精品解析：吉林省吉林市第五中学2025-2026学年九年级上学期期末考试数学

初三期末质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键在于明确中心对称图形的概念． 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称的概念，对选项的图片进行分析即可． 【详解】解：选项A：将选项A的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，是中心对称图形． 选项B，选项C，选项D：将选项中的图标绕着某一个点旋转后，旋转后的图形不能与原来的图形重合，都不是中心对称图形． 故选：A． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 3. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题关键是正确理解左视图．注意看不见的线用虚线表示. 根据左视图是从左边看得到的图形解答即可． 【详解】解：从左边看是矩形，两条看不见的线把矩形分成三个相邻的矩形． 故选：D． 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∵与的面积比为， ∴与的相似比，即， ∴，即， 故选：B． 5. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解直角三角形的应用，等腰三角形三线合一的性质，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴（米）， 故选：C． 6. 如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与圆周角定理的综合应用，解题的关键是利用垂径定理得到线段关系，结合圆周角定理求出圆心角，进而解直角三角形求半径． 1． 由垂径定理得； 2． 由圆周角定理得圆心角； 3． 在等腰直角三角形中，利用边长关系求出半径． 【详解】解：连接OA． 因为，根据垂径定理，， 由圆周角定理， 已知，故． 在中，，， 是等腰直角三角形， 因此， 即圆的半径为． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】（-1,-3） 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 8. 如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 【答案】84 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键．利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵M、N是、的中点， ∴， 又米， ∴米， 即A、B间的距离约为84米， 故答案为：84． 9. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握频率和概率的关系是解题的关键．设白色乒乓球有个，则总球数为个，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设白色乒乓球有个，则总球数为个， 由题意得， ， 解得， 经检验是原方程的解， ∴估计盒子中大约有个白色乒乓球， 故答案为：． 10. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年平均增长率的定义，初始收入经过连续两年以相同增长率增长后得到最终收入，由此建立方程． 【详解】解：设年平均增长率为 ，则2024年收入为万元，2025年收入为万元． 根据题意，2025年收入为3.92万元，故列方程为， 故答案为：． 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由题意得，，再根据四边形的面积为计算即可求解，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点， ∴，， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， ∴，． 13. 如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， 又，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意得到，，结合相似三角形的判定方法即可求证． 【详解】略 14. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，然后找到他们两人选择相同入口进入植物园的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有A、B、C、D四个入口，进入每个入口的概率相同， ∴他们其中一人进入植物园时，从入口处进入的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A A，A B，A C，A D，A B A，B B，B C，B D，B C A，C B，C C，C D，C D A，D B，D C，D D，D 由表格可得一共有16种等可能性的结果数，其中他们两人选择相同入口进入植物园的结果数有4种， ∴她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 15. 如图，是的外接圆，，且．求证：是的切线． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要运用圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定定理来求解.通过角度计算证明垂直于，从而证明是切线． 【详解】证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 16. 乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 【答案】（1） （2）乐乐最早在点能喝到不高于的水 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数： （1）利用待定系数法求得函数解析式即可； （2）将数值代入函数解析式即可． 【小问1详解】 当时，设与之间的函数表达式为， 将代入中得：， 解得， 与之间的函数表达式为． 【小问2详解】 把代入中得：， 解得， 乐乐最早在点能喝到不高于的水． 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接即可． （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． 【小问3详解】 如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 18. 随着网络时代的发展，各种“视频直播”已经成为当前网络购物新潮流．图1是网络主播使用的某种手机支架，其平面示意图如图2所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B旋转，，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．若调节支杆，悬杆，使得，，且点 D到地面的距离为，求此时悬杆的长度．（参考数据： ，，，结果精确到） 【答案】60 【解析】 【分析】过点D作于点E，过点C作于点G，交于点F，则四边形是矩形，解直角三角形求解即可． 本题考查了矩形的判定和性质，特殊角的三角函数值的应用，解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，过点C作于点G，交于点F， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 答：此时悬杆的长度为． 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A、C，与x轴交于点B、D，连接AC，点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度，，设直线AC的解析式为. （1）求和的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，求出直尺平移的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的关系，待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意得出点，，然后由待定系数法即可求解； （2）由点，，根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）设沿轴负方向平移直尺个单位，如图，连接，则，根据恰好平分，列方程求解即可 【小问1详解】 解：点的刻度分别为5,2，，， 点， ， 反比例函数解析式为； 设，将点代入，得 ， 解得，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 不等式的解集为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设沿轴负方向平移直尺个单位，如图，连接, 则， ， 恰好平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 把点的坐标代入，得， 解得， 沿轴负方向平移直尺时，恰好平分． 20. 如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． （1）线段的长为________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当时，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）根据勾股定理求得，再根据直角三角形斜边上的中线定理求得； （2）根据相似三角形的性质列出的方程进行解答； （3）根据运动分情况讨论，运动过程中正方形与三角形的重叠，和运动到一定时间正方形与三角形的重叠面积保持不变． 【小问1详解】 解：，，， ， 是的中点， ， 故答案为； 【小问2详解】 解：当点在上时，如图： 则，， ， ， ， ，即， 解得； 当点在上时，； 【小问3详解】 解：当点在上时，，则当，即求在上运动时，正方形与重叠部分的面积为和时间的函数关系式． 当正方形还未完全进入到中时，重叠面积为矩形， ，且， ， ， ， ， ， ， 当在上时，如图： 则，且，同理可知， ， ， ， 解得， 故当时，； 当时，正方形与重叠，重叠面积为正方形的面积，故； 综上所述，． 21. 【初识模型】（1）如图①，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； 【尝试应用】（2）如图②，在中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长； 【拓展提升】（3）如图③，在菱形中，、交于点，为的中点，点在边上，连接、、，延长、交于点，若，，，则菱形的边长为_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质． （1）根据两个角对应相等，判断三角形相似； （2）利用平行四边形的性质，求出，再结合相似三角形对应边成比例，可得； （3）根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，再利用等边对等角，可知，最后通过相似三角形的性质解题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，设， ，， ， ， 解得(负值已舍去), ， 故． （3）设，， 为中点，四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 所以菱形的边长为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； （3）设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出答案； （2）①求出C点坐标为，得到；则点N的横坐标为，即可求出答案；②由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于点，， ∴ 解得 ∴抛物线解析式为， 【小问2详解】 解：①当时，， ∴C点坐标为； ∵点M与点C重合， ∴； ∵点N的横坐标为 ∴点N的横坐标为， 当时，， ∴点N的坐标为； ②令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； 由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； 【小问3详解】 解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G在抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三期末质量检测考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面四个近年来热门的AI相关的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. “月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料．如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　 　） A. B. C. D. 5. 如图，一个土堆的截面可近似看成一个等腰，，其中斜坡与水平地面所成夹角，当米时，土堆顶端A到地面的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 如图， 点A、B、C、D在⊙O上， OD⊥AB于点E． 若∠ACD＝22.5°， AB＝4， 则⊙O半径长为 （ ） A. B. 6 C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 8. 如图，A、B两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测A、B间的距离：先在外选一点C，然后步测出、的中点M、N，并步测出的长约为42米，由此可知A、B间的距离约为________米． 9. 在一个不透明的盒子里装有个黄色乒乓球和若干个白色乒乓球，搅匀后从中任意摸出一个球记下颜色再把它放回盒子中，不断重复实验，统计结果显示，随着实验次数越来越大，摸到黄色乒乓球的频率稳定在左右，则估计盒子中大约有______个白色乒乓球． 10. 近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益．已知农户甲2023年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2025年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2023年到2025年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________． 11. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 解方程： 13. 如图，在中，，是的中点，在上，且，连接、，求证：． 14. 明明和文文周末相约到某植物园晨练，这个植物园有A，B，C，D四个入口，他们可随机选择一个人口进入植物园，假设选择每个入口的可能性相同． （1）他们其中一人进入植物园时，从B入口处进入的概率为______． （2）用树状图或列表法求她们两人选择相同入口进入植物园的概率． 15. 如图，是的外接圆，，且．求证：是的切线． 16. 乐乐家有一台智能饮水机，接通电源，饮水机自动开始加热，每分钟水温上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温和通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为：，接通电源后，水温和通电时间之间的关系如图所示，回答下列问题： （1）求当时，与之间的函数表达式； （2）某天，乐乐早上点整打开饮水机，乐乐计划将水烧开后，待水温下降到及以下时喝水，求乐乐最早什么时候能喝到不高于的水？ 17. 图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 18. 随着网络时代的发展，各种“视频直播”已经成为当前网络购物新潮流．图1是网络主播使用的某种手机支架，其平面示意图如图2所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B旋转，，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．若调节支杆，悬杆，使得，，且点 D到地面的距离为，求此时悬杆的长度．（参考数据： ，，，结果精确到） 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A、C，与x轴交于点B、D，连接AC，点A、B的刻度分别为5、2，直尺的宽度，，设直线AC的解析式为. （1）求和的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿x轴负方向平移直尺，当BC恰好平分时，求出直尺平移的距离． 20. 如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为． （1）线段的长为________； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当时，求与之间的函数关系式． 21. 【初识模型】（1）如图①，在中，点在边上，连接，点在上，连接，且，，求证：； 【尝试应用】（2）如图②，在中，、交于点，点在线段上，连接，且，，若，，求的长； 【拓展提升】（3）如图③，在菱形中，、交于点，为的中点，点在边上，连接、、，延长、交于点，若，，，则菱形的边长为_____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式； （2）点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为.将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G． ①当点M与点C重合时，求点N的坐标； ②当点M在x轴上方，图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为6时，求m的值； （3）设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $