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）计算下面图形的体积。 9．（21-22六年级下·广东湛江·期末）重阳节这天，妙妙亲自动手做一个美味的蜂蜜蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似圆柱体，直径是10厘米，高是12厘米，这个蛋糕的体积是多少立方厘米？ 10．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）把一个长50厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体钢坯铸造成底面直径为20厘米的圆柱形钢柱，圆柱形钢柱有多高？（结果保留2位小数） 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·四川成都·小升初真题）把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 2．（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 3．（24-25六年级下·陕西西安·期末）在科学实验室里，同学们用一个存满水的圆柱形储水罐做实验，该储水罐的容积是73.08L，底面积是8.12dm2，做完实验后，罐内剩余水量为容积的，这时水面距离罐口（    ）dm。 A．7 B．2.2 C．1.8 D．2 4．（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 5．（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 6．（如图，一块长方形铁皮，剪下图中的阴影部分，正好可以做一个圆柱形油桶。这个油桶的容积是( )立方分米。（铁皮厚度忽略不计） 7．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）计算（1）的体积和（2）的表面积。 8．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 9．（2025·广东湛江·小升初真题）章老师在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米。他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如图所示，玻璃厚度忽略不计）。这个铁块的体积是多少立方厘米？（得数保留整数） 10．（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱和圆锥 第3节 圆柱的体积 【解析版】 探索新知 1 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 2 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 4 重点难点题型讲练 5 题型一：圆柱的体积 5 题型二：圆柱的容积 8 题型三：立体图形的切拼（圆柱) 12 难度分层训练 14 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 14 能力提升练（共10题 限时25分钟） 19 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点:掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 【新旧知识链】 计算圆柱的体积 一个圆柱，底面半径是3厘米，高是10厘 米，求它的体积。 3.14X3²X( )=282.6(立方厘米) 计算长方体的体积 一个长方体木块，底面是边长为6厘米的正方形，高是10厘米，求它的体积。6X6X( )=360(立方厘米） 【新知引入】 问：什么是圆柱的体积呢？ 答：圆柱所占空间的大小是圆柱的体积。 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 【例1】想一想，怎样计算圆柱的体积呢？ 我猜想圆柱的体积也可能等于“底面积x高 长方体、正方体的体积都等于“底面积 x高” 方法一：堆硬币法 通过叠硬币，我们发现硬币的( 底面积 )是固定的，每增加一枚硬币，（高)就增加一些，（体积)也随之增大。 方法二：转化法 要求： 1.圆柱通过切拼后,转化为近似的长方体,什么变了? 什么没变? 2.长方体的底面积与原来圆柱的哪部分有关系? 有什么关系? 3.长方体的高与原来圆柱的哪部分有关系? 有什么关系? 4.你认为圆柱的体积可以怎样计算?尝试写出公式。 如果用 V 表示圆柱的体积，S 表示圆柱的底面积，h 表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式可以表示为 【例2】笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m，高为5m。你能算出它的体积吗？ 【例3】从水杯里面量，水杯的底面直径是6 cm，高是16 cm，这个水杯能装多少毫升水？ 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 【例4】金箍棒底面周长是 12.56cm，长是 200cm。这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米的铁重7.9g，这根金箍棒质量为多少千克？ 题型一：圆柱的体积 【例1】（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水（没有装满），将一个不规则物体放入圆柱形容器后（物体完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出了20毫升。将物体从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个物体的体积是（    ）立方厘米。 A．359.12 B．319.12 C．113.04 D．339.12 【答案】A 【思路引导】根据题意得：放入容器中的不规则物体，溢出容器的水与水面上升的体积之和即为不规则物体的体积。不规则物体放入容器后溢出20毫升，取出后水面下降3厘米，根据圆柱的体积公式V＝，两者相加可计算得出答案。 【完整解答】20毫升＝20立方厘米 3.14×62×3＋20 ＝3.14×36×3＋20 ＝339.12＋20 ＝359.12（立方厘米） 这个物体的体积是359.12立方厘米。 故答案为：A 【变式1】（24-25六年级下·广西贺州·期中）一根长5米的圆木，如果锯成2段，表面积就增加18.84平方分米，那么这根圆木的体积是( )立方分米。 【答案】471 【思路引导】先根据“1米＝10分米”统一单位。锯成2段，表面积会增加2个底面的面积。将表面积增加部分18.84平方分米除以2，求出圆木的底面积。再根据“圆柱的体积＝底面积×高”求出这根圆木的体积。 【完整解答】5米＝50分米 18.84÷2×50 ＝9.42×50 ＝471（立方分米） 所以，这根圆木的体积是471立方分米。 【变式2】（24-25六年级下·安徽淮北·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．①号与②号的底面积比是5∶2 B．①号与②号的体积比是5∶2 C．③号与④号的底面积比是4∶25 D．③号与④号的体积比是2∶5 【答案】B 【思路引导】A．以宽为轴旋转一周得到①号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的长5dm； 以长为轴旋转一周得到②号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的宽2dm； 根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出①号与②号圆柱的底面积，再求出它们的底面积之比。 B．以宽为轴旋转一周得到①号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的长5dm，圆柱的高等于长方形的宽2dm； 以长为轴旋转一周得到②号圆柱，则圆柱的底面半径等于长方形的宽2dm，圆柱的高等于长方形的长5dm； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，分别求出①号与②号圆柱的体积，再求出它们的体积之比。 C．以宽为高卷成③号圆柱，则圆柱的底面周长等于长方形的长5dm； 以长为高卷成④号圆柱，则圆柱的底面周长等于长方形的宽2dm； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出③号与④号圆柱的底面半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出③号与④号圆柱的底面积，进而求出它们的底面积之比。 D．以宽为高卷成③号圆柱，由上一题可知③号圆柱的底面积； 以长为高卷成④号圆柱，由上一题可知④号圆柱的底面积； 根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出③号和④号圆柱的体积，再求出③号与④号的体积比。 【完整解答】A．①号圆柱的底面积：π×52＝25π（dm2） ②号圆柱的底面积：π×22＝4π（dm2） 25π∶4π＝（25π÷π）∶（4π÷π）＝25∶4 ①号与②号的底面积比是25∶4，原说法错误； B．①号圆柱的体积：25π×2＝50π（dm3） ②号圆柱的体积：4π×5＝20π（dm3） 50π∶20π＝（50π÷10π）∶（20π÷10π）＝5∶2 ①号与②号的体积比是5∶2，原说法正确； C．③号圆柱的底面半径：5÷π÷2＝（dm） ④号圆柱的底面半径：2÷π÷2＝（dm） ③号圆柱的底面积：π×（）2＝（dm2） ④号圆柱的底面积：π×（）2＝（dm2） ∶＝（×4π）∶（×4π）＝25∶4 ③号与④号的底面积比是25∶4，原说法错误。 D．③号圆柱的体积：×2＝（dm3） ④号圆柱的体积：×5＝（dm3） ∶＝（×2π）∶（×2π）＝25∶10＝（25÷5）∶（10÷5）＝5∶2 ③号与④号的体积比是5∶2，原说法错误。 故答案为：B 【变式3】（24-25六年级下·广东深圳·期中）中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（取近似值3） 【答案】15时 【思路引导】根据题意，水面高度上升了6－2＝4厘米，先根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π为3，r为20÷2＝10厘米，h为4厘米），算出上升部分的水的体积，并将单位换算为毫升（1立方厘米＝1毫升）；容器每分钟滴水80滴（20滴水约为1毫升），所以每分钟滴水80÷20＝4毫升，用上升部分的水的体积除以每分钟滴水多少毫升，即可算出一共用了多少分钟；开始时间为10时，加上经过的时间，即可算出此时为几时。 【完整解答】6－2＝4（厘米） 20÷2＝10（厘米） 3×102×4 ＝3×100×4 ＝300×4 ＝1200（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 1200立方厘米＝1200毫升 80÷20＝4（毫升） 1200÷4＝300（分钟） 1小时＝60分钟 300÷60＝5（小时） 10时＋5小时＝15时 答：此时大约是15时。 【考点再现】本题主要考查圆柱的体积公式（V＝πr2h）的实际应用，通过圆柱体积公式求出上升水的体积，再结合滴水速度换算时间，最后推算时刻。 题型二：圆柱的容积 【例2】（2025·辽宁沈阳·小升初真题）“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【答案】（1）12.56平方分米 （2）37.68立方分米 【思路引导】（1）已知这只木桶内部的底面直径是4分米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出木桶内部的底面积。 （2）木桶侧面上的木板长度有3分米、5分米和7分米三种，因为木桶能盛水的体积取决于最短的那块木板，所以这个木桶最多能装水的高度是3分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个木桶在地面平放时最多能装水的体积。 【完整解答】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 答：这个木桶内部的底面积是12.56平方分米。 （2）12.56×3＝37.68（立方分米） 答：这个木桶在地面平放时最多能装37.68立方分米的水。 【变式1】（2025·陕西榆林·小升初真题）一个正方体容器的棱长之和是96cm，若将它装满水后倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满。这个圆柱形容器的底面积是（    ）cm2。（容器的厚度忽略不计） A．64 B．76 C．92 D．108 【答案】A 【思路引导】已知正方体容器的棱长之和是96cm，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长； 若将它装满水，根据正方体的体积公式V＝a3，求出水的体积； 将水倒入另一个高是8cm的圆柱形容器中，刚好倒满，则水的体积等于圆柱的容积；根据圆柱的容积公式V＝Sh，可知圆柱的高h＝V÷h，代入数据计算，求出这个圆柱形容器的底面积。 【完整解答】正方体的棱长：96÷12＝8（cm） 水的体积：8×8×8＝512（cm3） 圆柱的底面积：512÷8＝64（cm2） 这个圆柱形容器的底面积是64cm2。 故答案为：A 【变式2】（24-25六年级下·福建南平·期末）如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 【答案】 25.12 904.32 【思路引导】装饰带的长度就是茶杯中部圆的周长。已知茶杯中部圆的直径为8厘米，根据圆的周长公式C＝πd（d为直径，π取3.14），把数据代入计算即可。 茶杯是一个圆柱，容积公式为V＝πr2h（r为半径，h为高，π取3.14）。由图可知，茶杯的直径为8厘米，则半径为8÷2＝4厘米，高为18厘米，把数据代入公式计算即可。 【完整解答】3.14×8＝25.12（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×42×18 ＝3.14×16×18 ＝50.24×18 ＝904.32（立方厘米） 904.32立方厘米＝904.32毫升 这条装饰带的长度至少是25.12厘米。这个茶杯的容积大约是904.32毫升。 【变式3】小军是个“科学迷”，在一次课外探究实验中，小军在底面积为的空圆柱形容器内水平放置由两个实心圆柱组成的“几何体”（如图①）。他向容器内匀速注水，注满为止。在注水过程中，小军发现水面高度h与注水时间t之间的关系如图②所示。请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）圆柱形容器的高为______，匀速注水的水流速度为______（直接写出答案）； （2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为，请帮助小军求出“几何体”上方圆柱的高和底面积。 【答案】（1）14；5。（2）5cm，24cm²。 【思路引导】（1）根据水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系，可得圆柱形容器的高为14cm；然后用圆柱形容器的底面积乘两个实心圆柱组成的“几何体”的顶部到容器的顶部的距离，再除以水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用的时间，求出匀速注水的水流速度为多少即可。 （2）首先根据圆柱的体积公式，求出“几何体”下方圆柱的高为多少，再用“几何体”的高减去“几何体”下方圆柱的高，求出“几何体”上方圆柱的高是多少；然后设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²，则5×（30－S）＝5×（24－18），据此求出S的值是多少即可。 圆柱体积＝底面积×高，注水的水流速度＝注水体积÷注水时间。 【完整解答】（1）水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系，可得圆柱形的容器的高为14cm。 水流速度：30×（14－11）÷（42－24） ＝30×3÷18 ＝5（cm³/s） 即圆柱形容器的高为14cm，匀速注水的水流速度为5 cm³/s。 （2）“几何体”上方圆柱的高为： 11－（5×18）÷（30－15） ＝11－90÷15 ＝11－6 ＝5（cm） 解：设“几何体”上方圆柱的底面积为Scm²。 则5×（30－S）＝5×（24－18） 150－5S＝30 150－5S＋5S＝30＋5S 30＋5S＝150 5S＝150－30 5S＝120 S＝120÷5 S＝24 答：“几何体”上方圆柱的高为5cm，底面积24cm²。 【考点再现】本题考查了图象的应用，把分段图象中自变量与对应的值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题。 题型三：立体图形的切拼（圆柱) 【例3】（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方体的长是6.28dm，高是3dm，原来这个圆柱的底面半径是( )dm，体积是( )dm3。 【答案】 2 37.68 【思路引导】把圆柱转化成近似的长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱的底面半径，长方体的高＝圆柱的高，圆柱底面周长的一半÷圆周率＝底面半径，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算， 【完整解答】6.28÷3.14＝2（dm） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝37.68（dm3） 原来这个圆柱的底面半径是2dm，体积是37.68dm3。 【变式1】（24-25六年级下·广东清远·期中）一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【答案】125.6立方厘米 【思路引导】根据题意，表面积增加的是两个长方形的截面，长是圆柱体的高，宽是圆柱体的底面直径。用80÷2就是一个截面的面积为40平方厘米，再根据长方形面积＝长×宽，则宽＝长方形面积÷长，所以用40÷10可得圆柱体的底面直径。圆柱的体积＝，代入数据计算即可解答。 【完整解答】底面直径： 80÷2÷10 ＝40÷10 ＝4（厘米） 底面半径：4÷2＝2（厘米） 3.14×22×10 ＝3.14×2×2×10 ＝3.14×4×10 ＝3.14×40 ＝125.6（立方厘米） 答：原来这个圆柱体的体积是125.6立方厘米。 【变式2】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314dm2；若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加400dm2。这根木料原来的体积是( )m3。 【答案】1.57 【思路引导】将一根圆柱形木料截成3段，需要截2次，表面积会增加4个底面的面积。所以用314dm2除以4，即可求出圆柱形木料的底面积。将底面积除以圆周率，求出半径的平方，从而求出底面半径。若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积会增加两个切面的面积，每个切面都是长方形，长和宽分别是圆柱的底面直径和高。将400dm2除以2，求出底面直径乘高的积，再除以底面直径，求出圆柱形木料的高。最后，根据“圆柱体积＝底面积×高”求出这根木料原来的体积。根据“1m3＝1000dm3”进行单位换算。 【完整解答】314÷4＝78.5（dm2） 78.5÷3.14＝25（dm2） 25＝5×5，所以这个圆柱形木料的底面半径是5dm。 400÷2÷（5×2） ＝200÷10 ＝20（dm） 78.5×20＝1570（dm3） 1570dm3＝1.57m3 所以，这根木料原来的体积是1.57m3。 【变式3】（22-23六年级下·陕西榆林·期中）一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】785立方厘米 【思路引导】由题可知，高减少4厘米，表面积比原来减少125.6平方厘米，减少部分就是高4厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积＝底面周长×高，即可求得这个圆柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积；再把原来圆柱的体积看作单位“1”，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。 【完整解答】圆柱的底面半径为：125.6÷2÷3.14÷4 ＝62.8÷3.14÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 减少部分的体积为：3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝78.5×4 ＝314（立方厘米） 原来圆柱的体积为：314÷（1－） ＝314÷ ＝314× ＝785（立方厘米） 答： 这个圆柱形零件原来的体积是785立方厘米。 【考点再现】抓住高减少4厘米时，表面积减少125.6平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（20-21六年级下·陕西榆林·期末）一个圆柱形油桶装满了油，从里面量底面直径是10分米，高是12分米，倒出，倒出了（    ）升油。 A．942 B．628 C．314 D．157 【答案】B 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这桶油的体积，把这桶油的体积看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答。 【完整解答】3.14×（10÷2）2×12× ＝3.14×52×12× ＝3.14×25×12× ＝78.5×12× ＝942× ＝628（立方分米） 628立方分米＝628升 倒出了628升油。 故答案为：B 【考点再现】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，一个数乘分数的意义及应用，关键是熟记公式。 2．（2022·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆柱体的罐头盒，底面半径是4厘米，高是10厘米，它的体积是（    ）立方厘米。 A．125.6 B．251.2 C．502.4 【答案】C 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【完整解答】3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（立方厘米） 故答案为：C 【考点再现】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（20-21六年级下·陕西宝鸡·期中）已知1m3钢材的质量为7900kg，现要知道一段圆柱形钢材的质量，需先求出这段钢材的（    ）。 A．高 B．侧面积 C．底面积 D．体积 【答案】D 【思路引导】因为钢材的质量＝钢材的体积×每立方米钢材的质量，所以现要知道一段圆柱形钢材的质量，需先求出这段钢材的体积。据此解答。 【完整解答】已知1m3钢材的质量为7900kg，现要知道一段圆柱形钢材的质量，需先求出这段钢材的体积。 故答案为：D 【考点再现】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积的意义及应用。 4．（2025·四川成都·小升初真题）将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是（    ）（单位：厘米）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】石块的体积等于水面上升部分的体积，即底面积乘水面上升高度，所以底面积越小，水面上升越多，比较四个容器的底面积大小即可。 【完整解答】A．底面积为6×8＝48（平方厘米） B.  底面积为3.14×（8÷2）² ＝3.14×4² ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） C.  底面积为8×8＝64（平方厘米） D.  底面积为10×8＝80（平方厘米） 48＜50.24＜64＜80，A的底面积最小，水面上升最多。 故答案为：A 5．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把棱长为4分米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是( )立方分米。 【答案】50.24 【思路引导】要把正方体削成最大的圆柱体，这个圆柱体的底面直径和高都等于正方体的棱长。已知正方体棱长为4分米，那么圆柱底面直径为4分米，所以底面半径为4÷2＝2分米，圆柱的高为4分米。根据圆柱体积公式V＝πr2h（V是体积，r是底面半径，h是高，π取3.14），把数据代入公式计算即可。 【完整解答】4÷2＝2（分米） 3.14×22×4 ＝3.14×4×4 ＝50.24（立方分米） 这个圆柱体的体积是50.24立方分米。 6．（24-25六年级下·陕西·期末）如图，把圆柱平均切割成若干（偶数）份后拼成一个近似的长方体，这个长方体的高等于圆柱的高，长方体的底面积等于圆柱的( )，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝( )，这个过程体现了( )的数学思想方法。 【答案】 底面积 底面积×高 转化 【思路引导】观察图形的变化解答。在圆柱的体积公式的推导过程中，把圆柱平均分成若干偶数等份后再拼成一个近似的长方体，把圆柱转化为长方体，圆柱的体积和长方体的体积相等，由图可知，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，根据“长方体的体积＝底面积×高”推导出“圆柱的体积＝底面积×高”，据此解答。 【完整解答】分析可知，把圆柱平均切割成若干（偶数）份后拼成一个近似的长方体，这个长方体的高等于圆柱的高，长方体的底面积等于圆柱的底面积，因为长方体的体积＝底面积×高，所以圆柱的体积＝底面积×高，这个过程体现了转化的数学思想方法。 7．（24-25六年级下·陕西西安·期中）圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积不变。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据圆柱的体积公式V＝πr2h，以及积的变化规律可知，圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，则圆柱的体积扩大到原来的42＝16倍；高缩小到原来的，则圆柱的体积也缩小到原来的；据此判断圆柱的体积发生了变化。 【完整解答】设原来圆柱的底面半径是r，高是h，体积是πr2h； 现在圆柱的底面半径是4r，高是h，则体积是： π×（4r）2×h ＝π×16r2×h ＝4πr2h 4πr2h÷πr2h＝4 体积扩大到原来的4倍。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）计算下面图形的体积。 【答案】56.52立方厘米 【思路引导】该图形可看作是一个“斜圆柱”，可通过补全的方法，将其转化为规则的圆柱来计算体积。把这样两个完全相同的“斜圆柱”拼接，能得到一个底面直径d＝4厘米，高为（3＋6）厘米的完整圆柱。那么所求“斜圆柱”的体积就是这个完整圆柱体积的一半。圆柱体积公式为V＝πr2h（其中r是底面半径，h是圆柱的高，π取3.14），已知底面直径d＝4厘米，半径为4÷2＝2厘米。两个“斜圆柱”拼接后圆柱的高为3＋6＝9厘米。把数据代入公式计算后得出的结果再除以2，即可得出该图形的体积。 【完整解答】4÷2＝2（厘米） 3＋6＝9（厘米） 3.14×22×9÷2 ＝3.14×4×9÷2 ＝113.04÷2 ＝56.52（立方厘米） 该图形的体积是56.52立方厘米。 9．（21-22六年级下·广东湛江·期末）重阳节这天，妙妙亲自动手做一个美味的蜂蜜蛋糕准备送给奶奶。这个蛋糕的形状近似圆柱体，直径是10厘米，高是12厘米，这个蛋糕的体积是多少立方厘米？ 【答案】942立方厘米 【思路引导】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【完整解答】3.14×（10÷2）2×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方厘米） 答：这个蛋糕的体积是942立方厘米。 【考点再现】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 10．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）把一个长50厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体钢坯铸造成底面直径为20厘米的圆柱形钢柱，圆柱形钢柱有多高？（结果保留2位小数） 【答案】31.85厘米 【思路引导】根据题意可知，把长方体的钢坯锻造成圆柱体，形状变了，但体积不变。根据长方体的体积公式：V＝abh求出圆柱形钢柱的体积，然后用圆柱形钢柱的体积除以圆柱的底面积即可，最后根据四舍五入法保留两位小数即可。 【完整解答】50×10×20÷[3.14×（20÷2）2] ＝500×20÷[3.14×102] ＝10000÷[3.14×100] ＝10000÷314 ＝31.85（厘米） 答：圆柱形钢柱高31.85厘米。 【考点再现】此题解答关键是明确：把长方体的钢板锻造成圆柱体，虽然形状变了，但体积不变；根据长方体、圆柱的体积公式解答。 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（2025·四川成都·小升初真题）把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这个长方体的表面积比圆柱增加30cm2，那么圆柱的体积是（    ）cm3。 A．30π B．45π C．60π D．180π 【答案】B 【思路引导】把一个圆柱切拼成一个近似长方体，这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了长方体左右两个面的面积，长方体左右面的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径，已知这个长方体的表面积比原来增加30cm2，用30÷2得出增加的一个面的面积，再接着除以半径可以求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式，把数据代入公式解答。 【完整解答】30÷2＝15（cm2） 15÷（6÷2） ＝15÷3 ＝5（cm） ×（6÷2）2×5 ＝×32×5 ＝×9×5 ＝9×5 ＝45（cm3） 圆柱的体积是45cm3。 故答案为：B 2．（2025·四川成都·小升初真题）如图，（    ）运用了“转化”的思想方法。 A．只有①②④ B．只有②③④ C．①②③④都有 【答案】C 【思路引导】①多边形内角和的计算，把多边形转化成若干个三角形，根据三角形的内角和推导出多边形的内角和公式； ②小数乘法的计算运用了“转化”的思想方法，计算小数乘法，先把小数乘法转化为整数乘法，根据整数乘法的计算法则算出积，再看两个因数共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点； ③根据平行四边形的面积公式的推导方法，把平行四边形转化为长方形，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积公式； ④圆柱体积公式的推导运用了“转化”的思想方法，即把圆柱切拼成一个近似长方体，根据长方体的体积公式推导出圆柱的体积公式。 据此解答即可。 【完整解答】根据分析： ①②③④运用了“转化”的思想方法。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·陕西西安·期末）在科学实验室里，同学们用一个存满水的圆柱形储水罐做实验，该储水罐的容积是73.08L，底面积是8.12dm2，做完实验后，罐内剩余水量为容积的，这时水面距离罐口（    ）dm。 A．7 B．2.2 C．1.8 D．2 【答案】D 【思路引导】先根据进率“1L＝1dm3”将圆柱形储水罐的容积73.08L换算成73.08dm3，然后根据圆柱体的高h＝V÷S，求出容器的高度； 已知做完实验后，罐内剩余水量为容积的，因为底面积不变，所以剩余水的高度也是储水罐高度的，把储水罐的高度看作单位“1”，则水面距离罐口的高度是储水罐高度的（1－），单位“1”已知，用储水罐的高度乘（1－），求出水面距离罐口的高度。 【完整解答】73.08L＝73.08dm3 73.08÷8.12＝9（dm） 9×（1－） ＝9× ＝2（dm） 这时水面距离罐口2dm。 故答案为：D 4．（2025·四川成都·小升初真题）如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π取3.14） 【答案】251.2 【思路引导】将一个圆柱切开后拼成一个近似长方体，高不变，体积不变，长方体的长等于圆柱的底面周长的一半（πr），用这个长方体的长12.56除以3.14即可求得圆柱的底面半径；拼成的长方体表面积比圆柱多了长方体的左右两个面，这两个长方形的面的长和圆柱的高相等，宽等于圆柱的底面半径，已知表面积增加40平方厘米，先用40÷2求出一个面的面积，再除以半径，即可求出高，最后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出圆柱的体积。 【完整解答】12.56÷3.14＝4（厘米） 40÷2÷4 ＝20÷4 ＝5（厘米） 12.56×4×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米） 则原来圆柱体的体积是251.2立方厘米。 5．（24-25六年级下·四川成都·期末）妙妙在解决“已知圆柱的底面直径为8cm，高为7cm，求这个圆柱的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆柱的体积。 第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm） 第二步：8÷2＝4（cm） 第三步： 。 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 长方体的长相当于圆柱的( )，宽相当于圆柱的( )，长方体的高等于圆柱的( )，所以，圆柱的体积等于( )。 【答案】 12.56×4×7＝351.68（cm3） 底面周长的一半 底面半径 高 长方体的体积 【思路引导】妙妙的计算步骤，第一步：3.14×8÷2＝12.56（cm），这一步计算的是圆柱底面圆周长的一半，因为圆的周长公式为C＝πd（d为直径），所以周长的一半为πd÷2。第二步：8÷2＝4（cm），这是求出圆柱的底面半径r，因为半径r＝d÷2。第三步：根据圆柱体积公式的推导，把圆柱切拼成近似的长方体后，长方体的体积等于长×宽×高，而长方体的长是圆柱底面圆周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。所以第三步应该用长×宽×高来计算体积，即12.56×4×7＝351.68（cm3）。 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半。宽相当于圆柱的底面半径。长方体的高等于圆柱的高。因为长方体的体积＝长×宽×高，所以圆柱的体积等于长方体的体积。 【完整解答】第三步应该用长×宽×高来计算体积。 第三步：12.56×4×7＝351.68（cm3） 长方体的长相当于圆柱的底面圆周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，所以，圆柱的体积等于长方体的体积。 6．（如图，一块长方形铁皮，剪下图中的阴影部分，正好可以做一个圆柱形油桶。这个油桶的容积是( )立方分米。（铁皮厚度忽略不计） 【答案】100.48 【思路引导】圆的周长是直径π倍，所以用16.56除以π与1的和，就可以计算出这个油桶的底面直径，用油桶的底面直径乘2，可以计算出油桶的高，再根据圆柱的容积＝底面积×高，就可以计算出这个油桶的容积是多少。 【完整解答】油桶的底面直径： 16.56÷（3.14＋1） ＝16.56÷4.14 ＝4（分米） 油桶的高：4×2＝8（分米） 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×4×8 ＝12.56×8 ＝100.48（立方分米） 【考点再现】本题解题关键是根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数＋1）＝1份数，计算出圆柱的直径，再计算出圆柱的高，最后根据圆柱的容积＝底面积×高，计算油桶的容积。 7．（24-25六年级下·安徽阜阳·期中）计算（1）的体积和（2）的表面积。 【答案】（1）502.4cm3； （2）94.8dm2 【思路引导】（1）由图可知，该圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，根据圆柱的体积公式计算出该圆柱的体积。 （2）该立体图形是一个半圆柱，其表面积等于圆柱侧面积的一半加一个圆的面积（上面半圆与下面半圆合成一个完整的圆），再加上长方形的面积。 已知该半圆柱的底面直径是4dm，高是8dm，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh计算出圆柱的侧面积，再除以2计算出侧面积的一半； 计算出底面半径是4÷2＝2dm，根据圆的面积公式计算出圆的面积； 长方形的长相当于半圆柱的高8dm，宽相当于半圆柱的底面直径4dm，根据“长方形面积＝长×宽”计算出长方形的面积； 最后将三部分相加即可。 【完整解答】（1）3.14×42×10 ＝3.14×16×10 ＝50.24×10 ＝502.4（cm3） 该圆柱的体积是502.4cm3； （2）4÷2＝2（dm） 3.14×4×8÷2＋3.14×22＋8×4 ＝12.56×8÷2＋3.14×4＋8×4 ＝100.48÷2＋12.56＋32 ＝50.24＋12.56＋32 ＝62.8＋32 ＝94.8（dm2） 该半圆柱的表面积是94.8dm2。 8．（2025·江西吉安·小升初真题）在闽南皮影戏中，有一种“话灯”，又称“走马灯”，是用竹和纸制成中空的圆柱，内装一纸轮，粘上纸剪的人马，灯内点上蜡烛，就可以通过烛光将剪纸的影像投射在屏上。请你试着计算出下面这个“走马灯”的体积。（π取3.14） 【答案】4710立方厘米 【思路引导】“走马灯”是一个圆柱体，根据圆柱的体积为V＝πr2h，代入数据解答即可。 【完整解答】3.14×102×15 ＝314×15 ＝4710（立方厘米） 答：这个“走马灯”的体积是4710立方厘米。 9．（2025·广东湛江·小升初真题）章老师在一个长方体的玻璃容器中装了一些水，他把一个底面半径为4厘米的圆柱形铁块完全浸入水中，发现水面上升了8厘米。他又把这个铁块垂直拉出水面5厘米，这时水面下降2厘米（如图所示，玻璃厚度忽略不计）。这个铁块的体积是多少立方厘米？（得数保留整数） 【答案】1005立方厘米 【思路引导】当把铁块垂直拉出水面5厘米时，水面下降2厘米。拉出的铁块的体积等于下降的水的体积。拉出的铁块是一个底面半径为4厘米，高为5厘米的圆柱，根据圆柱体积公式V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），可得拉出部分铁块的体积为：3.14×42×5＝251.2（立方厘米）。下降的水的体积等于容器底面积乘水面下降的高度2厘米，所以长方体的玻璃容器底面积为251.2÷2＝125.6（平方厘米）。当铁块完全浸入水中时，水面上升了8厘米，上升的水的体积等于铁块的体积。上升的水的体积为容器底面积乘水面上升的高度8厘米，用125.6乘8计算即可。 【完整解答】3.14×42×5 ＝3.14×16×5 ＝50.24×5 ＝251.2（立方厘米）。 251.2÷2＝125.6（平方厘米） 125.6×8＝1004.8（立方厘米） 1004.8≈1005 答：这个铁块的体积约是1005立方厘米。 10．（2025·吉林长春·小升初真题）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如图所示），请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积。 【答案】60毫升 【思路引导】根据题意，正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变。右图水的体积＝左图水的体积，左图水的体积是标准的圆柱体体积，右图空的部分高是7－5＝2（厘米），右图空的部分体积是标准的圆柱体体积，那么瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。，把数据代入圆柱体体积公式计算即可解答。 【完整解答】10×4＋10×（7－5） ＝10×4＋10×2 ＝40＋20 ＝60（立方厘米） 60立方厘米=60毫升 答：瓶子的容积的是60毫升。 【考点再现】正放和倒放水的体积和无水部分的体积不变，把瓶子分为两个标准圆柱进行计算，瓶子的容积＝左图水的体积＋右图空的部分体积，相当于是两个圆柱体体积之和。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 第一单元圆柱和圆锥 第3节圆柱的体积 【原卷版】 口目录索引 探索新知。。。。。。。。。。。。。 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 …2 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 重点难点题型讲练. 。”··。。,。5 题型一：圆柱的体积.… 5 题型二：圆柱的容积…………… ..6 题型三：立体图形的切拼（圆柱)...... 7 难度分层训练。。。。。。。。。。……8 基础夯实练（共10题限时20分钟) 能力提升练（共10题限时25分钟) ………10 口目标导航 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲 为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点：掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点：理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 口探索新知 第1页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【新旧知识链】 计算长方体的体积 计算圆柱的体积 一个长方体木块，底面是边长为6 一个圆柱，底面半径是3厘米，高是10厘 厘米的正方形，高是10厘米，求 米，求它的体积。 它的体积。6X6X()=360(立方厘 3.14X32X( )=282.6(立方厘米) 米) 【新知引入】 实际上都需要求 圆柱的体积。 个杯子能装多 这么粗的柱 少毫升水呢？ 子，需要多 少木材呢？ 问：什么是圆柱的体积呢？ 答：圆柱所占空间的大小是圆柱的体积。 【新知学习一：推导圆柱的体积公式】 【例1】想一想，怎样计算圆柱的体积呢？ 我猜想圆柱的体积也可 长方体、正方体的体积都等 于“底面积x高” 能等于“底面积x高 方法一。堆硬币法 通过叠硬币，我们发现硬币的( )是固定的，每增加一枚硬币，()就增加一些，()也随之增大。 第2页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 方法二：转化法 要求 1.圆柱通过切拼后，转化为近似的长方体，什么变了？什么没变？ 2.长方体的底面积与原来圆柱的哪部分有关系？有什么关系？ 3长方体的高与原来圆柱的哪部分有关系？有什么关系？ 4.你认为圆柱的体积可以怎样计算？尝试写出公式。 圆柱的高 长方体的高 圆柱底面积 长方体底面积 长方体的体积=底面积×高 圆柱的体积=底面积×高 如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，那么圆柱的体积计算公式可以表示为 圆柱的体积=底面积×高 V=Sh 圆柱底面 方体底面积 底面圆的半径 底面圆周长的一半 第3页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 长方体的体积= 长 宽 ×高 圆柱的体积=底面圆周长的一半×底面圆的半径X高 V=ar2h 【例2】笑笑了解到一根柱子的底面半径为0.4m,高为5m。你能算出它的体积吗？ 这么粗的柱 子，需要多 少木材呢？ 【例3】从水杯里面量，水杯的底面直径是6cm,高是16cm,这个水杯能装多少毫升水？ 【新知学习二：灵活运用圆柱的体积公式解决实际问题】 【例4】金箍棒底面周长是12.56cm,长是200cm。这根金箍棒的体积是多少立方厘米？ 如果这根金箍棒是铁制的，每立方厘米的铁重7.9g,这根金箍棒质量为多少千克？ 第4页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 口重点难点题型讲练 题型一：圆柱的体积 【例1】(24-25六年级下·陕西咸阳·期中)一个底面内半径是6厘米的圆柱形玻璃器皿里装有一部分水 (没有装满)，将一个不规则物体放入圆柱形容器后（物体完全淹没在玻璃器皿里面），此时水刚好溢出 了20毫升。将物体从水中取出后，水面又下降了3厘米。这个物体的体积是( )立方厘米。 A.359.12 B.319.12 C.113.04 D.339.12 【变式1】(24-25六年级下·广西贺州·期中)一根长5米的圆木，如果锯成2段，表面积就增加18.84 平方分米，那么这根圆木的体积是( )立方分米。 【变式2】(24-25六年级下·安徽准北·期中)下面说法正确的是( 以豌为辅旋转调 以长为袖旋转二周 以宽为高系成圆相 以衣为高卷成茵相 5dm 2dm 2dm 5dm→ 5dm 5dm ①号 2dm 2dm 2)号 3号 ④号 A.①号与②号的底面积比是5：2 B.①号与②号的体积比是5：2 C.③号与④号的底面积比是4：25 D.③号与④号的体积比是2：5 【变式3】(24-25六年级下·广东深圳·期中)中国古代有许多发明令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具。 乐乐参加课外兴趣小组，制作了如下图所示的简易滴水计时器。经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80 滴(20滴水约为1毫升)，下方为圆柱形透明容器。乐乐于10时测得下方容器中水面高度为2厘米，经过 一段时间后测得下方容器中水面高度为6厘米，那么此时大约是几时？（π取近似值3） 20厘米 第5页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 题型二：圆柱的容积 【例2】(2025·辽宁沈阳·小升初真题)“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块 木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只 木桶（如图）。己知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分 米和7分米三种。 (1)这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ (2)这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【变式1】(2025·陕西榆林·小升初真题)一个正方体容器的棱长之和是96cm,若将它装满水后倒入另 一个高是8c的圆柱形容器中，刚好倒满。这个圆柱形容器的底面积是( )cm。(容器的厚度忽 略不计) A.64 B.76 C.92 D.108 【变式2】(24-25六年级下·福建南平·期末)如图，爸爸的茶杯中部有一圈装饰带，这条装饰带的长度 至少是( )厘米（接头处不计）。这个茶杯的容积大约是( )毫升（玻璃杯厚度不计）。 8厘米 【变式3】小军是个“科学迷”，在一次课外探究实验中，小军在底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放 置由两个实心圆柱组成的“几何体”（如图①)。他向容器内匀速注水，注满为止。在注水过程中，小军 发现水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示。请根据图中提供的信息，解答下列问题： 第6页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 h/cm 14 11 图0 1824 42 s 图② (1)圆柱形容器的高为 cm,匀速注水的水流速度为 cm3/s(直接写出答案)： (2)若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2,请帮助小军求出“几何体”上方圆柱的高和底面积。 题型三：立体图形的切拼（圆柱) 【例3】(24-25六年级下·安徽阜阳·期中)曹冲称象时，利用转化的思想，把大象的质量转化成石头的 质量。我们在推导圆柱体积公式时，也利用了转化的思想，把圆柱转化成近似的长方体。若转化成的长方 体的长是6.28dm,高是3dm,原来这个圆柱的底面半径是( )dm,体积是( )dm。 【变式1】(24-25六年级下·广东清远·期中)一个圆柱体零件，高10厘米，如果沿着它的一条底面直 径垂直底面往下切（如图），切成大小相同的两份，表面积增加了80平方厘米，那么原来这个圆柱体的体 积是多少立方厘米？ 0 第7页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【变式2】(24-25六年级下·河北邯郸·期中)把一根圆柱形木料截成3段小圆木，表面积增加了314m; 若沿底面直径平均分成两个半圆柱体，表面积增加400dm。这根木料原来的体积是( )m。 【变式3】(22-23六年级下·陕西榆林·期中)一个圆柱形的零件，将它的高减少4厘米，表面积比原来 减少125.6平方厘米，体积是原来的，这个圆柱形零件原来的体积是多少立方厘米？ 难度分层训练 基础夯实练（共10题限时20分钟) 1.(20-21六年级下·陕西榆林·期末)一个圆柱形油桶装满了油，从里面量底面直径是10分米，高是 12分米，倒出导，倒出了( )升油。 A.942 B.628 C.314 D.157 2.(2022·辽宁沈阳·小升初真题)一个圆柱体的罐头盒，底面半径是4厘米，高是10厘米，它的体积 是( )立方厘米。 A.125.6 B.251.2 C.502.4 3.（20-21六年级下·陕西宝鸡·期中)己知1m钢材的质量为7900kg,现要知道一段圆柱形钢材的质量， 需先求出这段钢材的( ）。 A.高 B.侧面积 C.底面积 D.体积 4.(2025·四川成都·小升初真题)将下图中石块依次放入四个容器中，石块均能完全浸没在水中，且水 未溢出容器。容器底面数据如图所示，水位上升最多的是( )(单位：厘米)。 8 C. 第8页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 5.(24-25六年级下·辽宁大连·期中)把棱长为4分米的正方体削成一个最大的圆柱体，这个圆柱体的 体积是( )立方分米。 6.(24-25六年级下·陕西·期末)如图，把圆柱平均切割成若干（偶数）份后拼成一个近似的长方体， 这个长方体的高等于圆柱的高，长方体的底面积等于圆柱的( ),因为长方体的体积=底面积×高， 所以圆柱的体积=( ),这个过程体现了( )的数学思想方法。 7. (2425六年级下·陕西西安·期中)圆柱的底面半径扩大到原来的4倍，高缩小到原来的，体积不变。 ( )(判断对错) 8.(24-25六年级下·辽宁大连·期中)计算下面图形的体积。 6厘米 3厘米 d=4厘米 9.（21-22六年级下·广东湛江·期末)重阳节这天，妙妙亲自动手做一个美味的蜂蜜蛋糕准备送给奶奶。 这个蛋糕的形状近似圆柱体，直径是10厘米，高是12厘米，这个蛋糕的体积是多少立方厘米？ 10.(22-23六年级下·陕西宝鸡·期中)把一个长50厘米，宽10厘米，高20厘米的长方体钢坯铸造成 底面直径为20厘米的圆柱形钢柱，圆柱形钢柱有多高？（结果保留2位小数） 第9页共12页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 能力提升练（共10题限时25分钟) 1.(2025·四川成都·小升初真题)把底面直径为6cm的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。这 个长方体的表面积比圆柱增加30cm,那么圆柱的体积是( ）cm。 A.30π B.45元 C.60π D.180π 2.(2025·四川成都·小升初真题)如图，( )运用了“转化”的思想方法。 0.23 ×100 ① ②@×0.5×10 X( ( ) ÷1000 求内角和 小数乘法 080 ④ 求面积 求体积 A.只有①②④ B.只有②③④ C.①②③④都有 3.(24-25六年级下·陕西西安·期末)在科学实验室里，同学们用一个存满水的圆柱形储水罐做实验， 该储水罐的容积是73.08L,底面积是812r,做完实验后，罐内剩余水量为容积的好 ,这时水面距离罐口 )dm。 A.7 B.2.2 C.1.8 D.2 4.(2025·四川成都·小升初真题)如下图，把一个圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体，这个长 方体的长是12.56厘米，表面积比原来增加40平方厘米，原来圆柱体的体积是( )立方厘米。（π 取3.14) 5.(24-25六年级下·四川成都·期末)妙妙在解决“己知圆柱的底面直径为8cm,高为7cm,求这个圆柱 的体积”这一问题时，没有直接用体积公式进行计算，而是根据圆柱体积公式的推导过程，想出了另外一 种方法，分步计算圆柱的体积。你能看懂她的想法吗？请你补上妙妙的最后一步（第三步）算式，计算圆 柱的体积。 第一步：3.14×8÷2=12.56(cm) 第二步：8÷2=4(cm) 第三步： 0 请你借助如图说妙妙这么做的理由： 第10页共12页