寒假作业13 一次函数的应用（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 一次函数的应用 一、一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 二、用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 行程问题 1.李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间 分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ (2)填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； (3)当时，请直接写出关于的函数解析式； (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 【答案】(1)见解析；(2)①1500；②450；(3)；(4)她在途中遇到李磊时是离开家或 【解析】（1）解：由图象可以看出，李磊离开家的时间分别是分钟，分钟时，距离家的距离分别是，． 填表： 李磊离开家的时间 李磊离开家的距离 800 600 （2）解：在图中，纵轴表示的是李磊离家的距离，横轴表示离家用的时间． 从图中可以看出，李磊到学校时离家的距离是，所以李磊家到学校的路程是． 从图中可以看出，从文具店到学校的路程为，所用的时间为， 所以从文具店到学校的速度为． （3）解：从图中可以看出，在时，图象分为三段， 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 当时， 图象为平行于轴的线段， ∴． 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 综上所述，； （4）解：设王淼在途中遇到李磊时是离开家分钟，根据题意得： 或， 解得或． 答：她在途中遇到李磊时是离开家或． 题型二 工程问题 2.甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1)；(2)；(3)天 【解析】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）． 故答案为：． （2）解：甲组的挖掘速度为（/天）， 则当时，， 乙组停工后关于的函数解析式为． （3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天）， 则乙组的挖掘速度为（/天）， 设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天， 根据题意，得， 解得， （天）． 答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天． 题型三 计时问题 3．综合与实践：制作简易计时器 【问题情境】 某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中． 【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（）与时间x（）的数据： 记录次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 时间x（） 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y（） 2 4 6 4 10 【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函数关系，请解决以下问题： (1)根据表中的数据在图中描点：小组长发现其中有一次数据记录错误，请你指出记录错误的是第 次： 【结论应用】 (2)已知圆柱容器液面的最大高度能达到，则这个简易计时器最多可计时多少分钟？ 【答案】(1)四；(2)15分钟； 【解析】（1）解：描点如下： 由题意得，y与x之间满足一次函数关系，所以函数图象是一条直线， 根据描点可知，第四次的数据不在其他数据连成的直线上， 记录错误的是第四次． 故答案为：四． （2）解：设一次函数关系为， 代入和得，， 解得：， 一次函数关系为， 令，则， 解得：， 答：这个简易计时器最多可计时15分钟． 题型四 调运问题 4．某市遭遇严重水灾，有关部门紧急部署，组织了一批救灾帐篷和食品准备送往灾区．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件． (1)求帐篷和食品各多少件？ (2)现计划用两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的条件下，A种货车每辆运费800元，B种货车每辆运费720元，怎样安排调运方案才能使总运费最少？最少运费是多少？ 【答案】(1)帐篷件，食品件； (2)共有三种运输方案：①种货车辆，则种货车辆；②种货车辆，则种货车辆；③种货车辆，则种货车辆； (3)当安排种货车辆，则种货车辆调运总运费最少，最少运费是12000元． 【解析】（1）解：设帐篷件，食品件， 由题意得：，解得：， 答：帐篷件，食品件； （2）解：设种货车辆，则种货车辆， 由题意得：，解得：， 为正整数， 的可能取值为， 即共有三种运输方案：①种货车辆，则种货车辆；②种货车辆，则种货车辆；③种货车辆，则种货车辆； （3）解：设总费用为， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，的值最小为元， 即当安排种货车辆，则种货车辆调运总运费最少，最少运费是12000元． 题型五 分配问题 5．某经销商准备从一红肠加工厂购进甲、乙两种红肠进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种红肠的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种红肠按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种红肠x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种红肠共100千克，其中甲种红肠不少于40千克且不超过70千克，如何分配甲、乙两种红肠的购进量，才能使经销商付款总金额w最少？ 【答案】(1) (2)购进甲种红肠70千克，乙种红肠30千克 【解析】（1）解：当时， 设，将代入，可得：， 解得 所以当时，， 当时， 设，将代入，得， 解得， 所以当时，， 所以y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意可得：， 当时，． ， ∴w随x的增大而增大， 当时，w最小，最小值为8400. 当时，． ， ∴w随x的增大而减小， 当时，w最小，最小值为8300. ， ∴当时，付款总金额最少，最少金额为8300元， 此时购进乙种卷蹄（千克）． 答：当购进甲种红肠70千克，乙种红肠30千克时，才能使经销商付款总金额最少． 题型六 体积问题 6．如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：    (1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm； (2)求直线的函数关系式： (3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比． 【答案】(1)3，18；(2)；(3)①② 【解析】（1）解：由函数图象得 表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块， 故答案：，； （2）解：设直线为， 把，代入得， ， 解得， 所以直线的解析式为； （3）解：①由（2）知直线的解析式为， 由图1知，当容器注满水时，水面的高度为， ∴把代入得， ， 解得， 答：该容器注满水需要分钟 ②容器不放铁块时注水的速度为（）， 容器不放铁块时，注满容器所需时间： ， 注满与铁块的体积相同的容器所需时间：， 长方体铁块的体积与容器的容积之比为． 题型七 梯度计价问题 7．综合与实践 综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动． 素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间． 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价 用电量（度） 250 50 250 100 320 100 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 任务一： （1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元； （2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元． 任务二： （1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式； （2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样． 任务三： 根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费． 【答案】任务一：（1）170；232；（2）154；231；任务二：（1）；；（2）当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样；任务三：答案不唯一，见解析 【解析】解：任务一： （1）， （2），； 任务二：（1）； （2）当时， 解得： ∴当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样 任务三：当，解得： ∴的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可） 题型八 最佳方案问题 8．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【答案】(1) (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元 (3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多 【解析】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 题型九 费用最少问题 9．随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元 (2)家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元 【解析】（1）解：设购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元， 由题意，得：， 解得：， 答：购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元． （2）解：设购进的型风扇为个，则购进的型风扇为个， 由题意，得总费用：， 购买型数量不少于型的数量， ∴， 解得：， ， ∴W随的增大而增大，且a是正整数， 当时，有最小值，（元）， 家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元． 题型十 利润最大问题 10．学校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院初二班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售已知制作个款挂件、个款挂件所需成本为元，制作个款挂件、个款挂件所需成本为元已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价元个 (1)求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有名学生计划每位同学制作个款挂件或个款挂件，制作的总成本不超过元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的倍设安排人制作款挂件，销售的总利润为元请写出元与人之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， ；(2)且为整数，安排人制作款挂件、人制作款挂件总利润最大，为元 【解析】（1）解：设制作一个款挂件所需的成本为元，制作一个款挂件所需的成本为元． 根据题意，得， 解得． 答：制作一个款挂件所需的成本为元，制作一个款挂件所需的成本为元． （2）解：安排人制作款挂件， 根据题意，得， 解得， 为非负整数， 且为整数， ， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为且为整数， ， 随的增大而增大， 且为整数， 当时值最大，，人， 安排人制作款挂件、人制作款挂件使得总利润最大，最大利润是元． 1．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O，A．C的坐标分别为（0，0），A（a，0），C（0，b），且a、b满足b2﹣16b+64+20； （1）矩形的顶点B的坐标是（　6　 ，　8　 ） （2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式． （3）将（2）中直线CE向左平移一个单位交y轴于M，N为第二象限内的一个动点，∠ONM＝135°，求FN的最大值． 【答案】（1）6，8．（2）yx+8．（3）． 【解析】解：（1）b2﹣16b+64+20， 即（b﹣8）2+20， 则b﹣8＝0，a﹣b+2＝0， 解得：a＝6，b＝8， 即点A、C的坐标分别为：（6，0）、（0，8）， 故答案为：6，8； （2）法一：设：GD＝m，GE＝n， 过点E作x轴的平行线交y轴于点G、交AB于点H， ∵∠GED+∠HEA＝90°，∠GED+∠GDE＝90°， ∴∠GDE＝∠HEA， ∴Rt△DGE∽Rt△EHA， ∴， 即：，解得：m，n， 故点E（，）， 将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CE的表达式为：yx+8． 法二：连接OE，如图所示， ∵D是OC中点， ∴OD＝CD， ∵沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA， ∴△ODA≌△EDA，OE⊥AD， ∴OD＝ED， ∴OD＝ED＝CD， ∴△OEC为直角三角形，OE⊥FC， ∴AD∥FC， ∵四边形OABC为矩形， ∴AF∥CD， ∴四边形CDAF为平行四边形， ∴FA＝CD4， ∴F（6，4）， 将点C、F的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CE的表达式为：yx+8． （3）法一：yx+8，当x＝6时，y＝4，故点F（6，4）， 直线CE向左平移一个单位后的表达式为：y（x+1）+8， 故点M（0，）； 过点N、O、M作圆R（R为圆心），连接RM、RO， 当F、R、N三点共线时，FN最大， ∵∠ONM＝135°，则∠MRO＝90°，则△RMO为等腰直角三角形， 则点R（，），RM＝OMsin45°RN， 由点F、R的坐标得，FR， FN的最大值＝PR+RN． 法二：如图，以MN为直角边构造等腰Rt△NMK，MN＝MK，∠NMK＝90°，过点M作MJ⊥OM交NK的延长线于J，连接OJ，FN，取OJ的中点R，连接NR，RF． ∵△NMK是等腰直角三角形， ∴∠MNK＝∠MKN＝45°， ∵∠MNO＝135° ∴∠ONJ＝90°，∠MNO＝∠MKJ＝135°， ∵∠NMK＝∠OMJ＝90°， ∴∠NMO＝∠KMJ， ∵MN＝MK， ∴△NMO≌△KMJ（ASA）， ∴OM＝MI， ∵OR＝RJ， ∴R（，）， ∵RN，FR， ∵FN≤NR+RF， ∴FN， ∴FN的最大值为． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM． （1）求tan∠ABO的值； （2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明； （3）若MD＝MN，求点D的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点， 则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（3，0）； tan∠ABOtanα； （2）DE与FM的位置关系为相互垂直，理由： 点C是AB的中点， 则∠COB＝∠CBO＝∠EDF＝α，∠ONF＝∠DNM， ∴∠DMN＝∠DFO， ∴O、F、M、D四点共圆， ∴∠DMF+∠DOF＝180°， ∴∠DOF＝90°，即：DE⊥FM； 解法二：∵∠NDM＝∠NOF，∠DNM＝∠ONF， ∴△DNM∽△ONF， ∴，∠DMN＝∠OFN， ∴， ∵∠OND＝∠FNM， ∴△OND∽△FNM， ∴∠DON＝∠NFM， ∴∠MDN+∠NFM＝∠NOF+∠DON＝90°， ∴∠DMF＝90°， ∴DE⊥FM． （3）MD＝MN， ∴∠MDN＝∠MND＝α， 而∠COB＝α，∠DNM＝∠ONF＝α， 即△ONF为以ON为底，底角为α的等腰三角形， 则tan∠NFOtanβ，则cosβ（证明见备注）； 设OF＝m，则DF＝FB＝3﹣m， cos∠DFO＝cosβ， 解得：m， OD2＝DF2﹣OF2＝（3﹣m）2﹣m2； 则OD， 故点D（0，）． 备注：如图， 过点N作HN⊥OF于点H，tanα，则sinα，作FM⊥ON于点M， 设FN＝OF＝5a，则FM＝4a，则ON＝6a， 同理可得：NH， sin∠NFOsinβ，则cosβ． 3．直线y＝kx+8交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝8． （1）如图1，求直线AB的解析式； （2）如图2，C是x轴坐标轴上一点，且OC＝OB，E是点A上方y轴上一点，CE交直线AB于点P，过点P且与BE垂直的直线交x轴于点F，设AE＝m，OF＝y，求y与m之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OP、EF，G是直线AB、BF的交点，H是OP上一点，连接BH、AH，若∠OPC+∠AHB＝90°，PC＝BH，求点G的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）直线y＝kx+8交y轴于点A，则点A（0，8），而AB＝8， 故OB8，故点B（8，0）， 将点B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+8并解得：k＝1， 故直线AB的解析式为：y＝x+8； （2）如图1，过点A作y轴的垂线交PF于N，过点N作NM⊥x轴于点M， ∵OC＝OB，OE⊥BC， ∴BE＝CE，∴∠EBO＝∠ECO， ∵PF⊥BE， ∴∠PFO+∠EBO＝90°， ∴∠PFO+∠ECO＝90°， ∵∠OEC+∠ECO＝90°， ∴∠PFO＝∠OEC， ∵AN⊥y轴， ∴∠EAN＝∠EOF＝90°， ∴AN∥x轴，∴∠ANP＝∠PFO，∴∠OEC＝∠ANP， ∵AO＝OB，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠ABO＝45°， ∴∠PAE＝∠OAB＝45°， ∴∠PAN＝45°， ∴∠PAE＝∠PAN， ∵AP＝AP， ∴△PAE≌△PAN（AAS）， ∴AN＝AE， ∵∠AOM＝∠OAN＝∠NMO＝90°， ∴四边形AOMN为矩形， ∴OM＝AN，MN＝OA， ∴OM＝AE，∵OC＝OB＝OA， ∴OC＝MN， ∵∠EOC＝∠NMF＝90°，∠PFO＝∠OEC， ∴△OEC≌△MFN（AAS）， ∴MF＝OE＝m+8， ∵OM＝AE＝m， ∴OF＝OM+MF＝2m+8， 即y＝2m+8； （3）如图2，过点B作PO延长线的垂线，垂足为N，过点C作CM⊥OP于点M，过点O作OK⊥AB于点K，过点P作PR⊥y轴于点R， ∵OB＝OC，∠BON＝∠COM（AAS），∠ONB＝∠OMC＝90°， ∴Rt△BHN≌Rt△CPM（HL）， ∴∠BHN＝∠CPM，PM＝HN， ∴PH＝MN＝2OM， ∵∠AHB+∠OPC＝90°， ∴∠AHB+∠BHN＝90°， ∴∠AHO＝90°， ∴∠AOH+∠OAH＝90°， ∴∠COM＝∠OAH， ∵OA＝OC，∠AHO＝∠OMC＝90°， ∴△AOH≌△OCM（AAS）， ∴AH＝OMPH， tan∠OPK， ∴， ∴PK＝2OK， ∵OA＝OB，OK⊥AB， ∴AK＝BK， ∵∠AOB＝90°， ∴AK＝OKAB＝4， ∵∠PAR＝∠OAB＝45°， ∴∠APR＝∠PAR＝45°， ∴PR＝ARAP＝4， ∴OR＝OA+AR＝12， ∴P（4，12）， ∵C（8，0）， ∴直线PC的表达式为：y＝﹣3x+24， 当x＝0时，y＝24，故点E（0，24）， 故OE＝24， ∴AE＝OE﹣OA＝16， 即m＝16，故y＝2m+8＝40， 故OF＝40，故点F（40，0）， 则直线EF的表达式为：yx+24， 联立yx+24和y＝x+8并解得：x＝10，y＝18， 故点G（10，18）． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+4分别交y轴和x轴于点A、B两点，点C在x轴的正半轴上，AO＝2OC，连接AC． （1）如图1，求直线AC的解析式； （2）如图2，点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：AP＝CQ，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，设点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，PQ交y轴于点M，过点A作AN⊥AC交QP的延长线于点N，过点Q作QF∥AC交PE的延长线于点F，若MN＝DQ，求点F的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）直线yx+4分别交y轴和x轴于点A、B两点， 则点A、B的坐标为：（0，4）、（﹣3，0）， AO＝2OC，则点C（2，0）， 将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：， 故直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4…①； （2）在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC＝5， 则△ABC为等腰三角形，设∠BAC＝∠BCA＝α＝∠HCQ，则sinα， 点P（t，t+4），点A（0，4），则AP， ∵AP＝CQ，则点Q（2，0）， 过点Q作QH⊥AC交AC的延长线于点H， ∠QHC＝∠PEA＝90°，∠PAE＝∠QCH＝α，AP＝CQ， ∴△PAE≌△QCH（AAS），则QH＝PE， 则SDE×PEDE×QH＝DE•EP， 同理：△PED≌△QHD（AAS）， 故点D是PQ的中点，故点D（1t，2）， ∵PE⊥AC，点P（t，t+4），则直线PE的函数表达式为：yxt+4…②， 联立①②并解得：xt，故点E（t，4）， 则DE， S＝DE•EPAPsinα； （3）AN⊥AC，则直线AN函数表达式中的k值为：，点A（0，4）， 同理可得：直线AN的函数表达式为：yx+4…③， 同理可得：过点P（t，t+4）、Q（2，0）两点的函数表达式为：yx④， 联立③④并解得：xN， ∵MN＝DQ＝DP， ∴NP＝MD，则xD＝xP﹣xN， 即：1t＝t，解得：t＝±（舍去正值）， 故t；则点P（，2）、点E（，3）； ∵ED⊥FE，QF⊥PE，∴ED∥FQ，而点D是PQ的中点， 则点E（，3）是点PF的中点， 则点F（，4）． 5．在图（1）中，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E从点C出发，以cm/s的速度沿射线CB运动，当点E与点B重合时，运动停止．过点E作EF⊥AC，垂足为点F，将线段EF绕点F顺时针旋转90°，点E在射线CA上的对应点为点H，连接EH．若△EFH与△ACD的重叠部分面积为S（cm2），点E的运动时间为ts，S关于t的函数图象如图（2）所示（其中0＜t，t≤m，m＜t时，函数解析式不同） （1）求BC的长； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由题意得：BCt， 故BC的长为：； （2）设∠C＝α，则EFtsinα，FCtcosα， 当点H在与点A重合（含）前，即：0≤t， 如图1，S＝S△HFE， 且当t时，A、H重合， S（EF）2（tsinα）2， 当t时，S，即：（sinα）2， 解得：sinα，则cosα，tanα， FCtcosα＝2t，EFtsinα＝t， 则St2， CH＝CA＝CF+FH＝3t，而A、H重合时，t， 故CA＝10， 则AD＝ACsinα＝2，CD＝4， BD＝BC﹣CD； 当点E在点D之前、点H过A点后，即t＜4时，如图2， 设直线HE交AD于点M， CE′t，同理DE′，而CD＝4， 故点E′运动到点E需要的时间为：秒， 则点M从点A运动到点D的速度为：3， 连接AE， S＝S△AEF+S△AEMAF×EFAM×DE（10﹣2t）t3（t）（4t）t2+60t﹣100， CD＝4，m4； 综上，AD＝2，CD＝4，m＝4； ①当0＜t时，St2； ②当t≤4时，如图3， 作GI∥EF，则△AIG∽△ACD， 故IG＝2AG＝2（3t﹣10）， S＝S△HEF﹣S△HAIt2（3t﹣10）×2（3t﹣10）t2+60t﹣100； ③当4＜t时，如图4，则△AIF∽△ACD，则IF＝2（10﹣2t）， S＝S△AIF（10﹣2t）×2（10﹣2t）＝（10﹣2t）2． 综上，S． 6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣3，0）、B（0，3）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）点C（0，1）为y轴上一点，D为x轴上一点，直线AB上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）P、Q是直线AB上的一条动线段，（P在Q的下方）且PQ＝2，点M（，2）、N（，1），连接MQ、PN，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）设直线AB的解析式：y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线AB的解析式：yx+3； （2）①当BC为平行四边形的边时， 则ED＝BC，则yx+3＝±2， 解得：x或﹣5， 故点E（，2）或（﹣5，﹣2）； ②当BC是平行四边形的对角线时， 设点D（m，0），点N（n，n）， 由中点坐标公式得：n+3＝3+1， 解得：n， 故点E（，4）， 综上，点E（，2）或（﹣5，﹣2）或E（，4）； （3）作点C关于直线AB的对称点H，交AB于点S，连接HN交AB于点P，连接PC、CM、CN、MN， 过点M作MQ∥PC交直线AB于点Q，则此时PN+QM最小， ∵PQ是定值，则最大， 在△CNM中，MN＝1，CN，则∠MCN＝30°，CM＝2， 则CM∥PQ，CM＝PQ， 故四边形CMQP为平行四边形，故QM＝PC， 则MQ+PN＝PC+PN＝HN，过点H作HK⊥y轴于点K， 在△SCB中，BC＝2，则SC＝BCsin60°，则HC＝2， 则点H的坐标为（，4），点N（，1）， 则HN，QP＝2， 则最大值为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 21:02:57；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q； ①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 　（0，2）　 ． ②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 　（1，2）　 ． （2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线yx+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标． （3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）A的坐标为（0，0），即点A是原点， 根据旋转的性质得：①点Q（0，2），②点P（1，2）， 故答案为：（0，2），（1，2）； （2）①当点D在第一象限时， ∵点D关于点C的“垂链点”在x轴上， ∴CD⊥x轴， 故点D（1，）； ②当点D在第二象限时，如图： 设点D（m，m+1），点D′（0，n）， 点D的“垂链点”D′在y轴上， 过点D作DH⊥x轴于点H， ∵∠DCH+∠HDC＝90°，∠OCD′+∠DCH＝90°， ∴∠HDC＝∠OCD′， ∵∠DHC＝∠COD′＝90°，DC＝D′C， ∴△DHC≌△COD′（AAS）， 则DH＝OC，即：m+1＝1，解得：m＝0， 故点D（0，1）， 综上，点D（0，1）或（1，）； （3）图形G所在直线的表达式为：y＝2x﹣2， 设点M（m，2m﹣2），其中0≤m≤1， （Ⅰ）当N落在正方形的右边的一条边， ①当T在x轴上方时，如图： 分别过点M、N作y轴的垂线交于点H′、G′， 同理可证△NG′T≌△TH′M（AAS） TH′＝G′N，即t﹣（2m﹣2）＝3， t＝2m+1，而0≤m≤1，且yN≤3， 则1≤t； ②当t在x轴下方时， 当﹣3时，点M关于点T的“垂链点”恰为点N在正方形的边上， 故t＝﹣3； 当点T在t＝﹣3下方时，且xN≥﹣3， 同理可得：m＝﹣3﹣t，解得：t≤﹣3，且t＞0，不合题意舍去； （Ⅱ）当N落在正方形的下面的一条边时， 同理可得：t＝3﹣m，而0≤m≤1，yN≤3， 解得：t≤3， 综上，t的取值范围为：1≤t或t≤﹣3． 2．定义：若实数x，y满足x2＝3y+t，y2＝3x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣3）和（﹣3，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）． （1）在P1（4，1）和P2（﹣4，1）两点中，点P2 是“线点”； （2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围； （3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣3y＝t，y2﹣3x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”， 又∵P1（4，1），则42﹣3×1＝13，（1）2﹣3×4＝﹣11，13≠﹣11， ∴点P1不是线点； ∵P2（﹣4，1），则（﹣4）2﹣3×1＝13，12﹣3×（﹣4）＝13，13＝13， ∴点P2是线点， 故答案为：P2； （2）∵点P（m，n）为“线点”， 则m2﹣3n＝t，n2﹣3m＝t， ∴m2﹣3n﹣n2+3m＝0，m2﹣3n+n2﹣3m＝2t， ∴（m﹣n）（m+n+3）＝0， ∵m≠n， ∴m+n+3＝0， ∴m+n＝﹣3， ∵m2﹣3n+n2﹣3m＝2t， ∴m2+n2+9＝2t， ∴（m+n）2﹣2mn+9＝2t， ∴18﹣2mn＝2t， ∴mn＝9﹣t， ∵m≠n， ∴（m﹣n）2＞0， ∴m2﹣2mn+n2＞0， ∴（m+n）2﹣4mn＞0， ∴（﹣3）2﹣4mn＞0， ∴mn， ∵mn＝9﹣t（t）； （3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b，则，解得：k＝1， ∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B， ∴∠AOB＝90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°， ∴∠POQ＝120°或60°， ∵P（m，n），Q（n，m）， ∴P、Q两点关于y＝x对称， ①若∠POQ＝120°时，如图1所示： 作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB． ∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON∠POQ＝60°， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴∠AON＝BON＝45°， ∴∠POC＝∠QOD＝15°， 在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°， ∴∠CTP＝30°， ∴PT＝2PC＝2n，TCn， ∴﹣mn+2n①， 由（2）知，m+n＝﹣3②， 联立①②并解得：m，n 由（2）知：mn＝9﹣t，t， 9﹣t， 解得：t； ②若∠POQ＝60°时，如图2所示， 作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB． ∵P、Q两点关于y＝x对称， ∴∠PON＝∠QON∠POQ＝30°， ∵△AOB是等腰直角三角形， ∴∠AON＝BON＝45°， ∴∠POD＝∠QOC＝15°， 在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°， ∴∠DTP＝30°， ∴PT＝2PD＝﹣2n，TDn， ∴﹣mn﹣2n③， 由（2）知，m+n＝﹣3④， 联立③④并解得：m＝36，n＝﹣33， 则mn＝（36）×（﹣33）＝9﹣t，t， 解得：t＝54﹣27； 综上所述，t的值为：或54﹣27． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 一次函数的应用 一、一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 二、用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 行程问题 1.李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间 分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ (2)填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； (3)当时，请直接写出关于的函数解析式； (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 题型二 工程问题 2.甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 题型三 计时问题 3．综合与实践：制作简易计时器 【问题情境】 某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中． 【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（）与时间x（）的数据： 记录次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 时间x（） 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y（） 2 4 6 4 10 【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函数关系，请解决以下问题： (1)根据表中的数据在图中描点：小组长发现其中有一次数据记录错误，请你指出记录错误的是第 次： 【结论应用】 (2) 已知圆柱容器液面的最大高度能达到，则这个简易计时器最多可计时多少分钟？ 题型四 调运问题 4．某市遭遇严重水灾，有关部门紧急部署，组织了一批救灾帐篷和食品准备送往灾区．已知帐篷和食品共680件，且帐篷比食品多200件． (1)求帐篷和食品各多少件？ (2)现计划用两种货车共16辆，一次性将物资送往灾区，已知A种货车可装帐篷40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，共有哪几种运输方案？ (3)在（2）的条件下，A种货车每辆运费800元，B种货车每辆运费720元，怎样安排调运方案才能使总运费最少？最少运费是多少？ 题型五 分配问题 5．某经销商准备从一红肠加工厂购进甲、乙两种红肠进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种红肠的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种红肠按80元/千克的价格出售，设经销商购进甲种红肠x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．    (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种红肠共100千克，其中甲种红肠不少于40千克且不超过70千克，如何分配甲、乙两种红肠的购进量，才能使经销商付款总金额w最少？ 题型六 体积问题 6．如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：    (1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm； (2)求直线的函数关系式： (3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比． 题型七 梯度计价问题 7．综合与实践 综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动． 素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间． 素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式： 分时电表 普通电表 峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度 电价0.6元/度 电价0.4元/度 素材三： 小明家 4月 5月 6月 备注 时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价 用电量（度） 250 50 250 100 320 100 小红家 4月 5月 6月 备注 用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价 任务一： （1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元； （2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元． 任务二： （1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式； （2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样． 任务三： 根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能_____（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费． 题型八 最佳方案问题 8．某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 题型九 费用最少问题 9．随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 题型十 利润最大问题 10．学校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院初二班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售已知制作个款挂件、个款挂件所需成本为元，制作个款挂件、个款挂件所需成本为元已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价元个 (1)求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有名学生计划每位同学制作个款挂件或个款挂件，制作的总成本不超过元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的倍设安排人制作款挂件，销售的总利润为元请写出元与人之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 1．平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O，A．C的坐标分别为（0，0），A（a，0），C（0，b），且a、b满足b2﹣16b+64+20； （1）矩形的顶点B的坐标是（　 　 ，　 　 ） （2）若D是OC中点，沿AD折叠矩形OABC使O点落在E处，折痕为DA，连CE并延长交AB于F，求直线CE的解析式． （3）将（2）中直线CE向左平移一个单位交y轴于M，N为第二象限内的一个动点，∠ONM＝135°，求FN的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：yx+4与x轴、y轴分别相交于B、A两点，点C是AB的中点，点E、F分别为线段AB、OB上的动点，将△BEF沿EF折叠，使点B的对称点D恰好落在线段OA上（不与端点重合）．连接OC分别交DE、DF于点M、N，连接FM． （1）求tan∠ABO的值； （2）试判断DE与FM的位置关系，并加以证明； （3）若MD＝MN，求点D的坐标． 3．直线y＝kx+8交x轴于点B，交y轴于点A，AB＝8． （1）如图1，求直线AB的解析式； （2）如图2，C是x轴坐标轴上一点，且OC＝OB，E是点A上方y轴上一点，CE交直线AB于点P，过点P且与BE垂直的直线交x轴于点F，设AE＝m，OF＝y，求y与m之间的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OP、EF，G是直线AB、BF的交点，H是OP上一点，连接BH、AH，若∠OPC+∠AHB＝90°，PC＝BH，求点G的坐标． 4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx+4分别交y轴和x轴于点A、B两点，点C在x轴的正半轴上，AO＝2OC，连接AC． （1）如图1，求直线AC的解析式； （2）如图2，点P在线段AB上，点Q在BC的延长线上，满足：AP＝CQ，连接PQ交AC于点D，过点P作PE⊥AC于点E，设点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，PQ交y轴于点M，过点A作AN⊥AC交QP的延长线于点N，过点Q作QF∥AC交PE的延长线于点F，若MN＝DQ，求点F的坐标． 5．在图（1）中，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E从点C出发，以cm/s的速度沿射线CB运动，当点E与点B重合时，运动停止．过点E作EF⊥AC，垂足为点F，将线段EF绕点F顺时针旋转90°，点E在射线CA上的对应点为点H，连接EH．若△EFH与△ACD的重叠部分面积为S（cm2），点E的运动时间为ts，S关于t的函数图象如图（2）所示（其中0＜t，t≤m，m＜t时，函数解析式不同） （1）求BC的长； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 6．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣3，0）、B（0，3）两点． （1）求直线AB的解析式； （2）点C（0，1）为y轴上一点，D为x轴上一点，直线AB上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由； （3）P、Q是直线AB上的一条动线段，（P在Q的下方）且PQ＝2，点M（，2）、N（，1），连接MQ、PN，是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 21:02:57；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．对于平面直角坐标系xOy中的点A和点P，若将点P绕点A逆时针旋转90°后得到点Q，则称点Q为点P关于点A的“垂链点”，图1为点P关于点A的“垂链点”Q的示意图． （1）已知点A的坐标为（0，0），点P关于点A的“垂链点”为点Q； ①若点P的坐标为（2，0），则点Q的坐标为 　 　 ． ②若点Q的坐标为（﹣2，1），则点P的坐标为 　 　 ． （2）如图2，已知点C的坐标为（1，0），点D在直线yx+1上，若点D关于点C的“垂链点”在坐标轴上，试求出点D的坐标． （3）如图3，已知图形G是端点为（1，0）和（0，﹣2）的线段，图形H是以点O为中心，各边分别与坐标轴平行的边长为6的正方形，点M为图形G上的动点，点N为图形H上的动点，若存在点T（0，t），使得点M关于点T的“垂链点”恰为点N，请直接写出t的取值范围． 2．定义：若实数x，y满足x2＝3y+t，y2＝3x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣3）和（﹣3，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）． （1）在P1（4，1）和P2（﹣4，1）两点中，点 是“线点”； （2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围； （3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $