1.2.1 平方差公式（七大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

1.2.1 平方差公式 【题型一】平方差公式识别 【例1】．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． B．C． D． 【变式1-2】下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】运用平方差公式计算 【例2】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2-2】计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（5y）（5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x）（x2）（x）． 【变式2-3】计算． （1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 【题型三】利用平方差公式简便计算 【例3】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　 ． 【变式3-1】．用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　　 ． 【变式3-2】．已知a＝2015×2017，b＝2014×2018，c＝2016×2016，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＝c＞b D．c＞a＞b 【变式3-3】利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【题型四】利用平方差公式化简求值 【例4】已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式4-1】．若且，则 ． 【变式4-2】．运用平方差公式计算：21×19＝　 　 ，　 ． 【变式4-3】代数式（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）的值是（　　） A．2n﹣1 B．22n﹣1 C．42n﹣1 D． 【题型五】平方差公式的逆用 【例5】．若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【变式5-1】．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【变式5-2】计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002的值为　 　 ． 【变式5-3】计算的结果是 ． 【题型六】利用平方差公式解决实际问题 【例6】【发现】：两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】：求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】：证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 【变式6-1】某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【变式6-2】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式6-3】重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【题型七】平方差公式的几何意义 【例7】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【变式7-1】如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【变式7-2】如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，并写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【变式7-3】【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 1、计算：的值为 ． 2、老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程 嘉嘉： 琪琪： 张老师认为两人的做法都正确，但琪琪同学的方法更简便． 请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2) 3、列式计算，写出推导过程 (1) (2) (3) (4) (5) 4、已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 5、以下四种方法中能够验证公式的有 （填序号）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.1 平方差公式 【题型一】平方差公式识别 【例1】．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【来源】河南省鹤壁市外国语中学2025-2026学年上学期八年级第二次月考数学试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，平方差公式为，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，能用平方差公式计算，符合题意； B、，不能用平方差公式计算，不符合题意； C、，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，不能用平方差公式计算，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列各式中，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． B．C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】云南省昭通市巧家县第四中学等2025-2026学年八年级上学期11月月考数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 根据平方差公式适用于形式为的表达式，计算得． 【详解】由平方差公式为， 选项A: ，不符合； 选项B: ，不符合； 选项C: ，符合； 选项D: ，不符合． 故选：C． 【变式1-2】下列能使用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【来源】湖南省衡阳市衡南县2022--2023学年八年级上学期数学期中考试试题 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； C、，不符合平方差公式的特点，故本选项不符合题意； D、，符合平方差公式的特点，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】安徽省阜阳市部分学校2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 【题型二】运用平方差公式计算 【例2】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握是解题的关键． （1）用平方差公式解答： （2）用平方差公式解答： （3）用平方差公式解答： （4）用平方差公式解答： （5）用平方差公式解答： （6）用平方差公式解答． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）； 故答案为：； （4）； 故答案为：； （5）； 故答案为：； （6） 故答案为： 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】 （1） （2）； （3） （4）． 【分析】本题考查平方差公式，掌握是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算； （2）根据平方差公式进行计算； （3）根据平方差公式进行计算； （4）根据平方差公式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2-2】计算下列各题： （1）（2x+y）（2x﹣y）； （2）（5y）（5y）； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9）； （4）（x）（x2）（x）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x+y）（2x﹣y） ＝（2x）2﹣y2 ＝4x2﹣y2； （2）（x+5y）（x﹣5y） ＝（x）2﹣（5y）2 x2﹣25y2； （3）（x+3）（x﹣3）（x2+9） ＝（x2﹣9）（x2+9） ＝x4﹣81； （4）（x）（x2）（x） ＝（x2）（x2） ＝x4． 【变式2-3】计算． （1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（2x2+3y）（2x2﹣3y）＝4x4﹣9y2； （2）（2x﹣y）（﹣2x﹣y）＝（﹣y）2﹣（2x）2＝y2﹣4x2； （3）（x+y）（x﹣y）+（2x+y）（2x﹣y）＝x2﹣y2+4x2﹣y2＝5x2﹣2y2； （4）（a﹣3）（a+3）（a2+9）＝（a2﹣9）（a2+9）＝a4﹣81． 【题型三】利用平方差公式简便计算 【例3】简便运算：2025×2023﹣20242＝ 　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：原式＝（2024+1）×（2024﹣1）﹣20242 ＝20242﹣1﹣20242 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式3-1】．用简便方法计算5002﹣499×501的结果是　　 ． 【答案】1． 【解答】解：依题意，5002﹣499×501＝5002﹣（500﹣1）×（500+1）＝5002﹣5002+1＝1， 故答案为：1． 【变式3-2】．已知a＝2015×2017，b＝2014×2018，c＝2016×2016，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＝c＞b D．c＞a＞b 【答案】D 【解答】解：设 n＝2016，利用平方差公式可得： a＝（n﹣1）（n+1）＝n2﹣1，b＝（n﹣2）（n+2）＝n2﹣4，c＝n2， ∵n2﹣4＜n2﹣1＜n2， ∴c＞a＞b； 故选：D． 【变式3-3】利用平方差公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用． （1）先将原式变形为，再利用平方差公式计算即可； （2）先将变形为，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型四】利用平方差公式化简求值 【例4】已知x﹣y＝5，则x2﹣y2﹣10y的值是（　　） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解答】解：∵x﹣y＝5， ∴x2﹣y2﹣10y ＝（x2﹣y2）﹣10y ＝（x+y）（x﹣y）﹣10y ＝5（x+y）﹣10y ＝5x+5y﹣10y ＝5x﹣5y ＝5（x﹣y） ＝5×5 ＝25． 故选：D． 【变式4-1】．若且，则 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了平方差公式的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算， 运用平方差公式进行计算、求解． 【详解】解：， ， 故答案为：2． 【变式4-2】．运用平方差公式计算：21×19＝　 　 ，　 ． 【答案】399；39999． 【解答】解：21×19 ＝（20+1）×（20﹣1） ＝400﹣1 ＝399， ＝（200）×（200） ＝40000 ＝39999， 故答案为：399；39999． 【变式4-3】代数式（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1）的值是（　　） A．2n﹣1 B．22n﹣1 C．42n﹣1 D． 【答案】C 【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1） ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）⋯（22n+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（22n+1） ＝（24﹣1）（24+1）...（22n+1） ＝（28﹣1）...（22n﹣1）（22n+1） ＝24n﹣1 ＝（22）2n﹣1 ＝42n﹣1， 故选：C． 【题型五】平方差公式的逆用 【例5】．若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　） A．9 B．6 C．3 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：原式＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣12y ＝3（3x+2y）﹣12y ＝9x+6y﹣12y ＝9x﹣6y ＝3（3x﹣2y） ＝3×3 ＝9． 故选：A． 【变式5-1】．已知a2﹣b2＝27，a﹣b＝3，则a+b的值为（　　） A．9 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝27， 又∵a﹣b＝3， ∴a+b＝9． 故选：A． 【变式5-2】计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002的值为　 　 ． 【答案】﹣5050． 【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+⋯+992﹣1002 ＝（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+（5﹣6）（5+6）+…+（99﹣100）（99+100） ＝﹣（1+2+3+4+…+99+100） ＝﹣101×50 ＝﹣5050． 故答案为：﹣5050． 【变式5-3】计算的结果是 ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式的应用． 根据平方差公式展开整理，再约分可得答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【题型六】利用平方差公式解决实际问题 【例6】【发现】：两个连续奇数的平方差是8的整数倍． 【验证】：求192﹣172的结果是8的几倍？ 【证明】：证明两个连续奇数2n+1与2n﹣1（n为整数）的平方差是8的整数倍，并且平方差等于这两个数和的2倍． 【答案】【验证】192﹣172是8的9倍； 【证明】详见解答． 【解答】解：【验证】由平方差公式可得192﹣172＝（19+17）×（19﹣17） ＝36×2 ＝72 ＝8×9， 所以192﹣172是8的9倍； 【证明】由于（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n×2 ＝8n，而n为整数， 所以两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差是8的整数倍； 又因为这两个奇数的和为2n+1+2n﹣1＝4n，而8n÷4n＝2， 所以两个连续奇数2n+1，2n﹣1的平方差等于这两个数的和的2倍． 【变式6-1】某校组织了《“徽”聚梦想引领班风》的班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，先设计了一个正方形的班徽图形（如图），准备进一步优化改造，加一些文字，需要将原正方形的一组对边各增加，另一组对边各减少，改造以后的图形面积与原来的面积相比（   ） A．不变 B．减少 C．增加 D．增加 【答案】B 【详解】解：设原正方形的边长为， 因此面积为， 改造后的图形是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 所以改造前后的面积差为， 因此改造以后的图形面积与原来的面积相比减少了． 故选：B． 【变式6-2】如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 根据图示可得，AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24， 故选：C． 【变式6-3】重庆市某腊梅种植基地现已开放、两个园区，已知园区为长方形，其长为米，宽为米；园区为正方形，其边长为米．且园区全部种植种腊梅，园区全部种植种腊梅．、两种腊梅投入的费用与吸引游客的收益如下表： 投入（元/平方米） 33 26 收益（元/平方米） 38 36 (1)请用代数式表示、两园区的面积之和并化简； (2)为方便游客观赏，当地政府根据实际对园区进行整改升级，长减少米，宽增加米．整改后、两园区种植面积相同，且整改后两园区周长之和为1200米，求整改后、两园区旅游的净收益之和．（净收益收益投入） 【答案】(1)平方米 (2)元 【知识点】整式加减的应用、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的意义，平方差公式和完全平方公式在几何图形中的应用，熟知乘法公式是解题的关键． （1）根据长方形和正方形面积计算公式分别求出A、B的面积，二者求和即可得到答案； （2）根据长方形和正方形周长计算公式推出，进而可求出A、B面积，再根据净收入计算公式代值计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴、两园区的面积之和为平方米； （2）解：∵整改后两园区周长之和为1200米， ∴， ∴， ∴正方形面积为平方米， ∴长方形面积为平方米， 元． 【题型七】平方差公式的几何意义 【例7】（1）如图1，阴影部分的面积是___________（写出两数的平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，拼成一个长方形，它的宽是___________，它的长是___________，面积是___________（写成多项式乘以多项式的形式）； （3）比较两图的阴影部分的面积可以得到乘法公式：___________； （4）请用（3）得到的公式计算：． 【答案】（1）；（2），，；（3）；（4）1 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积； 故答案为：； （2）由图可知长方形的宽是，长是， 所以面积是； 故答案为：，，； （3）由题意得：（等式两边交换位置也可）； 故答案为：； （4） ． 【变式7-1】如图①是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含a、b的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为： ；图②阴影部分面积为： ； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为 ； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3)287200 【知识点】列代数式、运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用两种不同的方式表达同一个图形的面积，进而得出一个等式，这是数形结合思想的运用． （1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差即可；图②是长为，宽为，有长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【变式7-2】如图，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． (1)用含字母a、b的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母a、b的代数式表示此长方形的面积为__________． (2)比较（1）中的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式__________． (3)【问题解决】利用（2）中的公式解决问题∶ ①已知，则的值为__________； 观察下列计算结果∶ ②用你发现的规律并结合（2）的公式，直接写出下面这个算式的结果，并写出这个结果的个位数字．_________；其个位数字是∶_________． 【答案】(1)； (2) (3)①3；②，5 【分析】此题考查了平方差公式的应用，涉及了有理数的乘方运算． （1）阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，故阴影部分面积等于，图2中长方形长为、宽为．根据长方形面积公式，得长方形面积为． （2）因阴影部分图形拼接前后，面积不变，故． （3）①根据平方差公式，进行计算即可求解；②连续使用平方差公式，进而即可求解． 【详解】（1） 拼接后的长方形长为、宽为． ∴ 故答案为：；； （2）∵阴影部分图形拼接前后，面积不变， ∴． （3）解：①∵，， ∴ ∴， 故答案为：3． ②原式 又∵（为正整数）的个位数字依次是、、、、、、、以、、、为一个循环，， ∴的个位数字是，则的个位数字是5． 故答案为：，5． 【变式7-3】【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【难度】0.65 【来源】河南省驻马店市上蔡县2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】平方差公式与几何图形、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 1计算：的值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】山东省威海市环翠区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了分解因式的运用，先将分子进行因式分解，再化简即可求解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2老师出了一道题：计算．嘉嘉和琪琪的计算过程 嘉嘉： 琪琪： 张老师认为两人的做法都正确，但琪琪同学的方法更简便． 请根据上述材料计算下列各题． (1)； (2) 【答案】(1)8099 (2)256 【难度】0.65 【来源】河北省邯郸市第二十五中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷（第二次阶段测试） 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方差公式进行即可； （2）根据平方差公式进行即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 3列式计算，写出推导过程 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.15 【来源】2025年重庆市西南大学附属中学校小升初自主招生数学试题 【知识点】有理数乘法运算律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了简便运算的相关公式和平方差公式，根据公式逐一计算求出结果即可，解题的关键是注意计算的正确性； （1）运用乘方公式进行简便运算； （2）先把式子变成，根据进行简便运用即可； （3）先根据平方差公式，把分母变成含平方的形式，再变成的形式，根据进行运用即可； （4）提出相同的公因数，进行运算即可； （5）根据进行变形，再根据计算出结果即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， （5）解： ． 4已知下列等式： ； ； ； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． (1)填空：___________； (2)直接写出计算的结果：___________； (3)设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 【答案】(1)19 (2)1509 (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算 【分析】本题利用平方差公式和观察规律解决问题． （1）根据平方差公式可得出相应的结果； （2）同样利用平方差公式可得出相应的结果； （3）求出比大3的数，再根据平方差公式来证明题目所给的两个数是否能被3整除． 【详解】（1）解：． 故答案为：19． （2）解：． 故答案为：1509． （3）证明：由题意知，比大3的数为， 根据平方差公式，， 由于是整数，因此能被3整除， 即比大3的数与的平方差能被3整除． 5以下四种方法中能够验证公式的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【难度】0.85 【来源】吉林省长春市朝阳区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的定义是解题的关键． 用不同的方法分别用代数式表示各个图形中阴影部分面积即可得出等式，然后再逐个进行判断即可． 【详解】解：①阴影部分是两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于平行四边形的面积，可以验证平方差公式； ②阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故阴影部分面积等于长方形的面积，可以验证平方差公式； ③阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是长为2a，宽为2b的长方形，面积为， ∴，故图③不能验证平方差公式； ④阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的是底为，高为的平行四边形，面积为． ∴，故图④可以验证平方差公式． 综上所述，能验证平方差公式的有①②④． 故答案为：①②④． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $