寒假作业09 位置与坐标（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 位置与坐标 一、有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫作有序数对，记作． 二、平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫作第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫作第二象限、第三象限、第四象限.． 三、建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 四、平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫作点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 五、用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 六、轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断点所在的象限 1.无论m取什么数，点一定在第 象限． 【答案】二 【解析】解： 点一定在第二象限， 故答案为：二 题型二 坐标与距离 2.如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】解：某个“美丽点”到轴的距离为，， ，，解得或， 则点的坐标为：或 故选：D． 题型三 坐标与象限、坐标轴 3．已知点在y轴上，则 ． 【答案】 【解析】解：点在y轴上，， 解得：，故答案为：． 题型四 坐标与位置 4．一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【解析】解：由和知，M、N都位于第一象限，且N到x轴的距离为M到x轴的距离的2倍，N到y轴的距离为M到x轴的距离的5倍， 又平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同， ∴则该平面直角坐标系的原点可能是点A， 故选：A． 题型五 与坐标轴平行 5．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：∵点P到x轴的距离是3，∴点P的纵坐标为， ∵点P到y轴的距离是2，∴点P的横坐标为， ∵点P在第四象限，∴点P坐标为， ∵平行于轴且，∴点Q的坐标是或． 故选：C 题型六 象限角平分线上的点 6．已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 【答案】 三 【解析】解：（1）当点P在第一象限的角平分线上，可得，解得：； 当点P在第四象限的角平分线上，可得，解得：． 故答案为：，． （2）当点P在第二象限，可得：，解得：． 故答案为：． （3）当点P在第一象限，可得：，解得：， 当点P在第二象限，可得：，解得：， 当点P在第三象限，可得：，方程组无解，即点P不可能在第三象限， 当点P在第四象限，可得：，解得：． 故答案为：三． （4）将点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B的坐标为，即， ∵点B的横，纵坐标互为相反数， ∴，解得：． 故答案为： 题型七 根据平移前的点求平移后的点 7．如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：根据“帅”位于点，“炮”位于点，建立平面直角坐标系，如图所示： ∴“马”位于点， ∴将棋子“马”向上平移两个单位长度后位于点， 故答案为：． 题型八 根据平移后的点求平移前的点 8．如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 【答案】(1)画图见详解，，；(2)；(3) 【解析】（1）如图可知：， ∵，∴将先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求；   ， 由图可知：，； （2）解：解：根据题意得：是由先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到的， ∴点在内的对应点的坐标是． 故答案为：； （3）解：的面积． 题型九 根据平移前后关系求值 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 【答案】 【解析】解：由题意得，， 此时，，， 则点的卫星点为和， ∵这两个卫星点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），∴，解得，， 故答案为：． 题型十 根据平移确定点的位置 10.如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 【答案】或． 【解析】解：设平移后点、的对应点分别是、． 分两种情况： ①在轴上，在轴上； 则横坐标为0，纵坐标为0， ，，点平移后的对应点的坐标是； ②在轴上，在轴上． 则纵坐标为0，横坐标为0， ，，点平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点平移后的对应点的坐标是或． 故答案为：或． 题型十一 关于x轴、y轴对称的点的坐标 11.在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 【答案】1或3 【解析】解：根据题意得，，，， ，， 的面积为1， ， 解得或3， 故答案为：1或3． 题型十二 作图——轴对称变换 12.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 【答案】(1)作图见解析，；（(2) 【解析】（1）解：如图，即为所作，点的坐标为； （2）点关于轴的对称点的坐标为． 题型十三 利用轴对称设计图案 13.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是和．    (1)如图，添加棋子，使四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； (2)在其他格点位置添加一颗棋子，使，四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子所在位置的坐标（写出2个即可）． 【答案】(1)见解析；(2)（答案不唯一） 【解析】（1）解：如图所示，直线即为所求．    （2）如图：    点或．（答案不唯一） 1．如图，已知A1（0，1），，，A4（0，2），，，A7（0，3），A8（，），则点A2010的坐标是　 　 ． 【答案】 【解析】解：根据所给出的这9个点的坐标，可以发现规律：A1、A4、A7…横坐标为0，纵坐标大1；A2、A5、A8…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…；A3、A6、A9…横纵坐标依次扩大为原来的2倍，3倍，…； ∵2010是3的倍数， ∴点A2010的坐标符合A3、A6、A9…的变化规律， ∵2010是3的670倍， ∴点A2010的坐标应是横纵坐标依次扩大为A3的670倍， 则点A2010的坐标是（﹣335）． 故答案为：（﹣335）． 2．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　（9，12）　 ． 【答案】（9，12） 【解析】解：依题意得A1点坐标为（3，0）， A2点坐标为（3，0+6）即（3，6）， A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6）， A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6）， A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6）， ∴A6点坐标为（9，12）． 3．如图1，平面上两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对（p，q）为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为（0，0），点N的“距离坐标”为（3.6，4.2）． （1）如图2，点A的“距离坐标”为　（1.6，2.5）　 ，点B的“距离坐标”为　（2.2，1.5）　 ； （2）如图3，点C，D分别在直线l1，l2上，则C，D两个点中，“距离坐标”为（3，0）的点是D ； （3）平面上“距离坐标”为（0，5）的点有　2　 个，“距离坐标”为（5，5）的点有　4　 个． 【答案】（1.6，2.5）；（2.2，1.5）；D；2；4 【解析】解：（1）图形点A到直线l1、l2的距离分别是1.6和2.5，点B到直线l1、l2的距离分别是2.2和1.5． 故答案为：（1.6，2.5），（2.2，1.5） （2）“距离坐标”的两个有序数对的第一个数和第二个数分别表示点到直线l1、l2的距离，所以，到直线l1、l2的距离分别是3，0． 结合已知图形，可知满足条件的为点D． 故答案为：D （3）（0，5）代表点到直线l1、l2的距离分别是0和5，则所求点在直线l1上，且到l2的距离为5，这样的点在l2两侧各有一个． 如图，直线AB∥CD∥l2且相邻两条直线距离为5，直线AD∥BC∥l1，且相邻两条直线距离为5，A、B、C、D四点的“距离坐标”为（5，5）． 故答案为：2，4 4．如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G． 所以SABCD＝S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD3×6（6+8）×112×8＝94． 5．已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（﹣4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）． （1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是 　0≤t≤8，且t≠6　 ，并写出当t＝2时，点C的坐标 　（1、0）　 ． （2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． （3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）0≤t≤8，且t≠6；点C的坐标为（1，0）； （2）若△PMQ可能是轴对称图形，则△PMQ必为等腰三角形． ①当PQ＝QM时，设P点坐标为P（a，3），则有： PQ， 易知MQ， ∴， 解得a＝2，a＝0， 当a＝2时，AP＝4+2＝6，即t＝6不合题意，舍去． ∴P点坐标为（0，3）； ②当PM＝PQ时，设P点坐标为P（b，3），则有： PQ，PM， ∴， 解得b＝﹣1， ∴P点坐标为（﹣1，3）． 综上所述：点P的坐标为（﹣1、3）、（0、3）； （3）当0≤t＜6时，St，Smax． 当6＜t≤8，St+3，Smax＝3； ∴四边形MCDQ的面积S的范围是0＜S． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CDAC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E． （1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵A（﹣6，0），C（0，4） ∴OA＝6，OC＝4 设DE与y轴交于点M 由DE∥AB可得△DMC∽△AOC， 又∵CDAC ∴ ∴CM＝2，MD＝3 同理可得EM＝3 ∴OM＝6 ∴D点的坐标为（3，6）； （2）由（1）可得点M的坐标为（0，6） 由DE∥AB，EM＝MD 可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线 ∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上 ∴ED与CF互相垂直平分 ∴CD＝DF＝FE＝EC ∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心 作直线BM，设BM与CD、EF分别交于点S、点T， 可证△FTM≌△CSM ∴FT＝CS， ∵FE＝CD， ∴TE＝SD， ∵EC＝DF， ∴TE+EC+CS+ST＝SD+DF+FT+TS， ∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形， 由点B（6，0），点M（0，6）在直线y＝kx+b上，可得直线BM的解析式为yx+6． （3）设点P在AG上的运动速度为x，点P在y轴上的运动速度为2x， 则点P到达点A的时间为t（GA） 过点G作GH⊥BM于点H， 可证得△MGH∽△MBO， 则， ∴GH， ∴t（GA）（GH+GA）， 要使t最小，则GH+GA最小，即当点G、A、H三点一线时，t有最小值， 确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H，则AH与y轴的交点为所求的G点 由OB＝6，OM＝6， 可得∠OBM＝60°， ∴∠BAH＝30°， 在Rt△OAG中，OG＝AO•tan∠BAH＝2， ∴G点的坐标为．（或G点的位置为线段OM的靠近O点的三等分点） 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵|a+2|0， ∴a+2＝0，b﹣4＝0， ∴a＝﹣2，b＝4， ∴点A（﹣2，0），点B（4，0）． 又∵点C（0，3）， ∴AB＝|﹣2﹣4|＝6，CO＝3， ∴S△ABCAB•CO6×3＝9． （2）设点M的坐标为（x，0），则AM＝|x﹣（﹣2）|＝|x+2|， 又∵S△ACMS△ABC， ∴AM•OC9， ∴|x+2|×3＝3， ∴|x+2|＝2， 即x+2＝±2， 解得：x＝0或﹣4， 故点M的坐标为（0，0）或（﹣4，0）． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵B（8，0），C（8，6）， ∴BC＝6， ∴S△ABC6×8＝24； （2）∵A（0，4），B（8，0）， ∴OA＝4，OB＝8， ∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP 4×84（﹣m）＝16﹣2m， 又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝48， ∴16﹣2m＝48， 解得：m＝﹣16， ∴P（﹣16，1）． 9．如图，是小明家O和学校A所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点，回答下列问题： （1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？ （2）商场B、学校A、公园C、停车场P分别在小明家的什么方向？ （3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：以小明家为坐标原点，东西方向为x轴，南北方向为y轴，建立坐标系． （1）图中距小明家距离相同的是A与C； （2）商场B在小明家的北偏西30°方向；学校A在小明家的东北方向；公园C、停车场P在小明家的南偏东60°方向． （3）学校距离小明家400m，而OA＝2cm，即比例尺为1：20000． 故商场距离小明家2.5×20000÷100＝500（m）；停车场距离小明家4×20000÷100＝800（m）． 10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．例如：点A（2，5），点B（3，1），dx＝|2﹣3|＝1，dy＝|5﹣1|＝4，μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣4|＝3， （1）若点A（0，3），点B在x轴的正半轴上，μ（A，B）＝1，求点B的坐标； （2）若点A（0，3），点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． ①若点P（2，0），PQ＝4，求μ（A，PQ）的值； ②若点P（4﹣a，0），点Q（a，0），μ（A，PQ）＝3，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）B（2，0）或（4，0）； （2）①3； ②4≤a≤6． 【解析】解：（1）设B（x，0），x＞0， ∵A（0，3），μ（A，B）＝1， ∴dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣x|＝|x|，dy＝|y1﹣y2|＝|3﹣0|＝3， 则μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝||x|﹣3|＝1， ∴x＝±2或x＝±4， ∵x＞0， ∴B（2，0）或（4，0）； （2）①A（0，3），P（2，0），PQ＝4， ∵点P在点Q的左侧， ∴Q（6，0）， 当点B在点P时， dx＝|x1﹣x2|＝|0﹣2|＝2，dy＝|y1﹣y2|＝|3﹣0|＝3， ∴μ（A，P）＝|dx﹣dy|＝|2﹣3|＝1， 同理可得：点B在点Q时， μ（A，Q）＝3， 综上所述：μ（A，PQ）＝3； ②依据题意可知：A（0，3），P（4﹣a，0），Q（a，0），μ（A，PQ）＝3， ∵点P在点Q的左侧， ∴4﹣a＜a， ∴a＞2， ∵dx＝|0﹣a|＝|a|，dy＝|3﹣0|＝3，μ（A，PQ）＝||a|﹣3|＝3， ∴a＝±6或0， 或者4﹣a＝0， ∴a＝4， ∵点B在PQ线段上，PQ只能在﹣6与6之间， 不能大于6，不能小于﹣6， 不然最大值会超过3， 但是线段PQ只要在这个范围内，包括±6，0即可满足条件， 点P在点Q左侧4﹣a＜a， 解得a＞2， 只要0在PQ上即可， ∴﹣6≤4﹣a≤0，0＜a≤6， 解得4≤a≤6． ∴a的取值范围是4≤a≤6． 1．点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）＝0． 在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是以点O（0，0），A（4，0），B（4，4），C（0，4）为顶点的正方形，作射线OB，则∠AOB＝45°． （1）如图1，点P1（﹣1，0），P2（0，），P3（1，﹣2）的位置如图所示，请用度量的方式，判断点P1，P2，P3中到∠AOB的距离等于1的点是 P1，P2 ； （2）已知点P在∠AOB的内部，且d（P，∠AOB）＝1， ①若点P的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的点P的坐标 　（3，1）（答案不唯一）　 ； ②请在图1中画出所有满足条件的点P； （3）如图2，已知点E（0，﹣8），F（﹣2，2），G（7，2），记射线EF与射线EG组成的图形为图形V．若点P在图形V上，满足d（P，∠AOB）＝2的点P有 　6　 个． 【答案】（1）P1，P2． （2）①（3，1）（答案不唯一）． ②如图1﹣1中，所有满足条件的点P在∠MJN的边上． （3）6．点P到∠AOB的距离点P到∠AOB的距离 【解析】解：（1）如图1中， 通过测量法，可知点P2到直线OB的距离为1，OP1＝1，OP3＞1， ∴点P1，P2，P3中到∠AOB的距离等于1的点是P1，P2， 故答案为：P1，P2． （2）①一个满足条件的点P的坐标（3，1），（4，1），（5，1）等（答案不唯一）． 故答案为：（3，1）（答案不唯一）． ②如图1﹣1中，所有满足条件的点P在∠MJN的边上． （3）如图2中，满足条件的点P在图中的红线上，红线与∠FEG有6个交点（其中一个交点是，EG与FC的交点图中没有画出来）， 故满足条件的点P有6个， 故答案为：6． 2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°） （1）按照此方法表示目标A、B、D、E的位置． A：　（5，30°）　 ；B：　（2，90°）　 ；D：　（4，240°）　 ；E：　（3，300°）　 （2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A、B、E、D的实际位置． （3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G、H的位置表示． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）A（5，30°），B（2，90°），D（4，240°），E（3，300°）； （2）1800÷6＝300米， A的实际位置：北偏东60°距观测站1500米， B的实际位置：正北方距观测站600米， D的实际位置：南偏西30°距观测站1200米， E的实际位置：南偏东30°距观测站900米； （3）G、H的位置如图所示． 3．先阅读下面的材料，再解答下面的各题． 在平面直角坐标系中，有AB两点，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离用|AB|表示，则有|AB|，下面我们来证明这个公式：证明：如图1，过A点作X轴的垂线，垂足为C，则C点的横坐标为x1，过B点作X轴的垂线，垂足为D，则D点的横坐标为x2，过A点作BD的垂线，垂足为E，则E点的横坐标为x2，纵坐标为y1．∴|AE|＝|CD|＝|x1﹣x2| |BE|＝|BD|﹣|DE|＝|y2﹣y1|＝||y1﹣y2| 在Rt△AEB中，由勾股定理得|AB|2＝|AE|2+|BE|2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2 ∴|AB|（因为|AB|表示线段长，为非负数） 注：当A、B在其它象限时，同理可证上述公式成立． （1）在平面直角坐标系中有P（4，6）、Q（2，﹣3）两点，求|PQ|． （2）如图2，直线L1与L2相交于点C（4，6），L1、L2与X轴分别交于B、A两点，其坐标B（8，0）、A（1，0），直线L3平行于x轴，与L1、L2分别交于E、D两点，且|DE|，求线段|DA|的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）|PQ|； （2）因为AC3，AB＝8﹣1＝7，直线L3平行于X轴，与L1、L2分别交于E、D两点，且|DE|， 所以△CDE∽△CAB． 所以， 即． 所以CD，AD． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 位置与坐标 一、有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫作有序数对，记作． 二、平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫作第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫作第二象限、第三象限、第四象限． 三、建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 四、平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫作点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫作点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 五、用坐标表示平移 （1）点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)或(x，y-b)． （2）图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． 六、轴对称与坐标变化 （1）关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数;反过来，横坐标相同、纵坐标互为相反数的两个点关于x轴对称。 （2）关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数;反过来，纵坐标相同、横坐标互为相反数的两个点关于y轴对称。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 判断点所在的象限 1.无论m取什么数，点一定在第 象限． 题型二 坐标与距离 2.如果点的坐标满足，那么称点为“美丽点”，若某个“美丽点”到轴的距离为，则点的坐标为（  ） A． B． C．或 D．或 题型三 坐标与象限、坐标轴 3．已知点在y轴上，则 ． 题型四 坐标与位置 4．一个平面直角坐标系的横轴和纵轴的单位长度相同，该平面直角坐标系中的点，的位置如图所示，则该平面直角坐标系的原点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型五 与坐标轴平行 5．在平面直角坐标系中，第四象限内的点到轴的距离是3，到轴的距离是2，已知平行于轴且，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 题型六 象限角平分线上的点 6．已知，在平面直角坐标系中有一点 （1）若点P在第一象限的角平分线上，则 ；若点P在第四象限的角平分线上，则 ； （2）若点P在第二象限，则m的取值范围是 ； （3）多解法点P不可能在第 象限； （4）将点P先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到点B，若点B的横，纵坐标互为相反数，则 ． 题型七 根据平移前的点求平移后的点 7．如图，若在棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“炮”位于点，则将棋子“马”向上平移2个单位长度后的点的坐标是 ． 题型八 根据平移后的点求平移前的点 8．如图，在平面直角坐标系中，是由平移得到的，平移前点的坐标为． (1)画出平移前的，并写出点和点的坐标； (2)已知点为内的一点，则点在内的对应点的坐标为_______； (3)求的面积． 题型九 根据平移前后关系求值 9．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与点称为点M的一对卫星点．例如，点与点为点的一对卫星点．将点向右平移m个单位长度，向下移动m个单位，得到点，若点的一对卫星点重合，则 ． 题型十 根据平移确定点的位置 10.如图，在第一象限内有两点，将线段平移使点P，Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ． 题型十一 关于x轴、y轴对称的点的坐标 11.在平面直角坐标系中，经过点且平行于x轴的直线可以记作直线，平行于y轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于x轴和直线的二次反射点．已知点，关于x轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为1时，则 ． 题型十二 作图——轴对称变换 12.如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为． (1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)直接写出点关于轴的对称点的坐标． 题型十三 利用轴对称设计图案 13.在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，三颗棋子的位置如图所示，它们的坐标分别是和．    (1)如图，添加棋子，使四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； (2)在其他格点位置添加一颗棋子，使，四颗棋子成为一个轴对称图形，请直接写出棋子所在位置的坐标（写出2个即可）． 1．如图，已知A1（0，1），，，A4（0，2），，，A7（0，3），A8（，），则点A2010的坐标是　 　 ． 2．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　 　 ． 3．如图1，平面上两条直线l1，l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若点M到直线l1的距离为p，到直线l2的距离为q，则称有序实数对（p，q）为点M的“距离坐标”，例如，图1中点O的“距离坐标”为（0，0），点N的“距离坐标”为（3.6，4.2）． （1）如图2，点A的“距离坐标”为　 　 ，点B的“距离坐标”为　 　 ； （2）如图3，点C，D分别在直线l1，l2上，则C，D两个点中，“距离坐标”为（3，0）的点是 ； （3）平面上“距离坐标”为（0，5）的点有　 个，“距离坐标”为（5，5）的点有　 　 个． 4．如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积． 5．已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A（﹣4，3）、B（4，3）、M（0，1）、Q（1，2），动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个单位运动．连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点（如图）． （1）在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围是 　 　 ，并写出当t＝2时，点C的坐标 　 　 ． （2）在点P移动的过程中，△PMQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由． （3）在点P移动的过程中，求四边形MCDQ的面积S的范围． 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CDAC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E． （1）求D点的坐标； （2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明） 7．如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a，b满足|a+2|0，点C的坐标为（0，3）． （1）求a，b的值及S△ABC； （2）若点M在x轴上，且S△ACMS△ABC，试求点M的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点． （1）求△ABC的面积； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标． 9．如图，是小明家O和学校A所在地的简单地图，已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点，回答下列问题： （1）图中距小明家距离相同的是哪些地方？ （2）商场B、学校A、公园C、停车场P分别在小明家的什么方向？ （3）若学校距离小明家400m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？ 10．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1），B（x2，y2），记dx＝|x1﹣x2|，dy＝|y1﹣y2|，将|dx﹣dy|称为点A，B的横纵偏差，记为μ（A，B），即μ（A，B）＝|dx﹣dy|．例如：点A（2，5），点B（3，1），dx＝|2﹣3|＝1，dy＝|5﹣1|＝4，μ（A，B）＝|dx﹣dy|＝|1﹣4|＝3， （1）若点A（0，3），点B在x轴的正半轴上，μ（A，B）＝1，求点B的坐标； （2）若点A（0，3），点P，Q在x轴上，且点P在点Q的左侧，点B在线段PQ上，将μ（A，B）的最大值称为线段PQ关于点A的横纵偏差，记为μ（A，PQ）． ①若点P（2，0），PQ＝4，求μ（A，PQ）的值； ②若点P（4﹣a，0），点Q（a，0），μ（A，PQ）＝3，直接写出a的取值范围． 1．点P到∠AOB的距离定义如下：点Q为∠AOB的两边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离，记为d（P，∠AOB）．特别的，当点P在∠AOB的边上时，d（P，∠AOB）＝0． 在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是以点O（0，0），A（4，0），B（4，4），C（0，4）为顶点的正方形，作射线OB，则∠AOB＝45°． （1）如图1，点P1（﹣1，0），P2（0，），P3（1，﹣2）的位置如图所示，请用度量的方式，判断点P1，P2，P3中到∠AOB的距离等于1的点是 ； （2）已知点P在∠AOB的内部，且d（P，∠AOB）＝1， ①若点P的横纵坐标都是整数，请写出一个满足条件的点P的坐标 　 　 ； ②请在图1中画出所有满足条件的点P； （3）如图2，已知点E（0，﹣8），F（﹣2，2），G（7，2），记射线EF与射线EG组成的图形为图形V．若点P在图形V上，满足d（P，∠AOB）＝2的点P有 　 个． 2．如图，雷达探测器测得六个目标A、B、C、D、E、F出现．按照规定的目标表示方法，目标C、F的位置表示为C（6，120°）、F（5，210°） （1）按照此方法表示目标A、B、D、E的位置． A：　 　 ；B：　 　 ；D：　 　 ；E：　 　 （2）若目标C的实际位置是北偏西30°距观测站1800米，目标F的实际位置是南偏西60°距观测站1500米，写出目标A、B、E、D的实际位置． （3）若另有目标G在东南方向距观测站750米处，目标H在南偏东20°距观测站900米处，写出G、H的位置表示． 3．先阅读下面的材料，再解答下面的各题． 在平面直角坐标系中，有AB两点，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的距离用|AB|表示，则有|AB|，下面我们来证明这个公式：证明：如图1，过A点作X轴的垂线，垂足为C，则C点的横坐标为x1，过B点作X轴的垂线，垂足为D，则D点的横坐标为x2，过A点作BD的垂线，垂足为E，则E点的横坐标为x2，纵坐标为y1．∴|AE|＝|CD|＝|x1﹣x2| |BE|＝|BD|﹣|DE|＝|y2﹣y1|＝||y1﹣y2| 在Rt△AEB中，由勾股定理得|AB|2＝|AE|2+|BE|2＝|x1﹣x2|2+|y1﹣y2|2 ∴|AB|（因为|AB|表示线段长，为非负数） 注：当A、B在其它象限时，同理可证上述公式成立． （1）在平面直角坐标系中有P（4，6）、Q（2，﹣3）两点，求|PQ|． （2）如图2，直线L1与L2相交于点C（4，6），L1、L2与X轴分别交于B、A两点，其坐标B（8，0）、A（1，0），直线L3平行于x轴，与L1、L2分别交于E、D两点，且|DE|，求线段|DA|的长． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $