精品解析：吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

名校调研系列卷•九年级期末测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，求不等式的解集，掌握反比例函数图象经过的象限确定反比例系数的符号是解题的关键． 根据反比例函数的图象分布在第二、四象限，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限， ∴， 解得，． 故选：D ． 3. 如图是由7个相同小正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，左视图是从左边看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：从左边看到的图形如下： 故选：A． 4. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数不为零和判别式大于等于零．令，，求解出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且． 故选：B． 5. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键． 由是⊙O的直径，得到，再根据及与互余即可求解． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴（同弧所对的圆周角相等）， ． 故选：C． 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．根据位似图形的定义，相似三角形的判定定理依次判断各选项即可． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ， 选项A正确，不符合题意； 与的相似比为， ， 选项B正确，不符合题意； 与是以点为位似中心的位似图形， ， ，， ， 选项C正确，不符合题意； 与的相似比为， ， ， 选项D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】（-1,-3） 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式得顶点为可得答案． 【详解】解：∵抛物线顶点式得顶点为， ∴抛物线的顶点坐标是（-1，-3） 故答案为（-1，-3）． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点式的顶点坐标，熟记二次函数的顶点式及坐标是解题的关键． 8. 成语“日出东方”，从数学的观点看，成语中描述的事件是___________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 【答案】必然 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断成语描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“日出东方”，是必然会发生的事件．因此，成语中描述的事件是必然事件． 故答案为：必然． 9. 如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，根据正切的定义可得，即得，进而根据勾股定理得，再根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11. 如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形应用，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， 即该同学的身高为． 故答案：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，把特殊角的三角函数值代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 13. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当时，则的取值范围为______． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，反比例函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把点代入，求出，即可作答． （2）在第一或第三象限内，随着的增大而减小，再结合，故或，即可作答． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由（1）得， 则在第一或第三象限内，随着的增大而减小， ∴当时，则，解得， 当时，则或． 14. 如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据三边成比例的两三角形相似，得证，即可作答． 【详解】证明：，，，，，， 则， ， ． 15. 有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______； （2）小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，概率公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，运用概率公式求解，即可作答． （2）先画树状图，再得出共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种，运用概率公式求解，即可作答． 【小问1详解】 解：∵有4张背面完全相同的扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4， ∴小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是； 【小问2详解】 解：由题意，画树状图如图． 由树状图知，共12种等可能的结果，其中积为奇数的结果有2种， ∴两个数字乘积为奇数的概率． 16. 某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙的空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意列不等式求出的取值范围，再根据矩形的面积公式即可求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 解得， ， 即； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，有最大值，最大值是． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留必要的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，以为对角线画一个四边形，使其只是中心对称图形； （2）如图②，在线段上找一点，使； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题为网格作图问题，考查了平行四边形的中心对称性，相似三角形的判定与性质，求角的正切函数等知识﹒ （1）作平行四边形即可； （2）作，连接交于点E，问题得解； （3）作，使得，问题得解﹒ 【小问1详解】 解：如图①所示，即为所求． 证明：由作图可知，， ∴四边形为平行四边形， ∴平行四边形只是中心对称图形； 【小问2详解】 解：如图②所示，点即为所求． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图③所示，点即为所求． 证明：在中，﹒ 18. 某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 【答案】建筑的高度约为599米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长，再用的长即可得出结果． 【详解】解：过点作，由题意，可知：，四边形为矩形， ∴， 在中，； 在中，， ∴； 答：建筑的高度约为599米． 19. 如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，弧与圆周角的关系，等角对等边，等边三角形的性质与判定，求扇形面积； （1）延长交于点，根据垂径定理可得，根据已知可得，即可得出则，根据等角对等边，即可得证； （2）根据已知先证明是等边三角形，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，延长交于点， ∵ ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接 ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 在中， ∴ 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． （1）点的坐标是______； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了几何动点问题综合，涉及含角直角三角形的性质、二次函数性质、一元一次方程、勾股定理，根据点的运动情况分类讨论是解决问题的关键． （1）根据含角直角三角形的三边关系得到、的长，即可得解； （2）当点和点重合时，，列出一元一次方程，即可解答； （3）先确定的取值范围，然后分类讨论：当时；当时；根据三角形和梯形面积公式分别列式即可解答． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当点和点重合时，则， 依题意得：，， 则，， ， 解得， 即当点与点重合时，； 【小问3详解】 解：当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当点与点重合时，依题意得：， 解得， 当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动， ， 分两种情况讨论： 当时，如图， ， ， ； ②当时，如图，交于点， ， ， ， ， ； 综上所述，． 21. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图①，连接、，在纸片绕点旋转的过程中，的值是______； 【深入探究】 （2）如图②，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转的过程中，若以、、三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）详见解析，；（3）的面积为． 【解析】 分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）①连接，延长交于点Q，根据（1）得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可． （3）运用分类思想解答即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵是中线， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∵， ∴； ②延长交于点Q，连接，根据（1）得， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图，，作于点，作交延长线于点，由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； 如图，，作于点，作交延长线于点， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积； ∴的面积为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点的坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）2或3 （4）且 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合问题，熟练掌握二次函数基本性质，能够求出函数解析式是解题关键． （1）根据二次函数的顶点列式，然后解出即可解答； （2）根据二次函数图像的性质即可解答； （3）先求出两点坐标，然后对进行分情况讨论即可； （4）画出当时，当时的图形，然后再根据数形结合进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点的坐标为， ∴，， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，点越靠近对称轴，对应的函数值越小， ∴当时，在时，取得最小值，当时，取得最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为：， ∴时，， 解得或， 又∵抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，两个解都不符合题意，舍去； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得，符合题意； 当时，抛物线在点和点之间的部分的最低点为点，最高点为， 此时， 解得或，不符合题意，舍去， ∴综上，的值为或． 【小问4详解】 解：①当时，如下图，矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，符合题意； ②当时，如下图，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而减小，在矩形内部的点的纵坐标都随的增大而增大，故不满足抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小，不符合题意； 当时，两点重合，不构成矩形，故不符合题意； ∴综上，当且时，抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷•九年级期末测试 数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小正方体搭成的几何体，其左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 5. 如图，是的直径，A，C在圆上，，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 抛物线的顶点坐标是__________． 8. 成语“日出东方”，从数学的观点看，成语中描述的事件是___________事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）． 9. 如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则_____． 10. 如图，在中，，点在边上，若，，，则的值为______． 11. 如图，已知灯杆的高度，在灯光下，某学生从灯杆底部处沿直线前进到达点时，测得他的影长．则该同学的身高为___________m． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12 计算：． 13. 已知反比例函数（为常数，且）的图象经过点． （1）求这个反比例函数的解析式； （2）当时，则的取值范围为______． 14. 如图，在中，已知，，．在中，已知，，，求证：． 15. 有4张背面完全相同扑克牌，正面的数字分别是1、2、3、4，现将它们背面朝上搅匀后放在桌面上． （1）小明从中随机抽取一张，抽到的扑克牌正面为数字3的概率是______； （2）小刚从中一次性随机抽取两张扑克牌，记下每张扑克牌上的数字，用列表或画树状图的方法求抽到的扑克牌正面上的两个数字乘积为奇数的概率． 16. 某学校为方便开展劳动教育，要在学校一处靠墙空地上设计一片矩形菜园．如图是学校围墙一角的平面图，两道墙之间的夹角为直角，两道墙可用于建菜园的长度都不超过．可用的篱笆总长度为．把篱笆按如图所示的方式扎下后和两道墙构成矩形．设的长为，菜园的面积为． （1）求菜园面积（单位：）关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求菜园面积的最大值． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留必要的作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，以为对角线画一个四边形，使其只中心对称图形； （2）如图②，在线段上找一点，使； （3）如图③，在线段上找一点，连接，使． 18. 某地的地标性建筑如图所示．为测量此地标性建筑的高度，某数学兴趣小组在该地标性建筑附近一座居民楼顶处测得地标性建筑顶处的仰角为，地标性建筑底部处的俯角为．已知居民楼的高约为171米，请你计算地标性建筑的高度．（结果精确到1米．参考数据：，，） 19. 如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． （1）求证：． （2）若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，，点与坐标原点重合，．、两点分别从点、同时出发，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动．过点作于点，以、为邻边作矩形．设点的运动时间为秒，矩形和重叠部分图形的面积为． （1）点的坐标是______； （2）当点与点重合时，求的值； （3）求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 21. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图①，连接、，在纸片绕点旋转的过程中，的值是______； 【深入探究】 （2）如图②，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时． ①求证：； ②求的长； 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转的过程中，若以、、三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，请直接写出的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点的坐标为，点在此抛物线上，且横坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围是______； （3）当时，若抛物线在点和点之间的部分（包含、两点）的最高点与最低点的纵坐标之差是，求的值； （4）连接，以为对角线构造矩形，且矩形的边均与某条坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $