寒假作业01 探索勾股定理（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 探索勾股定理 一、勾股定理 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的和等于的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 勾股定理的运用 1.如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　． 题型二 直角三角形中的分类讨论思想 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 题型三 勾股定理解勾股树问题 3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　） A．184 B．86 C．119 D．81 题型四 勾股定理解动点问题 4．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　） A．或 B．或24或12 C．或24或12 D．或或24 题型五 勾股定理的验证 5.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 ． 题型六 直角三角形的判定 6.若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C， ⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型七 勾股数问题 7.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）． 题型八 格点图中求角的度数 8.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　． 题型九 勾股定理及其逆定理的运用 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10． （1）求四边形ABCD的面积． （2）求对角线BD的长． 1．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　 　 ． 2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 　 ． 3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）△ABC的面积为：　 ． （2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 　 　 ． （3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． （4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 　 　 m2． 4．（1）如图1，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD＝　 　 ． （2）如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB2＝BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）． 5．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长． 6．连接正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为　 　 ，若设中点正方形AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝　　 ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． （1）AB＝　 　 cm，AB边上的高为 　 cm； （2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值． 8．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： （）2+1＝2，S1 （）2+1＝3，S2 （）2+1＝4，S3 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的值； （3）求出的值． 9．已知：如图，直角三角形BCA中，∠BCA＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，请你用两种方法证明：a2+b2＝c2． 1．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　 　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　 　 ； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 2．阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 理解： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　 　 （填“是”或“不是”） ②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 　 　 （填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究： 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 拓展： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 3．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比． （1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD＝BE． （2）①如图（2），当k＝1，且AB＝AC时，AB2+AC2＝　 　 BC2（填一个恰当的数）． ②如图（1），当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 探索勾股定理 一、勾股定理 文字语言 符号语言 图示 变式 应用 直角三角形两直角边的和等于的平方 如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 勾股定理的运用 1.如图，在△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，若∠BAD＝3∠DAC，则CD＝　 　． 【答案】5． 【解析】先作AE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到AE的值，AD平分∠EAC，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得CD的长． 题型二 直角三角形中的分类讨论思想 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（　　） A．42 B．32 C．42或32 D．42或37 【答案】C． 【解析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相加即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出； （2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD和Rt△ACD中，运用勾股定理可将BD和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出． 题型三 勾股定理解勾股树问题 3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（　　） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B． 【解析】由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2， 连接BD，在直角△ABD和△BCD中，BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，即S1+S4＝S3+S2， 因此S2＝135﹣49＝86，故选：B． 题型四 勾股定理解动点问题 4．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当△APB为等腰三角形时，t的值为（　　） A．或 B．或24或12 C．或24或12 D．或或24 【答案】D． 【解析】∵∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝7cm，∴BC＝24cm． ①当BP＝BA＝25时，∴t． ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝48cm，∴t＝24． ③当PB＝PA时，PB＝PA＝2t cm，CP＝（24﹣2t）cm，AC＝7cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，∴（2t）2＝72+（24﹣2t）2，解得t． 综上，当△ABP为等腰三角形时，t或24或，故选：D． 题型五 勾股定理的验证 5.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 ． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3）． 【解析】（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4ab＝c2﹣2ab， 即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，则a2+b2＝c2． （2）24÷4＝6， 设AC＝x，依题意有（x+3）2+32＝（6﹣x）2，解得x＝1， （3+1）×3×44×3×4＝24．故该飞镖状图案的面积是24． （3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝40， ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y，∴S2＝x+4y． 故答案为：． 题型六 直角三角形的判定 6.若△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件中能判断△ABC是直角三角形的有（　　） ①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤a2＝（b+c）（b﹣c），⑥a：b：c＝5：12：13． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C． 【解析】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴是直角三角形； ②∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝75°，不是直角三角形； ③∵∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴是直角三角形； ④∵∠A＝∠B∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，是直角三角形； ⑤∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，a2+c2＝b2，是直角三角形； ⑥∵a：b：c＝5：12：13，∴52+122＝132，∴a2+b2＝c2，是直角三角形； 故选：C． 题型七 勾股数问题 7.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 　 　（结果用含m的式子表示）． 【答案】m2+1． 【解析】∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2， 根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1， 综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1． 题型八 格点图中求角的度数 8.如图，正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的，点E，F均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接AE，AF，则∠EAF的度数是 　 　． 【答案】45°． 【解析】连接EF，如右图所示，设每个小正方形的边长为1， 则AE，EF，AF， ∴AE2+EF2＝（）2+（）2＝5+5＝10＝（）2＝AF2， ∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°， 又∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，故答案为：45°． 题型九 勾股定理及其逆定理的运用 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，CD＝10，AD＝10． （1）求四边形ABCD的面积． （2）求对角线BD的长． 【答案】（1）四边形ABCD的面积是74；（2）2． 【解析】（1）连接AC， ∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC10， ∵CD＝10，AD＝10，∴CD2+AC2＝102+102＝200，AD2＝（10）2＝200， ∴CD2+AC2＝AD2，∴△ACD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积是：24+50＝74， 即四边形ABCD的面积是74； （2）作DE⊥BC交BC的延长线于点E，则∠DEC＝90°， ∵△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝90°，∴∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠DCE＝∠CAB， 在△ABC和△CED中，，∴△ABC≌△CED（AAS），∴AB＝CE，BC＝ED， ∵AB＝6，BC＝8，∴CE＝6，ED＝8，∴BE＝BC+CE＝8+6＝14， ∴BD2． 1．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ∵CK∥AB，∴∠KCE＝∠A，∵CK＝CA，CE＝AD，∴△CKE≌△CAD，∴CD＝KE， ∵CD+BE＝EK+EB≥BK，∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，∴CGBC＝4，BG＝4， 在Rt△KBG中，BK2．故答案为2． 2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM＝2EF，则正方形ABCD的面积为 　36　 ． 【答案】36 【解答】解：设AM＝2a．BM＝b．则正方形ABCD的面积＝4a2+b2 由题意可知EF＝（2a﹣b）﹣2（a﹣b）＝2a﹣b﹣2a+2b＝b， ∵AM＝2EF，∴2a＝2b，∴ab， ∵正方形EFGH的面积为4，∴b2＝4，∴正方形ABCD的面积＝4a2+b2＝9b2＝36，故答案为：36 3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）△ABC的面积为：　3.5　 ． （2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为 　3　 ． （3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论． （4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是 　110　 m2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）△ABC的面积＝3×32×13×12×3，＝9﹣1﹣1.5﹣3， ＝9﹣5.5，＝3.5； （2） △DEF如图2所示； 面积＝2×41×22×21×4，＝8﹣1﹣2﹣2，＝8﹣5，＝3； （3）∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝90°， ∴∠PAE+∠BAG＝180°﹣90°＝90°，又∵∠AEP+∠PAE＝90°，∴∠BAG＝∠AEP， 在△ABG和△EAP中，，∴△ABG≌△EAP（AAS）， 同理可证，△ACG≌△FAQ，∴EP＝AG＝FQ； （4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设RH＝h， 在Rt△PRH中，PH， 在Rt△RQH中，QH， ∴PQ6，6， 两边平方得，25﹣h2＝36﹣1213﹣h2，整理得，2， 两边平方得，13﹣h2＝4，解得h＝3， ∴S△PQR6×3＝9，∴六边形花坛ABCDEF的面积＝25+13+36+4×9＝74+36＝110m2． 故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110． 4．（1）如图1，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，AB＝5．D为AB边上一点，且△ACD与△BCD的周长相等，则AD＝　2　 ． （2）如图2，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB2＝BC2+AC2．E为BC边上一点，且△ABE与△ACE的周长相等；F为AC边上一点，且△ABF与△BCF的周长相等，求CE•CF（用含a，b的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△ACD与△BCD的周长相等，∴AC+AD＝BC+BD，即4+AD＝3+BD， 又AD+DB＝5， 解得：AD＝2． （2）设AB＝c，则c2＝a2+b2， ∵△ABE与△ACE的周长相等，∴CE+AC＝BE+AB（AB+BC+AC）， 设CE＝x，∴x+b（a+b+c），∴x（a﹣b+c）， 设CF＝y，同理可得y+a（a+b+c）， ∴CE•CF（a﹣b+c）•（b+c﹣a）[c2﹣（a﹣b）2]， ∵c2＝a2+b2，∴CE•CFab． 5．如图，沿折痕AE叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵S△ABF＝24，AB＝8，∴BF＝6．∴AF＝10＝AD．∴FC＝4． 设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x． 根据勾股定理，得CF2+CE2＝EF2即16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3． 即EC＝3． 6．连接正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A1B1C1D1，再作正方形A1B1C1D1的中点正方形A2B2C2D2，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形AnBn∁nDn，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为　　 ，若设中点正方形AnBn∁nDn的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S10＝　　 ． 【答案】； 【解答】解：观察，发现规律：AB＝1，A1B1AB，A2B2A1B1，A3B3A2B2，…， ∴AnBn． 当n＝10时，A10B10． 设S1+S2+S3+…+S10S，则S， ∴SS，∴S． 故答案为：；． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t． （1）AB＝　50　 cm，AB边上的高为 　24　 cm； （2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm， ∴AB50（cm）； 作AB边上的高CE，如图1所示： ∵Rt△ABC的面积AB•CEAC•BC，∴CE24（cm）； 故答案为：50，24； （2）分三种情况： ①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）； ②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示： 则BE＝DEBD＝t， 由（1）得：CE＝24， 在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE18（cm），∴t＝18s； ③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B， ∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DBAB＝25（cm）， ∴2t＝25，∴t＝12.5（s）； 综上所述：t的值为15s或18s或12.5s． 8．仔细观察图，认真分析各式，然后解答问题： （）2+1＝2，S1 （）2+1＝3，S2 （）2+1＝4，S3 （1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA10的值； （3）求出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）1＝n+1 Sn（n是正整数）； （2）∵1，（）2+1＝2，（）2+1＝3，（）2+1＝4， ∴，OA2，OA3，…∴OA10； （3）＝（）2+（）2+（）2+…+（）2（1+2+3+…+10）．即：． 9．已知：如图，直角三角形BCA中，∠BCA＝90°，BC＝a，CA＝b，AB＝c，请你用两种方法证明：a2+b2＝c2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法1：如图所示： 4S△ABC＝S大正方形﹣S小正方形，即4ab＝（a+b）2﹣c2， 所以a2+b﹣c2＝0，即a2+b2＝c2． 方法2：连接AD，过点A作DE边上的高AF，则AF＝a﹣b． ∵S五边形BCAED＝S△ACB+S△ABE+S△BDEaba2ab， 又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△ADEabc2b（a﹣b）， ∴aba2ababc2b（a﹣b），∴a2+b2＝c2． 1．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，△ABC中，AD为BC边上高，边BC的“边高差”等于BC﹣AD，记为h（BC）． （1）如图2，若△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AD＝5，BD＝3，则h（BC）＝　1　 ； （2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则h（AC）＝　　 ； （3）若△ABC中，AB＝25，AC＝17，BC边上的高为15，求h（BC）的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）h（BC）的值为13或﹣3． 【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∴AD⊥BC，∴BD＝DC＝3， ∴h（BC）＝BC﹣AD＝6﹣5＝1，故答案为：1； （2）如图4中，作BH⊥AC于H， ∵∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝12，∴AC13， ∵•AC•BH•AB•BC，∴13BH＝5×12，∴BH， ∴h（AC）＝AC﹣BH＝13，故答案为：； （3）如图3中，分两种情况讨论： 当△ABC是锐角三角形时： ∵AD⊥BC，AB＝25，AC＝17，AD＝15，∴BD2＝AB2﹣AD2＝252﹣152＝400，CD2＝AC2﹣AD2＝172﹣152＝64，∴BD＝20，CD＝8，∴BC＝BD+CD＝28，∴h（BC）＝BC﹣AD＝28﹣15＝13； 当△ABC是钝角三角形时： 同理可得BD＝20，C'D＝8， ∴BC′＝BD﹣C'D＝12，∴h（BC）＝BC'﹣AD＝12﹣15＝﹣3， 综上所述：h（BC）的值为13或﹣3． 2．阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． 理解： ①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？　是　 （填“是”或“不是”） ②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形 　是　 （填“是”或“不是”）奇异三角形． 探究： 在Rt△ABC中，两边长分别是a、c，且a2＝50，c2＝100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由． 拓展： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a2：b2：c2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是； ②∵12+（）2＝2×22，∴该三角形是奇异三角形，故答案为：是； 探究：当c为斜边时，b2＝c2﹣a2＝50，Rt△ABC不是奇异三角形； 当b为斜边时，b2＝c2+a2＝150， ∵50+150＝2×100，∴a2+b2＝2c2∴Rt△ABC是奇异三角形； 拓展：Rt△ABC中，∠C＝90°，∴a2+b2＝c2， ∵c＞b＞a，∴2c2＞b2+a2，2a2＜b2+c2， ∵Rt△ABC是奇异三角形，∴2b2＝a2+c2，∴2b2＝a2+a2+b2，∴b2＝2a2， ∵a2+b2＝c2，∴c2＝3a2，∴a2：b2：c2＝1：2：3． 3．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）△ABC中，M是BC的中点，P是射线MA上的点，设k，若∠BPC＝90°，则称k为勾股比． （1）如图（1），过B、C分别作中线AM的垂线，垂足为E、D．求证：CD＝BE． （2）①如图（2），当k＝1，且AB＝AC时，AB2+AC2＝　2.5　 BC2（填一个恰当的数）． ②如图（1），当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由； ③对任意锐角或钝角三角形，如图（1）、（3），请用含勾股比k的表达式直接表示AB2+AC2与BC2的关系（写出锐角或钝角三角形中的一个即可）． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵M是BC的中点，∴BM＝CM， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°， 在△BME和△CMD中，，∴△BME≌△CMD（AAS）， ∴CD＝BE； （2）①AB2+AC2＝2.5BC2． 理由如下：∵AM是△ABC的中线， ∴PM＝BM＝CMBC， ∵k＝1，∴AP＝PM，∴AM＝2PM＝BC， 在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2＝BC2BC2BC2， 在Rt△ACM中，AC2＝AM2+CM2＝BC2BC2BC2， ∴AB2+AC2BC2BC2＝2.5BC2； 即AB2+AC2＝2.5BC2； ②结论仍然成立． 设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2， ∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2）， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°， ∴a2+BE2＝BM2BC2，a2+CD2＝CM2BC2， ∴AB2+AC2＝2AM2BC2， ∵1，∴AP＝PM， ∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线，∴PMBC， 若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝PM+PM＝（1+1）PM＝BC， ∴AB2+AC2＝2×BC2BC2BC2，即AB2+AC2＝2.5BC2； ③结论：锐角三角形：AB2+AC2BC2， 钝角三角形：AB2+AC2BC2， 理由如下：设EM＝DM＝a，则AE＝AM+a，AD＝AM﹣a， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝（AM+a）2+BE2＝AM2+2AM•a+a2+BE2， 在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2＝（AM﹣a）2+CD2＝AM2﹣2AM•a+a2+CD2， ∴AB2+AC2＝2AM2+（a2+BE2）+（a2+CD2）， ∵BE⊥AM于E，CD⊥AM于D，∴∠E＝∠CDM＝90°， ∴a2+BE2＝BM2BC2，a2+CD2＝CM2BC2， ∴AB2+AC2＝2AM2BC2， ∵k，∴AP＝kPM，∵∠BPC＝90°，AM是△ABC的中线，∴PMBC， 若△ABC是锐角三角形，则AM＝AP+PM＝kPM+PM＝（k+1）PMBC， ∴AB2+AC2＝2×（BC）2BC2BC2， 即AB2+AC2BC2； 若△ABC是钝角三角形，则AM＝PM﹣AP＝PM﹣kPM＝（1﹣k）PMBC， AB2+AC2＝2×（BC）2BC2BC2， 即AB2+AC2BC2． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $