寒假作业07 二次根式的乘除（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 二、积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 三、二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 四、商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 五、最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次根式乘除成立的条件 1.能使等式成立的条件是（    ） A． B． C． D．或 题型二 最简二次根式 2.若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 题型三 根号内、外的因式互移 3．把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 题型四 分母有理化 4．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 题型五 分子有理化 5．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 题型六 二次根式的乘除运算 6．计算： (1)； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 题型七 二次根式的化简求值 7．先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 题型八 实数范围内分解因式 8．在实数范围内分解因式： ． 题型九 二次根式乘除的应用 9．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．阅读下列解题过程： 2 ﹣3• 利用上述解法化简下列各式 ①10； ②x． 2．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题： OA1＝1 OA2；S1 OA3；S2 OA4；S3 （1）推算出OA5＝　 　 ； （2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？ （3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即Sn＝　　 ； （4）求出的值． 3．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“＝”，并完成后面的问题． 　 　 ，　 　 ，　 　 ， 　 　 用，，表示上述规律为：　 　 ； （2）利用（1）中的结论，求的值 （3）设x，y试用含x，y的式子表示． 4．已知：，． 求（1）x1+x2＝？，x1•x2＝？ （2）的值． 5．阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的 小刚同学是这样计算的 问题填空： （1）两位同学做法正确的是 A．小明正确 B．小刚正确 C．小明、小刚都正确 D．小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ① 　　 （a≥0，b≥0）；② （a≥0） 小刚同学在计算时运用了公式 ①　　 （a≥0，b≥0）； ②（）2＝ （a≥0） 6．已知：，且x是偶数，求：代数式（x+2）的值． 7．细心观察，认真分析，然后解答问题： （1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律　 ； （2）OA10的长　　 ； （3）求出的值． 8．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． （1）若S＝16cm2，acm，求b； （2）若Scm2，bcm，求a． 9．化简： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 10．比较下列各组值的大小：（在横线上填“＞”“＜”或“＝”） 4+3　 　 ；　 　 ；5+5　 　 ；… 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明你所写式子的正确性． 11．计算： （1）•； （2）； （3）； （4）． 12．已知x为奇数，且，求的值． 1．观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式． 2．对于实数a，b，我们定义运算“#”：a#b例如：5#3，因为5＞3，所以5#34；又如3#5，因为3＜5，所以3#5＝3×5＝15． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①#2；②25#7；③4#3；④． 3．抖音上最近有位老师录制了这样一道题怎样简算？ 这位老师的做法如下： 89； 你能仿照同学甲的做法解决这个问题吗？ 若其中a是大于1的正整数，你能解释这位老师的解法吗？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 1. 二次根式的乘法法则 两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即． 例如：． 2. 二次根式的乘法法则的拓展 （1）二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即． （2）当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即． 二、积的算术平方根 1. 积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即． 运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式． 2. 该法则可以推广到多个非负数的积的算术平方根的运算，即． 3. 应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用和，将能开得尽方的因数或因式开到根号外． 三、二次根式的除法 1. 二次根式的除法法则 两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即． 2. 二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，即． 3. 二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，即． 四、商的算术平方根 商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即． 五、最简二次根式 1. 被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数（或因式），分母中不含根号，这样的二次根式称为最简二次根式． 2. 化为最简二次根式的步骤 （1）把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解； （2）将被开方数中能开尽的因数(或因式）进行开方； （3）利用，使被开方数中不含分母； （4）分母有理化，化去分母中的根号； （5）约分化简，整理成最简二次根式． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 二次根式乘除成立的条件 1.能使等式成立的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】解： 成立，，，解得：． 故选：C． 题型二 最简二次根式 2.若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【解析】解：最简二次根式与最简二次根式相等，∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 题型三 根号内、外的因式互移 3．把根号外面的因式移到根号里面化简的结果是 ． 【答案】/ 【解析】解：，， ， 故答案为：． 题型四 分母有理化 4．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“※”如下：，例如：． （1） ； （2） ． 【答案】 （1） ， （2） 【解析】解：（1）由定义新运算知， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 题型五 分子有理化 5．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，，；(2)；(3) 【解析】（1）解：； （2）解：， ， ∵，∴；∴； （3）解：∵，∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 题型六 二次根式的乘除运算 6．计算： (1)； (2)； (3)已知，A、B为最简二次根式，且，求． 【答案】(1)44，(2)，(3)14 【解析】（1）解：． （2） ． （3）解：∵A、B为最简二次根式，∴，可得：，∴、， ∵，∴，∵，∴，∴， 解得：， ∴，∴的值为14． 题型七 二次根式的化简求值 7．先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【解析】解：由题意得，解得，于是，∴原式= = ∴原式= 题型八 实数范围内分解因式 8．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 题型九 二次根式乘除的应用 9．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．设从高空抛物到落地所需时间为，从高空抛物到落地所需时间为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意得：， 故选：A． 1．阅读下列解题过程： 2 ﹣3• 利用上述解法化简下列各式 ①10； ②x． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：①10； ②x ＝0． 2．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题： OA1＝1 OA2；S1 OA3；S2 OA4；S3 （1）推算出OA5＝　　 ； （2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？ （3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即Sn＝　　 ； （4）求出的值． 【答案】（1）；（2）36；（3）n；Sn；（4）． 【解析】解：（1））∵n，∴OA． 故答案为：； （2）若一个三角形的面积是3， ∵Sn3，∴2×3＝6，∴它是第36个三角形． （3）结合已知数据，可得：n；Sn； 故答案为：Sn； （4）S22+S23+…+S2100 ． 故答案为：． 3．（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“＝”，并完成后面的问题． 　＝　 ，　＝　 ，　＝　 ，　＝　 用，，表示上述规律为：　 　 ； （2）利用（1）中的结论，求的值 （3）设x，y试用含x，y的式子表示． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵2×4＝8，8， ∴，， ，， 故答案为：＝，＝，＝，＝，•（a≥0，b≥0）； （2） ＝2； （3）∵x，y，∴ ＝x•x•y＝x2y． 4．已知：，． 求（1）x1+x2＝？，x1•x2＝？ （2）的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵x12，x22， ∴x1+x222＝2；x1•x2＝（2）（2）＝1； （2）x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝20﹣3＝17． 5．阅读题目：计算， 小明同学是这样计算的 小刚同学是这样计算的 问题填空： （1）两位同学做法正确的是 A．小明正确 B．小刚正确 C．小明、小刚都正确 D．小明、小刚都不正确 （2）小明同学在计算时用到了公式 ①　 　 （a≥0，b≥0）；② （a≥0） 小刚同学在计算时运用了公式 ①　 　 （a≥0，b≥0）； ②（）2＝ （a≥0） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）两位同学都做法正确， 故选C； （2）小明：①（a≥0，b≥0）； ②|a|＝a（a≥0）； 小刚：①（a≥0，b≥0）； ②（）2＝a（a≥0）． 故答案为：C，，a，，a 6．已知：，且x是偶数，求：代数式（x+2）的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由，可得： ，所以，解得：6＜x≤9，又因为x是偶数，所以x＝8，所以（x+2）（8+2）102． 7．细心观察，认真分析，然后解答问题： （1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律　 ； （2）OA10的长　　 ； （3）求出的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据所给图形，可得OAn＝（）2+12＝n，则Sn1； 即可得规律：（）2+12＝n，Sn1； （2）由（1）得OAn，故OA10； （3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2 ． 故答案为：（）2+12＝n，Sn；． 8．设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． （1）若S＝16cm2，acm，求b； （2）若Scm2，bcm，求a． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）根据题意得：bcm； （2）根据题意得：acm． 9．化简： （1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6） 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）原式10； （2）原式6； （3）原式3|b|； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 10．比较下列各组值的大小：（在横线上填“＞”“＜”或“＝”） 4+3　＞　 ；　＞　 ；5+5　＝　 ；… 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明你所写式子的正确性． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：由题意得：4﹣23＝（）2＞0， 同理：0， 5+5（）2＝0， 规律为：a+b≥2． 证明：a﹣2b0． 故答案为：＞，＞，＝． 11．计算： （1）•； （2）； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）原式••••4×6＝﹣24； （2）原式••6＝2； （3）原式＝2×（）4； （4）原式＝x10x． 12．已知x为奇数，且，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵， ∴，解得6≤x＜9； 又∵x为奇数，∴x＝7， ∴ ＝8+2． 1．观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且a为整数）表示的等式． 【答案】（1），（2）， 【解析】解：（1）∵2，3， ∴44， 验证：，正确； （2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1， ∴， 验证：；正确； 2．对于实数a，b，我们定义运算“#”：a#b例如：5#3，因为5＞3，所以5#34；又如3#5，因为3＜5，所以3#5＝3×5＝15． 问：下列各式的结果哪些是有理数？哪些是无理数？请说明理由． ①#2；②25#7；③4#3；④． 【答案】①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 理由见解析． 【解析】解：①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 理由如下： ①∵2，∴#2； ②∵25＞7，∴25#7； ③∵4＞3，∴4#3； ④∵，∴． ∴①②的结果是有理数，③④的结果是无理数． 3．抖音上最近有位老师录制了这样一道题怎样简算？ 这位老师的做法如下： 89； 你能仿照同学甲的做法解决这个问题吗？ 若其中a是大于1的正整数，你能解释这位老师的解法吗？ 【答案】19；证明见解答． 【解析】解：19； a2+a﹣1． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $