专题02乘法公式同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版七年级数学下册

专题02乘法公式同步讲义 · 理解并掌握平方差公式与完全平方公式的推导过程，明确公式的结构特征。 · 能准确判断式子是否符合公式结构，熟练运用公式进行整式乘法计算与化简。 · 会对公式进行逆用与变形，解决简便运算、求值、说理等综合问题。 · 能结合几何图形理解公式意义，培养符号意识、运算能力与推理能力。 · 养成先观察结构、再选择公式、最后规范书写的解题习惯。 必备 知识点梳理 1.核心公式(必备) 2.公式结构特征 3.重要变形与逆用(高频考点) 4.几何意义 5.常用解题步骤 6.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.运用平方差公式进行运算 2.平方差公式与几何图形 3.运用完全平方公式进行计算 4.完全平方公式在几何图形中的应用 5.通关对完全平方公式变形求值 6.求完全平方式中的字母系数 分层强化 巩固专练 填空题(6题) 单选题(6题) 解答题(4题) 【知识点01.核心公式(必备)】 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 结构：两数和 × 两数差 = 两数平方差 关键：相同项 ² − 相反项 ² 2. 完全平方公式 和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方 【知识点02.公式结构特征】 平方差：两项 × 两项，一组同号、一组异号 完全平方：二项式的平方，结果三项式（首 ²+ 尾 ²±2 首尾） 【知识点03.重要变形与逆用(高频考点)】 1. 完全平方变形 a2+b2=(a+b)2−2ab a2+b2=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab (a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2) 2. 公式逆用 a2−b2=(a+b)(a−b) a2±2ab+b2=(a±b)2 【知识点04.几何意义】 平方差：大正方形减小正方形面积 = 长方形面积 完全平方：大正方形面积 = 四个小图形面积和 【知识点05.常用解题步骤】 1.先观察式子结构 2.判定用平方差还是完全平方 3.找准a、b 4.代入公式计算 5.合并同类项、化简结果 【知识点06.易错点警示】 1.完全平方结果一定是三项，别漏掉2ab 2.符号易错：(−a−b)2=(a+b)2；(b−a)2=(a−b)2 3.系数要平方：(2x)2=4x2，不是2x2 4.混合运算：先公式，再去括号，最后合并 【知识点07.常见题型】 1.直接用公式计算 2.化简求值 3.简便运算（凑整用公式） 4.公式变形求a+b、a−b、ab、a2+b2 5.几何面积问题 【题型1.运用平方差公式进行运算】 【典例】若，，则( )． 【跟踪专练1】已知，同时满足与，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】观察：； ， 那么，________． 【跟踪专练3】若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是，那么阴影部分的面积是_______． 【跟踪专练1】从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【跟踪专练3】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【题型3.运用完全平方公式进行运算】 【典例】计算的值为______． 【跟踪专练1】要使等式成立，代数式M应是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是完全平方式，则的值为______． 【跟踪专练3】设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【题型4.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 【跟踪专练1】我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是(        ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在线段上取一点，分别以，为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和．若，，且，，则图中阴影部分的面积为_______． 【跟踪专练3】现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【题型5.通关对完全平方公式变形求值】 【典例】若x和y为实数，且满足，则的值为_____． 【跟踪专练1】若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【跟踪专练2】定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若或，则，其中正确结论的序号是______． 【跟踪专练3】已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或 ② ③若，，则 ④若，则 ⑤代数式的最小值为2022 以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 【典例】若是完全平方式，则的值是______． 【跟踪专练1】若 是完全平方式，则 m 的值等于（    ） A．9 B．5或 C．9或 D．5 【跟踪专练2】已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【跟踪专练3】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 填空题 1．已知，则M与N的大小关系是________ 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 3．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 4．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为_____（用含的式子表示） （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是_____． 5．已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 6．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有______个． 单选题 7．若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 9．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．下列各式计算错误的有（　　）        A．个 B．个 C．个 D．个 11．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 12．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 解答题 13．先化简，再求值：，其中，． 14．[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 15．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 16．【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02乘法公式同步讲义 · 理解并掌握平方差公式与完全平方公式的推导过程，明确公式的结构特征。 · 能准确判断式子是否符合公式结构，熟练运用公式进行整式乘法计算与化简。 · 会对公式进行逆用与变形，解决简便运算、求值、说理等综合问题。 · 能结合几何图形理解公式意义，培养符号意识、运算能力与推理能力。 · 养成先观察结构、再选择公式、最后规范书写的解题习惯。 必备 知识点梳理 1.核心公式(必备) 2.公式结构特征 3.重要变形与逆用(高频考点) 4.几何意义 5.常用解题步骤 6.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.运用平方差公式进行运算 2.平方差公式与几何图形 3.运用完全平方公式进行计算 4.完全平方公式在几何图形中的应用 5.通关对完全平方公式变形求值 6.求完全平方式中的字母系数 分层强化 巩固专练 填空题(6题) 单选题(6题) 解答题(4题) 【知识点01.核心公式(必备)】 1. 平方差公式 公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 结构：两数和 × 两数差 = 两数平方差 关键：相同项 ² − 相反项 ² 2. 完全平方公式 和的平方：(a+b)2=a2+2ab+b2 差的平方：(a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方 【知识点02.公式结构特征】 平方差：两项 × 两项，一组同号、一组异号 完全平方：二项式的平方，结果三项式（首 ²+ 尾 ²±2 首尾） 【知识点03.重要变形与逆用(高频考点)】 1. 完全平方变形 a2+b2=(a+b)2−2ab a2+b2=(a−b)2+2ab (a+b)2−(a−b)2=4ab (a+b)2+(a−b)2=2(a2+b2) 2. 公式逆用 a2−b2=(a+b)(a−b) a2±2ab+b2=(a±b)2 【知识点04.几何意义】 平方差：大正方形减小正方形面积 = 长方形面积 完全平方：大正方形面积 = 四个小图形面积和 【知识点05.常用解题步骤】 1.先观察式子结构 2.判定用平方差还是完全平方 3.找准a、b 4.代入公式计算 5.合并同类项、化简结果 【知识点06.易错点警示】 1.完全平方结果一定是三项，别漏掉2ab 2.符号易错：(−a−b)2=(a+b)2；(b−a)2=(a−b)2 3.系数要平方：(2x)2=4x2，不是2x2 4.混合运算：先公式，再去括号，最后合并 【知识点07.常见题型】 1.直接用公式计算 2.化简求值 3.简便运算（凑整用公式） 4.公式变形求a+b、a−b、ab、a2+b2 5.几何面积问题 【题型1.运用平方差公式进行运算】 【典例】若，，则( )． 【答案】 【分析】利用平方差公式对进行因式分解，代入已知条件计算即可得到的值； 【详解】解：根据平方差公式可得： ， 将，代入上式得： ， 等式两边同时除以得：． 【跟踪专练1】已知，同时满足与，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平方差公式得到，再代入求解即可得到答案． 【详解】解：， ∵，， ∴． 【跟踪专练2】观察：； ， 那么，________． 【答案】 【分析】通过乘以构造平方差形式，然后连续使用平方差公式简化计算即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 【详解】解：∵， ∴ 则． 故选：D． 【题型2.平方差公式与几何图形】 【典例】在一个艺术工作室中，设计师正在进行一幅拼图作品的创作．他使用了大小不同的正方形纸片来构建图案．如图，其中有一个大正方形和一个小正方形，当把它们组合在一起时，设计师发现大正方形与小正方形的面积之差是，那么阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由大正方形与小正方形的面积之差是得出，阴影部分的面积为，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 大正方形与小正方形的面积之差是， ， 阴影部分的面积为：， 故答案为： ． 【跟踪专练1】从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题． 【详解】解：由图知，图的面积为， 图的面积为， 结合图1到图2的变化过程可以发现， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，学校劳动课实践基地由两块边长分别为、的正方形秧田、，其中不能使用的面积为．用含、的代数式表示中能使用的面积 _________ ；若，，则比多出来的使用面积为 _______ ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，掌握图形面积的计算方法以及面积之间的和差关系是正确解答的前提． ①根据面积之间的关系，从边长为的正方形面积中，减去不能使用的面积即可； ②用代数式表示比多出的使用面积，再利用平方差公式进行分解因式，最后带入式子的值计算即可． 【详解】解：①中能使用的面积大正方形的面积不能使用的面积，即； ②比多出的使用面积为： ∵，， ∴原式 ， 故答案为：；． 【跟踪专练3】如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法与几何图形面积，即运用几何直观理解、解决整式的乘法与几何图形的面积之间的联系，通过几何图形之间的数量关系对整式乘法做出几何解释． 根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意； ③可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 【题型3.运用完全平方公式进行运算】 【典例】计算的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算，掌握“”是解题的关键． 把原式化为：，再利用完全平方公式进行简便运算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 【跟踪专练1】要使等式成立，代数式M应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先移项得到的表达式，再利用完全平方公式展开化简，即可求出的值． 【详解】解：∵ ∴ ． 【跟踪专练2】若是完全平方式，则的值为______． 【答案】或 【分析】利用完全平方式的结构特征，得到关于的一元一次方程，求解即可确定的值． 【详解】解：∵是完全平方式， 根据完全平方公式的结构特征，一次项系数的绝对值应等于二次项系数与常数项系数的算术平方根乘积的倍，即， ∴可得， 整理得， 当时，解得， 当时，解得． 综上，的值为或． 【跟踪专练3】设，若，则（   ） A．1014 B．1013 C．1012 D．1011 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，利用换元思想进行代数式求值是解题的关键． 写出a、b、c的关系式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴， 解得：． 故选：D． 【题型4.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】图为边长分别为、的正方形纸片、，以及长为、宽为的长方形纸片，现将一张卡片放在卡片的内部得图，将一张卡片和一张卡片并列放置后构造新的正方形得图若图和图中阴影部分的面积分别为和，求图中新正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据题意可得，，根据求出即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为， 图阴影部分可以看作大正方形与两个小正方形的面积差，即，即， 图和图中阴影部分的面积分别为和， ，， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理验证，这体现了数形结合的数学思想，观察下列图形，将图中的阴影部分面积用两种不同的方式来表示，则可验证的式子是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种方法表示出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：方法一：阴影部分是边长为的正方形，面积为． 方法二：阴影部分面积=大正方形面积-两个长方形面积+重叠小正方形面积，即． 两种方法表示同一面积，故，验证选项A． 【跟踪专练2】如图，在线段上取一点，分别以，为边向上作正方形和正方形，点是线段上一点，且满足，连接和．若，，且，，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的灵活应用是解题的关键．由正方形的性质得出，，则有，可得，图中阴影部分的面积为，通过完全平方公式的变形可求出答案． 【详解】解：四边形和四边形都是正方形， ，， ， ， ， ， ，， 又，， 图中阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 【题型5.通关对完全平方公式变形求值】 【典例】若x和y为实数，且满足，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查绝对值得非负性，完全平方公式．现根据绝对值得非负性得到，的值，然后代入计算解题． 【详解】解：∵， ∴ 解得， ∴， 故答案为：9． 【跟踪专练1】若，，则的值为（   ） A． B． C．15 D．不存在 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行变形，将已知条件代入即可求出的值． 【详解】解：∵， ． 又∵， ∴， ， ∴． 【跟踪专练2】定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③若，则；④若或，则，其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【分析】根据新定义运算验算即可． 【详解】解：①，故正确； ②，，不一定相等，故错误； ③若， 则， 则， 故正确； ④若 则， 若， ， 故正确． 故答案为：①③④． 【跟踪专练3】已知多项式，多项式． ①若多项式是完全平方式，则或 ② ③若，，则 ④若，则 ⑤代数式的最小值为2022 以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①利用完全平方公式的形式求解； ②利用整式的加减运算和配方法求解； ③利用完全平方和和完全平方差公式求解； ④利用完全平方和和完全平方差公式求解； ⑤利用完全平方公式和配方法求解． 【详解】解：①多项式是完全平方式， ，故结论正确； ② ， 而， ，故结论正确； ③，， ， ， 根据②故结论错误； ④ ， ；故结论正确； ⑤ ， ，， 当，时有最小值为2022， 但是根据②， 结论错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难． 【题型6.求完全平方式中的字母系数】 【典例】若是完全平方式，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解本题的关键． 利用完全平方式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：∵是完全平方式，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】若 是完全平方式，则 m 的值等于（    ） A．9 B．5或 C．9或 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据完全平方式，得到，求出m的值即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得或． 故选C． 【跟踪专练2】已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 【跟踪专练3】下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 填空题 1．已知，则M与N的大小关系是________ 【答案】/ 【详解】解：， ， ， ． 2．如图，从边长为的正方形纸片中剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个大长方形（不重叠无缝隙），若拼成的大长方形的宽为4，则大长方形的长为_____． 【答案】 【分析】观察图形，根据面积的和差，可得大长方形的面积，根据大长方形的面积公式，可得大长方形的长． 【详解】解：大正方形的面积为，小正方形的面积为， 拼成的大长方形的面积为， 大长方形的宽为4， 大长方形的长为． 3．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则添加单项式的方法共有__________种． 【答案】5 【分析】本题考查了完全平方公式，考虑添加单项式后多项式成为完全平方的几种形式：二项式的平方或单项式的平方． 【详解】解：添加单项式后，能使多项式成为完全平方的情况如下： 1．添加，得到． 2．添加，得到． 3．添加，得到． 4．添加，得到． 5．添加，得到．故共有5种方法， 故答案为：5． 4．如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形． （1）图2中的阴影正方形边长为_____（用含的式子表示） （2）由图2可以直接写出，，之间的一个等量关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形结合完全平方公式得到对应的结论，并能进行相关的应用． （1）由题意可得此题结果是； （2）由图2面积的不同表示方法可得； 【详解】解：（1）由图2可得，阴影正方形边长为， （2）由图2面积的不同表示可得：， 故答案为：；； 5．已知x、y、z满足，，，则的值为___________． 【答案】49 【分析】本题利用完全平方公式的变形，先结合已知条件求出的值，再对平方变形，代入已知条件即可求出目标代数式的值． 【详解】解：根据完全平方公式，可得 ． 将，代入上式，得 ， 整理得， 解得． 对平方，得 ， 整理得． 将，，代入上式，得 ， 即， 移项计算得． 6．在多项式中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则这个单项式有______个． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：； ； 加上的单项式可以是、中任意一个． 故答案为：． 单选题 7．若式子是一个完全平方式，则m的值为（    ） A．20 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求完全平方式中字母的系数． 根据完全平方式的结构特征，即可得的值． 【详解】解：∵式子是一个完全平方式， ∴， ∴的值为． 故选：C． 8．若，则的值为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，整理后即可得到所求式子的值．本题要求熟练掌握完全平方公式． 【详解】解：∵， ∴将等式两边同时平方得， 展开左边得，， 化简得，， 移项计算得，． 9．如图所示，两个正方形的泳池，面积分别是和，两个泳池的面积之和，点是线段上一点，设，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式．设，从而可得，，，再利用完全平方公式可得，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：设， 由题意得：，，， 即， ， ， 所需防滑瓷砖的面积为， 故选：B． 10．下列各式计算错误的有（　　）        A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：，计算错误； ，计算错误； ，计算错误； ，计算错误； ，计算错误； 综上，计算错误的有个． 11．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 12．下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平方差公式的使用条件：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该条件即可用平方差公式计算，据此判断各选项． 【详解】解：平方差公式的结构为， A选项：中，含的项为和，既不相同也不互为相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； B选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； C选项：，两项均互为相反数，无完全相同的项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算； D选项：，其中是完全相同的项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算． 解答题 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的乘法运算，合并同类项，根据完全平方公式，平方差公式进行化简，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解： ． 当 ， 时，原式． 14．[背景阅读]在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． [问题解决] （1）填空：根据图1所示图形的面积关系．可以写出的一个乘法公式是 ； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； [拓展应用] （3）如图3，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形A的边长为x，正方形B的边长为y（），且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28．现将三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）62 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为6和28得到，，再根据代入计算即可． 【详解】解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为6和28，即，， ∴， ∴ ． 15．所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，例如：，，所以，就是完全平方式．请解决下列问题： (1)已知，，则______． (2)如果是一个完全平方式，则的值为______． (3)若x满足，求的值． (4)如图所示，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和． ①______，______；（用含的式子表示） ②若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)①，；② 【分析】本题考查完全平方公式的应用，利用完全平方公式变形求值，矩形与正方形的性质，掌握好相关知识是关键． （1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）对比完全平方公式确认与，再计算出的值即可； （3）设，，利用完全平方公式求值即可； （4）①根据线段和差关系进行填空； ②由矩形的面积为，可得，利用完全平方公式变形求得，根据正方形面积公式求出阴影面积． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴； （2）解：在完全平方式中，，， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴； 综上所述，或； （3）解：设，， ∴，， ， ∴， ∴； （4）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴，； ②∵长方形的面积为， ∴． ∵， ∴， ∴． 16．【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $