寒假作业15 二元一次方程组的解法（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 二元一次方程组的解法 一、 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 二、加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 三、换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫作换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 用代数式表示某个字母 1.如已知，则用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 题型二 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断 2.下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 题型三 代入消元法解二元一次方程组 3．解方程组 题型四 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断 4．用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 题型五 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元 5．解方程（组）：． 题型六 某个未知数的系数相同，用减法消元 6． 解方程组 题型七 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元 7．解方程组： (1)；(2) 题型八 换元法解二元一次方程组 8．如已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型九 整体代入法解二元一次方程组 9． 已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 题型十 解含参的二元一次方程组 10．关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 1．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解　　 ． 2．解方程组． 3．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且a、b、c的值满足等式|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0． （1）写出a的值：a＝　 　 ； （2）用含b的代数式表示c：c＝　 ； （3）求b的取值范围． 4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？ 5．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 6．已知a、b满足|a+b﹣3|＝0，求a2+b2的平方根． 7．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把①代入③得2×3+y＝5． 解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： （1）模仿小红的方法解方程组 （2）已知x，y满足方程组，求2x2+y2+xy的值． 8．阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为 解方程组得： 即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为　 　 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 21:33:06；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．对于有理数x，y，定义新运算：x•y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3•4＝3a+4b，则若3•4＝8，即可知3a+4b＝8． 已知1•2＝1，（﹣3）•3＝6，求2•（﹣5）的值． 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1 把y＝﹣1代入方程①得：X＝4，所以，方程组的解为 请你解决以下问题： （可直接写出答案） （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组模仿小军的“整体代换”法 （i）求x2+4y2的值． （ii）求3xy的值． 3．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值； （3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业15 二元一次方程组的解法 一、 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 二、加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 三、换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫作换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 用代数式表示某个字母 1.如已知，则用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可． 【解析】解：， ①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9， 故选：A． 题型二 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断 2.下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【解析】解： 步骤三中去分母应为：， 原解法中，去分母，等号右边漏乘2， 故选：C． 题型三 代入消元法解二元一次方程组 3．解方程组 【答案】 【解析】解： 整理可得出： 由②式得：， 把代入①式可得出：， 解得：， 把代入， 可得出：， ∴原方程组的解为： 题型四 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断 4．用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】B 【解析】解： ②×5，得， ③-①，得， 把代入②得，， ∴方程组的解为：， 则上述步骤中开始出现错误的是第二步， 故选：B． 题型五 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元 5．解方程（组）：． 【答案】 【解析】解：， 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 题型六 某个未知数的系数相同，用减法消元 6．解方程组 【答案】 【解析】解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 题型七 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元 7．解方程组： (1)；(2) 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）解：， 得：， 解得：． 把代入②得： ∴， 则方程组的解为． （2）解：整理得： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 题型八 换元法解二元一次方程组 8．如已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：对于方程组，可设，， 可得， 结合题意可知， 解得． 故选：C． 题型九 整体代入法解二元一次方程组 9．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 【答案】3 【解析】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 题型十 解含参的二元一次方程组 10．关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 1．已知方程组的解是，老师让同学们解方程组，小聪先觉得这道题好像条件不够，后将方程组中的两个方程两边同除以5，整理得，运用换元思想，得，所以方程组的解为．现给出方程组的解是，请你写出方程组的解　　 ． 【答案】 【解析】解：∵， ， 又∵的解是， ∴， 即． 2．解方程组． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：设|x+y|＝a，|x|＝b， 则方程组可化为， ∵①×2﹣②得：﹣b＝﹣1， ∴b＝1， ∵把b＝1代入①得：a+1＝4， ∴a＝3， 即|x+y|＝3，|x|＝1， ∵由|x|＝1得：x＝±1， ∴分为两种情况： 第一种情况：当x＝1时，|1+y|＝3， 1+y＝±3， y1＝2，y2＝﹣4； 第二种情况：当x＝﹣1时，|﹣1+y|＝3， ﹣1+y＝±3， y3＝4，y4＝﹣2， 综合上述，原方程组的解是，，，． 3．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且a、b、c的值满足等式|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0． （1）写出a的值：a＝　2.5　 ； （2）用含b的代数式表示c：c＝　5﹣b ； （3）求b的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由题意得：b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0， 解得：b+c＝5， 把b+c＝5代入b+c﹣2a＝0中得：5﹣2a＝0， 解得：a＝2.5； （2）∵b+c＝5， ∴c＝5﹣b； （3）根据三角形的三边关系：|5﹣b﹣2.5|＜b且b＜5﹣b+2.5， 即2.5﹣b＜b＜2.5+5﹣b， 解得：b． 故b的取值范围是b． 故答案为：2.5；c＝5﹣b． 4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：原方程组可化为， ①当，即k≠﹣2时，原方程组有唯一一组解； ②当，即k无论取什么值，都不能使原方程组无解； ③当，即k＝﹣2时，原方程组有无穷多解． 5．已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：解原方程组得，， 假设x＝1时，可求得a＝﹣7，y＝﹣1； 同样设x为其他整数，a、y的值都不能为整数， ∴原方程组的整数解为． 6．已知a、b满足|a+b﹣3|＝0，求a2+b2的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵|a+b﹣3|＝0， ∴， 解得， ∴a2+b2＝4+1＝5， ∴a2+b2的平方根是±． 7．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把①代入③得2×3+y＝5． 解得y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得x＝4，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： （1）模仿小红的方法解方程组 （2）已知x，y满足方程组，求2x2+y2+xy的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）把②变形得：2x+6y+y＝6， 2（x+3y）+y＝6 ③， 把①代入③得：4+y＝6， 解得：y＝2， 把y＝2代入①得：x+6＝2， 解得：x＝﹣4， 所以原方程组的解； （2）由①得：2x2+y2， 由②得：2（2x2+y2）＝10﹣xy， 把③代入④得：210﹣xy， 解得：xy， 把xy代入2x2+y2+xy得： 2x2+y2+xy（）． 8．阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可变为 解方程组得： 即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（2）拓展提高 设1＝x，2＝y， 方程组变形得：， 解得：，即， 解得：； （3）能力运用 设， 可得， 解得：， 故答案为： 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 21:33:06；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．对于有理数x，y，定义新运算：x•y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3•4＝3a+4b，则若3•4＝8，即可知3a+4b＝8． 已知1•2＝1，（﹣3）•3＝6，求2•（﹣5）的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：根据题意可得：， 则①+②得：b＝1， 则a＝﹣1， 故方程组的解为：， 则原式＝2a﹣5b＝﹣2﹣5＝﹣7． 2．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，y＝﹣1 把y＝﹣1代入方程①得：X＝4，所以，方程组的解为 请你解决以下问题： （可直接写出答案） （1）模仿小军的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组模仿小军的“整体代换”法 （i）求x2+4y2的值． （ii）求3xy的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）把方程②变形：3（3x﹣2y）+2y＝19③， 把①代入③得：15+2y＝19，即y＝2， 把y＝2代入①得：x＝3， 则方程组的解为； （2）（i）由①得：3（x2+4y2）＝47+2xy，即x2+4y2③， 把③代入②得：236﹣xy， 解得：xy＝2， 将xy＝2代入2x2+xy+8y2＝36得：2x2+2+8y2＝36， 解得：x2+4y2＝17； （ii）由（i）知xy＝2，则3xy＝6． 3．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足2m＝8+n，就称点P（m﹣1，）为“爱心点”． （1）判断点A（5，3），B（4，6）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点C（a，﹣8）也是“爱心点”，请求出a的值； （3）已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组解为坐标的点B（x，y）是“爱心点”，求p，q的值． 【答案】（1）点A，理由见解答；（2）﹣6；（3）p＝0，q． 【解析】解：（1）点A是爱心点，点B不是爱心点，理由如下： ∵， ∴， ∵2×6＝8+4， ∴点A是爱心点； ∵， ∴， ∵2×5≠8+10， ∴点B不是爱心点； （2）∵点C为爱心点， ∴， ∴n＝﹣18， 又∵2m＝8+n， ∴2m＝8+（﹣18）， 解得m＝﹣5， ∴﹣5﹣1＝a，即a＝﹣6； （3）解方程组得 ， 又∵点B是爱心点满足：， ∴， ∵2m＝8+n， ∴2 p﹣2q+2＝8+4q﹣2， 整理得：2 p﹣6q＝4， ∵p，q是有理数， ∴p＝0，﹣6q＝4， ∴p＝0，q． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $