1.2.2 完全平方公式（十大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

1.2.2 完全平方公式 【题型一】 完全平方公式的识别 【例1】．下列各式能用乘法公式进行计算的是 （填序号）． ① ② ③ ④ 【变式1-1】下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【题型二】直接利用完全平方公式计算 【例2】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【变式2-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【变式2-3】计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 【题型三】利用完全平方公式化简求值 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【变式3-1】先化简，再求值：，其中． 【变式3-2】先化简， 再求值： 其中． 【变式3-3】（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【题型四】利用完全平方公式简便计算 【例4】运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【变式4-1】利用完全平方公式进行简便运算： （1）（ ） ； （2）（ ） ． 【变式4-2】．计算的值为 ． 【变式4-3】简便计算： ． 【题型五】完全平方式中求参数 【例5】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】若是一个完全平方式，则 ． 【变式5-2】（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【变式5-3】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【题型六】完全平方公式的实际应用 【例6】如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【变式6-1】如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（    ） A．4 B．9 C．13 D．16 【变式6-3】【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 【题型七】乘法公式的综合计算 【例7】计算： (1) (2) (3) 【变式7-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）． 【变式7-2】计算： （1）（2a+b﹣3c）（2a﹣b+3c）； （2）（a﹣2b+3c）2． 【变式7-3】运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【题型八】通过完全平方公式变形求值 【例8】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【变式8-2】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【变式8-3】通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【题型九】完全平方公式几何意义 【例9】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【变式9-1】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则 ． 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【变式9-2】数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【变式9-3】【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【题型十】利用完全平方公式求最值、比较大小 【例10】已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 【变式10-1】阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【变式10-2】观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【变式10-3】“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 3实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 4．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：；    公式②：；公式③：    公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 5 【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.2 完全平方公式 【题型一】 完全平方公式的识别 【例1】．下列各式能用乘法公式进行计算的是 （填序号）． ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的特征对各式进行判断，即可作答． 【详解】解： ① ； 故①能用平方差公式进行计算，符合题意； ② ； 故②不能用乘法公式进行计算，不符合题意； ③ ， 故③能用完全平方公式进行计算，符合题意； ④ ． 故④能用平方差公式进行计算； ∴能用乘法公式进行计算的是①③④， 故答案为：①③④， 【变式1-1】下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括平方差公式和完全平方公式，需判断各选项是否符合公式结构． 【详解】A、， 两括号中的项分别为和，既无相同项也无相反项，无法直接应用乘法公式，需逐项展开； B、， 将第二个括号提取负号，得：， 符合完全平方公式，可用乘法公式计算； C、， 第二个括号可整理为，但两括号中的项与无相同或相反项，无法直接应用乘法公式； D、 两括号中的项分别为和，无相同项或相反项，需逐项展开，无法直接应用乘法公式． 故选：B． 【变式1-2】下面的多项式中，适用于完全平方公式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】 江苏省连云港市海州区凤凰学校2024-2025学年七年级下学期第一次段考数学试卷 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用完全平方公式进行判断即可得出答案． 【详解】解：， 适用于完全平方公式． 故选：D． 【变式1-3】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【来源】上海市普陀区2025-2026学年七年级上学期数学期中考试试卷 【知识点】整式的判断、整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 【题型二】直接利用完全平方公式计算 【例2】下列等式一定成立的是（　　） A．（x+y）2＝x2+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝（y﹣x）2 【答案】D 【解答】解：A．（x+y）2＝x2+2xy+y2，因此选项A不符合题意； B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，因此选项B不符合题意； C．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2＝（x+y）2，因此选项C不符合题意； D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝（y﹣x）2，因此选项D符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了完全平方式，计算时注意不要漏项．根据逐项进行计算判断即可． 【详解】A、，故原选项计算错误，不符合题意；     B、 ，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意；   D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】运用完全平方公式计算： （1）（4m+n）2； （2）； （3）（﹣a﹣b）2； （4）（﹣a+b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（4m+n）2 ＝16m2+8mn+n2； （2） ＝y2﹣y； （3）（﹣a﹣b）2； ＝a2+2ab+b2； （4）（﹣a+b）2 ＝a2﹣2ab+b2． 【变式2-3】计算： （1）（x﹣6）2． （2）（﹣2x﹣y）2． （3）（﹣p+3q）2． （4）[（2m+n）（2m﹣n）]2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝x2﹣2•x•6+62 ＝x2﹣12x+36； （2）原式＝（﹣2x）2+2•（﹣2x）•（﹣y）+（﹣y）2 ＝4x2+4xy+y2； （3）原式＝（﹣p）2+2•（﹣p）•3q+（3q）2 ＝p2﹣6pq+9q2； （4）原式＝[4m2﹣n2]2 ＝16m4﹣8m2n2+n4． 【题型三】利用完全平方公式化简求值 【例3】先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【知识点】运用平方差公式进行运算、合并同类项、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，平方差公式，完全平方公式计算整式的乘法，然后合并同类项，化到最简后，再把，代入求值计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式3-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【难度】0.85 【来源】陕西省榆林市第六中学共同体学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键；因此此题可根据乘法公式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【变式3-2】先化简， 再求值： 其中． 【答案】， 【难度】0.65 【来源】河南省周口市郸城县等校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． 先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式3-3】（1） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）;（2）； 【难度】0.65 【来源】河北省唐山市丰南区四校2025-2026学年八年级上学期12月联考数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算、含乘方的有理数混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分配律运算即可； （2）利用完全平方公式，平方差公式进行化简，再代入，运算即可． 【详解】（1） 原式 ； （2） 原式 ； 把，代入可得： ． 【题型四】利用完全平方公式简便计算 【例4】运用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1)9991 (2)10000 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年人教版八年级数学上册16.3周测卷 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式4-1】利用完全平方公式进行简便运算： （1）（ ） ； （2）（ ） ． 【答案】 100 1 10201 10 0.2 96.04 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式，进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【变式4-2】．计算的值为 ． 【答案】1 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算，掌握“”是解题的关键． 把原式化为：，再利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】解： = ． 故答案为： 【变式4-3】简便计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式，熟练运用乘法公式是解题的关键． 根据乘法公式即可进行简便运算． 【详解】解： ． 故答案为： ． 【题型五】完全平方式中求参数 【例5】下列二次三项式是完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方式的判断，若一个多项式可以表示为（其中、可以是单项式、多项式或常数），则这个多项式称为完全平方式．根据完全平方式的特征逐项判断即可． 【详解】解：根据完全平方式的特征，可得： A、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； B、，满足完全平方式的特征，是完全平方式，符合题意； C、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； D、不满足完全平方式的特征，不是完全平方式，不符合题意； 故选：B ． 【变式5-1】若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，即完全平方公式：．此题解题的关键是利用平方项求乘积二倍项． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-2】（1）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． （2）若多项式是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 36 【分析】此题考查了完全平方式，利用完全平方公式的结构特征判断即可得解． 【详解】解：（1）∵多项式是一个完全平方式， ∴， （2）∵是完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36，． 【变式5-3】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则_______； (2)如果是一个完全平方式，则k的值为_______； (3)若x满足，求的值． 【答案】(1)6 (2)5或 (3)60 【分析】本题考查完全平方公式的应用，包括完全平方公式的展开与变形，完全平方公式的结构特征，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键． （1）利用完全平方公式将展开式，利用已知条件即可求出； （2）根据完全平方公式的形式，将整理成的形式，即可求解k的值； （3）先求出的值，再使用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 解得； 故答案为：6； （2）解：∵是一个完全平方式， ∴即， 即， 当，解得， 当，解得， ∴k的值为5或； 故答案为：5或； （3）解：∵， ∵， 又∵， 即， ∴， 解得． 【题型六】完全平方公式的实际应用 【例6】如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是（   ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】C 【难度】0.65 【来源】江西师范大学附属中学、滨江分校等校联考2025-2026学年九年级上学期12月素养测试数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式6-1】如图1，一块边长为a的正方形纸板，先将其四个角各剪去一个边长为b的小正方形，然后将其折成如图2所示的无盖的长方体盒子，则这个长方体盒子的底面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】福建省泉州市永春县坑仔口中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知完全平方公式的应用．根据长方体的底为边长为的正方形，即可求解． 【详解】解：这个长方体盒子的底面积为， 故选：C． 【变式6-2】如图1，有三种卡片，A种纸片是边长为的正方形，B种纸片是边长为的正方形，C种纸片是长为、宽为的长方形．将不同纸片“叠”在一起，可得面积之差．图2是A种纸片与C种纸片叠放在一起，图3是C种纸片与B种纸片叠放在一起，其阴影部分的面积分别为，，则（    ） A．4 B．9 C．13 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山西省朔州市部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，列代数式，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，得整理得，即可作答． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴ 则， 即， ∴． 故选：B． 【变式6-3】【问题情境】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如：由图1可得到． 【活动猜想】 （1）写出由图2所表示的数学等式：_______； 【类比探究】 （2）①根据上面的等式，如果将看成，则 _______（结果化简）； ②若，求的值． 【拓展运用】 （3）已知实数a、b、c满足以下条件：，，且，求m的值． 【答案】（1）；（2）①；② 9 或 25 ；（3） 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用两种方法分别用代数式表示图2的面积即可； （2）①根据（1）的结论直接写出结果即可；②根据，求出的值，再代入计算即可； （3）将两个等式相加得到，进而得到，即进行计算即可． 【详解】解：（1）图2是边长为的正方形，因此面积为，拼成图2的九个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）①， 故答案为：； ②∵，即， ， ， 当时，， 当时，， 所以的值为 9 或 25 ； （3）， ， 即， ， 又， ， ， ． 【题型七】乘法公式的综合计算 【例7】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】天津市第二十五中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 【变式7-1】计算． (1)； (2)； (3)； (4)（简便计算）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【来源】海南省海口市龙华区第6学区2025—2026学年上学期八年级数期中考试题 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算、计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查整式的运算和简便计算． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项； （3）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号合并同类项； （4）利用平方差公式进行简便计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【变式7-2】计算： （1）（2a+b﹣3c）（2a﹣b+3c）； （2）（a﹣2b+3c）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝[2a+（b﹣3c）][2a﹣（b﹣3c）] ＝4a2﹣（b﹣3c）2 ＝4a2﹣b2+6bc﹣9c2． （2）原式＝[（a﹣2b）+3c]2 ＝（a﹣2b）2+6c（a﹣2b）+9c2 ＝a2﹣4ab+4b2+6ac﹣12bc+9c2． 【变式7-3】运用乘法公式计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，即可作答． （2）根据平方差公式得，再结合完全平方公式进行展开，合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型八】通过完全平方公式变形求值 【例8】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式8-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 【变式8-2】有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为（    ）    A．9 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【难度】0.94 【来源】广西壮族自治区桂林市灌阳县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据图形列出a、b的关系式求解即得． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：，即， 由图乙得：，整理得， 所以 所以． 即正方形A、B的面积之和为13． 故选D． 【变式8-3】通过第十六章的学习，如图1可以得到：；如图2可以得到：．现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形． (1)在图3中，根据图中条件，猜想并验证与之间的关系：_________（用含的代数式表示出来）； 【解决问题】 (2)①若，求的值； ②当时，求的值； 【拓展提升】 (3)如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和正方形，延长和交于点，那么四边形为长方形．已知，图中阴影部分的面积为，求两个正方形的面积之和：． 【答案】(1) (2)①的值为或；②的值为 (3) 【难度】0.4 【来源】安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据图3是一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据图形面积公式可得出与之间的关系； （2）①由完全平方公式可得，将代入求值即可；②首先假设，，则，且，，根据（1）中的结论可求出的值； （3）假设，，则，，，由完全平方公式可得，据此求出的值． 【详解】（1）解：观察图像，一个边长为的大正方形，由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成，根据面积公式， 可得, 即． （2）解：①∵，结合，代入公式， 得， ∴的值为或； ②假设，， 则，且，， 由（1）中， 可得， 即． （3）解：假设，，则，，， ∵， 得， 故，． 【题型九】完全平方公式几何意义 【例9】综合与实践 主题：从形的角度探究数量关系． 活动：如图1，是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后拼成一个大正方形(如图2，阴影部分是一个小正方形)． 任务1：用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积S，完成下面的填空(列式即可)：由大正方形的面积减去4个小长方形的面积可得 ；由正方形的面积公式可得 ； 任务2：写出三个代数式之间的等量关系式 ． 任务3： 已知， 请利用发现的结论， 求的值． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【难度】0.85 【来源】湖北省襄阳市老河口市2025--2026学年八年级上学期数学期中试题 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 对于任务1，根据面积公式计算可得答案； 对于任务2，根据面积相等可得答案； 对于任务3，将数值代入计算即可得出答案． 【详解】解：任务1：大正方形的面积减去4个小长方形的面积；正方形的面积； 故答案为：；； 任务2：根据面积相等得； 故答案为：； 任务3：由上面的结论可知， ∵， ∴原式， ．     所以． 【变式9-1】“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形，长宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式 ． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若，，则 ． 【类比应用】 （3）若，求的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点在线段上，四边形、都是正方形，连接、、．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求的长度． 【答案】（1）（2）32（3）80（4）6 【难度】0.65 【来源】黑龙江省哈尔滨市剑桥三中学校2025-2026学年上学期11月月考八年级数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，算术平方根等知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）从“整体”与“部分”分别用代数式表示图形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据整体代入计算即可； （3）利用完全平方公式的变形进行解答即可； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，由题意可得，，进一步求出，，根据求出的值，最后根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为， 可以验证公式． 故答案为：． （2）由条件可知， 当，时，． 故答案为：32． （3）由条件可知 ； （4）设正方形的边长为m，正方形的边长为n， 则，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【变式9-2】数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)如图-1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图-2的形状拼成一个正方形．请根据图-2中阴影部分的面积，写出下列三个代数式，，之间的等量关系式：___________； (2)已知，，求下列各式的值： ①；    ②； (3)如图-3，边长为5的正方形中放置两个长为、宽为的长方形（其中，），且每个长方形的周长是12，面积是8，则图中阴影部分的面积___________． 【答案】(1) (2)28，20 (3)11 【难度】0.65 【来源】海南省海口市龙华区第6学区2025—2026学年上学期八年级数期中考试题 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用正方形的面积公式和分割法求面积，两种方法表示出阴影部分的面积即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）由题意可知，，则，结合已知条件求解即可． 【详解】（1）阴影部分是边长为的正方形，面积为． 阴影部分的面积也可表示为大正方形面积四个小长方形面积， 即， ∴等量关系为； 故答案为：； （2）∵， ∴①， ②； （3）解：一个长方形的周长为，面积为8， ，， ， ． 故答案为：11． 【变式9-3】【阅读理解】 借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历“以数解形”“以形助数”-数形结合的思想方法．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算图阴影部分的面积说明了变形后的公式：． （1）根据上面的信息回答：若，则的值为_______； 【知识延伸】 若满足，求的值．我们可以作如下解答：设，则，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答问题： （2）若满足，求的值； 【拓展探索】 （3）如图，将正方形叠放在正方形上，与相交于点，与相交于点，重叠部分是面积为8的长方形，延长线段分别交，于点，若四边形和四边形都是正方形，，求正方形的边长． 【答案】（1）20；（2）；（3）6 【难度】0.4 【来源】河南省驻马店市泌阳县部分学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据代入计算即可； （2）设，，由题意得，，由代入计算即可； （3）设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1），，而， ， 故答案为：20； （2）设， 由题意得， ， ， ， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意知， ，即， 长方形的面积为8， ， ， ， ， 正方形的边长为6． 【题型十】利用完全平方公式求最值、比较大小 【例10】已知数x、y、z满足，则的最大值是 ． 【答案】52 【难度】0.15 【来源】上海市复旦大学第二附属学校2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将目标表达式展开，利用约束条件化简，转化为求交叉项的最小值，通过平方和公式确定其范围，进而得到最大值． 【详解】解：设， 则 ， 由，得， ， 若求的最大值，即求的最小值， ， ， ， ， 即的最大值为， 故答案为：． 【变式10-1】阅读材料：教科书中提到和这样的式子叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题． 例如：求代数式的最小值． ， 当时，代数式有最小值． 结合以上材料解决下面的问题： (1)如果（    ）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． (2)当x为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1)9 (2)当为4时，多项式有最小值，最小值是 (3)当时，多项式有最小值，最小值是2 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的非负性是解题的关键． （1）根据完全平方式的定义，添加常数项，把原式配成完全平方式即可； （2）仿照示例，把变形为，从而得到结果； （3）根据题意，把原式变形为，可得到结果． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：， ， ∴当时，代数式有最小值， 答：当为4时，多项式有最小值，最小值是； （3）解： ， ， ， ∴当时，多项式有最小值，最小值是2． 【变式10-2】观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 【答案】(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 【难度】0.4 【来源】辽宁省大连市高新技术产业园区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 【变式10-3】“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)3；5； (2)当时，多项式有最小值是21； (3)，当时，S有最小值，最小值是4． 【难度】0.65 【来源】四川省达州市达川区达州中学联盟2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； （2）解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； （3）解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 1．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】 山东省潍坊市安丘市2024-2025学年七年级下学期第二次月考数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 已知，通过平方等式并展开，结合代数恒等式即可求出的值． 【详解】解：将已知等式两边平方，得 ， 即， ， ∴． 故选：B． 2．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【难度】0.65 【来源】河南省开封市杞县高中实验学校2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 3实数a，b满足，则ab的最小值是 ，令，则S的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.15 【来源】江苏省南通市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的非负性、整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式的变形及整式化简方法是解题的关键． 先利用完全平方公式的非负性确定的取值范围，进而求出的最小值；再对进行化简，结合的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：①∵ ， ∴ ， ∵ ，即， ∴ ，即， 解得， ∵ ，即， ∴ ，即，解得， ∴ 的取值范围为，故的最小值为， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 当时，； 当时，， ∴ 的取值范围为， 故答案为：，． 故选：A． 4．（1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）公式①：；    公式②：；公式③：    公式④：．图1对应公式 ，图3对应公式 ． （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①已知，，求的值； ②已知，求的值． （3）如图5，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，若，正方形和正方形面积和为，直接写出阴影部分的面积 ．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） 【答案】（1）①④；（2）①4；②12；（3）14 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，单项式乘多项式，掌握多项式乘多项式，单项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据各个图形中面积之间的关系可得答案； （2）①利用（1）中的公式④即可得解； ②利用（1）中的公式③和公式④即可得解； （3）设，，则有，，利用（1）中的公式④求出的值，即可得解； 掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：（1）图1，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看三个长方形的面积和为， ∴，故图1对应公式①； 图2，“整体”上看，是长为，宽为的长方形，因此面积为，从“部分”上看四个长方形的面积和为， ∴，故图2对应公式②； 图3，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，故图3对应公式④； 图4，“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，从“部分”上看四个部分的面积和为， ∴，即，故图4对应公式③； 故答案为：①；④； （2）①把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②把两边平方得：， ∴，即， ∴； （3）设，，则有，， 把两边平方得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 5 【方法简介】 “数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可以将抽象的数学知识变得直观且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【初步感知】 如图1，利用图形的几何意义推证完全平方公式：． 解：∵图是由两个长方形和两个正方形组成的一个大正方形． ∴这个图形的面积可以表示为：或 ∴．这就验证了两数和的完全平方公式． 【深入研究】 如何利用图形几何意义的方法推证：． 如图，表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：，而，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． 【理解运用】 (1)请你类比上述推导过程，利用图形几何意义的方法计算：的值；（要求画出自己构造的图形，并直接写出结果）． (2)______． (3)图3是由棱长为的小正方体搭成的大正方体，则大小正方体一共有多少个？ 为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是，，，的正方体的个数，再求总和． 解：棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 棱长是的正方体有：个，棱长是的正方体有：个， 然后利用（2）的结论，可得：______=______． (4)图4是由棱长为的小正方体组成的大正方体，则大小正方体共有______个． 【答案】(1)图形见解析，； (2)； (3)，； (4) 【难度】0.4 【来源】吉林省蛟河市2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【知识点】图形类规律探索、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了数形结合思想、立方和公式的推导与应用，熟练掌握“利用几何图形的面积/体积表示代数运算，归纳立方和的规律”是解题的关键． （1）类比已知推导方法，构造图形表示、、，通过大正方形面积得出和； （2）根据前面规律归纳的表达式； （3）分类统计不同棱长的正方体个数，利用（2）的结论计算总和； （4）先确定大正方体棱长，再用（2）的结论计算所有正方体个数． 【详解】（1）解：构造图形如图， 表示个的正方形，即：，表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，就可以表示个的正方形，即：， 表示个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，与恰好可以拼成个的正方形，因此：，，，，就可以表示个的正方形，即：， 而，，，，，，，，恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． （2）解：∵ ， ， ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵ 棱长1的正方体：个，棱长2的正方体：个，棱长3的正方体：个，棱长4的正方体：个， ∴ ， ∴ 故答案为：，； （4）解：设图4大正方体棱长为，则大小正方体个数为，由（2）可知大小正方体共有（个）， 1 / 10 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