第13讲 二次函数的图象与性质（复习讲义，2考点7题型3重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数核心考点，涵盖概念、图象与性质、系数关系及与方程不等式的综合应用，构建“知识网络-考点解析-题型突破-分层训练”复习体系，通过真题梳理、方法归纳和难点突破，帮助学生系统掌握中考必备知识与解题技巧。 亮点在于“题型专项+核心素养”双轨设计，如“二次函数对称性求最短路径”专题，结合几何直观培养数学思维，设置“基础-提升-新趋势”三级练习，配合真题限时训练与错因分析，确保高效突破重点题型，助力教师精准把控复习节奏，提升学生实战应考能力。

第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 二次函数的性质 题型01 由二次函数最值求参数 题型02 二次函数增减性 题型03 二次函数规律性问题 命题点二 二次函数与方程不等式 题型01 二次函数与x轴交点 题型02 由二次函数图象解不等式 题型03 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型04 由交点求一元二次不等式解集 05·重难突破·思维进阶难 23 突破一 反比例函数、二次函数图象综合判断 突破二 利用二次函数对称性求最短路径 突破三 二次函数图象的平移 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的相关概念 / 山东威海 T23 / 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 二次函数的图象与性质 山东滨州T23 山东威海T24 山东卷T22 山东潍坊 T21 山东枣庄T23 山东卷 T8 山东威海T24 山东日照T11 山东临沂T16 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 山东烟台T9 山东日照T11 山东潍坊T9 山东泰安T11 山东青岛 T16 山东东营T9 山东聊城T11 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 山东潍坊T10 山东青岛T9 山东卷T10 山东烟台T16 山东济宁T14 山东青岛T25 山东聊城T11 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 命题预测 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。 考点一 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 1．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 3．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 3．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二、二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 / 1. 定轴定区间 直接代入顶点公式最值点，结合最值条件列方程求解参数。 验证顶点是否在区间内，若在则顶点处取最值；若不在则区间端点处取最值。 2. 动轴定区间 分三类讨论对称轴与区间的位置关系：对称轴在区间左侧、内部、右侧。 每类情况确定最值点（端点或顶点），列对应方程求解，最后检验参数是否符合分类条件。 3. 定轴动区间 按区间端点与对称轴的位置关系分类，明确区间移动过程中最值的变化规律。 针对不同分类情况，用区间端点或顶点表示最值，建立方程求参数，验证有效性。 4. 含参二次项系数 先讨论 a=0（函数退化为一次函数）的特殊情况，按一次函数最值规律求解。 再讨论 a≠0 的情况，结合上述轴与区间的关系分类求解，最后整合所有解。 【典例】（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【变式】1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． ►题型02 二次函数增减性 / 1. 核心性质先梳理 先确定开口方向（a>0 向上，a<0 向下）、对称轴、顶点坐标。 再分析最值（顶点处取最值）、增减性（以对称轴为界）、与坐标轴交点（与y轴交于(0,c)，与x轴交点由∆=b2-4ac判断）。 2. 性质应用分题型 图像判定题：由开口方向定a符号，对称轴位置定a、b符号关系，与y轴交点定c符号，结合特殊点（如x=1时y=a+b+c）判断。 最值/范围题：分定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间三类，结合开口方向确定最值点（顶点或区间端点）。 单调性题：比较对称轴与给定区间的位置关系，判断区间内单调情况；由单调性求参数时，转化为对称轴与区间的约束不等式。 交点题：与x轴交点个数由∆判断，交点坐标用求根公式或因式分解求解；与一次函数交点联立方程，转化为一元二次方程根的问题。 3. 含参问题特殊处理 若二次项系数含参，先讨论a=0（函数退化为一次函数）的情况。 a≠0时，再按上述性质分类讨论，最后整合所有情况的解。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． ►题型03 二次函数规律性问题 / 1. 定类型 观察已知点的横、纵坐标规律，判断是顶点式（有最值点）、一般式（无明显特征）还是递推式（连续点关联）。 优先验证是否符合顶点式 y=a(x-h)2+k，简化计算。 2. 求参数 代入已知点坐标，列方程（组）求解未知参数（如 a、h、k 或 a、b、c）。 若为递推规律，先求相邻两项的差值或比值，推导函数表达式。 3. 验规律 用未参与计算的点验证所求函数表达式的正确性。 按规律推导后续点的坐标，确认符合题目要求。 核心技巧： • 若横坐标为连续整数，可计算纵坐标的二阶差，二次函数的二阶差为定值。 • 遇到图形类规律（如抛物线串、几何图形顶点轨迹），先提取图形顶点坐标，再转化为函数规律问题。 【典例】（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【变式】1．（2024·山东淄博·二模）如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·一模）如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是 ． 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 / 1. 判存在 令 y=0，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）。 计算判别式 ∆ = b2-4ac，∆>0 有2个交点，∆=0 有1个交点，∆<0 无交点。 2. 求坐标 公式法：直接用求根公式，求交点 (x1,0)、(x2,0)。 因式分解法：若方程可分解为 a(x-x1)(x-x2)=0，直接得交点横坐标 x1、x2。 3. 用性质 交点间距：|x1-x2|= 。 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，可快速求与交点相关的代数式值。 【典例】（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； (3)若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）． ①若D点的坐标为，求t的值； ②用t表示和，并求的最大值． 2．（2025·山东德州·二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”． (1)请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是________，二次函数的“零点”是________； (2)已知二次函数是“零点函数”（a，b，c是常数，）．若，，函数的“零点”是，，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式； (3)已知抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． ①求m的值． ②点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求h的值． ►题型02 由二次函数图象解不等式 / 1. 找交点 令 y=0，求出二次函数与x轴的交点横坐标 x1、x2（x1 ≤x2）。 若无交点（∆<0），直接根据抛物线开口方向判断不等式解集。 2. 看开口 开口向上（a>0）：图象在x轴上方对应 y>0，下方对应 y<0。 开口向下（a<0）：图象在x轴上方对应 y>0，下方对应 y<0，与开口向上时相反。 3. 写解集 y>0：开口向上时解集为 x<x1 或 x>x2；开口向下时为 x1<x<x2。 y<0：开口向上时解集为 x1<x<x2；开口向下时为 x<x1 或 x>x2。 含等号（y≧0/y≦0）时，解集需包含交点横坐标 x1、x2。 【典例】（2025·山东·一模）已知二次函数（b为常数）． (1)若该函数的图象经过点，则： ①b的值为 ； ②当时，x的取值范围为 ． (2)当时（其中m，n为实数，），x的取值范围为．直接写出m，n的值或取值范围． (3)当时，y的最小值为，求b的值． (4)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）． 【变式】1．（2025·山东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)如图，直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，于点，若为的中点，求的值． (2)直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究的取值范围． (3)已知二次函数． ①若该函数的取值恒为非负数，求实数的取值范围． ② 当，该二次函数的增减性不发生变化， 求实数的取值范围． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． ►题型03 利用不等式求自变量或函数值的范围 / 1. 已知函数值范围，求自变量范围 转化：将函数值范围转化为 m≦ax2+bx+c ≦n 型不等式（组）。 求解：先求二次函数与直线 y=m、y=n 的交点，再结合开口方向和对称轴，确定自变量的取值区间。 关键：若给定自变量的限定区间，需同时考虑区间端点的函数值。 2. 已知自变量范围，求函数值范围 定顶点：先求二次函数的对称轴 x= - ，判断顶点是否在自变量的限定区间内。 判单调：根据开口方向，确定函数在区间内的单调性（递增/递减）。 求最值：顶点在区间内时，函数值范围包含顶点纵坐标；顶点不在区间内时，函数值范围由区间两端点的函数值确定。 核心技巧： 口诀：轴在区间内，最值看顶点；轴在区间外，最值看端点。 含参数时，需分类讨论参数对开口方向、对称轴位置的影响。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①求点的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 2．（2025·山东日照·一模）在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． ►题型04 由交点求一元二次不等式解集 / 1. 化标准式 将不等式整理为 ax2+bx+c > 0（或 ≧、<、≦）的形式，确保二次项系数 a≠0。 2. 求交点横坐标 令 y=ax2+bx+c=0，解出方程的根 x1、x2（约定 x1≦ x2）。 若方程无实根（∆<0），直接进入步骤4。 3. 判断开口方向 根据 a 的符号确定：a>0 开口向上，a<0 开口向下。 4. 写解集 1)开口向上（a>0）： ax2+bx+c > 0 → x < x1 或 x > x2 ax2+bx+c < 0 → x1 < x < x2 2)开口向下（a<0）： ax2+bx+c > 0 → x1 < x < x2 ax2+bx+c < 0 → x < x1 或 x > x2 含等号时，解集需包含 x1、x2；无实根时，根据开口方向判断解集为全体实数或空集。 【典例】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则的取值范围是 ． 2．（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：的值为定值； (3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 突破一 反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 突破二 利用二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 2．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（b，c为常数，）的顶点为G． (1)若抛物线经过点A，B，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点G作直线，与抛物线相交于点H，求线段的长； (2)若，连接点B和点，分别过点G画直线轴，，在直线上截取（点Q在直线l下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 突破三 二次函数图象的平移 【典例】在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【变式】1．如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 2．抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标． (2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 2．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 6．（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 7．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 8．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 9．（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 10．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为，则下列说法：①；②图象与y轴交于；③；④若方程的两个根为，，且，则，；⑤若二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得，则n一定等于2，正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上任意三点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，；当时，；当时，； ①求，的值； ②若，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的值，不必说明理由． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 5．（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（  ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 4．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 5．（2025·辽宁鞍山·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ． 6．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ． 7．（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 8．（2025·辽宁·一模）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 9．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 10．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第13讲 二次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 30 命题点一 二次函数的性质 题型01 由二次函数最值求参数 题型02 二次函数增减性 题型03 二次函数规律性问题 命题点二 二次函数与方程不等式 题型01 二次函数与x轴交点 题型02 由二次函数图象解不等式 题型03 利用不等式求自变量或函数值的范围 题型04 由交点求一元二次不等式解集 05·重难突破·思维进阶难 68 突破一 反比例函数、二次函数图象综合判断 突破二 利用二次函数对称性求最短路径 突破三 二次函数图象的平移 06·优题精选·练能提分 82 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的相关概念 / 山东威海 T23 / 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义. 二次函数的图象与性质 山东滨州T23 山东威海T24 山东卷T22 山东潍坊 T21 山东枣庄T23 山东卷 T8 山东威海T24 山东日照T11 山东临沂T16 能画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，能解决相应的实际问题. 二次函数与各项系数的关系 山东烟台T9 山东日照T11 山东潍坊T9 山东泰安T11 山东青岛 T16 山东东营T9 山东聊城T11 理解二次函数与各项系数的关系. 二次函数与方程、不等式 山东潍坊T10 山东青岛T9 山东卷T10 山东烟台T16 山东济宁T14 山东青岛T25 山东聊城T11 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 命题预测 二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考.而对于二次函数图象和性质的考察，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面.题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。 考点一 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax²+bx+c (其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 2.二次函数的结构特征：1）函数关系式是整式； 2）自变量的最高次数是2； 3）二次项系数a≠0，而b，c可以为零. 3.根据实际问题列二次函数关系式的方法： 1）先找出题目中有关两个变量之间的等量关系； 2）然后用题设的变量或数值表示这个等量关系； 3）列出相应二次函数的关系式. 4.二次函数的常见表达式： 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 1．（2025·山东青岛·二模）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的定义，学会联立函数解析式是解题的关键．根据二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得出答案． 【详解】解：二次函数， ， 联立， 整理得：， 二次函数与一次函数的图象有交点， ， 解得：， k的取值范围是且． 故选：B． 2．（2024·山东威海·中考真题）如图，在菱形中，，，为对角线上一动点，以为一边作，交射线于点，连接．点从点出发，沿方向以每秒的速度运动至点处停止．设的面积为，点的运动时间为秒． (1)求证：； (2)求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)求为何值时，线段的长度最短． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（）设与相交于点，证明，可得，，利用三角形外角性质可得，即得，即可求证； （）过点作于，解直角三角形得到，，可得，由等腰三角形三线合一可得，即可由三角形面积公式得到与的函数表达式，最后由，可得自变量的取值范围； （）证明为等边三角形，可得，可知线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，又由菱形的性质可得为等边三角形，利用三线合一求出即可求解； 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握菱形的性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：设与相交于点， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于，则， ∵， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴，， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴线段的长度最短，即的长度最短，当时，取最短，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，线段的长度最短． 3．（2025·山东青岛·二模）已知：如图，菱形中，，对角线与相交于点，直线以从点出发，沿方向匀速运动，运动过程中始终保持，垂足是点，过点作，交于点 (1)求线段的长；（用含的代数式表示） (2)设的面积为（单位：），求与的函数关系式； (3)是否存在某时刻，使线段恰好经过点？若存在求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在某时刻，使线段恰好经过点， 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，根据，得出，求出结果即可； （2）过点Q作于点E，解直角三角形求出，，根据，求出，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）过点Q作于点E，求出，，根据得出，再根据解析（2）得出，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴，，， ， ∴， 根据平移可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点Q作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ； （3）解：存在某时刻，使线段恰好经过点； 过点Q作于点E，如图所示： 则， 根据解析（2）可知：，， ∵， ∴， 当经过点O时，， ， 根据解析（2）可知：， ∴， 解得：． 考点二 二次函数的图象与性质 一、二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二、二次函数的图象变换 1）二次函数的平移变换 平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀 向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加 向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减 向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加 向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减 2）二次函数图象的翻折与旋转 变换前 变换方式 变换后 口诀 y=a(x-h)²+k 绕顶点旋转180° y= -a(x-h)²+k a变号，h、k均不变 绕原点旋转180° y= -a(x+h)²-k a、h、k均变号 沿x轴翻折 y= -a(x-h)²-k a、k变号，h不变 沿y轴翻折 y= a(x+h)²+k a、h不变，h变号 三、二次函数的对称性问题 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 解题技巧： 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 四、二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，且是等边三角形，则．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】由二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧，，，，可得①符合题意；结合当时，最大，当时，，可得②不符合题意；由，，可得，可得③符合题意；由，记的横坐标分别为，可得，结合，可得，可得④符合题意. 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴的右侧， ∴，，， ∴，故①符合题意； ∵顶点的坐标为， ∴当时，最大， 当时，， ∴， ∴，故②不符合题意； ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，对称轴为直线， ∴，， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，为等边三角形， ∴，，，， ∴， 记的横坐标分别为， ∴， ∴， 当，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，熟练的利用等边三角形的性质结合二次函数的图象解题是关键. 2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．(为任意实数) 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 3．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 考点三 二次函数与各项系数之间的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 1．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点坐标是．下列结论正确的有（    ） A． B．该抛物线与轴的另一个交点坐标是 C．若点和在该抛物线上，则 D．对任意实数，不等式总成立 【答案】ACD 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据二次函数的图像和性质进行解题即可． 【详解】解：将代入，可得，由图像可知，此时图像在轴上方，故，故选项A正确； 对称轴是直线， 故该抛物线与轴的另一个交点坐标是，故选项B错误； 时，函数有最大值，距离对称轴更近，故，故选项C正确； 时，函数有最大值，故，即不等式总成立，故选项D正确； 故选ACD． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：①；②方程一定有一个根在和之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴, ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间， ∴与x轴的另一个交点在、0之间， ∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误； ∵抛物线与直线有两个交点， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， ∴．故④错误． 综上，①③正确，共2个． 故选：B． 考点四 二次函数与方程、不等式 一、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.一元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标. 因此，二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 与x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c= 0的根 判别式Δ=b2-4ac 2个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 1个交点 有一个不相等的实数根 b2-4ac=0 0个交点 没有实数根 b2-4ac<0 二、二次函数与不等式的关系: b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 图象 与x轴交点 2个交点 1个交点 0个交点 ax2＋bx＋c>0 的解集情况 x<x1或x>x2 x≠ 取任意实数 ax2＋bx＋c<0 的解集情况 x1<x<x2 无解 无解 1．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断；利用根的判别式即可判断；利用二次函数的性质可判断；利用对称性可判断；画出函数图形可判断；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：把，，代入得， ， 解得， ∴，故正确； ∵，，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 又∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，函数取最大值， ∵与时函数值相等，等于， ∴当时， 的取值范围为，故错误； ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴，故正确； 由得， 即， 画函数和图象如下： 由，解得，， ∴，， 由图形可得，当或时，，即，故错误； 综上，正确的结论为， 故答案为：． 2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断． 【详解】解：由题图可知，， ，故①正确； 当时，，即，故②正确； 二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线， 二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5， 多项式，故③错误； 当时，有最大值，即， 当时，抛物线与直线的图象无交点， 即关于x的方程无实数根，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数（a为常数）． (1)求证：不论a为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值之差为9，求此时函数的解析式； (3)若二次函数图象对称轴为直线，该函数图象与x轴交于两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点C关于对称轴的对称点为D，点M为的中点，过点M的直线l（直线l不过两点）与二次函数图象交于两点，直线与直线相交于点P． ①求证：点P在一条定直线上； ②若，请直接写出满足条件的直线l的解析式，不必说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①证明见解析；②或 【分析】（1）令，则，根据根的判别式求得，得到不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，进而即可得证； （2）由二次函数的解析式得到图象对称轴为直线，最大值为4，判断，得到当时，y取得最小值，最小值为，根据二次函数的最大值与最小值之差为9，即可列出方程，求解后进行取舍即可解答； （3）①根据对称轴为直线，求得，得到二次函数解析式为．令，求得，令，求得，从而．设，采用待定系数法求得直线的解析式为．把点代入，得到．同理求得直线的解析式为，直线的解析式为．联立直线，，求得点．设点P所在的定直线的解析式为，代入点P的坐标可求得，从而得证点P在定直线上； ②根据，得到，化简得到，由①知，从而，分两种情况分别讨论： 当时或，根据①中的点P的横坐标可得，整理得，结合，即可求出m，n的值，进而得到，的值，从而得到直线l的解析式．同理可求出当时直线l的解析式，即可解答． 【详解】（1）证明：令，则， ∵， ∴不论a为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴二次函数图象与x轴总有两个公共点． （2）解：由二次函数的解析式得， 函数图象对称轴为直线，最大值为4． ， ， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ，解得或（舍去）， 二次函数的解析式为． （3）①证明：对称轴为直线， ∴ ∴二次函数解析式为． 令，则，解得或， 则， 令，则，则 ∴． 设，由题意知，且均不为0，2． 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为．（记为①式） 又直线过点， ，即． 同理设直线的解析式为， 把代入得 解得， 直线的解析式为．（记为②式） 同理得直线的解析式为．（记为③式） 由②③式联立得， 解得 ． 若点P在一条定直线上，设点P所在直线解析式为，代入点P的坐标得 ，将①式代入化简得， 由对应系数相等得， ∴点P所在直线解析式为，即点P在一条定直线上． ②解：直线l的解析式为或 理由：， ∴， ， ， ， ∴， 由①知， ∴， ∴ 当时，，整理得． 又， ∴ 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ， 直线l的解析式为； 当时，，整理得． 又， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ， ∴直线l的解析式为． 综上所述，当时，直线l的解析式为或． 命题点一 二次函数的性质 ►题型01 由二次函数最值求参数 / 1. 定轴定区间 直接代入顶点公式最值点，结合最值条件列方程求解参数。 验证顶点是否在区间内，若在则顶点处取最值；若不在则区间端点处取最值。 2. 动轴定区间 分三类讨论对称轴与区间的位置关系：对称轴在区间左侧、内部、右侧。 每类情况确定最值点（端点或顶点），列对应方程求解，最后检验参数是否符合分类条件。 3. 定轴动区间 按区间端点与对称轴的位置关系分类，明确区间移动过程中最值的变化规律。 针对不同分类情况，用区间端点或顶点表示最值，建立方程求参数，验证有效性。 4. 含参二次项系数 先讨论 a=0（函数退化为一次函数）的特殊情况，按一次函数最值规律求解。 再讨论 a≠0 的情况，结合上述轴与区间的关系分类求解，最后整合所有解。 【典例】（2025·山东潍坊·中考真题）已知二次函数，自变量与函数值的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … c 2 2 … 下列说法正确的是（    ） A．若，则函数图象的开口向上 B．关于的方程的两个根是和4 C．点在一次函数的图象上 D．代数式的最大值为 【答案】BCD 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格数据，待定系数法求出函数解析式，根据二次函数图象和性质，二次函数的增减性，对称性，逐一进行判断即可． 【详解】解：把代入，得： ，解得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴， ∴抛物线的开口向下，故A选项错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴与的函数值相同，均为， ∴关于的方程的两个根是和4，故B选项正确； ∵， ∴为， ∴在直线上，故C选项正确； ∵， ∴当时，代数式的最大值为；故D选项正确； 故选BCD． 【变式】1．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)若点为该二次函数的顶点， 求二次函数的表达式； 求线段长度的最大值； (2)若该二次函数与轴的一个交点为，且，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，二次函数的最值，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； 正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； （2）令，解得，，又二次函数与轴的一交点为，，所以，即，则有，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：∵为二次函数的顶点， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为； 因为正比例函数经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数表达式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：∵二次函数经过点， ∴，即， 令， 解得，， ∵二次函数与轴的一个交点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴的取值范围是． ►题型02 二次函数增减性 / 1. 核心性质先梳理 先确定开口方向（a>0 向上，a<0 向下）、对称轴、顶点坐标。 再分析最值（顶点处取最值）、增减性（以对称轴为界）、与坐标轴交点（与y轴交于(0,c)，与x轴交点由∆=b2-4ac判断）。 2. 性质应用分题型 图像判定题：由开口方向定a符号，对称轴位置定a、b符号关系，与y轴交点定c符号，结合特殊点（如x=1时y=a+b+c）判断。 最值/范围题：分定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间三类，结合开口方向确定最值点（顶点或区间端点）。 单调性题：比较对称轴与给定区间的位置关系，判断区间内单调情况；由单调性求参数时，转化为对称轴与区间的约束不等式。 交点题：与x轴交点个数由∆判断，交点坐标用求根公式或因式分解求解；与一次函数交点联立方程，转化为一元二次方程根的问题。 3. 含参问题特殊处理 若二次项系数含参，先讨论a=0（函数退化为一次函数）的情况。 a≠0时，再按上述性质分类讨论，最后整合所有情况的解。 【典例】（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【变式】1．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 2．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数的对称性和增减性建立关于的不等式组即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， ∴， ∴， 故选：A． ►题型03 二次函数规律性问题 / 1. 定类型 观察已知点的横、纵坐标规律，判断是顶点式（有最值点）、一般式（无明显特征）还是递推式（连续点关联）。 优先验证是否符合顶点式 y=a(x-h)2+k，简化计算。 2. 求参数 代入已知点坐标，列方程（组）求解未知参数（如 a、h、k 或 a、b、c）。 若为递推规律，先求相邻两项的差值或比值，推导函数表达式。 3. 验规律 用未参与计算的点验证所求函数表达式的正确性。 按规律推导后续点的坐标，确认符合题目要求。 核心技巧： • 若横坐标为连续整数，可计算纵坐标的二阶差，二次函数的二阶差为定值。 • 遇到图形类规律（如抛物线串、几何图形顶点轨迹），先提取图形顶点坐标，再转化为函数规律问题。 【典例】（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 【变式】1．（2024·山东淄博·二模）如图，分别过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与二次函数综合问题，先求出，找到规律再计算即可． 【详解】解：∵过点作x轴的垂线，交直线于点，交抛物线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2023·山东淄博·一模）如图，O为坐标原点，点在y轴的正半轴上，点在函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都是等边三角形，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】分别过作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设，，，，则，，，再根据所求正三角形的边长，分别表示的纵坐标，逐步代入抛物线中，求的值，得出规律进行求解即可． 【详解】解：分别过，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，，由勾股定理则， 同理，， ∴，，， 把，代入中，得，解得，即， 把，代入中，得，解得，即， 把，代入中，得，解得，即， …， 依此类推由此可得， ∴， ∴． 故答案为：． 命题点二 二次函数与方程不等式 ►题型01 二次函数与x轴交点 / 1. 判存在 令 y=0，得到一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）。 计算判别式 ∆ = b2-4ac，∆>0 有2个交点，∆=0 有1个交点，∆<0 无交点。 2. 求坐标 公式法：直接用求根公式，求交点 (x1,0)、(x2,0)。 因式分解法：若方程可分解为 a(x-x1)(x-x2)=0，直接得交点横坐标 x1、x2。 3. 用性质 交点间距：|x1-x2|= 。 韦达定理：x1+x2=-，x1x2=，可快速求与交点相关的代数式值。 【典例】（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数（为常数，且）． (1)求该二次函数图象的顶点坐标以及抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，的最大值与最小值的差为，求该二次函数的表达式； (3)若，对于二次函数图象上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标为，与轴的交点为， (2) (3) 【分析】（1）取，得，消去解一元二次方程求得的值，即可求得抛物线与轴的交点坐标，求出对称轴为，再将代入二次函数求出，即可求得抛物线的顶点坐标； （2）根据开口方向分情况讨论，确定区间内的最大值与最小值，建立方程求解参数即可； （3）分析函数的单调性，找到满足条件的区间关系，建立不等式求解参数范围即可． 【详解】（1）解：取，得， 解得：或， 抛物线与轴的交点为，； 对称轴为，代入得， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的解析式为； 当时，在中， 最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即， ， ， 该二次函数的表达式为； 综上，该二次函数的解析式为或； （3）解：抛物线的对称轴为， 当时，， 由抛物线的对称性知时，， 又，时，， ， 由得且， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数的在特定区间内的最值问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式】1．（2025·山东聊城·二模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)一个二次函数的图象经过B，C，三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O，B不重合）． ①若D点的坐标为，求t的值； ②用t表示和，并求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；②，，的最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性和最值是解题关键． （1）令，求出的值即可得点，的坐标，再根据二次函数的顶点式即可得顶点的坐标； （2）①先求出二次函数的对称轴为直线，再根据点，关于对称轴对称可得，由此即可得； ②设点的坐标为，根据二次函数的对称性可得，则，再求出，的值，然后求出，利用二次函数的性质求最值即可得． 【详解】（1）解：令，则 解得或， 二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）， ，， 二次函数的顶点为， ； （2）解：①由（1）可知，，， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， 点，关于对称轴对称， 解得； ②由题意，设点的坐标为， 这个二次函数的图象经过点，， 这个二次函数的对称轴为直线， 又这个二次函数的图象经过点，， ， ， ， 点在线段上（与点O，不重合）， ，， 又点在线段上（与点O，不重合）， ， ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为， 综上，，，的最大值为． 2．（2025·山东德州·二模）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”，例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的“零点”． (1)请写出下列函数的“零点”：一次函数的“零点”是________，二次函数的“零点”是________； (2)已知二次函数是“零点函数”（a，b，c是常数，）．若，，函数的“零点”是，，且函数与x轴的两个交点之间的距离为8，与y轴的交点在正半轴上，请求出这个函数的解析式； (3)已知抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． ①求m的值． ②点在抛物线上，点在抛物线上，若，且，，求h的值． 【答案】(1)1；2或4 (2)或 (3)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，求二次函数和一次函数与x轴的交点坐标，正确理解“零点函数”和“零点”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个函数中，函数值为0时自变量的值即可得到答案； （2）根据题意可得，是关于x的方程的两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得，进而可得，据此可推出，再由已知条件 可得，据此代入求解即可； （3）①先求出函数的顶点坐标，进而得到函数的顶点横坐标，再根据对称轴计算公式即可求出答案；②根据题意可得，，则可推出，据此结合已知条件求出t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴一次函数的“零点”是1； 在中，当时，解得或， ∴二次函数的“零点”是2或4； （2）解：∵二次函数是“零点函数”，且函数的“零点”是，， ∴，是关于x的方程的两个不相等的实数根， ∵， ∴， ∵函数与x轴的两个交点之间的距离为8， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， 在中，当，， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵与y轴的交点在正半轴上， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为或； （3）解：①∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（m为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1， ∴抛物线的顶点横坐标为2， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； ②∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． ►题型02 由二次函数图象解不等式 / 1. 找交点 令 y=0，求出二次函数与x轴的交点横坐标 x1、x2（x1 ≤x2）。 若无交点（∆<0），直接根据抛物线开口方向判断不等式解集。 2. 看开口 开口向上（a>0）：图象在x轴上方对应 y>0，下方对应 y<0。 开口向下（a<0）：图象在x轴上方对应 y>0，下方对应 y<0，与开口向上时相反。 3. 写解集 y>0：开口向上时解集为 x<x1 或 x>x2；开口向下时为 x1<x<x2。 y<0：开口向上时解集为 x1<x<x2；开口向下时为 x<x1 或 x>x2。 含等号（y≧0/y≦0）时，解集需包含交点横坐标 x1、x2。 【典例】（2025·山东·一模）已知二次函数（b为常数）． (1)若该函数的图象经过点，则： ①b的值为 ； ②当时，x的取值范围为 ． (2)当时（其中m，n为实数，），x的取值范围为．直接写出m，n的值或取值范围． (3)当时，y的最小值为，求b的值． (4)对于一切实数x，若函数值总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）． 【答案】(1)；或 (2)， (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，借助函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）①将点代入函数解析式中，即可求解； ②依据题意，令，，分别求出自变量的范围即可求解； （2）依据题意可得抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称，从而求出值，进而得到二次函数的解析式，再根据自变量的取值范围是，可求出值，最后根据抛物线的顶点求出的范围； （3）先把抛物线化为顶点式，由时，的最小值为，可分两种情况讨论：①当时，在处取得最小值；②当时，在顶点处取得最小值，求的最小值即可求解； （4）将抛物线解析式配方成顶点式，根据最值求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：（1）①二次函数为常数）经过点， ， ， 故答案为：； ②由①知， 当时，则， 解得：或， 当时，则， 解得：， ， 当时，的取值范围有两部分， 或， 故答案为：或； （2）解：由题意得的取值只有一段，可知抛物线上横坐标为，的两点关于对称轴对称， ， ， ， 时，有最小值， ， 当或时，， ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，在处取得最小值， 即， 解得； ②当时，在顶点处取得最小值， 即， 解得：， ， ， ③时，即， 当，时，（不合题意舍去）， 综上所述，或． （4）解：， 当 时，有最小值． 对于一切实数，函数总成立， ． 【变式】1．（2025·山东·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C． (1)如图，直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，于点，若为的中点，求的值． (2)直线与抛物线交于，两点，其中．若且，结合函数图象，探究的取值范围． (3)已知二次函数． ①若该函数的取值恒为非负数，求实数的取值范围． ② 当，该二次函数的增减性不发生变化， 求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形性质等知识，解题的关键是用含的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度、分类讨论思想的应用． （1）根据直线与抛物线在第一象限交于点，交于点，交轴于点，设，且，则，，从而，，而是等腰直角三角形，可得，是等腰直角三角形，即可列，解得或（舍去）； （2）由得或，①若，即，根据且，可得，且，即解得；②若，即，可得：且，即解得； （3）①根据抛物线的性质即可解答； ②根据抛物线的性质即可解答． 【详解】（1）解：在中，令得，令得或3， ，，， 设直线的解析式为，则，解得， 直线的解析式为， ∵直线与抛物线在第一象限交于点D，交于点E，交x轴于点F， 设，且，则，， ∴，， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵时，D与A重合，舍去， ∴； （2）解：由得：或， 若，即， ∵且， ∴，且， 解得； 若，即， 可得：且， 解得． 综上所述，n的取值范围是或． （3）解：①由条件知抛物线落在轴上方或与轴只有唯一一个交点, 设，则, 即， 可得， 设， 得，解得， 则与轴的交点为， 开口向上， 当时，解得． ②由抛物线的对称轴是直线, 由题意可知:或, 解得或． 2．（2025·山东滨州·模拟预测）我们在学习二次函数时，可借助二次函数图象解决一些一元二次不等式的问题，如图是一个二次函数的图象，与轴交点的横坐标分别是和，所以的解集是或；的解集是，所以我们可以借助二次函数图象来解一元二次不等式．例：解不等式：． 第一步：化为一般式：； 第二步：求相应方程的根：，解得，； 第三步：画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象（如图）； 第四步：根据图象得到不等式的解集为． 根据以上方法解决问题： (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)一元二次不等式的解集为 ； (3)一元二次不等式的解集为，则 ， ； (4)已知不等式对实数都成立，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或； (2)任意实数 (3)，； (4)． 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数与不等式的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题中例题即可求解； （）当时，所以无实数根，则与轴无交点，从而求出的范围； （）由一元二次不等式的解集为，则的两个实数根为，，然后根据根与系数的关系得，，求出的值即可； （）分当时，，对实数都成立，当时，设，则，然后根据不等式对实数都成立，所以，最后求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：求相应方程的根：，解得，， 画出相应二次函数的图象：作二次函数的图象，如图， ∴根据图象得到不等式的解集为：或， 故答案为：或；； （2）解：当时， ∴， ∴无实数根， ∴与轴无交点， 作二次函数的图象，如图， ∴的解集为：任意实数， 故答案为：任意实数； （3）解：∵一元二次不等式的解集为，如图， ∴的两个实数根为，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （4）解：当时，，对实数都成立， 当时， 设， ∴， ∵不等式对实数都成立， ∴， ∴， ∴时，无解； 时，， 综上可知：的取值范围是， 故答案为：． ►题型03 利用不等式求自变量或函数值的范围 / 1. 已知函数值范围，求自变量范围 转化：将函数值范围转化为 m≦ax2+bx+c ≦n 型不等式（组）。 求解：先求二次函数与直线 y=m、y=n 的交点，再结合开口方向和对称轴，确定自变量的取值区间。 关键：若给定自变量的限定区间，需同时考虑区间端点的函数值。 2. 已知自变量范围，求函数值范围 定顶点：先求二次函数的对称轴 x= - ，判断顶点是否在自变量的限定区间内。 判单调：根据开口方向，确定函数在区间内的单调性（递增/递减）。 求最值：顶点在区间内时，函数值范围包含顶点纵坐标；顶点不在区间内时，函数值范围由区间两端点的函数值确定。 核心技巧： 口诀：轴在区间内，最值看顶点；轴在区间外，最值看端点。 含参数时，需分类讨论参数对开口方向、对称轴位置的影响。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数与一元二次方程、解一元二次不等式，理解“倍值点”的定义是解题的关键．设倍值点的坐标为，代入到二次函数整理得，由题意得恒成立，则有恒成立，推出，解不等式即可得出的取值范围． 【详解】解：设倍值点的坐标为， 代入到二次函数得，， 整理得：， 二次函数总有两个不同的倍值点， 恒成立， 恒成立， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东临沂·二模）已知，抛物线与轴交于点，过点作轴，与抛物线交于点． (1)若抛物线经过点； ①求点的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求的值； (2)若点，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，增减性，求不等式的解集的方法是关键． （1）①把点代入，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到点的坐标，根据题意，令，代入求自变量的值即可求解；②根据题意得到抛物线开口向下，顶点坐标为，分类讨论：Ⅰ.当时，在对称轴左侧，随增大而增大；Ⅱ.当即时，在对称轴右侧，随增大而减小；根据最值的计算即可求解； （2）根据题意得到，，由得，求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：①抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为：， 抛物线与轴交于点坐标为， 当时，即， 解得：，， 点， ②， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 分以下两种情况讨论： Ⅰ.当时，在对称轴左侧，随增大而增大， 时，为最大值，即， 解得或（舍）； Ⅱ.当即时，在对称轴右侧，随增大而减小， 时，为最大值，即， 解得或（舍）， 综上所述，的值为或； （2）解：点，在抛物线上， ， ， 当时，即， ∴， 即： ∵ 解得：． 2．（2025·山东日照·一模）在二次函数中． (1)若它的图象与轴只有一个交点，求的值和顶点坐标； (2)当时，的最小值为，求出的值； (3)如果，，都在这个二次函数的图象上，且．求的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴的交点，二次函数的最值问题，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由题意可知，，即可算得，然后表示出顶点坐标； （2）分2种情况考虑，一个是对称轴在0和3之间，一个是对称轴在3的右边，分类讨论即可得出答案； （3）由题意可知，对称轴为，那么可知，得到，因图象过，可知该图象也过，①当在对称轴左边时，要使时，需要满足，②当在对称轴右边时，要使时，需要满足，分别解不等式即可． 【详解】（1）解：，它的图象与轴只有一个交点， ， 或， ， ， ， 顶点坐标为； （2）解：， 其对称轴为，其顶点坐标为， 当时，的最小值为， ①当时，时，取最小值，其最小值为， ， ， ， ； ②当时，当时，取最小值，其最小值为， ， ，不符合题意； 综上，； （3）解：，都在这个二次函数的图象上， 对称轴为， 的对称轴为， ， ， ， ， 当时，，对称轴为， 时，， ①当在对称轴左边时，要使时，需要满足， ； ②当在对称轴右边时，要使时，需要满足，即， ； 综上所述，或． ►题型04 由交点求一元二次不等式解集 / 1. 化标准式 将不等式整理为 ax2+bx+c > 0（或 ≧、<、≦）的形式，确保二次项系数 a≠0。 2. 求交点横坐标 令 y=ax2+bx+c=0，解出方程的根 x1、x2（约定 x1≦ x2）。 若方程无实根（∆<0），直接进入步骤4。 3. 判断开口方向 根据 a 的符号确定：a>0 开口向上，a<0 开口向下。 4. 写解集 1)开口向上（a>0）： ax2+bx+c > 0 → x < x1 或 x > x2 ax2+bx+c < 0 → x1 < x < x2 2)开口向下（a<0）： ax2+bx+c > 0 → x1 < x < x2 ax2+bx+c < 0 → x < x1 或 x > x2 含等号时，解集需包含 x1、x2；无实根时，根据开口方向判断解集为全体实数或空集。 【典例】（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 【变式】1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数与一次函数的图象有交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一次函数交点问题，二次函数定义．根据题意由二次函数定义可知，再将二次函数和一次函数联立方程组，再利用即可得到本题答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴， ∵二次函数与一次函数的图象有交点， ∴， 整理得：， ∴，解得：， ∴的取值范围是：且， 故答案为：且． 2．（2025·山东泰安·三模）如图，抛物线对称轴为轴，与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点坐标为，点坐标为，是第四象限内的抛物线上一点，直线，与轴分别交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：的值为定值； (3)若一次函数（为常数，）的图象经过点，且当，该一次函数对应的函数值始终小于，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，得到；得到抛物线的解析式为，把，分别代入解析式解答即可． （2）设点，过点P做轴，垂足为D，利用三角形相似的判定和性质，列比例式解答即可． （3）求出直线经过的定点，联立解析式构造方程组，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称轴为， 故； 故抛物线的解析式为， 把，分别代入解析式得， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）证明：设点， 过点P做轴，垂足为D ∵ P点在第四象限 根据题意，得， ∴， 即 又, ∴， 即 ，是定值． （3）解：， 则一次函数过定点， 设，如下图： 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：； 当，该一次函数对应的函数值始终小于0，只需要当时， ， 则 当时，， 由图像可得，点的横坐标的取值范围为：． 突破一 反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例】已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 【变式】1．已知一次函数与反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧， ∴只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2．二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． 突破二 利用二次函数对称性求最短路径 【典例】如图，抛物线与x轴交于A，B两点，P为抛物线上一点，其横坐标为，C为抛物线对称轴上一动点，连接，，当取得最小值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质，熟练掌握三角函数、二次函数的图象与性质、轴对称的性质及一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，，连接，，当P、B、C三点共线时，取得最小值，然后求得直线的解析式为，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】解：当时，则有， ∴， 由可知：对称轴为直线，当时，则有， 解得：， ∴， 连接，，如图所示： 由轴对称可知：，所以， ∴当P、B、C三点共线时，取得最小值， 设直线的解析式为，则有， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴当时，则有， ∴，即， ∵， ∴； 故选A． 【变式】 1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，过其顶点M的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点P，使得的周长最小，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据题意可得抛物线的解析式为，分析可知当最小时，的周长最小，利用轴对称分别作出点M关于x轴和y轴的对应点，分别求解出直线的解析式，找到最短路线，分别求出的值，比较两种情况取值更小的结果即可． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线，，是抛物线上的一点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴，， 的周长为，且是定值，所以只需最小； 如图，过点，作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，； ，，，，， ∴， 此时的周长为； 同理，如图，过点，作关于x轴对称的点，，连接，与x轴的交点即为所求的点P， 设直线的解析式为， 由点，和点，可得， 解得：， ∴直线的解析式为，当时，，即，， ，，，，， ∴， 此时△PMN的周长为； ，， ∴， ∴点P在y轴上时，的周长最小，此时点P的坐标是，． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－－最短路线问题、二次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、平面直角坐标系中两点距离公式，在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是要在坐标轴上找一点P，所以应该找x轴和y轴上符合条件的点P，要分类讨论比较后再判断． 2．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（b，c为常数，）的顶点为G． (1)若抛物线经过点A，B，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点G作直线，与抛物线相交于点H，求线段的长； (2)若，连接点B和点，分别过点G画直线轴，，在直线上截取（点Q在直线l下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求交点坐标，轴对称解决最短路径，勾股定理，平行四边形的判定，平移等知识，通过构造辅助线，利用轴对称解决最短路径是解题的关键． （1）①将A、B坐标代入求解即可；②求出解析式，进而求出解析式，联立方程组求出H坐标，从而得解； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，易得四边形为平行四边形，得到，作点O关于直线l的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，G共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为N，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入有 解得 ∴抛物线的解析式为； ②如图， 由， ∴点G坐标为， 设直线的解析式为， 把分别代入，得 解得， ∴直线的解析式为， 由可设的解析式为， 把点代入，解得， ∴的解析式为， 由，解得， 故点H的坐标为， 过点H作对称轴的垂线，垂足为点E，则， 在中，， （2）由得， 故点， ∴直线l为， 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点， 连接，则且， ， ， 连接，可得平行四边形，故， 作点O关于直线l的对称点，则， 连接，有， ， 即当点，G，共线时，的值最小，最小值为线段的长， 过点作轴，垂足为N，则，， 由勾股定理知，即， 解得，， ， ∴应舍去， ∴抛物线的解析式为． 突破三 二次函数图象的平移 【典例】在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)的取值范围为或 【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式； ②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值； （2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键． 【变式】1．如图1是某大型文化主题乐园中的过山车项目实景图．过山车的一部分轨道，可以各看成一段抛物线，以点为原点，竖直方向为轴，水平方向为轴建立平面直角坐标系，其图象如图2所示，左侧轨道抛物线的顶点在轴上，与轴交于点，其中米，米（轨道厚度忽略不计）． (1)求左侧过山车轨道所在抛物线的解析式； (2)在轨道（抛物线）距离地面4.5米处有两个点和（点在点的左侧），当过山车运动到点处时，平行于地面向前运动了5米至点，又进入下一个轨道抛物线．已知轨道抛物线的形状与抛物线完全相同（即抛物线由抛物线向右平移得到），求的长． 【答案】(1) (2)的长为15米 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由题意知，，设抛物线的函数解析式为，把代入，求解值，进而可得抛物线解析式； （2）由题意知，当时，，解得，即，，得出，由抛物线的形状与抛物线完全相同，，则抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，，， 设抛物线的函数表达式为． 把的坐标代入，得， 解得， ∴． （2）解：由题意得：， 当时，， 解得：． ∴，． ∴． ∵抛物线的形状与抛物线完全相同． ∴， ∴抛物线可以看作是由抛物线向右平移11个单位长度得到的． ． ，即的长为15米． 2．抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标． (2)如图（1），点为抛物线的顶点，点为抛物线上的点（在点右侧且是非第四象限点），连接交于点 ．当 的值最小时，求点的坐标． (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线 （异于直线）交抛物线 于 ，两点，直线与直线 于点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求出该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)点是在一条定直线上，该直线的解析式为 【分析】（1）分别令、为，解方程即可求得点、、的坐标； （2）如图，过点作轴，交于点，根据，设，，分别根据点的坐标特征以及与所在直线的关系表示出和，进而得出，要使的值最小，即取最大值，根据函数的增减性判断即可，进而求出点的坐标． （3）由题意知抛物线：， 联立方程求解即可得点坐标，根据中点坐标公式可得点坐标．设，，可得直线的解析式，  将点的坐标代入可得． 同理，求得直线的解析式，联立直线和直线的解析式可得点坐标，代入，整理比较系数之间的关系，判定点是否在一条定直线上． 【详解】（1）解：抛物线 交轴于，两点（在的左边），交轴于点， 当时，， ， 当时，得：， 解得或， ，． （2）解：如图，过点作轴，交于点， ， ， 设直线的解析式为，则有， 所以直线的解析式为， 设， ， 为抛物线上的点， 设， 设直线的解析式为，则有， ， ， ， ， 要使的值最小，即取最大值时， ，且随着的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为，此时点与点重合， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得， 点的坐标为， 即当的值最小时，点的坐标为． （3）解：点在一条定直线上．理由如下： 由题意知抛物线：， 联立，解得，， ． 是的中点， ． 设，，直线的解析式为， 则 ， 解得， 直线的解析式为， 直线经过点， ，即． 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，则有： ，解得， 直线的解析式为， 联立 ， 直线与相交于点， ， 解得 ，即， 设点在直线上，则， 整理得，， 比较系数，得 ，解得， 当，时，无论、为何值时，等式恒成立， 点在定直线上． 即点是在一条定直线上，该直线的解析式为． 1．（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【详解】解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． 2．（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（   ） A． B．抛物线开口向上 C．当时，的取值范围为 D．关于的方程的一个解小于 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴，是方程的两个根， ∴，，故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意； ∵的对称轴为直线， 当时，， ∴时，， ∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增小， ∵时，，时，， 故直线与抛物线的交点在轴的上方， ∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识点，灵活利用二次函数的性质和数形结合的思想成为解题的关键． 由函数图象可知其与x轴有2个交点，再根据判别式的意义可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对②进行判断；利用二次函数的最大值为2可对③进行判断；当时，，但从函数图象看不出在函数图象上的位置，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，所以②正确； ∵方程没有实数根，即没有实数根，而二次函数y=ax2+bx+c的最大值为2， ∴，所以③正确． 当时，，但从函数图象看不出在函数图象上的位置，即不能确定的正负，故④错误． 综上，①②③正确，即3个正确． 故选：C． 4．（2025·山东东营·一模）抛物线与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点与二次函数的定义，解答本题的关键是明确二次函数（是常数，）的交点与一元二次方程根之间的关系，决定抛物线与轴的交点个数．根据抛物线与轴有两个不同的交点及二次函数的定义，则且，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意：且， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2025·山东枣庄·模拟预测）已知点，是抛物线上不同的两点，当时，y的取值范围是，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线的对称性与二次函数的最值，解题的关键是利用抛物线的对称性确定对称轴，再结合函数取值范围分析自变量的范围． 先根据点、纵坐标相同，确定抛物线对称轴；代入顶点式得到最小值，再结合的取值范围，求出对应的值，进而确定的范围． 【详解】解：∵点、在抛物线上且纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为，即，得． ∴抛物线为，其最小值为（当时取得）． 当时，，解得或． ∵当时，的取值范围是， ∴需满足． 故答案为：． 6．（2025·山东临沂·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】 【分析】将抛物线化为顶点式求出对应的、的值，由得，解出再代入，即可求解． 【详解】解：抛物线，，， ，， ， 解得：或， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式，二次函数的性质，新定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 7．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． （2）解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． 8．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 9．（2025·山东日照·模拟预测）平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交直线于，求的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位得到新抛物线，在新抛物线上找一点，使得与的面积之比为，请直接写出满足条件的所有点的横坐标，并写出其中一个横坐标的求解过程． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大为，此时点 (3)，，或 【分析】（1）利用交点式即可求解； （2）利用铅垂法，过点作轴交于，设，表示出，，将转化为，最后利用二次函数最值问题求解即可； （3）关键是将与的面积之比为，转换为点到直线和直线的距离相等，再分当点在的角平分线上时；点在的外角平分线上时，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴设抛物线表达式为， ∵抛物线表达式为， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，过点作轴交于， ∵当时，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 代入，， 得， 解得， ∴直线：， 同理得直线：， 设， 则， 对于直线：，当时， 得， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，开口向下， ∴当时，最大为，此时点； （3）过点作于，于， ∵抛物线向右平移2个单位得， ∴， 由与的面积之比为，且， ∴， ∴点到直线和直线的距离相等， ①当点在的角平分线上时，如图： 作的平分线交轴于，交于，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 解得， 即， 同理求出直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； ②当点在的外角平分线上时，如图： 同理可得，直线：， ∴， 解得或， 即点横坐标为或； 综上所述，点横坐标为、、或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法求二次函数解析式，三角函数，二次函数的最值，直线与二次函数交点，三角形角平分线性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质是解题的关键． 10．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的对称轴为直线，与y轴交点坐标为． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点B的横坐标为，点A的横坐标为m．将此抛物线上A、B两点之间的部分（含A、B两点）记为图象G． ①当点A在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； ②设点，点，将线段绕点D逆时针旋转90°后得到线段，连结，当（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2)①m的值为；②或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据对称轴求出b的值，再由抛物线与y轴的交点坐标求出c的值； （2）①首先推导出A、B的坐标为，当时，，求出m的值，当时，，求出m的值，再结合题意确定符合条件的m值即可； ②分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别根据（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点坐标为， ∴， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）①抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， 故抛物线与x轴的交点为,对称轴为直线,顶点坐标为， 由题意得：， 当时，如图1， , 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， ， 解得：m（不合题意，舍去）， 综上所述：图象G的最高点与最低点的纵坐标差为6时，m的值为； ②当时，如图3， ∵，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得：， 整理得：， ∵（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴， ∴； 当时，如图4，（不含内部）和二次函数在范围上的图象没有公共点； 当时，如图5，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∵，，， ∵点F在抛物线上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，如图6，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有两个公共点，（舍去） 综上所述：当或时，（不含内部）和二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为，则下列说法：①；②图象与y轴交于；③；④若方程的两个根为，，且，则，；⑤若二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得，则n一定等于2，正确的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可. 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 【详解】解：∵二次函数可通过配方法转化为顶点式，且图象与x轴的一个交点的横坐标为， ∴，对称轴为直线， ∴, ∴， ∴即， ∴； 故①正确； ∵二次函数，，， ∴， 图象与y轴交于， 故②错误； ∵二次函数可通过配方法转化为顶点式，且过， ∴， ∴ 故③正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故的两个根分别是， ∵方程， ∴， 此即抛物线在的情形， ∵， ∴抛物线满足对称轴的右侧，y随x的增大而增大，对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∵对称轴的右侧，时，函数值为0，时，函数值为1，且函数值增大， ∴； ∵对称轴的左侧，时，函数值为0，时，函数值为1，且函数值增大， ∴； 故④正确； 由二次函数图象上存在一个横坐标为的点，使得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤正确； 故选：C． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）已知抛物线的对称轴为，与x轴正半轴的交点为，其部分图象如图所示，有下列结论：①；②； ③若，，是抛物线上的三点，则；④对于抛物线上任意一点，不等式恒成立．其中正确结论的个数有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线的开口方向可得，由对称轴可得，即得，再根据抛物线与轴的交点位置可得，得到据此可判断①；把代入二次函数解析式可得，进而得，代入代数式计算可判断②；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，由可判断③；结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为，则对于抛物线上任意一点，不等式恒成立，即可作答． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①符合题意；； ∵抛物线经过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②不符合题意；； 由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大， 依题意，， ∴，故③符合题意；； 结合函数图象得，开口方向向上，当时，二次函数有最小值，且为， ∴对于抛物线上任意一点，不等式恒成立． 故④不符合题意； ∴正确的结论有①③， 故选：B． 3．（2025·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，，，是抛物线上任意三点．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，，求的值； (2)若，；当时，；当时，； ①求，的值； ②若，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出的值，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①，； ②或 【分析】（1）将，代入抛物线解析式中，求得后即可根据抛物线的对称轴为直线得解； （2）①结合二次函数的图象和性质推得抛物线的对称轴为，顶点为，且抛物线过点，结合抛物线的对称轴求得，将，代入抛物线解析式即可得到，的值； ②二次函数解析式为，分三种情况分析：当，即时；当，即时；当时，结合二次函数的图象和性质找出不同情况下最大值与最小值，从而求出的值． 【详解】（1）解：将，代入抛物线解析式中， 得， ， 抛物线的对称轴为直线， 故． （2）解：①抛物线中， 该抛物线图象开口向上，有最小值，当时，取最小值， 则结合题意可得，抛物线的对称轴为，顶点为，且抛物线过点， 即， ， 将，代入抛物线解析式可得， ， 即， 解得． ②或． 结合①得，二次函数解析式为， 当时，二次函数取最小值， 当，即时， 内，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍）； 当，即时， ，即时，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍去），； ，即时，，取最大值， ，取最小值， 即， 解得，（舍）； 当时， ，取最大值， ，取最小值， 即， 解得（舍）； 综上或． 【点睛】本题考查的知识点是的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、的最值，解题关键是熟练掌握的图象与性质． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究】 数学兴趣小组成员小亮在研究抛物线的性质时，发现其开口也可向左或向右．如图①，曲线相当于作为自变量的二次函数，抛物线开口朝向轴正半轴方向，在平面直角坐标系中，即为一条开口向右的抛物线，根据书写习惯，一般将其写为．已知抛物线过，与原点三点． （1）请直接写出的解析式； 【延伸拓展】 小亮所在小组的组长小蓝对该问题经过研究后，便寻找更复杂的情况进行学习研究： 如图②，已知抛物线：与直线：有两个交点，，在直线上有一点，连接， （2）请直接写出点A，B的坐标； （3）小亮和小蓝通过资料查阅得到了平面内两点的距离公式如下： 在平面直角坐标系中，设两点，，则A，B两点间的距离公式为： 则当取得最小值时，请求出点的坐标和的长度． 【答案】（1）；（2），；（3）， 【分析】本题考查了二次函数的变形题型，仔细阅读材料是解题关键． （1）设的解析式为，将代入即可求解； （2）由：得：：；由直线：得：联立①②得：，解方程即可； （3）作关于直线的对称点，连接，可得此时取得最小值；求出直线的解析式，得到，即可求解； 【详解】解：（1）设的解析式为， 将代入得：， 解得：； ∴的解析式为； （2）由：得：：； 由直线：得： 联立①②得：， 解得：； ∴或； 即：，； （3）作关于直线的对称点，连接如图所示： ∵ ∴的最小值为线段的长度； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴当时，； 即：； ∵，， ∴； 5．（2025·山东烟台·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交于点，，交轴正半轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴于点，求 的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，点是线段的中点，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，在平移后的抛物线上存在点，使得，请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1) (2)最大值为， (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合、待定系数法、配方法求二次函数最值、等腰直角三角形的性质、三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，求出直线的解析式，证明是等腰直角三角形，得到，设，用代数式表示，进而求最值即可； （3）先求出新抛物线的表达式，分类讨论当点在轴下方和上方时，可分别求出直线的表达式，与抛物线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵抛物线过点， ∴有：， ∴， 代入中，有， 则抛物线的表达式为：； （2）解：过点作轴交于点，则有， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则， 设点，则点， ∴，， 则， 当时，上式有最大值，此时， ∴的最大值为，此时点； （3）解：如图，原抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∵， 相当于抛物线先向左平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度， 则新抛物线的表达式为：， 当点在轴下方时， 设直线交轴于点，过点作于点，此时， ∵为中点，，， ∴， 在中，， ， 当时，为等腰直角三角形， 设， 则， ∴， 则， ∵， ∴； ∴， ∴ ∴， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ， 即点的横坐标为：； 当点在轴上方时，此时， 设直线与轴交于， 在中，， ， 当时，， ∴， ∴， 即， 设直线的解析式为：， 代入，，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立直线和新抛物线： ， 有：， ， ， ， ∴， ∵，舍去， ∴， 即点的横坐标为：； 综上，点的横坐标为：或． 1．（2025·福建福州·模拟预测）已知二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点，，，则下列判断正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵当时，；二次函数（a、b、c是常数，）的图象过点， ∴该函数图象的对称轴为直线， 当时，该函数图象开口向上，，故选项A正确，选项B错误； 当时，该函数图象开口向下，，故选项C错误； 当时，，，则，故选项D错误； 故选：A． 2．（2025·贵州遵义·一模）如图，二次函数的图像经过平面直角坐标系中的、、三个点，则该二次函数解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，特别是二次函数与轴的交点以及对称轴等性质．解题关键在于根据图像确定、的取值范围．由点在轴正半轴，可知取值范围，根据对称轴公式分析对称轴的位置，可知的取值范围，然后逐一比对选项即可． 【详解】由图可知二次函数与轴交于正半轴可知，故B选项、D选项不符合题意； 二次函数对称轴为，故，故A选项不符合题意； C选项：，符合题意． 故选C． 3．（2025·江苏苏州·一模）定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该点称为这个函数图像的“倍值点”，例如，一次函数图像的“倍值点”为．若关于x的二次函数的图像上有唯一的“倍值点”，则 ． 【答案】 【分析】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系．根据题意得出关于的一元二次方程，再判断根的判别式即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，， 整理得，，有两个相等的根， ，且， 整理得，且， 解得：， 故答案为：． 4．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是 （填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 5．（2025·辽宁鞍山·一模）抛物线：与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），将抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线，抛物线与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），抛物线与抛物线相交于点E，连接．若，则m的值是 ． 【答案】2或6 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，等腰三角形的性质和判定，二次函数图象的性质， 先求出点A，B的坐标，即可表示出点C，D的坐标，再分两种情况：当点E在x轴下方时，作轴，可得是等腰直角三角形，然后表示出点E的坐标，最后代入关系式得出答案；当点E在x轴上方时，仿照第一种情况解答即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点，则． 如图，当点E在x轴下方时，过点E作轴于点F， 由抛物线的对称性可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴点F是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵点E在抛物线上， ∴， 解得（不合题意，舍去）； 如图，当点E在x轴上方时，过点E作轴于点F， 同理可得点． ∵点E在抛物线上上， ∴， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值是2或6． 6．（2025·四川乐山·二模）定义：若函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”，点和为一对“对应点”． （1）若函数和函数为“到的对应”，则函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为 ； （2）若函数和为“到的对应”，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点． （1）根据新定义求解即可； （2）设函数上一点为，由新定义可得，函数上一点为，将代入，则，再根据该方程有实数根，则，即可求解的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得，函数的图象上的点在函数的图象上的“对应点”为，即， 故答案为：； （2）设函数上一点为， 由新定义可得，函数上一点为， 将代入，则， 则， ∵函数和函数的图象上分别存在点和点，且满足关系，则称函数和函数为“到的对应”， ∴关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标公式，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，当点C横坐标最小时，顶点M与A重合，代入点C坐标求出a；求的值，即求当时函数值，因为抛物线顶点在直线即上，另设抛物线解析式为，即，当时，，对此函数在范围内求最值，然后求最大值与最小值的差即可． 【详解】解：点横坐标最小时，顶点与点重合， 则抛物线的解析式为：， 此时点，代入上式， ， 解得：， 则， ∵抛物线在移动过程中形状、开口方向都不变， ∴抛物线中， 求的值，即求当时函数值， ∵抛物线顶点在线段上， ∴设抛物线解析式为， ∵设解析式为，代入，， ，解得， ∴解析式为， ∴， 即抛物线解析式为， 当时， ， ∴对称轴为， 当时， 当时，最大，； 当时，值最小，； ． 故答案为：． 8．（2025·辽宁·一模）根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式的解集过程： ①构造函数，画出图象，根据不等式特征构造二次函数，并在下面的坐标系中（见图①）画出二次函数的大致图象（只画出图象即可） ②求得界点，标示所需：当时，求得方程的解为 ； ③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式的解集为 ． (2)利用（1）中求不等式解集的步骤，求不等式的解集： ①构造函数，画出图象； ②求得界点，标示所需； ③借助图象，写出解集． (3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)①见解析；②，；③或 (2)①见解析；②，；③ (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数与不等式（组），数形结合是数学中的重要思想之一． （1）根据抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的开口方向以及抛物线的对称轴作出图象，根据图象写出不等式的解集； （2）参考（1）的解题过程进行计算； （3）参考（1）的解题过程进行计算，但是需要分类讨论：、、三种情况． 【详解】（1）解：①， 则该抛物线与x轴交点的坐标分别是，，且抛物线开口方向向下， 所以其大致图象如图①所示： ②由①知，方程的解为，； ③根据图示知，不等式的解集为或． 故答案为：，；或； （2）解：①构造函数，画出图象，如图②所示； ②当时，方程的解为：，； ③由图（2）知，不等式的解集是：； （3）解：当时，关于x的不等式的解集是或； 当时，关于x的不等式的解集是； 当时，关于x的不等式的解集是全体实数． 9．（2025·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，将正方形纸片沿对角线对折后，点与点重合，打开后，再将正方形纸片折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，且折痕与折痕交于点，展开铺平，连接，且，求的度数； 问题解决 （2）如图2，某公园有一块菱形草坪，，．园区管理员计划在草坪中修建小路和，使得点在上，点在上，且．请问，小路所围成的的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（小路宽度忽略不计） 【答案】（）；（）存在，的面积存在最小值，为 【分析】（）先证明垂直平分线，即得，，进而得，再根据折叠的性质即可求解； （）过点作于，于，可得，可证，可得；过点作于，设，则，，利用勾股定理可得，即得，当最小时，面积最小，可知当时，的面积最小，求出的最小值即可求解． 【详解】解：（）设于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， 由折叠可得，， ∴； （）存在，理由如下： 过点作于，于， ∵， ∴， ∵在菱形中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 过点作于， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当最小时，面积最小， ∴当时，的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，二次函数的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10．（2025·黑龙江·模拟预测）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中抛物线经过点和点，交y轴于C． (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； (2)若P为y轴上的一动点，且的值最大，则点P坐标为______； (3)点E在第二象限抛物线上，且，求出点E的坐标； (4)如图2，连接、，点M在线段上（不与A、B重合），作，交线段于点N，是否存在这样的点M，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (5)点F在x轴下方，，则最小值为______． 【答案】(1)， (2) (3) (4)存在这样的点，使得为等腰三角形；或 (5) 【分析】本题主要考查二次函数的性质、求二次函数解析式、圆周角定理、二次函数与几何综合等知识点，根据所求的最值构造合适的辅助线是解题的关键． （1）将和点代入抛物线求出抛物线解析式，再将解析式化为顶点式即可； （2）首先将的值最大转化为点A，D，P在同一条直线上，再求出直线的解析式即可得到点P的坐标； （3）首先将转化为为的平分线，再构造辅助线，利用直线与抛物线的交点即为点E，求解直线的解析式即可； （4）首先利用得到，此时可以得到的关系式，进而分类讨论为等腰三角形的情况，求解的值即可； （5）首先利用得到点F在圆上，再构造辅助圆求解圆心的坐标和半径，再将最小值转化为点外一点到圆上一点的最短距离，即为，再利用两点间的距离求解的长即可求解最小值． 【详解】（1）解：∵经过点和点， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴点； （2）解：如图，∵在中，， ∴当点A，D，P在同一条直线上时，，此时的值最大， 如图，可设直线的解析式为， ∴代入，，得， ∴解得， ∴点； （3）解：∵，，， ∴，， ∵点E在第二象限抛物线上，且， ∴为的平分线， ∴， 如图，过点D作交的延长线于点F， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∴, ∴， 设直线的解析式为， ∴将，代入得，，解得：， ∴， 联立，解得：（与点B重合，舍去），， ∴； （4）解：存在点M，使得为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ①当时，此时， ∴， ∴； ②当时，∴， ∴， ∴，解得：， ∵，即， 解得：； ③当时，此时点M与点B重合， ∴不符合题意， ∴此情况不存在； ∴的长为1或． （5）解：如图：∵点F在x轴下方，， ∴点F在上，过点A，O，且始终为， 设圆心，半径为r， ∴点Q在的垂直平分线上， ∴，即， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形，即， 解得：或（不合题意舍去）， ∴，， ∵最小值为， ∴， ∴最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $