精品解析：陕西省山阳中学2025-2026学年高二上学期1月阶段测试数学试题

陕西省山阳中学2025-2026学年阶段测试卷 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点和直线，则点到直线的距离为（ ） A B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和，若，则的值为（ ） A B. C. D. 5. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 6. 在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，且直线与双曲线的右支交于点，若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 10. 已知直线，点为圆上一点，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 与圆关于直线对称的圆的方程为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 平行于且与圆相切两条直线方程为和 11. 已知正方体棱长为2，为棱的中点，下列说法正确的有（ ） A. 向量在向量方向上的投影向量为 B. 平面与平面的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为3 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 13. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 14. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点．已知抛物线：的焦点为，一束平行于抛物线对称轴的光线从点出发，经抛物线反射后与抛物线交于另一点，则线段的长度为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在长方体中，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 16. 已知圆的圆心在轴上，经过两点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 17. 在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与点的轨迹交于两点，弦的中点为点，求直线的方程； （3）求点到直线距离最小值． 18. 如图，在多面体中，，为等边三角形，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省山阳中学2025-2026学年阶段测试卷 高二数学 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线倾斜角与斜率的关系，即可得到结果. 【详解】设直线的倾斜角为， 由可得，则直线的斜率，所以. 故选：B 2. 已知点和直线，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程即可求解. 【详解】由可得，所以焦点为， 故选：B 4. 已知直线和，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线垂直的一般式的结论即可求解. 【详解】由可得，解得. 故选：D 5. 圆与圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，利用几何法可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为，所以， 即，所以圆与圆相交. 故选：A. 6. 在空间四边形中，点在线段上，且为线段的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则，整理计算，即可得答案. 【详解】由题意 . 所以. 故选：C 7. 在直三棱柱中，，，点在线段上，且，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，求出直线与一个方向向量，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图：建立空间直角坐标系，则，， ，， 直线与所成角的余弦值为. 故选：B 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，且直线与双曲线的右支交于点，若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据条件可得、Q为的中点，结合中位线的性质，可得、的长，根据双曲线的定义，可得a，b的关系，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】连接， 因为Q为切点，O为圆心，所以， 因为，所以Q为的中点， 因为，所以，则， 因为O为的中点，Q为的中点， 所以OQ为的中位线，则， 由双曲线的定义得，则，解得， 所以离心率. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 当时，曲线是椭圆 B. 当或时，曲线是双曲线． C. 当时，双曲线的渐近线方程为 D. 当曲线的离心率为时，的值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用椭圆，双曲线的标准方程的特点依次判断A,B；当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为；分两种情况讨论，即可求解. 【详解】当时，即且时，曲线为椭圆，故A错误； 当时，即或时曲线为双曲线，故B正确； 当时，双曲线：，双曲线的渐近线方程为，故C正确； 当曲线的离心率为时,,所以，或，解得或. 经检验或符合题意.故D错误 故选：BC 10. 已知直线，点为圆上一点，则（ ） A. 直线与圆相离 B. 与圆关于直线对称的圆的方程为 C. 点到直线距离的最大值为 D. 平行于且与圆相切的两条直线方程为和 【答案】AB 【解析】 【分析】选项A，求出圆心，半径，圆心到直线的距离为，由得到直线与圆相离；选项B，设圆心关于直线的对称点为，则直线与直线垂直，利用斜率乘积等于得到关于的坐标的等式，由和的中点在直线上得到关于的坐标的另一个等式，这两个等式联立方程组解出的值就是的横纵坐标；由所求的圆与圆关于直线对称得到所求的圆的半径，利用圆的标准方程求出所求的圆的方程；选项C，求出圆心到直线的距离为，半径，则点到直线距离的最大值为，代入数值得解；选项D，设与直线平行的直线方程为，圆心到直线的距离为，由直线与圆相切得到，从而得到的方程，解出的值，从而得到平行于且与圆相切的两条直线方程. 【详解】选项A，，圆心，半径， 圆心到直线的距离为， ，，直线与圆相离，故选项A正确； 选项B，设圆心关于直线的对称点为， 则直线与直线垂直， 直线的斜率为，， ，①， 和的中点为在直线上， ②， ①②联立方程组解得，， 所求的圆与圆关于直线对称，所求的圆的半径， 所求的圆的方程为，故选项B正确； 选项C，圆心到直线的距离为， 半径，点到直线距离的最大值为，故选项C错误； 选项D，设与直线平行的直线方程为， 圆心到直线的距离为， 直线与圆相切，， ，，，，或， 平行于且与圆相切的两条直线方程为和，故选项D错误. 故选：AB. 11. 已知正方体棱长为2，为棱的中点，下列说法正确的有（ ） A. 向量在向量方向上的投影向量为 B. 平面与平面的夹角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的表面积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为3 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用投影向量的坐标公式判断A，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的坐标公式判断B，将三棱锥补成长方体判断C，作出截面计算判断D. 【详解】选项A：正方体中以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，，， 所以向量在向量方向上的投影向量为，A说法正确； 选项B：因为，， 设平面的法向量， 则，解得平面一个法向量， 易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为，B说法错误； 选项C：三棱锥的外接球可看作长为2，宽为2，高为1的长方体的外接球， 直径为该长方体的体对角线，即， 所以外接球表面积，C说法正确； 选项D：取中点，连接， 所以，则平面截正方体所得截面为等腰梯形， 因为，， 根据等腰梯形的性质可得等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为，D说法错误； 故选：AC 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线方程为，无论为何值，直线恒过定点___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用参数分离法即可解决直线恒过定点问题. 【详解】直线的方程可变形为， 由题意可知，解得. 故直线恒过定点. 故答案为： 13. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，为定点，则的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆定义可知，取得最大值时，即最大，根据三角不等式即可解出﹒ 【详解】根据椭圆的定义：， 取得最大值时，即最大. 由题意知， 如图所示：， 当，，共线，即为延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为﹒ 故答案为： 14. 抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点．已知抛物线：的焦点为，一束平行于抛物线对称轴的光线从点出发，经抛物线反射后与抛物线交于另一点，则线段的长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出焦点，设光线与抛物线的交点为，反射后与抛物线交于另一点，则反射光线过焦点，由的坐标设出的坐标，由为抛物线上的点，可得到的坐标，求出直线的方程，联立抛物线方程，解出，的值，从而得到的坐标，即可求出. 【详解】，，，，焦点. 设一束平行于抛物线对称轴的光线从点出发，光线与抛物线的交点为， 反射后与抛物线交于另一点，则反射光线过焦点， ，， 为抛物线上的点，，，， ，，， 直线的方程为，即， 联立，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，解得或， 将代入中解得，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在长方体中，． （1）求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行判定定理证明平面平面； （2）以为原点建立空间坐标系，利用空间点到平面的距离公式计算出点到平面的距离． 【小问1详解】 已知是长方体， 且，四边形是平行四边形，则， 且，四边形是平行四边形，则， 又平面，又平面，， 平面，平面，， 故平面平面. 【小问2详解】 已知是长方体， 以为原点，为轴建立空间坐标系， 由可得：， ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，计算得：，， 故平面的法向量为， 点到平面的距离. 16. 已知圆的圆心在轴上，经过两点． （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段中垂线方程，结合已知求出圆心及半径即可. （2）由给定弦长求出圆心到直线的距离，再按斜率存在与否求出方程. 【小问1详解】 由，得线段中点，直线的斜率， 因此线段中垂线方程为，当时，， 依题意，圆的圆心，半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 由直线被圆所截弦长，得圆心到直线的距离， 又直线过点，圆心到直线的距离为1，则直线的方程可以为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 17. 在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离． （1）求动点的轨迹方程； （2）直线与点的轨迹交于两点，弦的中点为点，求直线的方程； （3）求点到直线距离的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义求出轨迹方程； （2）利用点差法求直线方程； （3）根据点到直线的距离公式和二次函数的最值求解. 【小问1详解】 点到点的距离等于点到直线的距离， 故所求动点的轨迹为以原点为顶点，开口向右的抛物线，且， ． 点的轨迹方程为． 【小问2详解】 设，， 则，两式相减得， 则，得，即直线的斜率为2， 所以直线的方程为，即； 【小问3详解】 设点， 则点到直线的距离为， 当时，， 所以点到直线距离的最小值为. 18. 如图，在多面体中，，为等边三角形，点为的中点，平面平面． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用平面平面，可得平面，从而，结合以及线面垂直的判定定理即可证明； （2）由题意以F为坐标原点建立空间直角坐标系，设，利用直线与平面所成角的正弦值为列出等式，求解即可. 【小问1详解】 平面平面，平面平面， 又平面，且，平面，又平面，， 又为等边三角形，点为的中点，. 又平面且，平面. 【小问2详解】 存在点，理由如下： 由题意，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， ，， 设，，则， ，， 又， 设平面的法向量为， ，令，则，， 平面的法向量为. 又直线与平面所成角的正弦值为，， 即，解得或， 或. 19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）记椭圆左、右顶点分别为，为坐标原点．过点的直线与交于两点． （i）若的面积为，求； （ii）设直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）（i）根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，可得，由面积公式可得，解出，然后由弦长公式，即可得到结果； （ii）设直线的方程为，直线的方程为，可得，即，代入运算，即可证明. 【小问1详解】 由可得，所以椭圆方程为. 小问2详解】 （i）设直线的方程为，， 联立直线与椭圆方程可得，消去可得， 由韦达定理可得， 且，即， 即， 即， 化简可得，即， 化简可得，所以， 所以； （ii）椭圆左顶点，右顶点， 直线的方程为，直线的方程为， 设， 则，即， 由，代入可得， 又， 则，， 代入可得， 化简可得，解得， 所以点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $