第14讲 二次函数的应用（复习讲义，1考点7题型3重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“二次函数的应用”专题，覆盖中考必考的销售、投球、拱桥等7大应用题型及综合题中的线段周长、面积等重难问题，以“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-分层练习”构建系统复习框架，通过考点梳理、方法指导和真题训练帮助学生突破解题难点。 亮点在于“题型专项突破”和“分层进阶训练”设计，如针对投球问题采用“建系-设式-求解-验证”四步解题法，培养学生的几何直观和抽象能力，配合2025年山东各地市真题及基础、提升、拓展三级练习，可精准提升学生用数学思维解决实际问题的能力，助力教师高效把控复习节奏。

第三章 函数 第14讲 二次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 12 命题点一 二次函数的应用 题型01 销售问题 题型02 投球问题 题型03 拱桥问题 题型04 喷水问题 题型05 图形问题 题型06 图形运动问题 题型07 空中跳跃轨迹问题 05·重难突破·思维进阶难 51 突破一 线段周长、面积问题（二次函数综合） 突破二 角度问题（二次函数综合） 突破三 相似三角形问题（二次函数综合） 06·优题精选·练能提分 82 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的应用 山东东营 T9 山东德州T19 山东潍坊T9 山东青岛T24 山东青岛T24 山东济南T10 山东潍坊T22 山东泰安T16 山东滨州T15 山东潍坊T20 山东威海T22山东卷T21 能用二次函数解决实际问题 命题预测 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 考点一 二次次函数应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 6.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【答案】AC 【分析】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形，动点的函数表达式，作，易得四边形为矩形，得到，进而得到，在中，求出的长，分点在和点在上两种情况，进行讨论，求出函数关系式，进行判断即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在上时， ∵，，， ∴，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时，随着的增大而减小，故D错误； 故选AC． 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 3．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）代入点，得到二元一次方程组求解即可； （2）先求出球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为，再由二次函数的性质求解； （3）先求出击球点位置为，再将代入，求出，根据时，，得到不等式，再解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：∵图象经过点，， ， 解得：， ∴与的函数关系式为； （2）解：由表格可知， ∴设球和原点的水平距离（米）与时间（秒）的关系式为：， 代入得：， 解得：， ∴， 对于，， ∴开口向下， ∵对称轴为：直线 ∴当时，， 此时， 解得：， ∴网球被击出后经过秒达到最大高度，最大高度是米； （3）解：由题意得，当时，， ∴， ∴击球点位置为， 将代入， 则， ∴， ∴， ∵时，， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识，解题关键是理解题意，弄清数量关系． （1）根据“当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只”，列出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式即可； （2）结合（1），根据“利润每只利润销售量”，即可获得答案； （3）首先根据“每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于”，列出方程组，解得的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只， ∴每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ； （2）结合（1），可知每日销售利润； （3）根据公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于， 则有，解得， 由（2）可知，每日销售利润， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，取最大值，为（万元）， 即应把销售单价定为1.2元，才能使每日销售利润最大化，此时每日销售利润为5.6万元． 5．（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】（1）；（2）厢式货车能顺利通过隧道，理由见解析；（3）；（4）或或 【分析】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，旋转的性质． （1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知得出当时，正好是汽车宽度，求出即可； （3）首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出； （4）根据题意，画出符合条件的三角形，根据旋转的性质分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 代入顶点式得：， ∴， 解得：， ∴； （2）厢式货车能顺利通过隧道，理由如下： 当宽、高的厢式货车从隧道驶过时， ∴， ∴代入解析式得：； ∴， ∴厢式货车能顺利通过隧道； （3）假设，可得， ∴； ∵矩形的周长为l， ∴， ∴当时，l的最大值为：； （4）在（3）的条件下，当矩形周长最大时，，，， ∴，， 过点P作于点M， ∵， ∴，， ∴，， 如图，分以下三种情况： 当时，根据旋转的性质得， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； 当时，； 当时，； 综上所述，旋转角的度数为或或． 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 销售问题 / 1. 审清题意，设定变量 明确进价、原售价、原销量，以及价格与销量的变化关系。 2. 表示两核心量，建立函数 根据“总利润 = 单件利润 × 销售量”，列二次函数。 3. 结合实际，确定自变量范围 依据进价、售价限制、库存数量等条件，写出x的取值范围。 4. 分析函数，求解问题 求最值：判断顶点横坐标是否在取值范围内，对应取顶点值或端点值。 求特定值：解方程ax2+bx+c=目标值，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归实际 验证结果是否满足实际意义。写出最终结论（如最高利润、对应售价等）。 【典例】（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【答案】(1)50件 (2)当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元 (3)或 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元一次不等式的实际应用，理解利润、售价、销售量之间的关系是解本题的关键． （1）设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元，据此列出方程即可求解； （2）根据：利润等于售价减成本，分，，三种情况考虑，列出y关于x的函数式，求出最大值即可； （3）分，两种情况考虑，解不等式、函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设商家一次性购买这种产品x件时，销售单价恰好为2600元， 由题意得：， 解得：； 答：设商家一次性购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元； （2）解：当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 当时，， 即； 由于，当时，y有最大值12250； 当时，， 当时，y有最大值，最大值为； 综上，当时，y有最大值12250； 答：当商家购买35件时，企业可获得最大利润，最大利润是12250元； （3）解：当时，最大值为6000，不符合题意； 当时，由题意知； 考虑二次函数，当时，解得， 由二次函数的图象与性质，当时，； 当时，， 解得：， 由于x为正整数，且不超过60件，则； 综上，或． 【变式】1．（2025·山东滨州·一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元/件时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具. (1)若设该种品牌玩具的售单价为x元/件（），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） (2)在（1）的条件下，若商场获得售利润不低于10000元，确定该玩具售单价x的取值范围. (3)在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于66元，且商场要完成不少于240件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)销售单价x的取值范围为：； (3)商场把该品牌玩具销售单价定为66元时，才能获得最大利润，最大利润是12240元． 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解． （1）根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具，进而表示出销量，进一步根据销售利润=每件利润×销售量即可解答； （2）先由题意得出利润等于1000时的自变量的值，再根据二次函数的性质可得答案； （3）先根据题意求出的取值范围，再由，结合二次函数的性质分析，即可解答． 【详解】（1）解：根据销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具， 可知销售单价为x元时，就会少售出件玩具， 则销量为， 每件的利润为元， 则利润． 填写表格如下， 销售单价（元） x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）解：当时，则有：， 整理得：， 解得：，， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴若该商场获得利润不低于10000元，则有， ∴销售单价x的取值范围为：； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∵， 即，对称轴是直线， 当时，w随x增大而减小， ∴当时，w有最大值，此时（元）． 答：商场把该品牌玩具销售单价定为66元时，才能获得最大利润，最大利润是12240元． 2．（2025·山东淄博·一模）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 【答案】(1)，； (2)每天安排60人生产甲产品； (3)安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可； （3）先确定安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，再根据每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件，生产丙产品的有人，共生产丙产品件，用表示总利润利用二次函数性质讨论最值． 【详解】（1）解：由已知，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，共生产甲产品件．在乙每件140元获利的基础上，每增加1件，当天平均每件利润减少2元，则乙产品的每件利润为元． 产品种类 每天（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 故答案为：，； （2）（2）解：由题意， ∴ 解得，，（不合题意，舍去）， ∴， 答：每天安排60人生产甲产品． （3）解：由题意得，安排生产丙产品人数是生产甲产品人数的2倍，每天安排人生产乙产品时，生产甲产品的有人，生产丙产品的有人， ∴当时，最大，但此时生产甲产品人数为：，不符合题意， 当时，此时生产甲产品人数为； 当时，，不符合题意； ∴当时，最大，此时生产甲产品的有13人． 答：安排31人生产乙产品时，可获得的最大利润为3898元． ►题型02投球问题 / 1. 审清题意，确定坐标系 通常以投球点在地面的投影为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。 明确已知点坐标（如投球点、最高点、落地点等）。 2. 设函数解析式，代入求解 若已知顶点（最高点），设顶点式y = a(x - h)2 + k；若已知三点，设一般式y = ax2 + bx + c。 将已知点坐标代入解析式，解出参数a、b、c（或a）。 3. 确定自变量取值范围 根据实际投球场景，确定x的取值范围（如从投球到落地的水平距离区间）。 4. 结合问题，代入计算 求最大高度：直接取顶点纵坐标k。 求特定水平距离的高度：将x值代入解析式求y。 求能否命中目标：将目标的x或y值代入，检验对应的另一值是否符合目标条件。 5. 检验作答，回归实际 验证计算结果是否符合物理实际（如高度非负、水平距离合理）。 写出最终结论（如最大高度、是否命中、落地点距离等）。 【典例】（2025·山东青岛·一模）甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【答案】(1) (2) (3)乙距离甲0.4米时可以拦截成功 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设抛物线顶点式为，将顶点坐标和点代入即可求解； （2）由题意可知新顶点坐标，设新抛物线顶点式为，将点代入即可求解； （3）由（2）求得的函数解析式，当时，求得的值求解． 【详解】（1）设抛物线顶点式为， ∵将顶点坐标和点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵新顶点坐标， ∴设新抛物线顶点式为， ∵将点代入得，解得， ∴抛物线的表达式为； （3）由（2）求得的函数解析式，当时， 解得，（犯规，应舍去）， ∴乙距离甲米时可以拦截成功． 【变式】1．（2025·山东枣庄·一模）体育课上投掷实心球活动，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将代入求出x的值即可，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 解得：x或（舍去）． 故答案为：． 2．（2025·山东枣庄·三模）乒乓球被誉为中国国球，2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图2，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度（的长度），将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______；乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线解析式． (3)如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，如图2，乒乓球台长为，球网高为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计 ）． 【答案】(1)画函数图象见解答过程 (2)①49；230；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为 【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，；②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：描出各点，画出图象如下： （2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线开口向下， ∴最高点时，乒乓球与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：； ②设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 解得：； 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为． ►题型03拱桥问题 / 1. 建立坐标系，确定关键点坐标 常以拱桥顶点为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴；或以拱桥底部中点为原点，竖直向上为y轴。 标注已知点坐标（如拱脚、水面与桥拱的交点、顶点等）。 2. 选择函数形式，求解析式 已知顶点时，优先设顶点式y = a(x - h)2 + k；已知三点时，设一般式y = ax2 + bx + c。 代入关键点坐标，解出参数a、b、c（或a）。 3. 明确自变量取值范围 根据桥拱的实际跨度，确定x的取值范围（如拱脚间的水平距离区间）。 4. 结合问题，代入计算求解 求拱高/跨度：利用顶点坐标或拱脚坐标计算。 求特定位置高度：将水平距离x代入解析式，求对应y值。 求水面上升/下降后的通行情况：代入新水面高度对应的y值，求x值，计算水面宽度。 5. 检验作答，回归实际 验证结果是否符合桥拱的实际尺寸与场景。 写出最终结论（如最大拱高、水面宽度、能否通行等）。 【典例】（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，根据二次函数的图象可得当水位上升时，此时，进而可求得此时的的值，进而可求解． 【详解】解：依题意得： 当，， 当水位上升 时，则此时， 则：， 解得：或， ∴水面宽为：， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 【答案】(1)平面直角坐标系见解析，； (2)； (3)渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，矩形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，求出点，即可求解； （3）船宽为，船从正中间通过时最左侧的横坐标为，求出当时，，，即可得答案． 【详解】（1）解：如图，以所在的直线为轴，以线段垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 由题意知：B点坐标为，D点坐标为， 设主桥洞的关系式为， 将代入中，得， 解得：， ∴主桥洞的关系式为； （2）解：如图：过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形， 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，船可以从桥洞正中间通过， 由（2）知，船中心的横坐标为， ∵船宽为， ∴船从正中间通过时最左侧的横坐标为， 当时，， ∵， ∴渔船能顺利通过右侧第一个小桥洞． 2．（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是，理由见解析 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把代入（）所得函数解析式求出的值即可求解； （）设矩形宣传牌为矩形，且边落在上，拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数，可得的值可以为，进而根据矩形的面积及的长可得，，据此解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设最高点为， 由题意得，， ， ， ， 设抛物线的解析式为，把和代入得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：令，则， 解得，， ∴两个支撑柱之间的距离是； （3）解：如图，设矩形宣传牌为矩形，且边落在上， ∵拱桥的最高点到的距离为，且矩形长、宽均为整数， ∴ 的值可以为， 又∵矩形宣传牌的面积为， ∴有下列种初步的设计方案： ①，；②，； ， ∴方案①不合题意， ∴，，此时点到路面的距离为， ∵当时，， ∴此时宣传牌左上方顶点的坐标是，符合题意， 综上所述，矩形宣传牌的长为，宽为，左上方顶点的坐标是． ►题型04喷水问题 / 1. 建坐标系，标关键点 定原点（如喷水起点或顶点投影），确定起点、最高点、落地点等坐标。 2. 选函数式，求解析式 知顶点用顶点式，知三点用一般式，代入坐标求参数。 3. 定x范围，限实际域 取喷水起点到落地点的水平距离区间。 4. 代值计算，解问题 求最大高度取顶点纵坐标，求覆盖距离令y=0算x差值。 5. 检验作答，回实际 验证结果合理，写出结论。 【典例】（2025·山东威海·一模）如图，公园管理处计划在人工湖里安装一个喷泉，在湖的中心点O处竖直安装喷水管，在喷水管的顶端A处安装喷水头，水柱从喷水头喷出到落入湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．水柱上某一位置与喷水管的水平距离为x米，与湖面对应的垂直高度为y米，下表记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2 3 2 根据上述信息，解决问题： (1)求水柱抛物线的表达式； (2)公园管理处想通过喷泉设立游船娱乐项目．为避免游客被喷泉淋湿，游船需安装水平顶棚，同时要求游船从水柱最高点的正下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知顶棚的宽度为3米，求顶棚到湖面的最大高度． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用． （1）抛物线的对称性确定顶点坐标，设出顶点式，用待定系数法求出解析式； （2）过点E作轴，交抛物线于点M，交x轴于点B．由对称轴，再结合顶棚宽度求出对应点的函数值，进而得出顶棚到湖面的最大高度． 【详解】（1）解：如图，以湖面和喷水管所在的直线为x轴，y轴建立坐标系． 可知抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的表达式为． 把点代入解析式，得，解得， 可求得抛物线的表达式为． （2）解：过点E作轴，交抛物线于点M，交x轴于点B ．，对称轴为直线， ． ∴点M的横坐标为． 将代入， 得． ∵顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．即， ∴． 所以顶棚的最大高度为米． 【变式】1．（2025·山东青岛·一模）大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 【答案】(1)直线l的解析式为，抛物线解析式为 (2)没有风险 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设右侧水流与地表的高度差为米，得出，求出，从而得出答案即可． 【详解】（1）解：∵直线经过原点， ∴设直线表达式为：， ∵在直线上， ∴， 解得， ∴山坡的表达式为：； ∵在直线上， ∴，， ∵两侧水流关于轴对称， ∴右侧抛物线经过点， 设右侧抛物线表达式为：， 将，，代入， 得， 解得， ∴轴右侧抛物线表达式为：； （2）解：没有风险； 理由：设右侧水流与地表的高度差为米， 则， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴直线， 又∵， ∴当时，， ∴没有风险． 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 1 2 ．．． (1)该喷枪的出水口到地面的距离为___________米． (2)观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出与之间的函数关系式． (3)在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ 【答案】(1)1 (2) (3)水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，建立函数模型是解题的关键． （1）由表格即可求解； （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入一次函数解析式求出(m)，故抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，把代入解析式求出解析式，再令即可求解． 【详解】（1）解：由表格知当， ∴喷枪的出水口到地面的距离为1米， 故答案为：1； （2）解：观察表格中的数据可知与之间成一次函数关系， ∴设直线为，根据题意，得 ， 解得， 故直线的解析式为； （3）解：当时， 得(m)， 故抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入解析式， 解得， ∴， 令，得， 解得，或（舍去）， ∴水流的最高点到地面的距离为3米，此时水流的射程为米． ►题型05图形问题 / 1. 分析图形，设定变量 明确图形形状（矩形、三角形等）及边长、周长、面积等关联条件。 设某条线段长为x，用含x的式子表示其他相关线段长。 2. 结合公式，建立函数 根据图形的面积、周长等公式，列出二次函数y = ax2 + bx + c。 3. 确定范围，限定定义域 依据线段长度为正、图形存在条件，确定自变量x的取值范围。 4. 求解问题，分析最值 求面积/周长最值：判断顶点横坐标是否在范围内，取顶点值或端点值。 求特定面积/周长对应的线段长：解方程，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归图形 验证结果是否满足图形实际特征。写出最终结论（如最大面积、对应线段长等）。 【典例】（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，二次函数的应用，根据题意设，则，进而分别求得，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， 设，则 ∵，则 ∴是等边三角形，则 过点作于点 ∴， ∴ 设矩形纸片的面积为， ∴ ∴当时，矩形纸片的面积最大为 答：当、、、为菱形各边的中点时，才能使裁出的矩形纸片的面积最大，最大值为 【变式】1．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 【答案】(1)直线的解析式为；曲线所对应的函数解析式为 (2)长为，宽为 【分析】题目主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的性质，矩形的性质，理解题意，综合运用函数的相关知识点是解题关键． （1）根据题意得出点A的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为，然后利用待定系数法确定函数解析式即可； （2）设的长度为m，得出，结合图形得出，的面积是定值4，确定，利用二次函数的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵点A到线段的距离为， ∴点A的坐标为， ∵， ∴，即点B的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为， 将A，B代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 设曲线对应的反比例函数解析式为， 将D代入得：， ∴曲线所对应的函数解析式为； （2）解：如图所示： 设的长度为m， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，的面积是定值4， ∴当的面积最大时，的面积最大， ， 当时，有最大值4， ∴点N的坐标为， ∵， ∴点M的横坐标和点N的横坐标相同， 把代入得，， ∴点M的坐标为， ∵， ∴点M的纵坐标和点Q的纵坐标相同， 把代入得， ∴点Q的坐标为， ∵点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为， ∴． 2．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ 【答案】(1)裁掉的正方形的边长为； (2)裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找出题目中的等量关系，表示成二次函数的形式是解题的关键． （1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为，则题意可列出方程，可求得答案； （2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案． 【详解】（1）解：如图所示： 设裁掉的正方形的边长为，由题意可得： ， 解得：或（舍去）． 答：裁掉的正方形的边长为； （2）解：设总费用为y元， 则 ． 又∵， ∴． ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，最小值为． 答：裁掉的正方形边长为时，总费用最低，最低费用为元． ►题型06图形运动问题 / 1. 分析运动，设定变量 明确图形运动方式（平移、旋转）与运动速度、方向，设运动时间为x。 用含x的式子表示运动后图形的关键点坐标或线段长度。 2. 结合图形，建立函数 根据所求量（面积、线段长、距离等）的计算公式，列出二次函数y=ax2+bx+c。 3. 确定范围，限定定义域 依据图形运动的起始、终止位置，确定自变量x的取值范围。 4. 求解问题，分析最值或特定值 求最值：判断顶点横坐标是否在范围内，取顶点值或端点值。 求特定值：解方程ax2+bx+c=目标值，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归运动 验证结果是否符合图形运动的实际情况,写出最终结论（如最大面积、对应运动时间等） 【典例】（2025·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从图2可知，当时，，，即可判断①；不妨设，由时，，，根据，可得到此时的长度，从而算得，判断②；由，可知最小值，最小，根据，可得到，利用二次函数，可求得的最值，判断③；以点为原点，建立平面直角坐标系，表示出和的坐标，利用两点距离公式，表示出，利用二次函数，可求得的最值，判断④，最后得到答案． 【详解】解：从图2可知，当时，， 为 当时，，故①错误； 动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，设时间为， 当时，， 在中，， ，当时，， ，故②正确； 中，是斜边上的中点， 时，取最小值，此时最小值为2 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， 和分别为和的中点 ， 时，取最小值，此时最小值为，故④正确； 正确的有②③④，三个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式】1．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，观察图象可得结论． 【详解】解：由图2可得：当点P运动到点A处时，， ∴． 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在这个时刻，使在的平分线上 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角函数、勾股定理、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作交于，证明是等腰三角形，得到的三角函数值，当时，，证明是等腰三角形，根据解直角三角形求解； （2）根据化简即可； （3）过点作交于，连接，当点在的平分线上时，，根据求出代数式，再结合（2）中的式子列方程即可． 【详解】（1）解：如图，过点作交于， 由题意知，，， ∴， ∴是等腰三角形，， ，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，； 当时，， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴点运动到点就停止运动； 由（1）知，，，，，， ， ∴； （3）解：如图，过点作交于，连接， 当点在的平分线上时，； 由（2）知，，，，，， ∴，， ∴， 而 ， ∴ ， 结合（2）中的结果，有： ， 解得：； ∵， ∴不存在这个时刻，使在的平分线上． ►题型07空中跳跃轨迹问题 / 1. 建坐标系，标关键点 以起跳点投影为原点，水平为x轴、竖直为y轴，确定起跳点、最高点、落地点坐标。 2. 选函数式，求解析式 已知顶点（最高点）用顶点式，代入坐标求参数a，确定二次函数。 3. 定x范围，限实际域 自变量x取起跳点到落地点的水平距离区间。 4. 代值计算，解问题 最大高度取顶点纵坐标；特定水平距离的高度直接代入x求y。 5. 检验作答，回实际 验证高度、距离合理，写出结论。 【典例】（2025·山东潍坊·一模）杂技是一项古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，以功力深厚、技艺精湛著称于世．特别是，“空中飞人”表演惊险刺激，极具观赏性，深受好评（如图1）． 【建立模型】 如图2，演员从旋转木梯点处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到平行于地面的悬吊的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图所示的平面直角坐标系，所在的直线为轴，所在直线为轴，点，点，，，，，． 【解决问题】 (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米？ (2)设该抛物线的关系式为，抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上，请求出的取值范围； (3)连接，求点到的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设抛物线的关系式为，作轴，垂足为点，作，垂足为点，点的坐标为，再求出点在抛物线上，利用待定系数法求解即可； （2）求出当演员恰好落在点时由（1）知，当演员恰好落在点时，，即可得解； （3）连接，，，求出，作，垂足为点，由勾股定理求出，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：因为抛物线过点， 所以设抛物线的关系式为， 作轴，垂足为点，作，垂足为点， 则， 所以四边形为矩形， 所以， 因为， 所以， 所以是等腰直角三角形， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以点的坐标为， 因为，与轴平行，， 所以点在抛物线上， 所以， 所以， 所以抛物线的关系式为， 令，得或（舍去）， 所以的长度至少为； （2）解：当演员恰好落在点时， 因为点的坐标为， 所以， 所以， 由（1）知，当演员恰好落在点时，， 所以为保证演员表演时落在平台上，的取值范围是； （3）解：连接，，， 因为点的坐标为，点， 所以轴，，，. 作，垂足为点， 所以，， 所以在中，， 设点到的距离为， 因为， 所以， 解得， 所以点到的距离为． 【变式】1．综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】(1)y关于x的关系式为 (2)动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 (3)①运动员甲不能成功完成此动作；② 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【详解】（1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； （2）解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； （3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 2．综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 【答案】任务：；任务：所用时间是；任务：篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 【分析】任务：由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系，再利用待定系数法求解析式即可； 任务：当时和时，求出的值即可； 任务：根据规律求出第次反弹到最高点的时间和第次反弹到最高点的时间即可； 本题考查了一次函数和二次函数的应用，二次根式的运算，找规律，掌握函数的性质及应用是解题的关键． 【详解】解：任务：设下落高度为，反弹高度为， 由表格可知该篮球反弹高度与下落高度之间的关系满足一次函数关系， 设， 当，；，时， ， 得， ∴函数解析式为； 任务：当时，， ∴， 当时，， ∴ ∴所用时间是； 任务：由， 则反弹次， 最开始从最高点到落地的时间， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间 ， 第次反弹到最高点的时间， ∴篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间为 ． 突破一 线段周长、面积问题（二次函数综合） 【典例】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【变式】1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】对于（1），将点和代入关系式得出方程组，求出解即可； 对于（2），先求出点B的坐标，再根据求出，则答案可得； 对于（3），先求出直线的解析式，再说明，并作轴，可得是等腰直角三角形，即，然后结合点，是直线下方抛物线上的两动点，且，表示出，，进而得出，最后根据二次函数图象的性质讨论极值得出答案． 【详解】（1）解：把点和代入抛物线中， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得：，， ． ， ， ， ， ， ∴． ∵点在第四象限， ∴， 令得，， ∴点的坐标为； （3）解：设的解析式为：，分别代入， ， 解得：， ∴的解析式为：． ∵，， ∴． 如图2，过点作轴交于， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵点，是直线下方抛物线上的两动点，且， ∴点，，， ∴，， ∴， ， 当时，有最大值，其最大值是． 2．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点坐标为 (3)存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； （3）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 突破二 角度问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分别代入抛物线解答即可； （2）根据解析式得，对称轴为直线，结合点A，点B是对称点，可以确定点B的坐标，设直线的解析式为，与对称轴的交点为M，解得，得到直线的解析式为，故点，． 结合解答即可． （3）不妨设，过点P作交的延长线于点N， 故，解得，得到， 确定，，根据， 得到，构造二次函数，利用二次函数的最值解答即可． 【详解】（1）解：把分别代入抛物线， ∴， 解得， ∴． （2）解：， ∴， ∴，对称轴为直线． ∵点A，点B是对称点， ∴， ∴，    ∴， 设直线的解析式为，与对称轴的交点为M， 故， 解得， ∴直线的解析式为， ∴时，， 故点， ∴． ∴ ． （3）解：∵抛物线的解析式为，不妨设， 过点P作交的延长线于点N，    故， 解得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标，待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【典例】1．综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解b、c值即可； （2）先求得点P、B的坐标，利用两点坐标距离公式和勾股定理的逆定理判断出即可； （3）①如图2，延长交x轴于G，先根据等腰直角三角形的判定与性质推导出，，进而得到，再证明四边形是平行四边形得到，然后解方程求解即可； ②如图3，连接，，过N作轴于G，根据题意分两种情况：和，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴， 在中，当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上，当时，与相似． 【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 2．如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为； (3)，点在新抛物线上；存在，． 【分析】（）由，得出点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出直线的表达式为，得出，故有，然后由面积可得， 将代入抛物线中，得，（舍去），从而求解； （）由二次函数的平移和二次函数的性质即可求解； 设直线的表达式为，然后将新抛物线的表达式与直线的表达式为联立和将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，求出点，点，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，则，所以，解得，，再由点在直线的左侧，点在轴的右侧，则，最后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由抛物线：， ∴顶点的坐标为， 当时，， 解得，， ∴与轴的交点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，， 代入中，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴直线与轴的交点的坐标为， ∴，， ∴， 根据等底等高的三角形的面积相等得， ∴， ∵， ∴， ∴的边上的高与的边上的高的比， ∴， 将代入抛物线中，得，（舍去）， ∴点的坐标为； （3）解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线， ∴新抛物线的表达式：， 当时，， ∴点在新抛物线上； 存在，理由如下： ∵直线过点， ∴设直线的表达式为， 将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立， 得 解得（舍去），， ∴点坐标为， 将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立， 得， 解得（舍去），， 所以，点坐标为， 如图，分别过点，作轴于点，轴于点， ∵的内切圆的圆心在直线上， ∴直线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵点在直线的左侧，点在轴的右侧， ∴， ∴， ∴， ∴直线的表达式为． 突破三 相似三角形问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①存在，或或或或； ② 【分析】本题考查了求二次函数解析式，勾股定理，一元二次方程的应用. （1）先求出，再根据求出，，代入计算即可； （2）①先求出D点坐标，再分三种情况根据勾股定理计算一元二次方程即可； ②作轴交轴于F，连接，先根据平行线的判定和性质得到，由得到，根据等角对等边得到，设，根据勾股定理求出，进而求出直线的解析式为，联立求出，即可得解. 【详解】（1）当时， ∴ ∵ ∴， 分别将，代入得： 解得： ∴； （2）①存在. 设交对称轴于M，设交对称轴于N，则， 对称轴为直线， 设E点纵坐标为a 则 ∵过点作轴，交抛物线于点， ∴，关于直线对称， ∴ Ⅰ.当时，如图， 则 即， 解得： 即； Ⅱ.当时，如图， 或 则 即， 解得： 即或； Ⅲ.当时，如图， 或 则 即， 解得： 即或； 综上所述，点的坐标为或或或或； ②如图，作轴交轴于F，连接 ∴轴， 即 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 设与交于G， 则， 设， ∵， ∴ 整理得， 解得：， ∴ 设直线的解析式为 将， 则 解得 ∴， 联立得 解得：， ∵点为抛物线上第四象限上一点， ∴， ∴ 【典例】1．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值是6 (3)存在，或 【分析】（1）把，分别代入抛物线，确定解析式即可； （2）设，则，则， 则 ，根据抛物线的性质解答即可． (3) 取点，过点Q作轴，交于点M，确定，连接并延长交对称轴直线于点，确定一个位置；过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，则四边形是矩形，在上取一点，使得，则，连接并延长交对称轴直线于点，确定第二个位置，解答即可． 【详解】（1）解：把，分别代入抛物线，得 解得 抛物线的解析式为. （2）解：根据抛物线的解析式为， ∴，，， 设，则，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，且最大值为6． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， 取点，过点Q作轴，交于点M， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G， 则四边形是矩形， ∴,，， ∴， 在上取一点，使得， 则， ∴， 连接并延长交对称轴直线于点， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点符合题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，， 故； 综上所述，符合题意的点H坐标有，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形全等的判定和性质，构造二次函数求最值，角的和计算，平行线的函数思想判定，平行线的性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 2．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，解题的关键是需要利用分类讨论的思想求解； （1）将点、坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，如图1，过点作轴的平行线交于点，设点，则点，，根据，即可求解； ②分点在直线下方、上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 得：， 解得：， 该抛物线的表达式为：①； （2）解：①令，得， 解得：，， 点， 设直线的解析式为，将点、的坐标代入得：， 解得：， 直线的解析式为②， 如图1，过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ， ， ， 有最大值，当时，其最大值为，此时； ②， 顶点， 设直线与交于点， 当点在直线下方时， ， 点在的中垂线上， 线段的中点坐标为，过该点与垂直的直线的值为， 设中垂线的表达式为：，将点代入上式得， 解得：， 直线中垂线的表达式为：③， 设直线的解析式为，把，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：④， 联立③④得：， 解得：， 点， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为：⑤， 联立①⑤得， 解得：，（舍去）， 故点； 当点在直线上方时， ， ， 则直线的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：， 即直线的表达式为：⑥， 联立①⑥并解得：或（舍去， 故点； 综上所述，点的坐标为或． 1．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 【答案】A 【分析】根据当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点可知点Q的速度是点P速度的3倍，进而可判断②正确；由图象可知，2秒后点Q到达点B，进而求出菱形的边长，可判断①正确；当点Q到达点C时，的面积最大，求出此时的面积可判断③正确；当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．证明，求出，的面积为，设曲线段的函数解析式为，把代入求出函数解析式可判断④正确． 【详解】解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D， ∴点Q的速度是点P速度的3倍， ∵点以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确； 由图象可知，2秒后点Q到达点B， ∴，即菱形的边长为6，故①正确； 作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时， ∴， ∴， ∴， 当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确； 当点Q运动到点D时，， 当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 设曲线段的函数解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴，故④正确． 故选A． 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 【答案】(1)； (2)m (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解直角三角形，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标是，且，据此把抛物线解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；过点C作轴于H，则，设，则，故点C在直线上； （2）求出抛物线与直线在第一象限内的交点横坐标即可得到答案； （3）铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离等于二次函数的函数值减去一次函数的函数值，据此列出对应的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，且， 设抛物线所对应的函数表达式为． ∵图象过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 如图所示，过点C作轴于H， ∵斜坡为射线，坡度． ∴在中，， 设，则， ∴点C在直线上， ∴斜坡所对应的函数表达式为； （2）解；联立得， 整理得， 解得或（舍去）， ∴铅球落到坡面上时与的水平距离为m． （3）解：设落地前球与斜坡的铅垂线距离为， 由题意得． ∵， ∴当时，L最大，最大值为2． 故铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个，经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个，若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务． (1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意直接写出与之间的函数关系式即可，由供货厂家规定市场价不得低于30元/个且商场每周完成不少于150包的销售任务确定x的取值范围即可； （2）由题意直接写出w与之间的函数关系式即可； （3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围运用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 即周销售量（个）与售价（元/个）之间的函数关系式是：， 市场售价不得低于元/个，即， 商场每周完成不少于个的销售任务， 由题意得：， 即， ∴售价的取值范围是， ∴； （2）解：由题意可得，； （3）解：∵； ∴二次项系数，顶点的横坐标为：， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，， 答：当售价定为时，商场每周销售所获得的利润最大，最大利润是元． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，证明四边形为平行四边形，得到，设，在中，根据勾股定理进行求解即可； （2）勾股定理求出的长，根据题意，得到，进而得到，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可； （3）作于点，于点，易得四边形为矩形，根据三角函数求出的长，根据，列出函数关系式即可． 【详解】（1）解：过点作，则：， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； （3）作于点，于点， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由（2）可知：，，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形，二次函数与图形动点问题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 6．（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了二次函数的应用，解直角三角形，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接交于点．由抛物线的对称性可知，．将代入解析式求出，再解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且过点． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，解得． 抛物线的函数解析式为； （2）解：如图，连接交于点． 由抛物线的对称性可知，． 点的横坐标为． 当时，， ． ， ． 又， ， ． 答：油纸伞锁扣到地面的距离的长约为． 7．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元 (3)当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的应用，解一元二次方程，二次函数的图象与性质，理解题意、根据等量关系列出相应方程是解题关键． （1）设，利用待定系数法即可求解； （2）设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元，根据每卷利润乘以销售量等于总利润，可得，解方程即可； （3）设利润为元，则，根据二次函数的图象和性质，求得当时的最大值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设， 将和代入， 得：，解得：， 与的函数表达式为． （2）解：设该贴纸每卷售价定为元，则每卷利润为元， 由（1）得：每天销售量， 根据题意，得：， 解得：（舍去），， 答：公司将该贴纸每卷售价定为元时，每天销售该贴纸的利润可达到元． （3）解：设利润为元， 根据题意，得：， ，对称轴， 超出售价范围，且在这个范围内，随的增大而增大， 时，取最大值， 最大值为元， 答：当每卷售价为元时，每天获利最大，最大利润为元． 8．（2025·山东青岛·二模）一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中 (1)在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的函数表达式， (2)大棚为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，向上调整为如图3，此时，，求调整后的抛物线解析式； (3)大棚内变化前后最大高度差是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）由题意得，，再把函数解析式设为顶点式，接着利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可求出的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）用调整后的函数解析式减去调整前的函数解析式，利用二次函数的性质求出差的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵C为抛物线顶点， ∴可设抛物线解析式为， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解；∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设调整后的抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴调整后的抛物线的函数表达式为； （3）解：设大棚内变化前后的高度差为W， 由题意得，   ， ∴当，即时，W有最大值，最大值为， ∴大棚内变化前后最大高度差是． 1．（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； (2)此时鳕鱼的销售单价为70元 (3)当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元 【分析】本题考查一元一次方程、一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，列函数式，进行解答． （1）设每袋鳕鱼的售价为x元，根据题意，则，解出x，即可； （2）设此时鳕鱼的销售单价为y元，根据题意，则方程为，解出方程，根据最大限度让利消费者，取值即可． （3）设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得， 根据，得当时，w取得最大值，最大值为6250． 【详解】（1）解：设每袋鳕鱼的售价为x元时，每分钟的销量为150袋， ， ∴， 答：每袋鳕鱼的售价为85元时，每分钟销量为150袋； （2）解：设鳕鱼的销售单价为y元，根据题意得： ， 解得 ∵让消费者获得最大的利益， ∴， 答：此时鳕鱼的销售单价为70元． （3）解：设鳕鱼的销售单价为a元，每分钟的利润为w，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w取得最大值， 最大值为6250． 故当销售单价为75元时，能获得最大利润，最大利润为6250元． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数； 请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)① ②不在抛物线上；理由见解析 【分析】当时，可得：，所以点的坐标是； 因为直线与抛物线交于，两点（不与点重合），可得一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可知，，因为，，可得，从而可得：，当时，可得：，，，从而可得关于的一元二次方程，解方程求出即可；当时，可得：，，，从而可得关于的一元二次方程，解方程求出即可； 根据抛物线经过原点，可求抛物线的解析式是，根据旋转后点的对应点在抛物线的对称轴上，可知旋转后得到的是等边三角形，根据等边三角形的性质可知旋转角是； 由可知旋转角是，可知旋转后形成的是等边三角形，利用待定系数法求出线段的垂直平分线的解析式，解方程组求出线段的垂直平分与抛物线的交点坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度和的长度，可知，所以旋转后点的对应点不在抛物线上． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标是； （2）解：点的坐标是， 点的坐标是， 当时， 可得：， 由， 可得：， ，， ，， ， ， ， 设点的横坐标是，点的横坐标是， ，， ， 整理得：， ， ， 分解因式得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，对于任意的，恒成立； 当时， 可得： ，， ， 整理得：， ， ， 分解因式得：， 解得：，(与点重合，舍去)， 当时，对于任意的，恒成立； 综上所述，当或时，对于任意的，恒成立； （3）解：抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴是， 解方程， 可得：，(与原点重合，舍去)， 点的坐标是， 如下图所示， 由旋转可知， 是抛物线的对称轴， 直线是线段的垂直平分线， ， 是等边三角形， ， 旋转角； 解：点的对应点不在抛物线上， 理由如下： 点的坐标是，点的坐标是， 则，， ， 则与垂直的直线与轴的正方向夹角是， 设与垂直的直线的解析式是， 点的坐标是，点的坐标是， 点的中点的坐标是，即， 把代入， 可得：， 解得：， 线段的垂直平分线的解析式是， 解方程组， 可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 当时，， 线段的垂直平分线与抛物线的交点坐标是， 则， ， 设旋转后点到达点的位置， 又， 是等边三角形， ， 点与点不重合， 点的对应点不在抛物线上． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、一元二次方程根与系数的关系、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据旋转的性质证明三角形是等边三角形，再利用等边三角形的性质求解． 3．（2025·山东青岛·二模）根据以下素材，探索完成任务 社会实践活动 素材1：小丽外出游玩发现，有两根相邻的电线杆和，其中在平地上，在坡面上，它们之间的电线呈抛物线形状，她建立1米为1个单位长度的平面直角坐标系（如右图为其截面），电线杆与地面垂直，点到地面的距离米，米，米，米，电线在距离点10米处的正上方时最低． 素材2：小丽又发现在山坡之间，从距坡底点向右，每隔水平距离为6米的点和点种了两排树．树与地面垂直，其中树和都在电线的正下方，米． 问题解决 （1）任务1：求截面图中坡面所在直线的解析式； （2）任务2：求图中间抛物线型电线的解析式； （3）任务3：电线与树顶需保持最小安全距离2米，否则会有安全隐患，请根据以上材料，判断此时该山坡所种树木是否符合安全标准？说明理由． 【答案】（1）任务1：；任务2：；任务3：符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数、一次函数的应用，解题的关键是： （1）设直线表达式为，把，代入求解即可； （2）设抛物线表达式为，根据对称轴可得出，把代入得出，解方程组求出a、b即可； （3）设，然后把，代入求出对应的h的值，最后与5米比较大小即可求解． 【详解】解：（1）设直线表达式为， 将，代入， 解得， ． （2）设抛物线表达式为， ， ． 对称轴， ． 将代入得． 即， 把代入得， ，，， ． （3）设，． 当时，． 当时， ，， 符合安全标准． 4．（2025·山东日照·一模）平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)如图，在（1）条件下，抛物线顶点为，点坐标为，动点从点开始沿边以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．，两点同时出发，经秒后，其中一点先到达终点，另一点也随之停止运动．连接，，，记四边形的面积为，当为何值时，为最大值？并求出此时点的坐标． (3)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)时，S有最大值，点的坐标为． (3)或 【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线解析式即可解答 （2）可求，①当时，，可求最值；②当时，过点P作，垂足为点E，可证，，可求最值；比较的最值，即可求解 （3）由题可知，抛物线的对称轴为：，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴，， ∴抛物线的解析式为． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点运动到点B的时间为，点Q运动到点B的时间为， ∴， ∵抛物线的解析式为， ∴点C的坐标为，则点C到的距离为4， ①当时， ， ∴为何值时，S有最大值． ②当时，， 过点P作，垂足为点E， 则， ∴， ， ∴， ， ∴时，S有最大值． 综上所述，当时，S为最大值， 此时， ， ∵， ∴， ，， ∴， 点的坐标为． （3）由题可知，抛物线的对称轴为：， ∵抛物线经过点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∵，，都有， ∴当对称轴在y轴左侧，即时， ， 解得， ∴， 当对称轴在y轴右侧，即时， ， 解得， ∴， 当时， 抛物线的对称轴为y轴， ∵抛物线开口向上， ∴，，则，， 显然不符合题意， 综上所述，b的取值范围是：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，动点产生面积的最值问题，掌握待定系数法和“化动为静”的解法是解题的关键． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，动点P从点C出发，在三角形的边上沿C→A→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t（s），由B，P，Q三点围成的三角形面积为． (1)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接，S与t之间的函数关系如图2所示． ①当时， ； ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接，交于点O，（1）的条件仍然成立． ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）． ②若恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等，则 ． ③是否存某一时刻t，使点B在的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①2；②，； (2)①；②；③当时，点B在的垂直平分线上． 【分析】（1）①由图2求解即可得；②利用待定系数法求解即可，利用勾股定理求解即可； （2）①作于点，证明是等腰直角三角形，求得，，利用勾股定理求得，再证明，求得，利用三角形面积公式列式计算即可；②画出函数图象，利用数形结合求解即可；③作于点，利用两种方式表示出的面积得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由图2可得，抛物线的对称轴为， ∴当时，； 故答案为：2； ②由图2可得，抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴； （2）解：①作于点， 由题意得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 由旋转的性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴； ②画出函数图象如图， 当时，恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等， ∴， 故答案为：； ③存在．作于点， ∵， ∴，，， ∴，， ∵点B在的垂直平分线上， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴当时，点B在的垂直平分线上． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等． 【详解】解：， ， 当时，取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 2．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积． 设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值． 【详解】解：设矩形中，（）．   ∵ ，， ∴ 是等腰直角三角形．   ∵ 四边形是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ，又是等腰直角三角形， ∴ 为等腰直角三角形， ∴ . 则. 矩形面积 ∵ 二次函数中，，图象开口向下， 当时，取最大值．   最大值. 故答案为：． 3．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出，然后由越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）得到当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）∵当时， ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； （2）不能，理由如下： ∵，点坐标为 ∴ ∴ ∵点的坐标为， ∴ ∴将代入 ∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物； （3）∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小 ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质等知识，数形结合是解题的关键． 4．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系式是解题的关键． （1）设A型客车每辆载客量为人，根据题意列出方程，求解即可； （2）设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，根据材料三先求出m的取值范围，再列出w关于m的函数关系式，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得： ． 解之得． 经检验：是方程的根，且符合题意， 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则 ． 解之得． ． ∵，且对称轴为， ∴时，随着的增大而增大． ∵取正整数，且， ∴当时，最小值为27000（元）． ∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元 5．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 【答案】(1)，， (2)抛物线和的顶点坐标分别为，， 的表达式为；的表达式为； (3) 【分析】（1）由矩形性质可得，，，，即可得出坐标； （2）由装置整体图案为轴对称图形，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，，结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，，由矩形中，抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴，即可得出抛物线和的顶点坐标分别为，，分别设抛物线和的表达式为，，分别将将和代入求解即可； （3）由装置整体图案为轴对称图形，得出，，证明轴，设，则，，则，求得，由抛物线对称性可得． 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为； （3）解：∵装置整体图案为轴对称图形， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∵是矩形， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得：或（在对称轴右侧，舍）， ∴， 由抛物线对称性可得． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何综合，矩形的性质，平面直角坐标系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 7．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 8．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可； （2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：作于点，作于点， ∵均为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵平移， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：， 当点与点重合时，， ∴当与重叠部分为四边形时，； ②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴， 由（1）和（2）①可知：，，， ∴， ∴当时，的值最小，为； ∴； 设交轴于点，则：， ∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为， ∴； 当，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时点轴，如图： 此时重叠部分为五边形，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由平移可得：，， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∴； 综上：． 【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【答案】(1)7 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ． 10．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第14讲 二次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 二次函数的应用 题型01 销售问题 题型02 投球问题 题型03 拱桥问题 题型04 喷水问题 题型05 图形问题 题型06 图形运动问题 题型07 空中跳跃轨迹问题 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 线段周长、面积问题（二次函数综合） 突破二 角度问题（二次函数综合） 突破三 相似三角形问题（二次函数综合） 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的应用 山东东营 T9 山东德州T19 山东潍坊T9 山东青岛T24 山东青岛T24 山东济南T10 山东潍坊T22 山东泰安T16 山东滨州T15 山东潍坊T20 山东威海T22山东卷T21 能用二次函数解决实际问题 命题预测 二次函数的应用在中考中较为常见，其中，二次函数在实际生活中的应用多为小题，出题率不高，一般需要根据题意自行建议二次函数模型; 而利用二次函数图象解决实际问题和最值问题则多为解答题，此类问题需要多注意题意的理解，而且一般计算数据较大，还需根据实际情况判断所求结果是否有合适，需要考生在做题过程中更为细心对待。 考点一 二次次函数应用 1.用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1）审：仔细审题，理清题意； 2）设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 2.利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 3.利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 4.利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 5.利用二次函数解决动点问题的方法：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算． 6.利用二次函数解决存在性问题的方法：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在． 1．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 2．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 3．（2025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数（，为常数）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为，纵坐标大于等于时，的取值范围为________（直接写出结果）． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某口罩公司生产了一批口罩，每只成本价为0.5元，为了解市场需求进行试销售，据销售部统计：当销售单价为1元时，每日可卖出10万只，并且销售单价每提高0.1元，每日销售量就减少1万只． (1)写出每日销售量y（万只）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (2)写出每日销售利润w（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． (3)公司规定：正式销售时，每日销售量不得低于8万只，并且利润率不得低于．若你是销售部经理，你应把销售单价定为多少元，才能使每日销售利润最大化？此时每日销售利润为多少万元？ 5．（2025·山东潍坊·一模）某学校数学兴趣社团利用二次函数的知识进行探究学习． 【数学建模】他们对一个截面为抛物线且设有两条（双向）行车道的隧道进行研究（行车道分界线的宽度忽略不计，行驶车辆不能越过分界线），建立如图1所示的直角坐标系，并画出了隧道截面图． 【实践应用】已知隧道的路面宽为，隧道顶部最高处点P距地面，按规定，过隧道的车辆的顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．现有一辆宽、高的厢式货车计划从隧道驶过． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）请问：厢式货车能否顺利通过隧道？请说明理由． 【问题探究】该社团为进一步探索抛物线的有关知识，借助上述抛物线模型，设计了以下问题： （3）如图2，在抛物线内作矩形，使顶点C，D落在抛物线上，顶点A，B落在x轴上．设矩形的周长为l，求l的最大值． （4）在（3）的条件下，如图3，在矩形周长最大时，将矩形绕点D逆时针旋转（），当以点P，D，C为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 命题点一 二次函数的应用 ►题型01 销售问题 / 1. 审清题意，设定变量 明确进价、原售价、原销量，以及价格与销量的变化关系。 2. 表示两核心量，建立函数 根据“总利润 = 单件利润 × 销售量”，列二次函数。 3. 结合实际，确定自变量范围 依据进价、售价限制、库存数量等条件，写出x的取值范围。 4. 分析函数，求解问题 求最值：判断顶点横坐标是否在取值范围内，对应取顶点值或端点值。 求特定值：解方程ax2+bx+c=目标值，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归实际 验证结果是否满足实际意义。写出最终结论（如最高利润、对应售价等）。 【典例】（2025·山东烟台·二模）某企业研制出一种新型科技产品，每件产品的成本为2400元，在该产品试销期间，为促销，企业决定：商家一次性购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次性购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元；且商家一次性购买该产品不能超过60件． (1)商家一次性购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2)设商家一次性购买这种产品件，该企业所获的利润为元．在企业规定范围内，商家购买多少件时，企业可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，若企业一次获利不低于11250元，请直接写出商家需一次性购买数量的范围． 【变式】1．（2025·山东滨州·一模）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元/件，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元/件时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具. (1)若设该种品牌玩具的售单价为x元/件（），请你分别用含x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元） x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） (2)在（1）的条件下，若商场获得售利润不低于10000元，确定该玩具售单价x的取值范围. (3)在（1）的条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于66元，且商场要完成不少于240件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 2．（2025·山东淄博·一模）某企业安排70名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利140元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排人生产乙产品． (1)根据信息填表（要求写出化简后的结果） 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多500元，求每天安排多少人生产甲产品； (3)该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一种产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值． 产品种类 每天（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 ►题型02投球问题 / 1. 审清题意，确定坐标系 通常以投球点在地面的投影为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。 明确已知点坐标（如投球点、最高点、落地点等）。 2. 设函数解析式，代入求解 若已知顶点（最高点），设顶点式y = a(x - h)2 + k；若已知三点，设一般式y = ax2 + bx + c。 将已知点坐标代入解析式，解出参数a、b、c（或a）。 3. 确定自变量取值范围 根据实际投球场景，确定x的取值范围（如从投球到落地的水平距离区间）。 4. 结合问题，代入计算 求最大高度：直接取顶点纵坐标k。 求特定水平距离的高度：将x值代入解析式求y。 求能否命中目标：将目标的x或y值代入，检验对应的另一值是否符合目标条件。 5. 检验作答，回归实际 验证计算结果是否符合物理实际（如高度非负、水平距离合理）。 写出最终结论（如最大高度、是否命中、落地点距离等）。 【典例】（2025·山东青岛·一模）甲同学在距篮筐中心水平距离4米处跳起投篮，球在距地面2米的点处出手．按如图所示的平面直角坐标系，球在空中运行的轨迹可以近似地用二次函数来表示．当篮球达到最高点时，其距地面高度为3.5米，距篮筐中心的水平距离为2米（篮球看作一个点，篮筐中心、点、点在同一平面内），已知篮筐中心距地面3.05米，解答下列问题： (1)求篮球运动轨迹的抛物线函数表达式； (2)若甲同学位置和球出手高度不变，仅调整出手角度，使篮球达到最高点时，其距地面高度仍为3.5米，距篮筐中心的水平距离变为3米，求新的抛物线表达式； (3)在（2）的条件下，另一同学乙在甲面前跃起拦截（注：拦截应在球达到最高点前进行，否则就是“干扰球”，属于犯规行为），已知乙的最大摸球高度为，求乙在甲面前多远才能恰好拦截成功． 【变式】1．（2025·山东枣庄·一模）体育课上投掷实心球活动，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，则小康这次实心球训练的成绩为 米． 2．（2025·山东枣庄·三模）乒乓球被誉为中国国球，2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图2，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方的高度（的长度），将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度      33 45 49 45 33 0 (1)在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______；乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线解析式． (3)如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，如图2，乒乓球台长为，球网高为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计 ）． ►题型03拱桥问题 / 1. 建立坐标系，确定关键点坐标 常以拱桥顶点为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴；或以拱桥底部中点为原点，竖直向上为y轴。 标注已知点坐标（如拱脚、水面与桥拱的交点、顶点等）。 2. 选择函数形式，求解析式 已知顶点时，优先设顶点式y = a(x - h)2 + k；已知三点时，设一般式y = ax2 + bx + c。 代入关键点坐标，解出参数a、b、c（或a）。 3. 明确自变量取值范围 根据桥拱的实际跨度，确定x的取值范围（如拱脚间的水平距离区间）。 4. 结合问题，代入计算求解 求拱高/跨度：利用顶点坐标或拱脚坐标计算。 求特定位置高度：将水平距离x代入解析式，求对应y值。 求水面上升/下降后的通行情况：代入新水面高度对应的y值，求x值，计算水面宽度。 5. 检验作答，回归实际 验证结果是否符合桥拱的实际尺寸与场景。 写出最终结论（如最大拱高、水面宽度、能否通行等）。 【典例】（2025·山东济南·二模）湖西桥是济南大明湖景区一座抛物线形拱桥，按图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为 ． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）图1所示是温州南塘河面上的一座石拱桥，已知其桥洞均可近似看作形状相同的抛物线．经测量，在正常水位时，主桥洞顶端离水面，水面宽度；右侧第一个小桥洞顶端离主桥洞顶端的水平长度为，铅直高度为．图2所示为主桥洞和右侧第一个小桥洞的截面图． (1)在图2中建立适当的平面直角坐标系，求出主桥洞的函数关系式 (2)在（1）坐标系前提下，直接写出第一个小桥洞的函数关系式 (3)水位正常时，一艘长，宽，高的渔船能否顺利通过右侧第一个小桥洞？请通过计算说明． 2．（2025·山东济南·二模）某城市计划在滨河步道上方搭建一座抛物线型观景台．根据以下素材探索完成任务． 【素材1】如图，步道的宽为，观景台拱顶最高处距离地面为． 【素材2】如图，为保障结构稳定性，需在桥拱下方安置两个支撑柱进行支撑，为了美观，要求两个支撑柱关于桥拱对称轴对称．支撑柱． 【素材3】如图，在两个支撑柱上搭一个限高横杆，为提升景观效果，现要在横杆上方设置一个矩形宣传牌，要求宣传牌满足以下条件：①宣传牌在观景台内部，且一边落在上；②矩形长、宽均为整数；③宣传牌关于观景台的对称轴对称；④矩形面积为． (1)以步道的中点为原点，求出抛物线的解析式； (2)求两个支撑柱之间的距离（不考虑柱体厚度）； (3)设计宣传牌方案：给出符合要求的宣传牌尺寸，并说明理由． ►题型04喷水问题 / 1. 建坐标系，标关键点 定原点（如喷水起点或顶点投影），确定起点、最高点、落地点等坐标。 2. 选函数式，求解析式 知顶点用顶点式，知三点用一般式，代入坐标求参数。 3. 定x范围，限实际域 取喷水起点到落地点的水平距离区间。 4. 代值计算，解问题 求最大高度取顶点纵坐标，求覆盖距离令y=0算x差值。 5. 检验作答，回实际 验证结果合理，写出结论。 【典例】（2025·山东威海·一模）如图，公园管理处计划在人工湖里安装一个喷泉，在湖的中心点O处竖直安装喷水管，在喷水管的顶端A处安装喷水头，水柱从喷水头喷出到落入湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．水柱上某一位置与喷水管的水平距离为x米，与湖面对应的垂直高度为y米，下表记录了x与y的五组数据： x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2 3 2 根据上述信息，解决问题： (1)求水柱抛物线的表达式； (2)公园管理处想通过喷泉设立游船娱乐项目．为避免游客被喷泉淋湿，游船需安装水平顶棚，同时要求游船从水柱最高点的正下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于米．已知顶棚的宽度为3米，求顶棚到湖面的最大高度． 【变式】1．（2025·山东青岛·一模）大泽山葡萄是大家非常喜欢的一种水果，胶东半岛的山坡土壤为大泽山葡萄的生长提供了良好的环境．如图1，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图1的截面，建立如图2所示的平面直角坐标系，是坐标原点，喷水管为，喷头，水流落在山坡上的点和处． (1)求山坡和轴右侧抛物线的表达式； (2)为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，请问在坡段种植的葡萄树，其上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？ 2．（2025·山东青岛·一模）如图，在一次学校组织的社会实践活动中，小龙看到农田上安装了很多灌溉喷枪，喷枪喷出的水流轨迹是抛物线，他发现这种喷枪射程是可调节的，且喷射的水流越高射程越远．他从该农田的技术部门得到了这种喷枪的一个数据表，水流的最高点与喷枪的水平距离记为，水流的最高点到地面的距离记为． 与的几组对应值如下表： 0 1 2 3 4 ．．． 1 2 ．．． (1)该喷枪的出水口到地面的距离为___________米． (2)观察表格中的数据，用你学过的函数知识求出与之间的函数关系式． (3)在（2）的基础上，当水流的最高点与喷枪的水平距离为时，水流的最高点到地面的距离为多少米？此时水流的射程为多少米？ ►题型05图形问题 / 1. 分析图形，设定变量 明确图形形状（矩形、三角形等）及边长、周长、面积等关联条件。 设某条线段长为x，用含x的式子表示其他相关线段长。 2. 结合公式，建立函数 根据图形的面积、周长等公式，列出二次函数y = ax2 + bx + c。 3. 确定范围，限定定义域 依据线段长度为正、图形存在条件，确定自变量x的取值范围。 4. 求解问题，分析最值 求面积/周长最值：判断顶点横坐标是否在范围内，取顶点值或端点值。 求特定面积/周长对应的线段长：解方程，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归图形 验证结果是否满足图形实际特征。写出最终结论（如最大面积、对应线段长等）。 【典例】（2025·山东潍坊·二模）如图，有一张边长为的菱形纸片，现用它裁出一个矩形纸片，矩形纸片的四个顶点、、、分别位于菱形的四条边上，且，．如何裁剪才能使裁出的矩形纸片的面积最大？最大面积是多少？ 【变式】1．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】在形状不规则的布片上裁剪面积最大的矩形布片 【实践工具】剪刀，直尺，量角器等 【实践活动】如图，图形是由线段及曲线围成的一个形状不规则的布片，其中曲线DE是某个反比例函数的图象的一部分．经测量得知，，，，，，，点A到线段的距离为．现要求按照图示方式在这个不规则布片上裁剪下一个矩形布片，其中线段在线段上，而点M和Q分别在线段和曲线上．为便于解决问题，某同学在老师的指导下，在图中建立了与反比例函数图象相对应的平面直角坐标系（以直线为x轴，以过点A且垂直于的直线为y轴）． (1)请帮他在所建立的坐标系中求出直线和曲线所对应的函数解析式； (2)若要使裁剪下的矩形布片的面积最大，矩形布片的长和宽应该分别是多少？ 2．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）． (1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？ (2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？ ►题型06图形运动问题 / 1. 分析运动，设定变量 明确图形运动方式（平移、旋转）与运动速度、方向，设运动时间为x。 用含x的式子表示运动后图形的关键点坐标或线段长度。 2. 结合图形，建立函数 根据所求量（面积、线段长、距离等）的计算公式，列出二次函数y=ax2+bx+c。 3. 确定范围，限定定义域 依据图形运动的起始、终止位置，确定自变量x的取值范围。 4. 求解问题，分析最值或特定值 求最值：判断顶点横坐标是否在范围内，取顶点值或端点值。 求特定值：解方程ax2+bx+c=目标值，检验解是否符合范围。 5. 检验作答，回归运动 验证结果是否符合图形运动的实际情况,写出最终结论（如最大面积、对应运动时间等） 【典例】（2025·山东济南·二模）如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】1．（2025·山东烟台·二模）在中，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，图像如图2所示，则线段的长是 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形和中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点E出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，与交于点M，与交于点F，连接．设时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)设五边形的面积为，求与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使点Q在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． ►题型07空中跳跃轨迹问题 / 1. 建坐标系，标关键点 以起跳点投影为原点，水平为x轴、竖直为y轴，确定起跳点、最高点、落地点坐标。 2. 选函数式，求解析式 已知顶点（最高点）用顶点式，代入坐标求参数a，确定二次函数。 3. 定x范围，限实际域 自变量x取起跳点到落地点的水平距离区间。 4. 代值计算，解问题 最大高度取顶点纵坐标；特定水平距离的高度直接代入x求y。 5. 检验作答，回实际 验证高度、距离合理，写出结论。 【典例】（2025·山东潍坊·一模）杂技是一项古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，以功力深厚、技艺精湛著称于世．特别是，“空中飞人”表演惊险刺激，极具观赏性，深受好评（如图1）． 【建立模型】 如图2，演员从旋转木梯点处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到平行于地面的悬吊的平台上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网，以保护表演的演员安全．建立如图所示的平面直角坐标系，所在的直线为轴，所在直线为轴，点，点，，，，，． 【解决问题】 (1)当抛物线过点，且与轴交于点时，为使演员在演出时不受伤害，求保护网（线段）的长度至少为多少米？ (2)设该抛物线的关系式为，抛射点不变，为保证演员表演时落在平台上，请求出的取值范围； (3)连接，求点到的距离． 【变式】1．综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． (1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； (2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； (3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 2．综合实践小组研究某个篮球自由落地和反弹现象． 实验探索：该小组把该篮球从不同的高度放开，让其自由落下，测量其落地后反弹的高度，得到数据如下表： 试次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 下落高度 80 90 100 110 120 反弹高度 40 45 50 56 60 任务1：请选择适当的函数模型描述该篮球反弹高度与下落高度之间的关系，设出变量，求出函数解析式； 解决问题：该小组进一步提出研究篮球各次反弹的最高点出现的时间间隔规律，经查阅资料发现，篮球第一次从高度为（单位：）处落下到达地面的运动过程中，其高度（单位：）与运动时间（单位：s）的函数关系是，其中为重力加速度．第一次自由下落及以后每次反弹再落地的过程中，篮球离地高度都是运动时间的二次函数，且它们的二次项系数相同． 任务2：根据任务1中发现的规律，求篮球从高为（单位：）处下落到第一次反弹到最高点所用的时间（用只含已知量，的式子表示）； 任务3：篮球从处下落，的值取．当篮球反弹高度小于时，下次不再反弹．直接写出篮球反弹的总次数，并用式子表示篮球从第次反弹最高点运动到第次反弹最高点间隔的时间（用只含反弹次数的式子表示）． 突破一 线段周长、面积问题（二次函数综合） 【典例】已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】1．已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标． (3)如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值． 2．如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． (1)求抛物线的函数解析式； (2)对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； (3)在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 突破二 角度问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线经过点，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若点为抛物线的顶点，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求点的坐标． 【典例】1．综合应用：如图1，顶点为的抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求的度数； (3)如图2，动点从点出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向匀速运动，同时动点从点出发，沿着方向以个单位/秒的速度向匀速运动，各设运动时间为秒，轴交于，轴交抛物线于，连接、． ①当时，求点的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的的值． 2．如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标； (3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为． 请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）； 过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由． 突破三 相似三角形问题（二次函数综合） 【典例】如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【典例】1．二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点是第三象限内的抛物线上的动点，过作轴，交轴于点，四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由； (3)如图2，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与轴交于点，已知点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②该抛物线上存在点P，使得，请直接写出所有点P的坐标． 1．（2025·山东济南·一模）如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    3．（2025·山东青岛·模拟预测）一名运动员掷铅球，铅球刚出手时的点A离地面的高度为，铅球运行时距离水平线的最大高度是，此时铅球沿水平方向行进了．已知铅球运行的路线是抛物线，现以铅球出手点A所在的铅垂线的方向为y轴正方向，铅垂线与地面的交点为O，过点O的水平射线为x轴正方向，建立平面直角坐标系，如图所示，斜坡为射线，坡度． (1)分别求出抛物线和斜坡所对应的函数表达式． (2)求铅球落到坡面上时与的水平距离． (3)铅球运行的过程中到斜坡的铅垂线距离最大是多少？ 4．（2025·山东青岛·模拟预测）某商场根据市民需要，销售一种防尘口罩，进货价为20元/个，经市场销售发现：售价为30元/个时，每周可售出200个，每涨价1元，就少售出5个，若供货厂家规定市场售价不得低于30元/个，且商场每周要完成不少于130个的销售任务． (1)确定周销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式； (2)确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3)当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？ 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为． (1)求的长度； (2)当时，求t的值； (3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式． 6．（2025·山东日照·三模）油纸伞（图1）是汉族古老的传统用品之一，后传至亚洲各地如朝鲜、越南、泰国、日本等．如图2，油纸伞中轴截面可看作抛物线的一部分，已知锁扣为C点，抛物线的最高点为P，点P到水平面的距离．，伞边离水平面的距离为，伞面直径为．     (1)求抛物线的函数解析式． (2)为了牢固，需在伞杆的左右两侧安装对称的固定支架，若点A到点B的直线距离为，且，求油纸伞锁扣到地面的距离的长．（参考数据：；结果精确到） 7．（2025·山东潍坊·二模）春节期间、《哪吒》热映；某文创公司推出一款成本价为每卷元的哪吒贴纸投放到市场、售价范围为元至元．经过一段时间销售发现：每天销售贴纸的数量（卷）与每卷售价（元）满足如图所示的函数关系．    (1)求与的函数表达式； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到元？ (3)当每卷售价为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 8．（2025·山东青岛·二模）一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上（墙体足够高），其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中 (1)在图2中以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的函数表达式， (2)大棚为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，向上调整为如图3，此时，，求调整后的抛物线解析式； (3)大棚内变化前后最大高度差是多少？ 1．（2025·山东临沂·一模）“当你背单词时，阿拉斯加的鳕鱼正跃出水面；当你算数学时，南太平洋的海鸥正掠过海岸当你晚自习时，地球的极圈正五彩斑斓；但少年，梦要你亲自实现，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现．”这是直播带货新平台“东方甄选”货王董宇辉在推销鳕鱼时的台词．所推销鳕鱼的成本为每袋50元，当售价为每袋90元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售10袋． (1)每袋鳕鱼的售价为多少元时，每分钟的销量为150袋？ (2)“东方甄选”不忘公益初心，热心教育事业，其决定从每分钟利润中捐出500元帮助留守儿童，为了保证捐款后每分钟利润达到5500元，且要最大限度让利消费者，求此时鳕鱼的销售单价为多少元？ (3)当销售售价为多少元时，每分钟的利润最大，最大利润是多少？ 2．（2025·山东淄博·二模）如图，已知抛物线经过定点． (1)直接写出点的坐标； (2)直线与抛物线交于，两点（不与点重合），过点作于点，存在的取值，使得对于任意的，恒成立．求的值； (3)如图，若上述抛物线经过原点，与轴交于另一点，将绕点顺时针旋转一定的角度，使点的对应点落在抛物线的对称轴上． 直接写出的度数； 请判断，此时点的对应点是否在抛物线上，请说明理由． 3．（2025·山东青岛·二模）根据以下素材，探索完成任务 社会实践活动 素材1：小丽外出游玩发现，有两根相邻的电线杆和，其中在平地上，在坡面上，它们之间的电线呈抛物线形状，她建立1米为1个单位长度的平面直角坐标系（如右图为其截面），电线杆与地面垂直，点到地面的距离米，米，米，米，电线在距离点10米处的正上方时最低． 素材2：小丽又发现在山坡之间，从距坡底点向右，每隔水平距离为6米的点和点种了两排树．树与地面垂直，其中树和都在电线的正下方，米． 问题解决 （1）任务1：求截面图中坡面所在直线的解析式； （2）任务2：求图中间抛物线型电线的解析式； （3）任务3：电线与树顶需保持最小安全距离2米，否则会有安全隐患，请根据以上材料，判断此时该山坡所种树木是否符合安全标准？说明理由． 4．（2025·山东日照·一模）平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)如图，在（1）条件下，抛物线顶点为，点坐标为，动点从点开始沿边以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．，两点同时出发，经秒后，其中一点先到达终点，另一点也随之停止运动．连接，，，记四边形的面积为，当为何值时，为最大值？并求出此时点的坐标． (3)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，直接写出的取值范围． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在中，，动点P从点C出发，在三角形的边上沿C→A→B匀速运动，到达点B时停止运动，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，设运动时间为t（s），由B，P，Q三点围成的三角形面积为． (1)如图1，当点P由点C运动到点A时，连接，S与t之间的函数关系如图2所示． ①当时， ； ②求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围），并求线段的长度； (2)如图3，当点P由点A运动到点B时，连接，交于点O，（1）的条件仍然成立． ①求S与t之间的函数关系式（写出t的取值范围）． ②若恰好存在3个时刻，，（）对应的S值相等，则 ． ③是否存某一时刻t，使点B在的垂直平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 1．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为 ． 3．（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） (1)如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式； (2)在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； (3)小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内） 4．（2025·四川南充·中考真题）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 5．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 6．（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； (3)为满足矩形电子显示屏的空间要求，需要边的长为，求此时边的长． 7．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 8．（2025·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________； (2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设． ①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 9．（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 10．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $