（新课衔接）第一单元 第4节 圆锥的体积（探索新知+六大重点难点题型讲练+难度分层训练 共38题）-2026年北师大版数学六年级寒假学习讲义

寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 第一单元圆柱和圆锥 第4节圆锥的体积 【原卷版】 口目录索引 探索新知。。。。。。。。。。。。。 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】…2 重点难点题型讲练。… 0。0。。。4 题型一：圆柱与圆锥体积的关系. 题型二：圆锥的体积（容积) ..5 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥) ·6 题型四：立体图形的切拼（圆锥)...... 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥)…… …7 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥) .8 难度分层训练。。。。。。。。。。。。。 基础夯实练（共10题限时20分钟) ，。，。。，。。。。。。。,,,。。,,,,。。,。。。。。。。9 能力提升练（共10题限时25分钟）………11 口目标导航 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲 为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点：掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点：理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 口探索新知 第1页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【新旧知识链】 计算圆锥的体积 计算圆柱的体积 一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是 一个圆柱的底面积是28.26平方 1.5米，这堆沙子的体积是多少立方米？ 米，高是5米，求它的体积。 )X3.14X22X(）=6.28（立方米) 28.26X（ )=141.3(立方米) 【新知引入】 好大的一堆 小麦… 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】 【例1】这堆小麦的体积是多少呢？ 想一想，如何得到圆锥的体积？ === 圆锥的体积和它等底同高的圆柱的体 积会有什么关系呢？ 第2页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 按照下面的方法做一做，你有什么发现？ 将圆锥形容器装满 沙子或水，再倒入 准备等底等高的圆 圆柱形容器，看几 柱形容器和圆锥形 次能倒满。 容器各一个。 等高 等底 实验探究：等底等高的圆柱和圆锥容器容积有什么关系？ 通过实验，你发现圆锥的体积与同它等底、等高的圆柱的体积之间的关系了吗？ 第一次倒 第二次倒 第三次倒 如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？ 第3页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 圆锥的体积=二X等底等高圆柱的体积 圆锥的体积=二X底面积X高 3 这堆小麦的体积是多少呢？ 动脑想一想，要求圆锥的体积，必须知道哪些条件？ 底面面积和高 3 底面半径和高 V圆锥 上rr2h 3 底面直径和高 倒锥= 底面周长和高 口重点难点题型讲练 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 〖例1】(2025·四川成都·小升初真题)一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1：9，如果圆 锥的高是6cm,那么圆柱的高是( )cm:如果圆柱的高是6cm,那么圆锥的高是( ）cm。 【变式1】(24-25六年级下·陕西西安·期末)如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去 部分的体积是( )dm3。 第4页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 3dm 3dm 10dm 10dm 【变式2】(24-25六年级下·辽宁大连·期中)如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的 圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 题型二：圆锥的体积（容积) 【例2】(24-25六年级下·辽宁锦州·期末)一个圆锥形小麦堆，底面周长是18.84n,高是2m。如果每 立方米小麦的质量为750kg,这堆小麦的质量为多少t? 【变式1】(24-25六年级下·陕西汉中·期中)求下面图形的体积。 8cm 12cm (1) 第5页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 7cm -- (2) 6cm 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期末)如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。 上面部分是一个( ),下面部分是一个( ),上面部分和下面部分的体积比是()：( ）。 10cm- 4cm 8cm 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥) 【例3】(24-25六年级下·陕西榆林·期末)一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水， 水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分 米？ 【变式1】(24-25六年级下·陕西汉中·期中)把一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，铸 造成一个底面半径为6厘米的圆锥形钢材，圆锥形钢材的高是多少？ 【变式2】(24-25六年级下·陕西西安·期中)“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形， 笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少 米？ 第6页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 题型四：立体图形的切拼（圆锥) 【例4】（24-25六年级上·吉林长春·期末)一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个 最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。( A.56.52 B.113.04 C.169.56 D.28.26 〖变式1】(24-25六年级下·广东惠州·期中)一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥 的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( 平方厘米。 【变式2】(24-25六年级下·辽宁大连·期中)把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来 增加了24cm。如果原来圆锥的高是6cm,它的底面积是( )cm,体积是( ）cm。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【例5】(24-25六年级下·河北邯郸·期中)求下面物体的体积。 16 cm 5 cm 4 cm 3【变式1】(24-25六年级下·陕西渭南·期中)求立体图的体积。 8dm 6dm 第7页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【变式2】(22-23六年级下·安徽阜阳·期中)直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 D 8cm.. 4cm 3cm ① ② (1)如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是()（填序号，下同）；如果以CD 所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是( )。 (2)请选择其中一个立体图形计算它的体积。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例6】(24-25六年级下·河南商丘·期中)小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶， 里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘 米。 (1)圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ (2)圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式1】（24-25六年级下·陕西渭南·期中)一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米， 高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这 个圆锥的高是多少分米？ 第8页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 【变式2】(23-24六年级下·四川成都·期中)如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在 个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有 部分)，水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 口难度分层训练 基础夯实练（共10题限时20分钟) 1.(24-25六年级下·陕西渭南·期中)在手工课上，甜甜用一块体积是75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥 捏成一个高是9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是( )平方厘米。 A.12.56 B.18.84 C.25.12 D.50.24 2.(24-25六年级下·辽宁大连·期末)长方体、正方体、圆柱体和圆锥体这四种立体图形体积计算公式 之间的共同点是( )。 A.计算方法都是“长X宽X高” B.计算方法都是“底面积×高” C.计算方法都有“底面积×高”这个步骤 D.计算方法都有“×”这个步骤 3.(24-25六年级下·广东清远·期中)用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形 容器中，水的高度是( )cm。 A.12 B.9 C.6 D.4 4.(24-25六年级下·陕西榆林·期末)手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮 泥，捏成一个高是9c的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm。 5.(24-25六年级下·辽宁大连·期中)圆锥的体积是120cm,高15cm,底面积是( ）cm。 6.(24-25六年级下·陕西·期中)绕3cm所在的边旋转一周可以得到一个圆锥。（ ）(判断对错) 3cm 4cm 第9页共13页 寒假学习培优讲义★新课预习篇★2026年北师大版数学六年级 7.(24-25六年级下·陕西咸阳·期中)计算下面圆锥的体积。 3cm 8.(24-25六年级下·陕西渭南·期中)李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的 底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 9.(22-23六年级下·辽宁沈阳·期中)一个圆锥形谷堆，底面直径为6米，高1.2米。 (1)这堆稻谷的体积是多少立方米？ (2)如果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 10.(2025·陕西榆林·小升初真题)在一个从里面量高是3分米，底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装 满水，水中完全浸没着一个底面直径是12厘米，高是15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后， 这时水面下降了多少厘米？（取圆锥体过程中带出的水忽略不计） 第10页共13页 第一单元 圆柱和圆锥 第4节 圆锥的体积 【原卷版】 探索新知 1 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】 2 重点难点题型讲练 4 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 4 题型二：圆锥的体积（容积） 5 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 6 题型四：立体图形的切拼（圆锥) 7 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 7 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 8 难度分层训练 9 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 9 能力提升练（共10题 限时25分钟） 11 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点:掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 【新旧知识链】计算圆锥的体积 一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是 1.5米，这堆沙子的体积是多少立方米？ （ )X3.14X2²X( ）=6.28（立方米) 计算圆柱的体积 一个圆柱的底面积是28.26平方米，高是5米，求它的体积。 28.26X（ )=141.3(立方米） 【新知引入】 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】 【例1】这堆小麦的体积是多少呢？ 想一想，如何得到圆锥的体积？ 圆锥的体积和它等底同高的圆柱的体积会有什么关系呢？ 按照下面的方法做一做，你有什么发现？ 实验探究：等底等高的圆柱和圆锥容器容积有什么关系？ 通过实验，你发现圆锥的体积与同它等底、等高的圆柱的体积之间的关系了吗？ 如果用V 表示圆锥的体积，S 表示底面积，h 表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？ 圆锥的体积＝×等底等高圆柱的体积 圆锥的体积＝×底面积×高 V ＝Sh 这堆小麦的体积是多少呢？ 动脑想一想，要求圆锥的体积，必须知道哪些条件？ 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【例1】（2025·四川成都·小升初真题）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 【变式1】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 【变式2】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 题型二：圆锥的体积（容积） 【例2】（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）一个圆锥形小麦堆，底面周长是m，高是m。如果每立方米小麦的质量为kg，这堆小麦的质量为多少t？ 【变式1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）求下面图形的体积。 （1） （2） 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期末）如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【变式1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）把一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，铸造成一个底面半径为6厘米的圆锥形钢材，圆锥形钢材的高是多少？ 【变式2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 题型四：立体图形的切拼（圆锥) 【例4】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 【变式1】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【变式2】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【例5】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）求下面物体的体积。 3【变式1】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）求立体图的体积。 【变式2】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例6】（24-25六年级下·河南商丘·期中）小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式1】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在手工课上，甜甜用一块体积是75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个高是9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 2．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）长方体、正方体、圆柱体和圆锥体这四种立体图形体积计算公式之间的共同点是（    ）。 A．计算方法都是“长×宽×高” B．计算方法都是“底面积×高” C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤 D．计算方法都有“×”这个步骤 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 4．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm2。 5．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）圆锥的体积是120cm3，高15cm，底面积是( )cm2。 6．（24-25六年级下·陕西·期中）绕3cm所在的边旋转一周可以得到一个圆锥。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）计算下面圆锥的体积。 8．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 9．（22-23六年级下·辽宁沈阳·期中）一个圆锥形谷堆，底面直径为6米，高1.2米。 （1）这堆稻谷的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 10．（2025·陕西榆林·小升初真题）在一个从里面量高是3分米，底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装满水，水中完全浸没着一个底面直径是12厘米，高是15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，这时水面下降了多少厘米？（取圆锥体过程中带出的水忽略不计） 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）一个圆柱形橡皮泥，底面积是15cm2，高是5cm。如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是（    ）。 A．15cm2 B．5cm C．25cm D．15cm E．3cm 2．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）观察此图，下面说法错误的是（    ）（单位：cm）。 A．①号圆锥和②号圆柱的体积比是1∶3 B．①号圆锥的体积和③号圆柱的体积相等 C．④号圆柱的体积是②号圆柱的体积的 D．①号圆锥的体积和④号圆柱的体积相等 3．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 4．（2025·广东深圳·小升初模拟）把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 5．（2025·吉林长春·小升初真题）一个圆锥和圆柱，底面积相等，高的比是3∶1，体积的比是( )。 6．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，水的变化情况如图所示，那么圆柱的体积是90cm3。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 8．（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 9．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 10．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一单元 圆柱和圆锥 第4节 圆锥的体积 【解析版】 探索新知 1 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】 2 重点难点题型讲练 4 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 4 题型二：圆锥的体积（容积） 6 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 8 题型四：立体图形的切拼（圆锥) 10 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 12 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 14 难度分层训练 16 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 16 能力提升练（共10题 限时25分钟） 21 【学习目标】 1.结合具体情境，让学生探索并掌握圆柱体积的计算方法，并能运用计算公式解决简单的实际问题。 2.经历观察、猜想、验证等数学活动过程，培养学生空间想象能力和探究推理能力，渗透“转化”“化曲为直”等数学思想，体验数学研究的方法。 3.培养学生初步的空间概念、动手能力、操作能力和逻辑思维推理能力。 【重点难点】 重点:掌握和运用圆柱体积计算公式进行正确计算。 难点:理解圆柱体积计算公式的推导过程，体会转化方法的价值。 【新旧知识链】计算圆锥的体积 一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高是 1.5米，这堆沙子的体积是多少立方米？ （ )X3.14X2²X( ）=6.28（立方米) 计算圆柱的体积 一个圆柱的底面积是28.26平方米，高是5米，求它的体积。 28.26X（ )=141.3(立方米） 【新知引入】 【新知学习一：探索圆锥的体积公式】 【例1】这堆小麦的体积是多少呢？ 想一想，如何得到圆锥的体积？ 圆锥的体积和它等底同高的圆柱的体积会有什么关系呢？ 按照下面的方法做一做，你有什么发现？ 实验探究：等底等高的圆柱和圆锥容器容积有什么关系？ 通过实验，你发现圆锥的体积与同它等底、等高的圆柱的体积之间的关系了吗？ 如果用V 表示圆锥的体积，S 表示底面积，h 表示高，你能写出圆锥体积的计算公式吗？ 圆锥的体积＝×等底等高圆柱的体积 圆锥的体积＝×底面积×高 V ＝Sh 这堆小麦的体积是多少呢？ ×3.14×2²×1.5 ＝6.28（m³） 答：小麦堆的体积是6.28立方米。 动脑想一想，要求圆锥的体积，必须知道哪些条件？ 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【例1】（2025·四川成都·小升初真题）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 18 2 【思路引导】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3；也就是圆柱的高应该是圆锥高的3倍。由此解答。 【完整解答】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6＝18（cm） 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3＝2（cm） 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是18cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是2cm。 【变式1】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，把一根圆柱形木料削成两个完全相同的圆锥，削去部分的体积是( )。 【答案】188.4 【思路引导】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，由此可知，一个圆锥的体积是底面半径为3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，则削去部分的体积是圆柱体积的1－，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，求削去部分的体积，用底面半径是3dm，高是10÷2＝5（dm）的圆柱体积乘1－，再乘2即可求出消去部分的体积。 【完整解答】3.14××（10÷2）×（1－）×2 ＝3.14×9×5××2 ＝28.26×5××2 ＝141.3××2 ＝94.2×2 ＝188.4（） 所以削去部分的体积是188.4。 【变式2】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）如图，底面直径是10厘米的圆柱容器，放入等底等高的圆柱和圆锥铁块。圆柱形铁块的体积是多少？ 【答案】235.5立方厘米 【思路引导】从图中可知，加入圆柱和圆锥铁块后，底面直径为10厘米的圆柱容器的水面高度上升了（9－5）厘米，那么水上升部分的体积就是圆柱与圆锥铁块的体积之和，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出圆柱与圆锥铁块的体积之和； 已知圆柱和圆锥铁块等底等高，则圆柱铁块的体积是圆锥铁块体积的3倍，可以把圆锥铁块的体积看作1份，圆柱铁块的体积看作3份，一共是（1＋3）份；用它们的体积之和除以总份数，求出一份数，也就是圆锥形铁块的体积，再乘3，求出圆柱形铁块的体积。 【完整解答】水上升部分的体积（圆柱与圆锥铁块的体积之和）： 3.14×（10÷2）2×（9－5） ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（立方厘米） 圆锥形铁块的体积： 314÷（3＋1） ＝314÷4 ＝78.5（立方厘米） 圆柱形铁块的体积： 78.5×3＝235.5（立方厘米） 答：圆柱形铁块的体积是235.5立方厘米。 题型二：圆锥的体积（容积） 【例2】（24-25六年级下·辽宁锦州·期末）一个圆锥形小麦堆，底面周长是m，高是m。如果每立方米小麦的质量为kg，这堆小麦的质量为多少t？ 【答案】14.13t 【思路引导】根据圆锥的底面是圆，圆的周长为2πr，可得圆锥的底面半径为18.84÷3.14÷2＝3（m），再根据圆锥的体积为（m3），进而可得这堆小麦的质量为单位体积质量×体积，即750 ×18.84＝14130（kg），再单位换算即可。 【完整解答】18.84÷3.14÷2＝3（m） ＝ ＝3×3.14×2 ＝9.42×2 ＝18.84（m3） 750 ×18.84＝14130（kg）， 14130kg＝14.13t 答：这堆小麦的质量为14.13t。 【变式1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）求下面图形的体积。 （1） （2） 【答案】（1）602.88cm3 （2）263.76cm3 【思路引导】（1）该图形是圆柱，底面直径为8cm，那么半径为8÷2＝4cm，高为12cm。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h（r为圆柱底面半径，h为圆柱的高，π取3.14），把数据代入公式计算即可。 （2）该图形是圆锥，底面半径为6cm，高为7cm。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（r为圆锥底面半径，h为圆锥的高，π取3.14），把数据代入公式计算即可。 【完整解答】（1）8÷2＝4（cm） 3.14×42×12 ＝3.14×16×12 ＝602.88（cm3） 该图形的体积是602.88cm3。 （2）×3.14×62×7 ＝×3.14×36×7 ＝12×3.14×7 ＝263.76（cm3） 该图形的体积是263.76cm3。 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期末）如图，一个圆锥在高的一半处平行于底面切开为两部分。上面部分是一个( )，下面部分是一个( )，上面部分和下面部分的体积比是( )∶( )。 【答案】 圆锥 圆台 1 7 【思路引导】将圆锥从顶点量得的一半高度处平行于底面截开，所得上半部分与原圆锥相似，再根据圆锥的体积公式：体积＝，计算出上面部分的体积；下半部分是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，圆台的体积可以通过用原圆锥的体积减去上半部分的体积得到。根据图片中给出的数据代入计算即可。 【完整解答】10÷2＝5（厘米） 4÷2＝2（厘米） 8÷2＝4（厘米） （3.14×2×2×5÷3）∶（3.14×4×4×10÷3－3.14×2×2×5÷3） ＝20∶140 ＝1∶7 上面部分是一个圆锥，下面部分是一个圆台，上面部分和下面部分的体积比是1∶7。 【考点再现】熟悉圆锥体积公式，了解什么图形是圆台，圆台也可以看作是“截断的圆锥”。 题型三：体积的等积变形（圆柱、圆锥） 【例3】（24-25六年级下·陕西榆林·期末）一个从里面量底面半径为2分米的圆柱形玻璃容器中装有水，水中完全浸没着一个底面直径为2分米，高为1.8分米的圆锥形铅锤，当铅锤取出后，水面下降了多少分米？ 【答案】0.15分米 【思路引导】铅锤的体积等于铅锤取出玻璃容器时，水下降的体积。已知圆锥形铅锤底面直径为2分米，那么半径为2÷2＝1分米，高为1.8分米，根据圆锥的体积V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入即可得出圆锥的体积。圆柱形玻璃容器的底面半径为2分米，根据圆柱体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），则h＝V÷π÷r2，把圆锥的体积和半径2分米代入计算即可解答。 【完整解答】2÷2＝1（分米） ×3.14×12×1.8 ＝×3.14×1×1.8 ＝1.884（立方分米） 1.884÷3.14÷22 ＝1.884÷3.14÷4 ＝0.15（分米） 答：水面下降了0.15分米。 【变式1】（24-25六年级下·陕西汉中·期中）把一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆柱形钢材，铸造成一个底面半径为6厘米的圆锥形钢材，圆锥形钢材的高是多少？ 【答案】厘米 【思路引导】根据圆柱体积＝底面积×高，求出钢材体积，再根据圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出圆锥形钢材的高。 【完整解答】3.14×42×4 ＝3.14×16×4 ＝200.96（立方厘米） 200.96×3÷（3.14×62） ＝602.88÷（3.14×36） ＝602.88÷113.04 ＝（厘米） 答：圆锥形钢材的高是厘米。 【变式2】（24-25六年级下·陕西西安·期中）“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】157米 【思路引导】已知圆锥形沙子的底面周长是31.4米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙子的体积； 把这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，沙子的体积不变，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，求出能铺的长度。 【完整解答】5厘米＝0.05米 圆锥的底面半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 圆锥形沙子的体积： ×3.14×52×3 ＝×3.14×25×3 ＝78.5（立方米） 能铺的长度： 78.5÷10÷0.05 ＝7.85÷0.05 ＝157（米） 答：能铺157米。 题型四：立体图形的切拼（圆锥) 【例4】（24-25六年级上·吉林长春·期末）一位木匠想要从一个棱长为6分米的正方体木块中削出一个最大的圆锥。他想知道这个圆锥的体积是多少立方分米。（    ） A．56.52 B．113.04 C．169.56 D．28.26 【答案】A 【思路引导】从一个棱长为6分米的正方体木块中能削出的最大圆锥，其底面圆是正方体底面正方形中的最大圆，即圆的直径等于6分米；圆锥的高等于正方形的边长6分米。根据V＝πr2h计算解答。 【完整解答】×[3.14×（6÷2）2]×6 ＝×（3.14×32）×6 ＝×（3.14×9）×6 ＝×28.26×6 ＝56.52（立方分米） 所以这个圆锥的体积是56.52立方分米。 故答案为：A 【变式1】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥的底面半径是5厘米，高是12厘米，这个圆锥的体积是( )立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加( )平方厘米。 【答案】 314 120 【思路引导】根据圆锥的体积：V＝Sh＝πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积。把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，增加的表面积是两个以底面直径为底，圆锥高为高的三角形的面积，根据公式：直径＝半径×2、三角形面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出表面积比原来增加多少平方厘米。 【完整解答】×3.14×52×12 ＝×3.14×25×12 ＝314（立方厘米） 5×2＝10（厘米） 10×12÷2×2＝120（平方厘米） 即这个圆锥的体积是314立方厘米；把这个圆锥沿底面直径且经过顶点切成两半，表面积比原来增加120平方厘米。 【变式2】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 12.56 25.12 【思路引导】根据题意可知，圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积；三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，代入数据，求出底，也就是圆锥的底面直径；根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆锥的底面面积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的体积。 【完整解答】24÷2÷6×2 ＝12÷6×2 ＝2×2 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【例5】（24-25六年级下·河北邯郸·期中）求下面物体的体积。 【答案】351.68cm3 【思路引导】由图可知，这个物体由圆锥和圆柱两部分组成，，，把图中的数据代入公式计算，分别求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的和，据此解答。 【完整解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝351.68（cm3） 所以，这个物体的体积是351.68cm3。 3【变式1】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）求立体图的体积。 【答案】31.4dm3 【思路引导】看图可知，这个立体图的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【完整解答】3.14×（2÷2）2×8＋3.14×（2÷2）2×6÷3 ＝3.14×12×8＋3.14×12×6÷3 ＝3.14×1×8＋3.14×1×6÷3 ＝25.12＋6.28 ＝31.4（dm3） 这个立体图的体积是31.4dm3。 【变式2】（22-23六年级下·安徽阜阳·期中）直角梯形ABCD如图所示，请根据图中信息回答下列问题。 （1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）（填序号，下同）；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是（    ）。 （2）请选择其中一个立体图形计算它的体积。 【答案】（1）①；② （2）150.72立方厘米（答案不唯一） 【思路引导】（1）判断旋转得到的立体图形时，要知道：以直角三角形的直角边为轴旋转时，所形成的立体图形是圆锥，以其斜边为轴旋转时，所形成的立体图形是沙漏模型。 （2）①立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的和；②立体图形的体积是圆柱的体积与圆锥的体积的差。利用圆柱和圆锥的体积公式，代入数据即可得解。 【完整解答】（1）如果以AB所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是①；如果以CD所在直线为轴进行旋转，所形成的立体图形是②。 （2）求图形①的体积： （立方厘米） 立体图形①的体积是150.72立方厘米。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 【例6】（24-25六年级下·河南商丘·期中）小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）24厘米 【思路引导】（1）因为圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积。上升的水形成的是一个圆柱，这个圆柱的底面半径为10厘米，水面上升了2厘米（即为高）。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可解答。 （2）已知圆锥体积为628立方厘米，圆锥底面半径为5厘米。根据公式：h＝V÷÷（πr2），π取3.14，r为半径，h为高，把数据代入公式计算即可得出圆锥铁块的高。 【完整解答】（1）3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是628立方厘米。 （2）628÷÷（3.14×52） ＝628×3÷（3.14×25） ＝628×3÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：圆锥形铁块的高是24厘米。 【变式1】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个装有水的圆柱形容器，从里面量底面直径是12分米，高是8分米，水深7分米，现将一个底面积是62.8平方分米的圆锥完全沉入水中，溢出了3.14升水。这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】5.55分米 【思路引导】根据题意，浸入水中圆锥的体积＝上升的水的体积＋溢出的水的体积即可算出圆锥的体积，其中上升的水的体积等于容器的底面积×上升的高度，由此计算出圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式，即可计算出圆锥的高，据此作答。计算时，根据1升＝1立方分米将单位统一。 【完整解答】12÷2＝6（分米） 3.14×62×（8－7） ＝3.14×36×1 ＝113.04（立方分米） 3.14升＝3.14立方分米 113.04＋3.14＝116.18（立方分米） 116.18×3÷62.8 ＝348.54÷62.8 ＝5.55（分米） 答：这个圆锥的高是5.55分米。 【考点再现】本题主要考查圆锥已知体积和底面积，计算圆锥的高；同时，需掌握利用排水法，计算不规则物体的体积时，浸没在水中物体的体积＝上升的水的体积＋溢出的水的体积。 【变式2】（23-24六年级下·四川成都·期中）如果把一段底面半径为5厘米的圆柱形钢材完全浸没在一个圆柱形水桶里，桶里的水面会上升7厘米（水未溢出）；如果将圆柱形钢材露出水面15厘米（水中还有一部分），水面又会下降3厘米这段钢材的体积是( )。 【答案】2747.5立方厘米/2747.5cm3 【思路引导】当钢材露出水面15厘米时，露出部分钢材的体积与水桶中水面下降3厘米的水的体积相等。利用圆柱体积公式V＝Sh，用钢材底面积（3.14×52）乘露出长度（15厘米），得到露出钢材体积；再结合水面下降高度（3厘米），用“露出钢材体积÷水面下降高度”可求出水桶的底面积。当钢材完全浸没时，钢材的体积与水桶中水面上升7厘米的水的体积相等。用前面求出的水桶底面积乘水面上升高度（7厘米），就能算出钢材的体积。 【完整解答】计算露出钢材的体积（即水面下降3厘米的水的体积）： 钢材底面积为3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米） 露出钢材的长度为15厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh，露出钢材的体积为78.5×15＝1177.5（立方厘米） 计算水桶的底面积：1177.5÷3＝392.5（平方厘米） 计算钢材的体积（即水面上升7厘米的水的体积）： 根据圆柱体积公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米） 水面又会下降3厘米这段钢材的体积是2747.5立方厘米。 【考点再现】利用 “水面升降体积＝钢材对应体积”，结合圆柱体积公式求解，关键是找体积对应关系。 基础夯实练（共10题 限时20分钟） 1．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）在手工课上，甜甜用一块体积是75.36立方厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个高是9厘米的圆锥，这个圆锥的底面积是（    ）平方厘米。 A．12.56 B．18.84 C．25.12 D．50.24 【答案】C 【思路引导】把一个圆柱的橡皮泥捏成圆锥，圆柱和圆锥的体积相同，因此，圆锥的体积也是75.36立方厘米，已知圆锥的高是9厘米，根据圆锥的体积公式可知，已知体积和高，求底面积，需先用体积×3，再除以高即可。 【完整解答】75.36×3÷9 ＝226.08÷9 ＝25.12（平方厘米） 故答案为：C 2．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）长方体、正方体、圆柱体和圆锥体这四种立体图形体积计算公式之间的共同点是（    ）。 A．计算方法都是“长×宽×高” B．计算方法都是“底面积×高” C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤 D．计算方法都有“×”这个步骤 【答案】C 【思路引导】长方体的体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积＝底面积×高×，据此解答即可。 【完整解答】A．长方体的体积＝长×宽×高，长×宽是底面积，可以说是底面积×高。而圆柱体的体积、圆锥体的体积计算方法不是“长×宽×高”，原题说法错误，不符合题意； B．圆锥的体积＝底面积×高×。计算方法不都是“底面积×高”，原题说法错误，不符合题意； C．计算方法都有“底面积×高”这个步骤。原题说法正确，符合题意； D．计算方法只有“×”这个步骤的是圆锥的体积计算方法。原题说法错误，不符合题意。 故答案为：C 3．（24-25六年级下·广东清远·期中）用一个高18cm的圆锥形容器装满水，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，水的高度是（    ）cm。 A．12 B．9 C．6 D．4 【答案】C 【思路引导】圆锥体积公式：（S为底面积，h为高），圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为高）；圆锥形容器装满水，将水倒入等底等高的圆柱形容器中，水的体积不变，即V柱水＝V锥水。设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆锥的高为18cm，圆柱中水的高度为h柱水。所以圆锥体积V锥水＝Sh锥，圆柱体积V柱水＝Sh柱水。因为V柱水＝V锥水，所以Sh柱水＝Sh锥，因为圆柱和圆锥底面积相等，所以h柱水＝h锥，即用乘18即可得出圆柱的水的高度。 【完整解答】圆锥体积： 圆柱体积：V＝Sh V柱水＝V锥水 设圆锥和圆柱的底面积都为S，圆柱中水的高度为h柱水。 V锥水＝Sh锥 V柱水＝Sh柱 Sh柱水＝Sh锥 h柱水＝h锥 ×18＝6（cm） 所以水的高度是6cm。 故答案为：C 4．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）手工课上，婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，则这个圆锥形橡皮泥的底面积是( )cm2。 【答案】25.12 【思路引导】婷婷用一块底面半径是2cm、高是6cm的圆柱形橡皮泥，捏成一个高是9cm的圆锥形橡皮泥，体积不变，根据圆柱的体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为底面半径，h为高）求出圆柱的体积，也就是圆锥的体积。根据圆锥的体积公式：V＝Sh（S为圆锥的底面积，h为圆锥的高），则S＝V÷÷h，把数据代入计算即可。 【完整解答】3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝75.36（cm3） 75.36÷÷9 ＝75.36×3÷9 ＝25.12（cm2） 这个圆锥形橡皮泥的底面积是25.12cm2。 5．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）圆锥的体积是120cm3，高15cm，底面积是( )cm2。 【答案】24 【思路引导】已知圆锥的体积和高，根据圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆锥的底面积S＝3V÷h，代入数据计算，即可求出圆锥的底面积。 【完整解答】120×3÷15 ＝360÷15 ＝24（cm2） 底面积是24cm2。 6．（24-25六年级下·陕西·期中）绕3cm所在的边旋转一周可以得到一个圆锥。( ) 【答案】√ 【思路引导】图中是直角三角形，直角边分别为3cm和4cm。当直角三角形绕一条直角边旋转一周时，会形成圆锥，这条作为旋转轴的直角边是圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径。 【完整解答】绕3cm所在的直角边旋转，此时3cm为圆锥的高，另一条直角边4cm就成为圆锥底面的半径，旋转一周后能得到一个圆锥。原说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）计算下面圆锥的体积。 【答案】56.52cm3 【思路引导】根据圆锥的体积＝，代入数据计算即可。 【完整解答】×3.14××6 ＝×3.14×9×6 ＝×28.26×6 ＝28.26×2 ＝56.52（cm3） 8．（24-25六年级下·陕西渭南·期中）李叔叔把一车沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，这个沙堆的底面直径是6米，高是1.5米。如果每立方米沙子120元，李叔叔买这堆沙子需要花多少元？ 【答案】1695.6元 【思路引导】已知沙子卸到地面上形成一个圆锥形沙堆，底面直径为6米，那么半径为6÷2＝3米，高为1.5米。根据圆锥的体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可得出沙子的体积。每立方米沙子120元，用120乘沙子的体积即可求出这堆沙子所需的花费。 【完整解答】6÷2＝3（米） ×3.14×32×1.5 ＝×3.14×9×1.5 ＝14.13（立方米） 120×14.13＝1695.6（元） 答：李叔叔买这堆沙子需要花1695.6元。 9．（22-23六年级下·辽宁沈阳·期中）一个圆锥形谷堆，底面直径为6米，高1.2米。 （1）这堆稻谷的体积是多少立方米？ （2）如果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 【答案】（1）11.304立方米 （2）7912.8千克 【思路引导】（1）根据圆锥的体积公式：底面积×高×，把数代入公式即可求解； （2）用稻谷的体积直接乘每立方米的质量即可求解。 【完整解答】（1）6÷2＝3（米） 3.14×32×1.2× ＝9.42×3×1.2× ＝11.304（立方米） 答：这堆稻谷的体积是11.304立方米。 （2）11.304×700＝7912.8（千克） 答：这堆稻谷的质量为7912.8千克。 【考点再现】本题主要考查圆锥的体积公式，熟练掌握它的公式并灵活运用。 10．（2025·陕西榆林·小升初真题）在一个从里面量高是3分米，底面半径是10厘米的圆柱形水桶里装满水，水中完全浸没着一个底面直径是12厘米，高是15厘米的铁质圆锥体，当把这个铁质圆锥体取出后，这时水面下降了多少厘米？（取圆锥体过程中带出的水忽略不计） 【答案】1.8厘米 【思路引导】圆锥的体积就是水面下降的体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出水面下降的体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【完整解答】3.14×（12÷2）2×15÷3 ＝3.14×62×15÷3 ＝3.14×36×15÷3 ＝565.2（立方厘米） 565.2÷（3.14×102） ＝565.2÷（3.14×100） ＝565.2÷314 ＝1.8（厘米） 答：水面下降了1.8厘米。 能力提升练（共10题 限时25分钟） 1．（24-25六年级下·辽宁大连·期末）一个圆柱形橡皮泥，底面积是15cm2，高是5cm。如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是（    ）。 A．15cm2 B．5cm C．25cm D．15cm E．3cm 【答案】D 【思路引导】圆柱的体积＝底面积×高，体积不变，圆锥的体积＝×底面积×高，用圆锥的体积乘3，再除以底面积即可解答。 【完整解答】15×5＝75（） 75×3÷15 ＝225÷15 ＝15（cm） 所以这个圆锥的高是15cm。 故答案为：D 2．（24-25六年级下·陕西榆林·期末）观察此图，下面说法错误的是（    ）（单位：cm）。 A．①号圆锥和②号圆柱的体积比是1∶3 B．①号圆锥的体积和③号圆柱的体积相等 C．④号圆柱的体积是②号圆柱的体积的 D．①号圆锥的体积和④号圆柱的体积相等 【答案】B 【思路引导】在等底等高的圆锥和圆柱中，圆锥的体积是圆柱体积的，即圆柱的体积是圆锥体积的3倍。圆柱的体积公式为：V＝Sh，圆锥的体积公式为：V＝Sh，据此分析各选项，进而得出正确答案。 【完整解答】A．①号圆锥和②号圆柱高相等，直径相等即底面积相等，所以它们的体积比是1∶3；该选项说法正确； B．①号圆锥和③号圆柱的高相等，圆锥的直径是圆柱直径的6÷3＝2倍，所以圆锥的底面积是圆柱底面积的4倍，设圆柱底面积为S，则圆锥底面积为4S，圆柱体积则为V＝Sh，圆锥体积则为V锥＝×4Sh，体积不相等，所以该选项说法错误。 C．④号圆柱的底面积与②号圆柱的底面积相等，②号圆柱的高是④号圆柱的高的12÷4＝3倍，所以④号圆柱的体积是②号圆柱的体积的，该项说法正确； D．①号圆锥④号圆柱的直径相等，即底面积相等，圆锥的高是圆柱高的12÷4＝3倍，根据圆柱的体积公式V＝Sh和圆锥的体积公式V＝Sh，可知体积相等；所以该项说法正确。 所以错误的是选项B中的说法。 故答案为：B 3．将一个棱长是6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（    ）立方分米。 A．169.56 B．56.52 C．226.08 D．28.26 【答案】B 【思路引导】当把一个正方体削成一个最大的圆锥时，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，所以圆锥的高为6分米，底面半径为6÷2＝3分米。利用圆锥的体积公式解答即可。 【完整解答】3.14×（6÷2）²×6× ＝3.14×9×2 ＝28.26×2 ＝56.52（立方分米） 故答案为：B 【考点再现】理解，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长是解答本题的关键。 4．（2025·广东深圳·小升初模拟）把一个长、宽、高分别为2米，1.57米，0.5米且装满沙粒的长方体沙坑内的沙子挖出来，堆成一个圆锥形的沙堆，圆锥形状的沙堆底面周长是6.28米，则这个沙堆的高是( )米。 【答案】1.5 【思路引导】根据长方体体积＝长×宽×高，求出长方体的体积。长方体的体积与圆锥的体积相等，圆锥底面是个圆，根据C＝2πr，先求出r，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出圆锥的高即可。 【完整解答】2×1.57×0.5＝1.57（立方米） 6.28÷2÷3.14＝1（米） 1.57×3÷（3.14×12） ＝1.57×3÷3.14 ＝4.71÷3.14 ＝1.5（米） 这个沙堆的高是1.5米。 5．（2025·吉林长春·小升初真题）一个圆锥和圆柱，底面积相等，高的比是3∶1，体积的比是( )。 【答案】1∶1 【思路引导】已知圆锥和圆柱的底面积相等，它们高的比是3∶1，假设圆锥的高为3h，圆柱的高为h，底面积为S，根据圆柱的体积计算公式“V＝Sh”、圆锥的体积计算公式“V＝Sh”，代入数据求解圆柱和圆锥的体积，再写出它们的比即可。 【完整解答】解：设圆柱、圆锥的底面积为S，圆柱的高为h，则圆锥的高为3h。 （S×3h）∶Sh ＝Sh∶Sh ＝1∶1 所以体积的比是1∶1。 6．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）将等底等高的圆柱和圆锥形铁块同时放入盛有水的玻璃杯中，水的变化情况如图所示，那么圆柱的体积是90cm3。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据图示可知，将920mL减去800mL，即可求出圆柱和圆锥的体积和。等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，那么将体积和除以（1＋3）即可求出圆锥的体积。将圆锥的体积乘3，即可求出这个圆柱的体积。 【完整解答】920－800＝120（mL） 120mL＝120cm3 120÷（1＋3）×3 ＝120÷4×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 所以，这个圆柱的体积是90cm3。 故答案为：√ 7．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）从一个正方体木块上挖掉一个圆锥形木块（如图），计算剩下木块的体积。 【答案】474.32dm3 【思路引导】已知正方体的棱长是8dm，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；已知挖掉圆锥形木块的底面直径是6dm，高是4dm，用底面直径长度除以2计算出底面半径长度，然后根据圆锥的体积公式计算出圆锥形木块的体积；最后用正方体的体积减去圆锥形木块的体积即可。 【完整解答】8×8×8 ＝64×8 ＝512（dm3） 6÷2＝3（dm） ×3.14×32×4 ＝×3.14×9×4 ＝3.14×3×4 ＝9.42×4 ＝37.68（dm3） 512－37.68＝474.32（dm3） 所以剩下木块的体积是474.32dm3。 8．（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【思路引导】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【完整解答】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 9．（23-24六年级下·山西吕梁·期末）如图，一个圆柱形的玻璃容器，底面直径是12厘米，里面装满水，把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水。在里面放入等底等高的圆柱和圆锥（水完全浸没），已知它们的高均为6厘米，这时水面升高了0.5厘米。 （1）圆柱形容器的高是多少厘米？ （2）放到水里的圆柱和圆锥的体积分别是多少立方厘米？它们的底面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）10厘米 （2）圆柱的体积：42.39立方厘米；圆锥的体积：14.13立方厘米；7.065平方厘米 【思路引导】（1）把圆柱形容器的体积看作单位“1”，已知把容器里的水倒出60%后，还剩452.16毫升水，则剩下的水占容器里的（1－60%），用剩下的水除以剩下的水占总体积的分率，即可求出圆柱形容器的体积，再根据圆柱的高＝V圆柱÷r2÷π，代入数据解答即可； （2）看图可知，水面上升的体积就是圆柱和圆锥的体积之和，圆柱容器的底面积×水面上升的高度＝圆柱和圆柱的体积之和，再等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。以体积之和为单位“1”，圆柱的体积占体积之和的。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用圆柱和圆锥的体积之和乘，即可求出圆柱的体积，再用体积之和减去圆柱的体积，即可求出圆锥的体积；最后根据圆柱的底面积＝V圆柱÷h，代入数据求出圆柱和圆锥的底面积。 【完整解答】（1）452.16毫升＝452.16立方厘米 452.16÷（1－60%） ＝452.16÷40% ＝1130.4（立方厘米） 1130.4÷（12÷2）2÷3.14 ＝1130.4÷62÷3.14 ＝1130.4÷36÷3.14 ＝31.4÷3.14 ＝10（厘米） 答：圆柱形容器的高是10厘米。 （2）（12÷2）2×0.5×3.14 ＝62×0.5×3.14 ＝36×0.5×3.14 ＝18×3.14 ＝56.52（立方厘米） 56.52×＝42.39（立方厘米） 56.52－42.39＝14.13（立方厘米） 42.39÷6＝7.065（平方厘米） 答：放到水里的圆柱的体积是42.39立方厘米，圆锥的体积是14.13立方厘米，它们的底面积是7.065平方厘米。 10．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）一个圆柱形容器，底面半径是2分米，高是5分米。（容器的厚度忽略不计） （1）这个圆柱形容器的容积是多少升？ （2）将这个圆柱形容器装满水后，倒入如图的圆锥形容器内，水面高度正好是圆锥形容器高度的一半，这个圆锥形容器一共能装多少升水？ 【答案】（1）62.8升 （2）502.4升 【思路引导】（1）根据圆柱的体积计算公式“”即可求出这个圆柱形容器的容积是多少立方分米，再根据“立方分米与升是等量关系二者互化数值不变”转化成升。 （2）如果把这个圆锥沿高剖开，整个圆锥的剖面是一个大三角形，有水部分是一个小三角形，大三角形的高是小三角形高的2倍，则大三角形的底是小三角形底的2倍，即大圆锥的底面半径是小圆锥底面半径的2倍，则大圆锥体积是小圆锥体积的倍，即8倍，即水的体积是整个圆锥容积的。把圆锥的容积看作单位“1”，根据分数除法的意义即可解答。 【完整解答】（1） （立方分米） 62.8立方分米升 答：这个圆柱形容器的容积是62.8升。 （2）由题意可知，在圆锥底面半径是小圆锥底面半径的2倍，设小圆锥的底面半径为，则大圆锥的底面半径为 水的体积是： 圆锥的容积是： 62.8÷ ＝62.8×8 ＝502.4（升） 答：这个圆锥形容器一共能装502.4升水。 【考点再现】（1）根据公式计算即可，不难；（2）关键是求出水的体积占整个圆锥容器的几分之几，这也是解答本题的难点。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $