精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市两校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025-2026学年度（上）九年级期末考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程．通过配方法将方程转化为完全平方形式，从而得出正确选项． 【详解】解： ∴（添加一次项系数一半的平方） 因此，配方结果为， 故选：B． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 3. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形，得底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体． 【详解】解：综合主视图和俯视图，底层最少有3个小立方体，第二层最少有2个小立方体， 因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5个． 故选：C． 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为零且判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和有实数根的条件，先确定二次项系数不为零，再通过判别式求解的取值范围． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有实数根， ∴ 判别式，即， ∴ ，得． 综上，且． 故选：D． 6. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，根据旋转的性质可得，，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：绕点逆时针旋转，得到， ，， ， ． 故选：A． 7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. AD•AB=AE•AC 【答案】D 【解析】 【分析】由DE∥BC，AD：DB=2：1，可得△ADE∽△ABC，推出，，推出，由此即可判断. 【详解】∵DE∥BC，AD：DB=2：1， ∴△ADE∽△ABC， ∴，， ∴， ∴A、B、C正确， 故选D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，掌握几何图形面积的计算与反比例系数的关系是解题的关键． 根据题意，设，则，，根据平行四边形的面积的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：在反比例函数的图象上， ∴设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是， ∴， 解得，， 故选：D ． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，EF为折痕．若AE＝6，则sin∠BFD的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠性质得出△AEF≌△DEF，则∠EDF＝∠A；由三角形内角和定理及平角的知识得出∠CDE＝∠BFD，在直角△ECD中，根据正弦定义即可得出结果． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8， ∴∠A＝∠B， 由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF， ∴∠EDF＝∠A， ∴∠EDF＝∠B， ∴∠CDE+∠BDF+∠EDF＝∠BFD+∠BDF+∠B＝180°， ∴∠CDE＝∠BFD， 又∵AE＝DE＝6， ∴CE＝8﹣6＝2， ∴在直角△ECD中，sin∠CDE＝＝＝， ∴sin∠BFD＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数等知识来解决问题． 10. 如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得出，，再根据正方形的性质得出，接着根据 ，得出，从而可证明，根据全等三角形的性质可得，从而可得，于是可得，从而可判断①；先根据正方形的性质得出，，再根据勾股定理得出，接着求出，设，从而可得，，代入得出，从而可求得，即，从而可判断②；先根据全等三角形的性质得出，再根据旋转的性质得出，从而可得，也就是平分，从而可判断③；根据旋转的性质，对应边的夹角就是旋转角，可判断④． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 而， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故②错误； ∵， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴， ∴， 即平分，故③正确； ∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴与是对应边， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，根据正方形的性质证明，全等的性质和综合（），用勾股定理解三角形，全等三角形综合问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，先求特殊角的三角函数值，，再进行实数的运算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点对称点是，进而得出答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解不等式，由反比例函数的性质，时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得，然后解不等式即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可得所有可能出现的情况有：小明，小红；小明，小华；小红，小华三种情况，则符合题意的只有1种，故概率为． 15. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）成为解题的关键． 根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解题的关键． 由圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为10，点是边上一点，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先通过证得，得到与所成的角为，进而当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为10， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值， 此时为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），全等三角形综合问题，用勾股定理解三角形，根据正方形的性质求线段长，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 19. 矩形中，，对角线交于点，点在上，，连接并延长交矩形一边于点，则的长为_________． 【答案】4或6 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 根据矩形的性质得出．点E在上，时，分点在上和点在上两种情况，分别根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ∵点E在上，时， ∴需分两种情况： ①当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴； ②当点在上时，则， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 综上，的长为4或6． 故答案为：4或6． 20. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，点的坐标规律，熟练掌握等边三角形性质，探究循环规律，解直角三角形，是解决问题的关键．画出示意图，每旋转6次是一个循环组，点的对应点落在第三象限，且，即可得到答案． 【详解】解：由已知可得： 第一次旋转后，在第一象限，， 第二次旋转后，在第二象限，， 第三次旋转后，在轴负半轴，， 第四次旋转后，在第三象限，， 第五次旋转后，在第四象限，， 第六次旋转后，在轴正半轴，， 如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴，而， ∴在第三象限，且， ∴横坐标为，，纵坐标为，， ， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设道路的宽为，根据道路的面积等于长方形地面的面积减去花草的面积建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽为． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、旋转图形、弧长、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称图形和旋转图形的画法是解题关键． （1）先根据轴对称的性质画出点，再顺次连接即可得； （2）先根据旋转的性质画出，再顺次连接即可得，根据点的位置写出它的坐标即可得； （3）先利用勾股定理可得的长，根据旋转的性质可得，再利用弧长公式计算即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，点旋转到点的过程中所经过的路径长为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴点旋转到点的过程中所经过的路径长为． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 【小问1详解】 解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 24. 如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵为外接圆的直径， ∴， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键． 连接，先根据圆周角定理可得，根据圆的切线的性质可得，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得证． 【详解】略 25. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°， ∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°， ∴∠BPA＋∠DPC＝120° ∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°， ∴∠DPC＋∠PDC＝120°， ∴∠BPA＝∠PDC， ∴△ABP∽△PCD ； （2）3． 【解析】 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，证明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定义与三角形的内角和定理证明：∠BPA＝∠PDC，从而可得结论； （2）由，先求解，设，再利用相似三角形的性质可得：，列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）∵2BP＝3CD，且BP＝1， ∴， ∵△ABP∽△PCD ， 设，则， ∴ 经检验：是原方程的解， 所以三角形的边长为：3． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键． 26. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点C的坐标； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点C坐标为 （2） （3）存在点P或或，使是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）先求出方程的解，可得，，再由，可得，然后根据四边形ABCD是平行四边形，可得CD=7，，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，过点A作交CB的延长线于点F，即可求解； （3）分三种情况讨论：当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F；当时；当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，即可求解． 【小问1详解】 解：，解得，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴点C坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，过点A作交CB的延长线于点F，如图， ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：存在点P，使是等腰三角形，理由如下： 根据题意得：当点P在CD上运动时，可能是等腰三角形， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠BAD，BC=AD=5， ∴， ∵点M为BC的中点， ∴， 当CP=PM时，过点M作MF⊥PC于点F， ∴， 设PC=PM=a，则PD=7-a，， ∵PF2+FM2=PM2， ∴，解得：， ∴， ∴此时点P； 当时， ∴， ∴此时点P； 当PM=CM时，过点M作MG⊥PC于点G，则， ∴， ∴PD=7-PC=4， ∴此时点P； 综上所述，存在点P或或，使是等腰三角形 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）九年级期末考试数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由几个大小相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数最少为（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 4. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 顶点坐标是 C. 函数图象与y轴交于正半轴 D. y有最大值，最大值为 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，把绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列结论中错误的是（　　） A. B. C. D. AD•AB=AE•AC 8. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是，则的值是（ ） A. 4 B. 1 C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的D处，EF为折痕．若AE＝6，则sin∠BFD的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 计算：________． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是______． 13. 反比例函数的图象上有两点，且，则的取值范围是______． 14. 学校要从小明、小红与小华三人中随机选取两人作为升旗手，则小明和小红同时入选的概率是_________． 15. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是________．（写出一种情况即可） 16. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是______． 17. 把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是__________． 18. 如图，正方形的边长为10，点是边上一点，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则线段长度的最小值是_______． 19. 矩形中，，对角线交于点，点在上，，连接并延长交矩形一边于点，则的长为_________． 20. 在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为，每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，依次类推，则点的坐标为_______． 三、解答题（共60分） 21. 如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上花草，要使花草的面积为，求道路的宽． 22. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标是． （1）请画出关于轴对称的； （2）将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中所经过的路径长． 23. 如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． （1）求点、点的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 如图，为外接圆的直径，且与相切于点．求证：． 25. 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1． （1）求证△ABP∽△PCD； （2）求△ABC的边长． 26. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点C的坐标； （2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $