第26讲 错车、扶梯问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第26讲 错车、扶梯问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解错车问题和扶梯问题的基本概念及特点； 2.掌握错车问题中路程、速度与时间的关系及核心公式； 3.掌握扶梯问题中顺行、逆行时速度与扶梯速度的关系及核心公式； 4.能够运用画线段图法分析问题中的数量关系； 5.学会区分错车问题中的相向与同向两种情况，并能正确选择对应公式解题； 6.能够识别扶梯问题中的“人速”“梯速”“可见级数”等关键量，并运用公式解决实际问题； 7.培养分析复杂运动问题的逻辑思维能力和数学建模能力。 知识梳理 知识点一、错车问题 1.基本概念：错车问题研究两个运动物体（通常为火车、汽车等）在同一直线上相对运动或同向运动时，从车头相遇到车尾离开的过程，核心是分析两车行驶的路程和与速度关系。 2.核心公式： (1)相向而行错车：错车时间=（甲车长度+乙车长度）÷（甲车速度+乙车速度）； (2)同向而行错车（超车）：错车时间=（甲车长度+乙车长度）÷（快车速度-慢车速度）。 3.解题关键： (1)明确“错车路程”等于两车长度之和； (2)确定两车运动方向，区分“相向”（速度相加）与“同向”（速度相减）； (3)统一单位：确保速度单位（如千米/小时与米/秒）、长度单位（如米与千米）的一致性； (4)复杂问题可通过画线段图直观表示两车初始位置、运动过程及最终位置。 知识点二、扶梯问题 1.基本概念：扶梯问题研究人在运动的自动扶梯上行走的问题，分为“顺行扶梯”（人行走方向与扶梯运行方向相同）和“逆行扶梯”（人行走方向与扶梯运行方向相反）两种情况，核心是分析人与扶梯的相对速度及可见级数。 2.核心公式： (1)顺行扶梯：可见级数=（人行走速度+扶梯运行速度）×顺行时间； (2)逆行扶梯：可见级数=（人行走速度-扶梯运行速度）×逆行时间； (3)当人站在扶梯上不动时：可见级数=扶梯运行速度×扶梯运行时间。 3.解题关键： (1)明确“可见级数”是扶梯静止时能看到的总级数，为固定不变量； (2)区分“人速”（人在静止扶梯上的行走速度）、“梯速”（扶梯运行速度）、“合速度”（顺行或逆行时的实际速度）； (3)当题目中出现“自动扶梯以均匀速度由下往上行驶”或“由上往下行驶”时，需先判断人行走方向与扶梯运行方向的关系； (4)若已知人顺行与逆行时的时间及速度，可通过联立方程求解扶梯速度和可见级数。 例题讲解 一、错车问题 【例题1】甲、乙两列火车的长分别为120m和180m，甲车和乙车每秒共行驶30米，两列火车同向行驶，从甲车追上并超过乙车用时30秒，问：两列火车速度各是多少？ 【例题2】一列客车每分钟行1000米，一列货车每分钟行750米，货车比客车长135米。两车在平行的轨道上相向而行，从车头相遇到车尾离开一共用了30秒，求客车和货车的长各是多少。 【例题3】小泉靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到另一辆有30节车厢（不含车头）的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒，已知货车车厢长16米，车厢间距1米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？ 二、扶梯问题 【例题1】在商场里，小名从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小名单位时间内下的台阶数是她上的台阶数的2倍。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【例题2】如果在乘电动扶梯的同时小勤继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小勤逆着向下走需24秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小勤徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【例题3】两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？ 考点练习 一、错车问题 1．甲、乙两列货车的长度分别是288米和360米，甲车比乙车每秒多行驶8米，两车同时相向行驶，从相遇到完全错开需要9秒，问两车的速度各是多少？ 2．某列车通过285米的隧道用24秒，通过245米的大桥用22秒.若该车与另一列长135米，速度为每秒23米的货车相遇，两列车从碰上到全错开用多少秒？ 3．一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒，如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒，客车的速度和货车的速度分别是多少？ 4．两列同向行驶的火车在途中相遇了，客车每秒行30米，货车每秒行24米，如果从两车头对齐起算，则24秒后客车可超过货车，如果是两车尾对齐，则28秒后客车超过货车，问客车、货车各长多少米？ 5．客车速度每小时72千米，货车速度每小时60千米，两列火车相向而行，货车每节车厢长10米，火车头与车尾的长相当于两节车厢，每节车厢装50吨含铁60%的铁矿石，客车司机发现这列货车从他身边过时共花时间12秒，问这货车装的铁矿石共可炼铁多少吨？ 6．一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 7．甲、乙两列火车的长分别为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m，两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9s，问：两列火车速度各是多少？ 8．有甲、乙两列火车，甲车长174米，乙车长142米，在平行的轨道上相向而行，从两车车头相遇到车尾相离用了16秒，若两车同向而行，则从甲车的车头追上乙车的车尾，再到甲车的车尾超过乙车的车头用了40秒，那么，甲车的速度是每小时多少千米，乙车的速度是每小时多少千米？ 9．快递公司的一辆货车前往某地送货，货车在高速路上以每小时108公里的速度行进，路旁有一条与高速路平行的铁路，上面有一列火车与货车同向匀速前进，货车从火车后边位置赶到火车前面位置用的时间是15.4秒，到达目的地后，货车以同一速度返回，路上又遇到了那一列火车正在保持原速度行进，这次，货车从火车的前面位置开到火车后边位置用的时间是1.4秒．那么，火车的长度是多少米？ 10．两列火车，如果同向错车需要90秒，如果迎面错车需要18秒。慢车从路旁的大树开过用了21秒。问：快车从路旁的大树开过用了多少秒？（同向错车是指快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的过程；迎面错车是指两车车头相遇到车尾离开的过程。 11．一列火车通过750米长的大桥用了50秒（从车头上桥到车尾离桥），通过210米的隧道用了23秒（从车头上桥到车尾离桥）。又知该列车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车身长230米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到离开要用多少时间？ 12．一列客车以每小时90千米的速度从南往北行驶，车上一位乘客以每秒钟1米的速度向车尾行走，一列长156米的货车从北往南行驶，4秒钟从乘客身边驶过，问货车每小时行多少千米？ 二、扶梯问题 1．在一部正在上行的自动扶梯上，小淘从顶部走到底部，共走了150级台阶；小乖从底部走到顶部，共走了75级台阶。如果小淘的行走速度是小乖的3倍，那么扶梯可见部分一共有（    ）级台阶。 A．120 B．124 C．128 D．132 2．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面。从站台到地面有( )级台阶。 3．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？ 4．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了50级到达楼上，男孩走了150级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 5．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，每秒走一级台阶，男孩由上往下走，每秒走两级台阶，结果女孩走了30级到达楼上，男孩走了60级到达楼下。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 6．淘气与笑笑两个人在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果淘气攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 7．妙想在搭一座电扶梯下楼。如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部。请问这座电扶梯有几阶？（时间包括妙想走台阶的时间） 8．在乘电动扶梯的同时奇思向上走需10秒上楼，如果停电了奇思从电动扶梯走上楼需15秒。那么奇思站着不动乘电动扶梯上楼需多少秒？ 9．小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 10．自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动1级台阶。笑笑在扶梯顶部开始往下行走，每秒走3级台阶。已知自动扶梯的可见部分共100级，那么笑笑从顶部走到底部的过程中，自动扶梯移动了多少级台阶？ 11．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？ 12．小霞与小宝两个孩子比赛登电梯，已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼，分别用时60秒和30秒，那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 错车、扶梯问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解错车问题和扶梯问题的基本概念及特点； 2.掌握错车问题中路程、速度与时间的关系及核心公式； 3.掌握扶梯问题中顺行、逆行时速度与扶梯速度的关系及核心公式； 4.能够运用画线段图法分析问题中的数量关系； 5.学会区分错车问题中的相向与同向两种情况，并能正确选择对应公式解题； 6.能够识别扶梯问题中的“人速”“梯速”“可见级数”等关键量，并运用公式解决实际问题； 7.培养分析复杂运动问题的逻辑思维能力和数学建模能力。 知识梳理 知识点一、错车问题 1.基本概念：错车问题研究两个运动物体（通常为火车、汽车等）在同一直线上相对运动或同向运动时，从车头相遇到车尾离开的过程，核心是分析两车行驶的路程和与速度关系。 2.核心公式： (1)相向而行错车：错车时间=（甲车长度+乙车长度）÷（甲车速度+乙车速度）； (2)同向而行错车（超车）：错车时间=（甲车长度+乙车长度）÷（快车速度-慢车速度）。 3.解题关键： (1)明确“错车路程”等于两车长度之和； (2)确定两车运动方向，区分“相向”（速度相加）与“同向”（速度相减）； (3)统一单位：确保速度单位（如千米/小时与米/秒）、长度单位（如米与千米）的一致性； (4)复杂问题可通过画线段图直观表示两车初始位置、运动过程及最终位置。 知识点二、扶梯问题 1.基本概念：扶梯问题研究人在运动的自动扶梯上行走的问题，分为“顺行扶梯”（人行走方向与扶梯运行方向相同）和“逆行扶梯”（人行走方向与扶梯运行方向相反）两种情况，核心是分析人与扶梯的相对速度及可见级数。 2.核心公式： (1)顺行扶梯：可见级数=（人行走速度+扶梯运行速度）×顺行时间； (2)逆行扶梯：可见级数=（人行走速度-扶梯运行速度）×逆行时间； (3)当人站在扶梯上不动时：可见级数=扶梯运行速度×扶梯运行时间。 3.解题关键： (1)明确“可见级数”是扶梯静止时能看到的总级数，为固定不变量； (2)区分“人速”（人在静止扶梯上的行走速度）、“梯速”（扶梯运行速度）、“合速度”（顺行或逆行时的实际速度）； (3)当题目中出现“自动扶梯以均匀速度由下往上行驶”或“由上往下行驶”时，需先判断人行走方向与扶梯运行方向的关系； (4)若已知人顺行与逆行时的时间及速度，可通过联立方程求解扶梯速度和可见级数。 例题讲解 一、错车问题 【例题1】甲、乙两列火车的长分别为120m和180m，甲车和乙车每秒共行驶30米，两列火车同向行驶，从甲车追上并超过乙车用时30秒，问：两列火车速度各是多少？ 【答案】甲车速度为20米/秒；乙车的速度为10米/秒 【分析】两车同向行驶，超车路程就是两车的车长和120＋180＝300米，利用两车车长和÷超车时间＝速度差，再结合两车速度和为30，利用和差公式，即可求出答案。 【详解】两车车长和：120＋180＝300（米） 速度差：300÷30＝10（米/秒） 甲车速度：（30＋10）÷2＝20（米/秒） 乙车速度：20－10＝10（米/秒） 答：甲车速度为20米/秒，乙车的速度为10米/秒。 【例题2】一列客车每分钟行1000米，一列货车每分钟行750米，货车比客车长135米。两车在平行的轨道上相向而行，从车头相遇到车尾离开一共用了30秒，求客车和货车的长各是多少。 【答案】客车长370米，货车长505米 【分析】两车的速度和为每分钟1000＋750＝1750（米），然后乘错车时间0.5分钟就是两车的车长和，再根据货车比客车长135米，利用和差公式解答即可。 【详解】30秒＝0.5分钟 两车车长和：（1000＋750）×0.5＝875（米） 货车长度：（875＋135）÷2＝505（米） 客车长度：875－505＝370（米） 答：客车长370米，货车长505米。 【例题3】小泉靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到另一辆有30节车厢（不含车头）的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒，已知货车车厢长16米，车厢间距1米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？ 【答案】44千米/小时 【分析】据题意，可先求出货车总长为（16×30＋1×30＋10）÷1000＝0.52千米，即两车共同行驶的路程；再求出火车在18秒内走的路程为60×（18÷3600）＝0.3千米；这样即可得出货车在18秒中走的路程为0.52－0.3＝0.22千米，之后即可求得货车的速度了。 【详解】货车车长：（16×30＋1×30＋10）÷1000＝0.52（千米） 火车走的路程：60×（18÷3600）＝0.3（千米） 货车走的路程：0.52－0.3＝0.22（千米） 货车的速度：0.22÷（18÷3600）＝44（千米/小时） 答：货车行驶的速度为44千米/小时。 二、扶梯问题 【例题1】在商场里，小名从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部。自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小名单位时间内下的台阶数是她上的台阶数的2倍。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【答案】108级 【分析】小名先逆行，后顺行，逆行有，人走的级数－电梯走的级数＝可见级数，顺行时，人走的级数＋电梯走的级数＝可见级数，分别设出小名上下楼梯的速度和扶梯自动运行的速度，即可得出。 【详解】设小名上行的速度为V，则下行的速度为2V。电梯的运行速度是 V电梯。 90＋V电梯×120－V电梯× 解得：0.2 可见级数：90＋0.2×90＝108（级） 答：当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有108级。 【例题2】如果在乘电动扶梯的同时小勤继续向上走需12秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小勤逆着向下走需24秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小勤徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【答案】16秒 【分析】假设上楼的总长度为24米，乘电动扶梯的同时小勤继续向上走需12秒到达楼上，则电动扶梯＋小勤的速度和是24÷12＝2米/秒，在乘电动扶梯的同时小勤逆着向下走需24秒到达楼下，则电动扶梯－小勤的速度＝24÷24＝1米/秒，在结合和差公式，即可算出小勤步行的速度，然后利用总路程24，除以小勤的速度，即可得出时间。 【详解】假设上楼的总长度为24米 电动扶梯速度＋小勤步行速度：24÷12＝2（米/秒） 小勤步行速度－电动扶梯速度：24÷24＝1（米/秒） 小勤步行速度：（2＋1）÷2＝1.5（米/秒） 小勤步行时间：24÷1.5＝16（秒） 答：小勤徒步沿扶梯上楼需16秒。 【例题3】两位顽皮的孩子逆着自动扶梯的方向行走，已知男孩子每分钟走45级楼梯，女孩子每分钟走40级楼梯，结果男孩子用6分钟到达另一端，女孩子用9分钟到达另一端，该扶梯共有多少级？ 【答案】90级 【分析】在上楼的过程中，自动扶梯也在以均匀的速度行驶着，所以可以根据男孩和女孩上楼的时间求出自动扶梯每分钟走多少级，然后利用男孩或女孩上楼的时间求出自动扶梯的级数。 【详解】自动扶梯每分钟走： （40×9-45×6）÷（9-6） =（360-270）÷3 =90÷3 =30（级） 自动扶梯共有级： 40×9-30×9 =360-270 =90（级） 答：该扶梯共有90级。 【点睛】此题难度较大，要认真分析，求出自动扶梯每分钟走的级数是解决问题的关键。 考点练习 一、错车问题 1．甲、乙两列货车的长度分别是288米和360米，甲车比乙车每秒多行驶8米，两车同时相向行驶，从相遇到完全错开需要9秒，问两车的速度各是多少？ 【答案】甲车速度为40米/秒；乙车速度为32米/秒 【分析】两车车长和为288＋360＝648米，错车时间为9秒，代入公式速度和＝两车车长和÷错车时间，即可求出两车速度和，再结合题目给的速度差，利用和差公式即可求出答案。 【详解】两车车长和：288＋360＝648（米） 速度和：648÷9＝72（米/秒） 甲车速度：（72＋8）÷2＝40（米/秒） 乙车速度：40－8＝32（米/秒） 答：甲车速度为40米/秒，乙车速度为32米/秒。 2．某列车通过285米的隧道用24秒，通过245米的大桥用22秒.若该车与另一列长135米，速度为每秒23米的货车相遇，两列车从碰上到全错开用多少秒？ 【答案】5秒 【分析】由火车分别通过隧道和大桥发现，两次时间相差2秒，路程响彻285－245＝40米，即可算出火车的速度，同时，代入第一次穿隧道的过程，即可求出火车的长度，最后利用公式：错车时间＝两车车长和÷速度和，即可得出答案。 【详解】火车的速度：（284－245）÷（24－22）＝20（米/秒） 火车的长度：20×24－385＝95（米） 错车时间：（95＋135）÷（23＋20）＝5（秒） 答：两列车从碰上到全错开用5秒。 3．一列客车车长280米，一列货车车长200米，在平行的轨道上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过20秒，如果两车同向而行，货车在前，客车在后，从客车头遇到货车尾再到客车尾离开货车头经过120秒，客车的速度和货车的速度分别是多少？ 【答案】客车的速度是14米/秒；货车的速度是10米/秒 【分析】由题意可知，两车的车长和为200＋280＝480（米），相向而行时，两车错车而行的距离是两车的车长和，速度是两车的速度和，根据“速度和＝总路程÷错车时间”求出两车的速度和；同向而行时，两车追及的距离同样是车长和，根据“速度差＝追及距离÷追及时间”求出速度差；再根据和差公式可知：较大数＝（和十差）÷2，即客车的速度，然后用速度和减去客车的速度即是货车的速度，据此解答。 【详解】速度和： （280＋200）÷20 ＝480÷20 ＝24（米/秒） 速度差： （280＋200）÷120 ＝480÷120 ＝4（米/秒） 客车速度：（24＋4）÷2＝14（米/秒） 货车速度：24－14＝10（米/秒） 答：客车的速度是14米/秒，货车的速度是10米/秒。 4．两列同向行驶的火车在途中相遇了，客车每秒行30米，货车每秒行24米，如果从两车头对齐起算，则24秒后客车可超过货车，如果是两车尾对齐，则28秒后客车超过货车，问客车、货车各长多少米？ 【答案】客车长144米；货车长168米 【分析】两辆车是同向行驶，相对速度就是30－24＝6米/秒；当车头对齐时，客车超越货车行驶的相对路程是客车的长度，用相对速度乘此方法用的时间就是客车的长度；当车尾对齐时，客车要超越货车需要行驶的相对路程就是货车的长度，用相对速度乘此方法用的时间就是货车的长度， 【详解】相对速度是：30－24＝6（千米/小时）； 客车的长度是：24×6＝144（米）； 货车的长度是：28×6＝168（米）； 答：客车长144米，货车长168米。 5．客车速度每小时72千米，货车速度每小时60千米，两列火车相向而行，货车每节车厢长10米，火车头与车尾的长相当于两节车厢，每节车厢装50吨含铁60%的铁矿石，客车司机发现这列货车从他身边过时共花时间12秒，问这货车装的铁矿石共可炼铁多少吨？ 【答案】1260吨 【分析】由题意可知货车的车尾和客车的车头相离的时候，司机就看不到货车了，而不是货车的车尾离开客车的车尾才看不到，所以先把速度换算单位，客车速度为20米/秒，火车速度为米/秒，两车的速度和乘以12秒，就是货车的长度了，再减去火车头与车尾的长相当于两节车厢的长度，即可求出车厢的节数：（440－10－10）÷10＝42节，再用每节车厢装50吨×车厢数＝总铁矿石重量，最后用总铁矿石重量×含铁60%＝这货车装的铁矿石共可炼铁量。 【详解】72千米/小时＝20米/秒      60千米/小时＝米/秒 货车全长：12×（20＋）＝440（米） 车厢节数：（440－10－10）÷10＝42（节） 铁矿石总重量：42×50＝2100（吨） 炼铁量：2100×60%＝1260（吨） 答：这货车装的铁矿石共可炼铁1260吨． 6．一条公路上，有一个骑车人和一个步行人，骑车人速度是步行人速度的3倍，每隔6分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔10分钟有一辆公共汽车超过骑车人，如果公共汽车始发站发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一辆公共汽车？ 【答案】5分钟 【分析】因为每隔6分钟就有一辆公共汽车从后方超越步行人，可以表示出公共汽车间距；又由于每隔10分钟超越骑车人，公共汽车间距；所以， ＝即；又，代入即可得出最后的答案。 【详解】令公共汽车间距为S 每隔6分钟就有一辆公共汽车从后方超越行人： 公共汽车间距 公共汽车每隔10分钟超越一辆骑车人： 公共汽车间距 所以＝ 即： 又 所以 时间间隔5（分钟） 答：公交车站每隔5分钟发一辆公交车。 7．甲、乙两列火车的长分别为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m，两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9s，问：两列火车速度各是多少？ 【答案】甲车速度为20米/秒；乙车的速度为16米/秒 【分析】两车的车长和为144＋180＝324（米），然后利用车长和÷错车时间0.5分钟＝两车速度和，再根据甲车速度比乙车每秒多行4米，利用和差公式解答即可。 【详解】两车车长和：144＋180＝324（米） 速度和：324÷9＝36（米/秒） 甲车速度：（36＋4）÷2＝20（米/秒） 乙车的速度：20－4＝16（米/秒） 答：甲车速度为20米/秒，乙车的速度为16米/秒。 8．有甲、乙两列火车，甲车长174米，乙车长142米，在平行的轨道上相向而行，从两车车头相遇到车尾相离用了16秒，若两车同向而行，则从甲车的车头追上乙车的车尾，再到甲车的车尾超过乙车的车头用了40秒，那么，甲车的速度是每小时多少千米，乙车的速度是每小时多少千米？ 【答案】甲车的速度是每秒13.825米；乙车的速度是每秒5.925米 【分析】根据题意，我们知道：两车的相离距离和超越距离都是174＋142＝316（米），可见甲、乙两车的速度和是316÷16＝19.75（米/秒），速度差是316：40＝7.9（米/秒）；再根据和差问题公式，可知：甲车的速度是（19.75＋7.9）÷2＝13.825（米/秒），乙车的速度是（19.75－7.9）÷2＝5.925（米/秒）。 【详解】两车车长和：174＋142＝316（米） 速度和：316÷16＝19.75（米/秒） 速度差：316÷40＝7.9（米/秒） 甲车速度：（19.75＋7.9）÷2＝13.825（米/秒） 乙车速度：（19.75－7.9）÷2＝5.925（米/秒） 答：甲车的速度是每秒13.825米，乙车的速度是每秒5.925米。 9．快递公司的一辆货车前往某地送货，货车在高速路上以每小时108公里的速度行进，路旁有一条与高速路平行的铁路，上面有一列火车与货车同向匀速前进，货车从火车后边位置赶到火车前面位置用的时间是15.4秒，到达目的地后，货车以同一速度返回，路上又遇到了那一列火车正在保持原速度行进，这次，货车从火车的前面位置开到火车后边位置用的时间是1.4秒．那么，火车的长度是多少米？ 【答案】77米 【分析】先将108公里/小时转换为30米/秒，设火车速度为r米/秒，则去的时候，是一个超车的过程，货车的长度忽略不计，火车的长度可以表示为：（30－r）×15.4，返回时，是一个错车的过程，火车的长度可以表示为：（30＋r）×1.4，即可根据火车长度不变，建立方程，即可求火车长度. 【详解】解：设火车速度为r米/秒。 （30－r）×15.4＝（30＋r）×1.4 解得：r＝25 所以火车长度为：（30－25）×15.4＝77米. 答：火车的长度是77米。 10．两列火车，如果同向错车需要90秒，如果迎面错车需要18秒。慢车从路旁的大树开过用了21秒。问：快车从路旁的大树开过用了多少秒？（同向错车是指快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的过程；迎面错车是指两车车头相遇到车尾离开的过程。 【答案】16秒 【分析】因为无论是同向错车还是迎面错车，两车走过的路程都是两车长度和，所以两车速度和与两车速度差和错车时间成反比例。则两车速度和与两车速度差的比是90：18＝5：1.故把两车速度和看作5份，两车速度差看作1份，那么快车速度为（5＋1）÷2＝3份，慢车速度为5－3＝2份，两车车长之和是（2＋3）×18＝90份，慢车车长为21×2＝42份，快车车长为90－42＝48份。至此可用快车车长÷快车速度＝快车时间求出答案。 【详解】 两车速度和与两车速度差的比  90：18＝5：1 把两车速度和看作5份，两车速度差看作1份 快车速度： （5＋1）÷2＝3份 慢车速度：5－3＝2份 两车车长之和：（2＋3）×8＝90份 慢车车长：21×2＝42份 快车车长：90－42＝48份 快车时间：48÷3＝16（秒） 答：快车从路旁的大树开过用了16秒。 11．一列火车通过750米长的大桥用了50秒（从车头上桥到车尾离桥），通过210米的隧道用了23秒（从车头上桥到车尾离桥）。又知该列车的前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车身长230米，速度为每秒17米。列车与货车从相遇到离开要用多少时间？ 【答案】160秒 【分析】本题要先据通过两个隧道的长度差及列车通过两个隧道所用时间差求出列车的速度及长度，再据速及时间与隧道长度求出列车的长度，然后据列车货车的长度和及速度差就能求出从相遇到离开需要多少秒了。 【详解】列车速度为每秒： （750－210）÷（50－23） ＝540÷27 ＝20（米） 列车车身长为： 20×50－750 ＝1000－750 ＝250（米） 列车与货车从相遇到离开需： （250＋230）÷（20－17） ＝480÷3 ＝160（秒） 答：列车与货车从相遇到离开需160秒。 12．一列客车以每小时90千米的速度从南往北行驶，车上一位乘客以每秒钟1米的速度向车尾行走，一列长156米的货车从北往南行驶，4秒钟从乘客身边驶过，问货车每小时行多少千米？ 【答案】货车每小时行54千米 【分析】由题意可知，先将客车的速度换算成时间为秒的速度，减去乘客行走的速度，可得乘客与货车相向前进的实际速度；再用货车车身长度除以相遇时间，得到乘客与货车的速度和，进而再减乘客的实际速度得解。 【详解】90千米＝90000米 90000÷（60×60） ＝90000÷3600 ＝25（米/秒） 货车速度： 156÷4－（25－1） ＝39－24 ＝15（米/秒） 15×60×60 ＝900×60 ＝54000（米） ＝54（千米） 答：货车每小时行54千米。 二、扶梯问题 1．在一部正在上行的自动扶梯上，小淘从顶部走到底部，共走了150级台阶；小乖从底部走到顶部，共走了75级台阶。如果小淘的行走速度是小乖的3倍，那么扶梯可见部分一共有（    ）级台阶。 A．120 B．124 C．128 D．132 【答案】A 【分析】本题可以用方程来解决。设小乖的速度是每秒走1级，小淘的速度为每秒走3级，扶梯的速度是每秒走x级。小淘从顶部走到底部，共走了150级台阶，则真正的扶梯级数可以表示为：；小乖从底部走到顶部，共走了75级台阶，则真正的扶梯级数可以表示为：；根据扶梯的级数相等即可列出方程求解。 【详解】解：设小乖的速度是每秒走1级，小淘的速度为每秒走3级，扶梯的速度是每秒走x级。 （级） 故答案为：A 2．在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面。从站台到地面有( )级台阶。 【答案】60 【分析】如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面；扶梯的级数不变，扶梯的速度不变，可以采用牛吃草问题的方法求解。 【详解】20÷1＝20（秒） 30÷2＝15（秒） 采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：（级） 电梯的速度为： （级/秒） 扶梯长度为： （级） 所以从站台到地面有60级台阶。 【点睛】本题是将行程中的扶梯问题与牛吃草问题相结合，求解问题的关键是建立二者的联系。 3．小偷与警察相隔30秒先后逆向跑上一自动扶梯，小偷每秒可跨越3级阶梯，警察每秒可跨越4级阶梯。已知该自动扶梯共有150级阶梯，每秒运行1.5级阶梯，问警察能否在自动扶梯上抓住小偷？ 【答案】能 【分析】全部以地板为参照物，那么小偷速度为每秒1.5级阶梯，警察速度为每秒2.5级阶梯。警察跑上电梯时相距小偷1.5×30＝45级阶梯，警察追上小偷需要45秒，在这45秒内，小偷可以跑上1.5×45＝67.5级阶梯，那么追上小偷后，小偷在第112～第113级阶梯之间，没有超过150，所以警察能在自动扶梯上抓住小偷。 【详解】根据分析可知警察能在自动扶梯上抓住小偷。 【点睛】解答本题时，我们需要重点注意，逆向跑上扶梯的速度计算问题。 4．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了50级到达楼上，男孩走了150级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【答案】100级 【分析】女孩是顺行，男孩是逆行，根据顺行时，人走的级数＋电梯走的级数＝可见级数，逆行时，人走的级数－电梯走的级数＝可见级数，利用可见级数相等，建立等量关系，即可得出答案。 【详解】设女孩的速度为V，则男孩的速度为3V。电梯的运行速度是V电梯。 50＋V电梯×150－V电梯× 解得：1 可见级数：50＋1×50＝100（级） 答：当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有100级。 5．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，每秒走一级台阶，男孩由上往下走，每秒走两级台阶，结果女孩走了30级到达楼上，男孩走了60级到达楼下。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？ 【答案】45级 【分析】由分析可知，女孩是顺行，男孩是逆行，女孩顺行时，人走的级数＋电梯走的级数＝可见级数，男孩逆行时，人走的级数－电梯走的级数＝可见级数，利用可见级数相等，建立等量关系，即可得出答案。 【详解】女孩顺行时，电梯运行时间：30÷1＝30（秒） 男孩逆行时，电梯运行时间：60÷2＝30（秒） 令电梯的运行速度是V电梯。 30＋V电梯×30＝60－V电梯×30 解得：V电梯＝0.5 从站台到地面台阶数：30＋0.5×30＝45（级） 答：当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有45级。 6．淘气与笑笑两个人在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么如果淘气攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 【答案】35秒 【分析】根据顺行时，人走的级数＋电梯走的级数＝电梯的可见级数，来建立等量关系，从而计算出电梯的运行速度，代入等式的左右任意一边，即可得出可见级数，再除以淘气的速度，从而得出答案。 【详解】令电梯的运行速度是V电梯。 V电梯×28＋28×2＝V电梯×20＋3×20 解得：V电梯＝0.5 可见级数：0.5×28＋28×2＝70（级） 淘气攀登静止的电梯需要用时：70÷2＝35（秒） 答：淘气攀登静止的电梯需要用时35秒。 7．妙想在搭一座电扶梯下楼。如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部。请问这座电扶梯有几阶？（时间包括妙想走台阶的时间） 【答案】49阶 【分析】根据顺行时，人走的级数＋电梯走的级数＝电梯的可见级数，来建立等量关系，即可得出答案。 【详解】令电梯的运行速度是V电梯。 V电梯×30＋14＝V电梯×18＋28 解得：V电梯＝ 可见级数：×30＋14＝49（阶） 答：这座电扶梯有49阶。 8．在乘电动扶梯的同时奇思向上走需10秒上楼，如果停电了奇思从电动扶梯走上楼需15秒。那么奇思站着不动乘电动扶梯上楼需多少秒？ 【答案】30秒 【分析】假设扶梯共60米，根据在乘电动扶梯的同时奇思向上走需10秒上楼，可以得出电动扶梯＋奇思的速度和是60÷10＝6米/秒，根据停电了奇思从电动扶梯走上楼需15秒，可以得出奇思的速度是60÷15＝4米/秒，从而得出电梯的运行速度是6－4＝2米/秒，所以奇思站着不动乘电动扶梯上楼需60÷2＝30秒。 【详解】假设扶梯共60米 电动扶梯＋奇思的速度和：60÷10＝6（米/秒） 奇思的速度：60÷15＝4（米/秒） 电梯的运行速度：6－4＝2（米/秒） 奇思站着不动乘电动扶梯上楼用时：60÷2＝30（秒） 答：奇思站着不动乘电动扶梯上楼需30秒。 9．小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？ 【答案】20秒 【分析】假设从一楼到二楼的路程为60米，站在不动时，需30秒，可计算出电梯的运行速度是60÷30=2米/秒；如果乘电动扶梯的同时，淘气也向上走，需12秒，则电梯与淘气的速度和是60÷12=5米/秒，则可算出淘气步行的速度是5-2=3米/秒，所用需用时60÷3=20秒。 【详解】假设从一楼到二楼的路程为60米。 电梯速度：60÷30＝2（米/秒） 电梯与淘气步行速度：60÷12＝5（米/秒） 淘气步行速度：5－2＝3（米/秒） 淘气用时：60÷3＝20（秒） 答：淘气徒步沿扶梯上楼需20秒。 10．自动扶梯由下向上匀速运动，每秒向上移动1级台阶。笑笑在扶梯顶部开始往下行走，每秒走3级台阶。已知自动扶梯的可见部分共100级，那么笑笑从顶部走到底部的过程中，自动扶梯移动了多少级台阶？ 【答案】50级 【分析】笑笑每秒向下走3级，扶梯每秒向上走1级。则笑笑实际每秒向下移动2级，扶梯可见部分共100级，则需100÷2＝50秒，在这期间，扶梯扶梯移动了50×1＝50级。 【详解】笑笑实际每秒向下移动：3－1＝2（级） 笑笑从顶部走到底部用时：100÷2＝50（秒） 自动扶梯移动级数：50×1＝50（级） 答：笑笑从顶部走到底部的过程中，自动扶梯移动了50级台阶。 11．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时有多少级？ 【答案】100级 【分析】男孩40秒内共走80级，女孩50秒内共走50÷2×3＝75级，男孩和女孩走过的级数差是由于在行走过程中，扶梯因自身速度不断缩短导致的，因为扶梯速度不变，因此缩短的级数差就是因为时间不同所导致的，（80－75）÷（50－40）＝0.5就是扶梯速度，用男孩40秒内走的级数加上缩短的级数即可。 【详解】40×2＝80（级）； 50÷2×3 ＝25×3 ＝75（级）； （80－75）÷（50－40） ＝5÷10 ＝0.5（级/秒）； 80＋0.5×40 ＝80＋20 ＝100（级）； 答：该扶梯静止时有100级。 【点睛】先求出扶梯速度是解答本题的关键，再用男孩或女孩所走的级数加上缩短的级数即可。 12．小霞与小宝两个孩子比赛登电梯，已知他俩攀登电梯的速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相反方向从一楼登上二楼，分别用时60秒和30秒，那么如果他们攀登静止的电梯需要用时多少秒？ 【答案】小霞攀登静止的电梯需要用时30秒；小宝攀登静止的电梯需要用时20秒； 【分析】设未知数：设电梯每秒运行的台阶数为x ，根据不同人的攀登速度、时间与电梯运行方向的关系，分别表示出从一楼到二楼的台阶总数（人攀登的台阶数与电梯运行台阶数的组合）。列方程求解：根据从一楼到二楼台阶总数不变这一条件，列出方程并求解，得到电梯每秒运行的台阶数x 。计算台阶总数：将求出的x代入任意一个表示台阶总数的式子中，算出从一楼到二楼的台阶总数。计算静止攀登时间：根据 “时间＝台阶总数÷人攀登静止电梯的速度”，分别计算不同人攀登静止电梯所需的时间 。 【详解】解：设电梯每秒走x个台阶。 小霞攀登电梯的速度是每秒2个台阶，用时60秒，因为她是沿电梯运行方向的相反方向攀登，所以小霞走过的台阶数是（2－x）×60个。 小宝攀登电梯的速度是每秒3个台阶，用时30秒，同理小宝走过的台阶数是（3－x）×30个。 由于从一楼到二楼的台阶总数是固定的，那么可得方程： （2－x）×60＝（3－x）×30 2×60－x×60＝3×30－x×30 120－60x＝90－30x 60x－30x＝120－90 30x＝30 x＝30÷30 x＝1 （2－1）×60＝1×60＝60（个） 60÷2＝30（秒） 60÷3＝20（秒） 答：小霞攀登静止的电梯需要用时30秒；小宝攀登静止的电梯需要用时20秒。 【点睛】此类电梯攀登问题主要通过分析人在电梯运行时的攀登情况，建立等式关系求出电梯速度，进而得到静止时攀登所需时间。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $