精品解析：山东省济宁市任城区2025-2026学年高二上学期1月第四次联考数学试题

数学 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. “直线经过第一、二、四象限”是“”的（ ） A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知椭圆的左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A B. C. D. 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ）． A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 6. 和直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，若，且平面，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 为使椭圆＋＝1离心率为，正数m的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 实数x，y满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，，．在四棱锥中，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 13. 在等差数列中，，则______． 14. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，. （1）证明：； （2）点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值. 16. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 17. 已知数列满足，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）求n为何值时，最小． 18. 已知平面内点，，以为直径的圆过点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且倾斜角为锐角直线交曲线于，两点，且，求直线的方程. 19. 如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B. （1）若，求弦AB中点的轨迹方程； （2）过点M作抛物线另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一､单选题（每小题5分，共40分） 1. “直线经过第一、二、四象限”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线经过第一、二、四象限求得k的取值范围，进而得到其与“”逻辑关系. 【详解】要使 经过第一、二、四象限， 则  ，解得：  ， 因此，“直线经过一、二、四象限” 是“”的充要条件． 故选：C 2. 已知椭圆左､右顶点分别为，点在椭圆上，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆方程得到的坐标，再结合斜率公式即可求解 【详解】由题意知． 设，则， 为椭圆上一点， ，即， 即． 故选：A 3. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 4. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 5. 已知数列的前n项和为，且，，则（ ）． A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 【答案】C 【解析】 【分析】利用与的关系和累乘法求出即得解. 【详解】因为，， 所以当时，，化为， 从而，所以．适合. 所以 故． 故选：C 6. 和直线关于轴对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点，并求出直线的斜率，由此可得出所求直线的方程. 【详解】直线交轴于点，且直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：C. 7. 已知，，，若，且平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得出可求得的值，由平面，可得出，可得出关于实数、的方程组，进而可解得实数、的值，由此可得出向量的坐标. 【详解】，，，则，解得， ， 平面，、平面，所以，，， 则，解得，因此， 故选：D. 【点睛】本题考查利用向量垂直、线面垂直求参数，考查计算能力，属于中等题. 8. 已知实数、、、满足：，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定、在圆上，且，题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算得到答案. 【详解】设、，，，， 故、在圆上， 且， 因为，则， 因为，则是边长为的等边三角形， 表示、到直线的距离之和， 原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， ，， 故在圆上，. 故的最小值为. 故选：D. 二､多选题（每小题6分，共18分） 9. 为使椭圆＋＝1的离心率为，正数m的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】分焦点在x轴上和y轴上，根据离心率公式直接求解可得. 【详解】当焦点在x轴上时，，则， 所以，，解得； 当焦点在y轴上时，，则， 所以，，解得. 故选：CD 10. 实数x，y满足，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，与联立，然后利用解出取值范围，即得. 【详解】令，可得， 则直线与圆， 将代入方程， 得 解得，即. 故选：BCD. 11. 如图，在四棱锥平面展开图中，四边形为直角梯形，，，．在四棱锥中，以下结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. C. 三棱锥的外接球表面积为 D. 平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面图还原立体图，由面面的垂直的判定定理判断选项A，根据勾股定理计算判断选项B，先计算底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理计算外接球半径，代入球的面积公式计算即可判断选项C，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量夹角计算公式求解判断选项D. 【详解】由四棱锥的平面展开图还原立体图， 可得平面，，， 又平面，所以，， 在直角梯形中，，， 所以，即，又因为平面， ，所以平面，又平面， 所以平面平面，故A正确； 因为，， 所以，故B正确； 由题意，的外接圆半径为， 所以三棱锥的外接球半径为 ， 所以三棱锥外接球的表面积为 ，故C错误； 由题意，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 因为，，， 平面，所以平面， 所以平面的法向量为， 又，， 设平面的法向量为， 则，得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 ，故D正确. 故选：ABD 三､填空题（每小题5分，共15分） 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－2,1) 【解析】 【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为 考点：直线的斜率公式 点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系． 13. 在等差数列中，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差数列的定义,将用和d来表示，可求得答案. 【详解】因为是等差数列，设其公差为d， 所以根据可得： ， 即 ，则 ， 故答案为：2. 14. 过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长______． 【答案】8 【解析】 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. 四､解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，. （1）证明：； （2）点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，结合菱形对角线互相垂直，得到线面垂直，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小. 【小问1详解】 四棱台中，延长后交于一点，故共面， 因为平面平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故， 因为平面， 故平面， 因为平面， 所以； 【小问2详解】 过点作的垂线交与点，以作为轴，以分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， 由于，故， 由于点是棱上靠近点的三等分点，故， 则， 则， 记平面的法向量为，则， 令，则，即.. 平面的法向量可取为， 则 由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为. 16. 已知圆． （1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径： （2）若直线与圆交于A，B两点，且，求的值． 【答案】（1），圆心坐标，半径为 （2）或 【解析】 【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径； （2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案 【小问1详解】 由，得， 则圆的标准方程为， 圆的圆心坐标，半径为． 【小问2详解】 由，得圆心到直线的距离为， 则圆心到直线的距离，得或． 17. 已知数列满足，，． （1）设，求数列的通项公式； （2）求n为何值时，最小． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再利用累加法求出数列的通项公式； （2）利用作差法判断数列的单调性，即可得到最小的； 【小问1详解】 解：由且，即， 即又，，所以． 当时， ， 当时，上式也成立． 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知． 当时，，即； 当时，； 当时，，即， 所以当或时，的值最小． 18. 已知平面内点，，以为直径的圆过点. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且倾斜角为锐角的直线交曲线于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据题意得到，即可得到轨迹方程. （2）首先设直线的方程为，，，与抛物线联立得到，再根据根系关系和即可得到答案. 【详解】（1）以为直径的圆过点， 即， 整理得：，即点的轨迹方程为. （2）设直线的方程为，，， 与抛物线联立得消去得到， ①，②. 又，即，转化得③. 由①②③及，得. 所以直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查抛物线的几何意义，解决本题的关键是将已知条件转化为，从而得到，属于中档题. 19. 如图，是抛物线对称轴上一点，过点M作抛物线的弦AB，交抛物线于A，B. （1）若，求弦AB中点的轨迹方程； （2）过点M作抛物线的另一条弦CD，若AD与y轴交于点E，连接ME，BC，求证：. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由,设其方程为,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦中点的轨迹方程; （2）用两点式求得的方程为:，的方程为:,由,都经过点,故,进而求得,根据直线平行的充要条件得到. 【小问1详解】 设方程为,联立得， 则, 设中点,则, 因此弦AB中点的轨迹方程为. 【小问2详解】 证明:设，，其中均为正数， 用两点式求得的方程为:, 的方程为:, 因为,都经过点,故, 的方程为:, 与轴交点为，， 而， 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,是解答此类问题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $