寒假作业02 一定是直角三角形吗（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一定是直角三角形吗 一、直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 二、勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（为大于1的正整数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断三边能否构成直角三角形 1.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 题型二 勾股数 2.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是 （填序号）． 题型三 网格中判断直角三角形 3．如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 题型四 图形上与已知两点构成直角三角形的点 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 题型五 利用勾股定理的逆定理求解 5．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 题型六 利用勾股定理的逆定理证明 6．已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 题型七 勾股定理的逆定理实际应用 7．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型八 勾股定理及其逆定理的综合求值 8．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 题型九 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图 9．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　 　 三角形． 2．如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC． （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积． 3．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积． 4．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求△ABC的面积； （2）通过计算判断△ABC的形状；． （3）求AB边上的高． 5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2． 于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 　 　 ； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值； （3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 　 ，　　 （分别用含p的代数式表示）． 6．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求△ABC的周长 7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB，求 （1）AD的长； （2）△ABC是直角三角形吗？为什么？ 8．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状． 9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝12，BC＝13，CD＝4，AD＝3，求四边形ABCD的面积． 10．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°． （1）△ACD是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 11．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　 　 、　 　 ； （2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4，12，24，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　 　 ； （3）用所学知识加以说明． 12．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数． 应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 13．甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 一定是直角三角形吗 一、直角三角形的判别条件 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 二、勾股数 1. 勾股数 定义 满足的三个正整数，称为勾股数 满足条件 ①三个数都是正整数 ②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方 拓展 勾股数的整数倍仍为勾股数，如3，4，5的2倍6，8，10仍为勾股数. 常见形式 ①，，（为大于1的正整数）； ②，，（n为正整数）等 2. 判断勾股数的方法步骤: (1)确定三个是正整数； (2)确定最大的数字与另外两个较小的数，分别计算最大的数的平方与另外两个较小的数的平方和； (3)进行比较，若最大数的平方等于另外两个较小数的平方和，则是勾股数,否则不是． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断三边能否构成直角三角形 1.已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．由，设，则，即，能判定不是直角三角形，不合题意； B．由可得，能判定是直角三角形，符合题意； C．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意； D．由可得，不能判定是直角三角形，不合题意． 故选：B． 题型二 勾股数 2.下列说法： ①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形 ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有 ③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数 ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数 其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④/④② 【解析】解：①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误； ②若a，b，c是勾股数，且，，则必有，故②说法正确； ③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误； ④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则，，一定是勾股数，故④说法正确． 故答案为：②④． 题型三 网格中判断直角三角形 3．如图所示的是正方形网格，则 （点，，，，为网格线交点）． 【答案】 【解析】解：如图，在直线上取点，使得，连接，过点作，交的延长线于点， 由图可知，， ， ，， ， 是直角三角形， ， ，即 故答案为：． 题型四 图形上与已知两点构成直角三角形的点 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，1)，点B的坐标为(11，1)，点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有(　　) A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【解析】∵点A，B的纵坐标相等，∴AB∥x轴， ∵点C到AB距离为5，AB=10，∴点C在平行于AB的两条直线上， ∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点，过点B的垂线与那两条直线有2个交点，以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点（这两个两点在线段AB的垂直平分线上）， ∴满足条件的C点共，6个． 故选C． 题型五 利用勾股定理的逆定理求解 5．如图，在中，的平分线交于点，点，分别为线段，边上的动点．则的最小值为（　　） A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【解析】解：∵， ， 是直角三角形，， 作交于点， ， 又 是的平分线， ． ， 即， ， 是的平分线，点为上动点，作点关于的对称点，则在点在上， ． 过点作交于点H，∴ 当点、、三点共线且点与点重合时，最小，为最小值． 由（1）可知，是直角三角形， ， 解得：． 故选：B． 题型六 利用勾股定理的逆定理证明 6．已知的三边． (1)求证：是的最长边； (2)求证：是直角三角形； (3)直接写出一组满足的三边长，其中含正整数12． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)12，35，37 【解析】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 综上可知，是的最长边； （2）∵，， ∴，∴是直角三角形； （3）解：当时，即，则此时， ∴的三边长为12，35，37． 题型七 勾股定理的逆定理实际应用 7．我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300km和400km，且km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． (1)求证：； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风的速度为40km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)见解析；(2)海港C受台风影响，理由见解析；(3)3.5h 【解析】（1）解：∵km，km，km，∴．∴是直角三角形，∴； （2）解：海港C受台风影响．理由如下： 如图，过点C作于D． ∵，∴． ∵，∴海港C受到台风影响． （3）解：如图，在线段AB上取点E，F，使km，km，则台风中心在线段EF上时正好影响C港口．∴EC=FC， ∵CD⊥AB，∴ED=FD， 在中，由勾股定理得：，∴km， ∵台风的速度为40km/h，∴．∴台风影响该海港持续的时间为3.5h ． 题型八 勾股定理及其逆定理的综合求值 8．【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同．在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动：如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形（两条直角边长分别为a，，斜边长为c）和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理． 【任务】 (1)如图2，这是小敏同学拼成的图形．请你利用图2验证勾股定理． (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中和都是直角，才是合格零件．如图4所示，工人师傅测得零件，，，，，这个零件符合要求吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)见解析；(2)这个零件符合要求，理由见解析 【解析】（1）解：∵根据图2：大正方形面积可表示为：或， ∴，即，∴． （2）解：这个零件符合要求，理由如下：         在中，根据勾股定理，可得： ，     在中，；∴．                     ∴是直角三角形，是直角．且；∴这个零件符合要求． 题型九 利用勾股定理及其逆定理解决无刻度的尺规作图 9．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． (3)在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【详解】（1）解：如图①、图②即为所求． （2）解：如图③即为所求． （3）解：如图④即为所求． 1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形． 【答案】等腰直角 【解析】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0， ∵a2+b2﹣c2＝0，∴△ABC是直角三角形，∵a＝b， ∴△ABC是等腰直角三角形，故答案为等腰直角． 2．如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BDDC． （1）求BC的长； （2）求△ABC的面积． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵AD＝6，DC＝2AD，∴DC＝12， ∵BDDC，∴BD＝8，BC＝BD+DC＝8+12＝20； （2）在△ABD中，AB＝10，AD＝6，BD＝8， ∵AB2＝AD2+BD2，∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC， ∵BC＝BD+DC＝8+12＝20，AD＝6，∴S△ABC20×6＝60． 3．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：连接AC． ∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC， 在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，∴△ACD是直角三角形， ∴S四边形ABCDAB•BCAC•CD，1×22，＝1． 故四边形ABCD的面积为1． 4．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点． （1）求△ABC的面积； （2）通过计算判断△ABC的形状；． （3）求AB边上的高． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）△ABC的面积＝4×44×22×13×4＝5； （2）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25， ∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （3）∵AC2，BC，△ABC是直角三角形，∴AB边上的高2． 5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系： （ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；① 或 （ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；② 要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道： （x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③ 如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系． 因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2． 于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． （1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是 　3，4，5　 ； （2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值； （3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为 　2p+3　 ，　2p2+6p+4　 （分别用含p的代数式表示）． 【答案】（1）3，4，5；（2）m＝6，n＝5；（3）2p+3，2p2+6p+4． 【解析】解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5， 故答案为：3，4，5； （2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2， ∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2， ①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去）， 又∵m﹣n＝1，∴n＝5； ②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n（舍去）， 综上所述，m＝6，n＝5； （3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2， 令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4， ∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4． 6．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm． （1）求证：△BDC是直角三角形； （2）求△ABC的周长 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，∴BC2＝BD2+CD2 ∴△BDC为直角三角形； （2）解：设AB＝x， ∵△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC＝x， ∵AC2＝AD2+CD2x2＝（x﹣5）2+122，解得：x， ∴△ABC的周长＝2AB+BC＝213（cm）． 7．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB，求 （1）AD的长； （2）△ABC是直角三角形吗？为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°， 在Rt△BCD中，BC＝3，DB，根据勾股定理得：CD， 在Rt△ACD中，AC＝4，CD，根据勾股定理得：AD； （2）△ABC为直角三角形，理由为： ∵AB＝BD+AD5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形． 8．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0， ∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0 得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b， 即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形． 9．如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，AB＝12，BC＝13，CD＝4，AD＝3，求四边形ABCD的面积． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：连接AC． 在△ADC中，∵∠D＝90°，∴AC2＝AD2+CD2（勾股定理）． 由CD＝4，AD＝3，得AC5， 在△ABC中，∵AB＝12，BC＝13，∴BC2﹣AB2＝132﹣122＝25， 得：BC2＝AB2+AC2，∴∠CAB＝90°（勾股定理的逆定理）． 因此，S四边形ABCD＝S△ACD+S△ACBAD•DCAB•AC3×412×5＝36． 10．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°． （1）△ACD是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）在Rt△ABC中， ∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2，∴AC＝5cm， 在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°； （2）∵S△ABC3×4＝6，S△ACD5×12＝30，∴S四边形ABCD＝6+30＝36， 费用＝36×100＝3600（元）． 11．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　60　 、　61　 ； （2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4，12，24，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　　 ； （3）用所学知识加以说明． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61； 故答案为：60，61； （2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为， 则用含a的代数式表示第三个数为， 故答案为：； （3）∵a2+（）2，（）2， ∴a2+（）2＝（）2 又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数． 12．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数． 应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：当n＝1，a（m2﹣1）①，b＝m②，c（m2+1）③， ∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a＝5时，（m2﹣1）＝5，解得：m（舍去）， Ⅱ、当b＝5时，即m＝5，代入①③得，a＝12，c＝13， Ⅲ、当c＝5时，（m2+1）＝5，解得：m＝±3， ∵m＞0，∴m＝3，代入①②得，a＝4，b＝3， 综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4． 13．甲乙两船同时离开港口，各自沿固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，航行1.5小时后两船相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，请你用足够理由说明乙船沿哪个方向航行． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意得：OA＝1.5×16＝24， OB＝1.5×12＝18， ∵242+182＝302，∴OA2+OB2＝AB2，即△AOB为直角三角形， 又∵∠AOC＝∠AON＝45°，∠AOB＝90°，∴∠BON＝∠BOD＝45°． 答：B舰沿西北方向航行． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 9:48:07；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $