寒假作业04 认识实数、平方根（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 认识实数、平方根 一、认识实数 定义：无限不循环小数称为无理数． 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数． 二、算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 三、开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数． 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数． （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程． （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． 四、 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 认识实数 1.在数中，无理数共有 个． 题型二 平方根的概念 2.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三 算术平方根的概念 3．一个数的算术平方根是x，则比这个数大2的数的算术平方根是（　　） A．x2+2 B． +2 C． D． 题型四 平方根的性质 4．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 题型五 开平方 5．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 题型六 求未知数的值 6．解方程： (1)； (2) 题型七 算术平方根的双重非负性 7．若m、n满足，则的平方根是 ． 题型八 有意义的条件 8．如已知：，求代数式的平方根． 题型九 算术平方根在实际生活中的应用 9．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为，且排球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？    题型十 算术平方根的规律探究 10．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 1．已知a、b满足等式，则a2025b2024的值为　 　 ． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 　 　 ． 3．如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为﹣5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）BP＝　 ，点P表示的数　 （分别用含t的代数式表示）； （2）点P运动多少秒时，PB＝2PA？ （3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 4．把下列各数填在相应的大括号内，﹣3，，，171，0，3.14， 正实数集合{　 　 …} 非正数集合{　 　 …} 正分数集合{　 　 …} 自然数集合{　 　 …} 无理数集合{　 　 …}． 5．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有2m2＝n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2， ∴2t2＝m2， ∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 6．已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答： （1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数； （2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝ 　20　 ，线段AB的中点表示的数为 　 　 ； ②当t为 　 　 秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 ；点Q表示的数为 　 ； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数 　 的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 8．阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，且AB＝|a﹣b|； 回答下列问题： （1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是　 　 ； ②在①的情况下，如果AB＝3，那么x为　 　 ； （2）代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　 　 ． （3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且（c﹣5）2+|a+b|＝0， ①直接写出a、b、c的值． ②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 9．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： （1）操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3.5的点与表示数 　 的点重合； （2）操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示﹣2的点与表示数 　 的点重合，表示数m的点与表示数 　 　 的点重合（用含m的代数式表示）； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从﹣1到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 10．已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由． 11．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）　 　 （2）运用你发现的规律，探究下列问题： 已知1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000． 12．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求代数式x2+x+1的值． 1．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题： （1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程） （2）这个图形的目的是说明什么？ （3）这种研究和解决问题的方式，体现了 的数学思想方法． （将下列符合的选项序号填在横线上） A、数形结合； B、代入； C、换元； D、归纳． 2．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，若：{1，2，8}，{﹣0.2，，，20%}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“友好集合”．例如集合{8，0}就是一个友好集合． （1）请你判断集合{2，3}，{﹣2，1，4，7，10} 是不是友好的集合； （2）请你再写出满足条件的两个友好集合的例子（不要写题目中已经出现的）； （3）写出所有的友好集合中，元素个数最少的集合． 3．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（　　）；②（　　）； ③（　　）；④（　　） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：　 　 ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 4．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 认识实数、平方根 一、认识实数 定义：无限不循环小数称为无理数． 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数． 二、算术平方根和平方根的区别与联系 算术平方根 平方根 区别 定义 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x²=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么这个数x就叫作a的平方根（也叫作二次方根） 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 表示方法 正数a的算术平方根为 正数a的平方根表示为 取值范围 具有双重非负性，即 ， a的平方根可正可负，也可为0 二者联系 联系 平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个 关于0 0的算术平方根和平方根都是0 三、开平方 1.定义：求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数． 2.开平方和平方根的区别与联系 （1)开平方时，被开方数a必须是非负数． （2)平方根是数，是开平方的结果；开平方是一种运算，是求平方根的过程． （3)平方和开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． 四、 与的性质 形式 性质 示例 == ==6 ==6 （） =6 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 认识实数 1.在数中，无理数共有 个． 【答案】2 【解析】解；由无理数的定义可得，无理数有，共2个， 故答案为：2． 题型二 平方根的概念 2.用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 题型三 算术平方根的概念 3．一个数的算术平方根是x，则比这个数大2的数的算术平方根是（　　） A．x2+2 B． +2 C． D． 【答案】D 【解析】因为一个数的算术平方根是x,所以这个数是,比这个数大2的数是,所以比这个数大2的数的算术平方根是, 故选D. 题型四 平方根的性质 4．已知实数，不相等，且，． (1)若的算术平方根为3，求的值； (2)如果一个正数的平方根为，，求这个正数． 【答案】(1) (2)25 【解析】（1）解：∵，且的算术平方根为3，∴，解得； （2）解：∵一个正数的平方根为，， 又∵，，∴，解得， ∴，∴这个正数为． 题型五 开平方 5．如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为（　　） A．±（m+1） B．（m2+1） C． D． 【答案】D 【解析】由题意得：这个自然数a为：，∴, 故的平方根用m表示为：， 故选：D． 题型六 求未知数的值 6．解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，；(2)， 【解析】（1）解：，∴，解得，； （2）解：，，，或， 解得，． 题型七 算术平方根的双重非负性 7．若m、n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【解析】解：∵，，∴，，∴，， ∴，∴4的平方根是． 故答案为：． 题型八 有意义的条件 8．如已知：，求代数式的平方根． 【答案】【解析】解：由题意可知，， 则，， ∴，，则，， ∴， ∵1的平方根为，∴代数式的平方根为． 题型九 算术平方根在实际生活中的应用 9．某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个排球场．已知排球场的面积为，其中长和宽的比为，且排球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个排球场？    【答案】能，计算见解析 【解析】解：设排球场的宽为m，则长为m，根据题意，得， ，为正数，，，， ，，．能按规定在这块空地上建一个排球场． 题型十 算术平方根的规律探究 10．如何迅速准确地计算出四位数的算术平方根呢？按照下面思路你也能办到． (1)以下是小明探究的过程，请补充完整： ①由，可以确定是位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而，所以选择较小的个位数字，则__________． (2)已知也是一个整数的平方，请根据材料的方法求出，并说明理由． 【答案】(1)①两；②，；③；(2)，理由见解析 【解析】（1）解：①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较小的个位数字，则 ． 故答案为：①两；②，；③； （2）已知也是一个整数的平方，根据材料的方法求出的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由的个位上的数是，可以确定的个位上的数是或； ③如果划去后面的两位得到数，而，，可以确定的十位上的数是；因，而， 所以选择较大的个位数字，则 ． 1．已知a、b满足等式，则a2025b2024的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解析】解：由条件可知，∴，∴， ∴原式＝a•a2024b2024＝a•（ab）2024 ＝﹣2×（﹣1）2024＝﹣2×1＝﹣2， 故答案为：﹣2． 2．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 　0或64　 ． 【答案】0或64 【解析】解：设这个数为x， 则，∴，∴， x2（x﹣64）＝0⇒x1＝x2＝0或x3＝64．故填0或64． 3．如图，已知A、B是数轴上的两个点，点A表示的数为13，点B表示的数为﹣5，动点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）BP＝　4t ，点P表示的数　﹣5+4t （分别用含t的代数式表示）； （2）点P运动多少秒时，PB＝2PA？ （3）若M为BP的中点，N为PA的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由题意：BP＝4t，点P表示的数﹣5+4t 故答案为4t，﹣5+4t． （2）由题意：4t＝2（18﹣4t）或4t＝2（4t﹣18） 解得t＝3或9 （3）线段MN的长度不变， 理由：①当点P在线段AB上时，MNPBPAAB＝9． ②当点P在线段BA的延长线上时，MNPBPA（PB﹣PA）AB＝9； 故MN的长度不变． 4．把下列各数填在相应的大括号内，﹣3，，，171，0，3.14， 正实数集合{　　 …} 非正数集合{　　 …} 正分数集合{　3.14　 …} 自然数集合{　171，0　 …} 无理数集合{　　 …}． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：正实数集合{ } 非正数集合{ } 正分数集合{ 3.14…} 自然数集合{ 171，0…} 无理数集合{ } 故答案为：； ； 3.14；171，0； ． 5．阅读下列材料：“为什么不是有理数”． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，于是有2m2＝n2． ∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数． 设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2， ∴2t2＝m2， ∴m也是偶数 ∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾． ∴假设错误， ∴不是有理数 有类似的方法，请证明不是有理数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：假设是有理数， 则存在两个互质的正整数m，n，使得， 于是有3m2＝n2， ∵3m2是3的倍数，∴n2也是3的倍数，∴n是3的倍数， 设n＝3t（t是正整数），则n2＝9t2，即9t2＝3m2，∴3t2＝m2，∴m也是3的倍数，∴m，n都是3的倍数，不互质，与假设矛盾，∴假设错误，∴不是有理数． 6．已知在等式中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，解答： （1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数； （2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）当a＝c＝0，d≠0时，s是有理数． 当c≠0时，s， 其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数． 要使s为有理数，只有0，即bc＝ad． 综上知，当a＝c＝0且d≠0或c≠0且ad＝bc时，s是有理数． （2）当c＝0，d≠0，且a≠0时，s是无理数． 当c≠0时，s 其中：是有理数，cx+d是无理数，是有理数． 所以当0，即bc≠ad，s为无理数． 综上知，当c＝0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数． 7．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝ 　20　 ，线段AB的中点表示的数为 　6　 ； ②当t为 　4　 秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣4+3t ；点Q表示的数为 　16﹣2t ； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数 　﹣14　 的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）①A、B两点间的距离AB＝16﹣（﹣4）＝20，线段AB的中点表示的数为（16﹣4）÷2＝6； ②20÷（3+2）＝4（秒）． 故当t为4秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣4+3t；点Q表示的数为16﹣2t； ②（﹣4+6）÷2＝1， 16﹣（16﹣1）×2＝﹣14． 故此时点B与数轴上表示数﹣14的点重合． （3）点M表示的数为4t，点N表示的数为6t， MN＝6t﹣（﹣4t）＝10． 故线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 故答案为：20，6；4；﹣4+3t，16﹣2t；﹣14． 8．阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，且AB＝|a﹣b|； 回答下列问题： （1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是　|x﹣2|　 ； ②在①的情况下，如果AB＝3，那么x为　﹣1或5　 ； （2）代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是　﹣1≤x≤2　 ． （3）若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且（c﹣5）2+|a+b|＝0， ①直接写出a、b、c的值． ②点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）①数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是|x﹣2|； ②在①的情况下，如果AB＝3，|x﹣2|＝3， 解得：x＝5或x＝﹣1， 故答案为：|x﹣2|，﹣1或5． （2）由数形结合得， 若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上， 所以﹣1≤x≤2，最小值是3， 故答案为：﹣1≤x≤2； （3）①∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1． ∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，∴b＝1，c＝5； ②BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下： ∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，∴BC＝2t+4，AB＝2t+2，∴BC﹣AB＝（2t+4）﹣（2t+2）＝2． 9．综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如图操作探究： （1）操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3.5的点与表示数 　3.5　 的点重合； （2）操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示﹣2的点与表示数 　6　 的点重合，表示数m的点与表示数 　（4﹣m）　 的点重合（用含m的代数式表示）； （3）操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从﹣1到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为a个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）3.5； （2）6，（4﹣m）； （3）图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【解析】解：（1）由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示﹣3.5的点与表示3.5的点重合； 故答案为：3.5； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， ﹣2与2之间的距离为：2﹣（﹣2）＝4，则表示与﹣2的点重合的点为：2+4＝6； m与2之间的距离为：2﹣m，则表示与m的点重合的点为：2+2﹣m＝4﹣m； 故答案为：6，（4﹣m）； （3）如图，由题意得AE＝5﹣（﹣1）＝6，BE＝6﹣a， ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 10．已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）试问以a、b、c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长，若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）由题意得：a0；b﹣5＝0；c0， 解之得：a2，b＝5，c3； （2）根据三角形的三边关系可知，a、b、c能构成三角形． 此时三角形的周长为a+b+c＝25+35+5． 11．求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求得．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … （1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）　被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位　 （2）运用你发现的规律，探究下列问题： 已知1.435，求下列各数的算术平方根：①0.0206； ②2060000． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍； 或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位， 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位； （2）0.1435；1435． 12．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2|c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求代数式x2+x+1的值． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：∵（2﹣a）2≥0，0，|c+8|≥0 而（2﹣a）2 ∴ 解这个方程组得 ∴2x2+4x﹣8＝0 x2+2x﹣4＝0 ∴x＝﹣1± x+1＝± ∴x2+x+1＝（x+1）2﹣x＝（±）2﹣（﹣1±）＝6±． 1．我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据图形回答下列问题： （1）线段OA的长度是多少？（要求写出求解过程） （2）这个图形的目的是说明什么？ （3）这种研究和解决问题的方式，体现了 A 的数学思想方法． （将下列符合的选项序号填在横线上） A、数形结合； B、代入； C、换元； D、归纳． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵OB2＝12+12＝2， ∴OB， ∴OA＝OB； （2）数轴上的点和实数一一对应关系； （3）A． 2．把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，若：{1，2，8}，{﹣0.2，，，20%}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8﹣a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“友好集合”．例如集合{8，0}就是一个友好集合． （1）请你判断集合{2，3}，{﹣2，1，4，7，10} 是不是友好的集合； （2）请你再写出满足条件的两个友好集合的例子（不要写题目中已经出现的）； （3）写出所有的友好集合中，元素个数最少的集合． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）∵8﹣2＝6，6不是集合中的元素， ∴集合{2，3}不是友好的集合； ∵8﹣（﹣2）＝10，10是集合中的元素， 8﹣1＝7，7是集合中的元素， 8﹣4＝4，4是集合中的元素， 8﹣7＝1，1是集合中的元素， 8﹣10＝﹣2，﹣2是集合中的元素， ∴{﹣2，1，4，7，10} 是友好的集合； （2）例如{2，6，8，0}、{5，3}； （3）元素个数的集合就是只有一个元素的集合，设其元素为x； 则有8﹣x＝x，可得x＝4； 故元素个数最少的集合是{4}． 3．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”． ①（　　）；②（　　）； ③（　　）；④（　　） （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：　n．其中n为大于1的自然数　 ． （3）请用数学知识说明你所写式子的正确性． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）①成立；②成立；③成立；④成立． （2）n．其中n为大于1的自然数． （3）n（n为大于1的自然数）． 4．先观察下列等式，再回答下列问题： ①； ②； ③． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． 【答案】见试题解答内容 【解析】解： （1）， 验证：； （2）（n为正整数）． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $