18.1.1勾股定理 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索与应用，以电线杆拉钢索问题导入，通过测量直角边为整数的直角三角形、方格纸中正方形面积割补计算等活动，引导学生从具体实例归纳定理，构建从实际问题到抽象结论的学习支架。 其亮点在于以学生探究为核心，通过动手操作培养推理意识，结合中考题、《九章算术》变式题渗透应用意识。采用问题驱动和分层练习，帮助学生深化理解，教师可直接用于课堂提升教学效率，助力学生发展数学思维与应用能力。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 18.1.1勾股定理 第18章 勾股定理及其逆定理 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 思考 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 为了解决这个问题，我们今天要研究 直角三角形三边之间的数量关系. 知识点1 探索勾股定理 2 在直角三角形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 知识点1 勾股定理 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系. 3 思考 (1)在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入表中.看看三边长的平方之间有怎样的关系？ 知识点1 勾股定理 3 5 4 5 12 13 6 8 10 4 可以发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 知识点1 勾股定理 a b c a2，b2，c2之间关系 3 4 5 3²+4²=5² 5 12 13 5²+12²=13² 6 8 10 6²+8²=10² 5 1.［知识初练］如图，在 中， ，，，则 的长为 ( ) D A. B. C. D. 中考考法 6 【变式题】 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术 曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”.即 为勾，为股， 为弦)，若“勾”为3，“股”为5，则 “弦”是 _____. 中考考法 7 (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 知识点1 勾股定理 观察图1,正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 9 8 知识点1 勾股定理 割：分割为四个直角三角形和一个小正方形 补：补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 9 (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 知识点1 勾股定理 观察图1，正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 9 18 该直角三角形三边长的平方分别是9,9,18，即9+9=18. 10 知识点1 勾股定理 A B C 图2 如图2，正方形A，B，C的面积分别是4，4，8，所以该直角三角形三边长的平方分别是4，4，8，即4+4=8. 这两个直角三角形的三边长均满足上面所猜想的数量关系： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. (2)如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗? 11 (3)图中的直角三角形是否也具有这样的关系? 知识点1 勾股定理 9 16 25 9 1 10 上面所猜想的数量关系仍然成立. 12 D 中考考法 13 3．若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为________. 4．[福州期中]如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，BC⊥OC于点C，BC＝1，以O为圆心、OB长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________. 8 中考考法 14 如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.　 知识点1 勾股定理 2.4 1.6 上面所猜想的数量关系仍然成立. 将该直角三角形放在方格中，一个方格的边长为0.2个单位长度，用同样的方法即可验证 15 通过上面的活动，可以发现：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 知识点1 勾股定理 A B C ∟ a b c 较长的直角边 较短的直角边 斜边 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦. 因此，人们把上面的结论称为勾股定理. 16 a A B C b c ∟ 勾股定理：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2． 几何语言： 如图，在Rt△ABC中 ，∠C=90°， 所以a2+b2=c2. 知识点1 勾股定理 5. 在中， . (1)若，，则 ____； (2)若，，则 ___； (3)若 ，，则 _____. 17 4 2 中考考法 18 6.如图，大正方形的面积是_________，另一种 方法计算大正方形的面积是_____________， 两种结果相等，推得的等式是_____________， 这个等式被称为__________. 勾股定理 中考考法 19 例1 从电线杆离地面8 m处向地面拉一根钢索，如果这条钢索离地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长的钢索？ 解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 即62+82=AB2， 所以AB=10 m. 所以需要10 m长的钢索. 知识点1 勾股定理 20 跟踪训练 1.求下列直角三角形中未知边的长. 知识点1 勾股定理 8 x 17 12 5 x 解：(1)由勾股定理，得 82+ x2=172， 即x2=172-82， x=15. (2)由勾股定理，得 52+ 122= x2， 即x2=52+122， x=13. (1) (2) 21 7.下列不能用来证明勾股定理的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 22 8.如图，①②③是三个正方形，②的面 积为56，③的面积为28，则①的面积为 ( ) C A.28 B.56 C.84 D. 中考考法 23 【变式题】 如图，以一个直角三角形的三 边为直径作3个半圆，若半圆形、半圆形 的面积分别是4、5，则半圆形 的面积是___. 1 中考考法 24 9.［分类讨论思想］[2024·亳州期末] 若直角三角形的两边长 分别为和 ，则第三边长为( ) C A. B. C.或 D.或 中考考法 25 (第10题) 10．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处，则边AB上的中线长为________. 中考考法 26 11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点， 连接BD，DE.将△CDE沿DE翻折， 点C落在BD上的点F处，求CE的长. 思维过程 (1)条件分析：D是AC的中点，则CD＝________；由翻折的性质可知，EF＝__________，DF＝________＝________． 3 CE CD 3 中考考法 27 (2)问题转化：求CE或求EF，尝试勾股定理．以CE或EF为边的直角三角形中，哪个三角形已知两条边或各边可用含有CE的式子表示？ (3)计算求值：CE＝________． 中考考法 28 12．[福州期末]如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(8分) (1)在边BC上求作点Q，使得AQ平分∠BAC；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：(1)如图，点Q即为所作． 中考考法 29 (2)在(1)的条件下，若AC＝4，AB＝5，求点Q到直线AB的距离． 解：如图，作QH⊥AB于点H. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，由勾股定理得BC＝ ∵AQ平分∠CAB，∠C＝90°，QH⊥AB， ∴CQ＝HQ. 中考考法 30 ∴Rt△ACQ≌Rt△AHQ， ∴AH＝AC＝4，∴BH＝AB－AH＝1. 设HQ＝CQ＝x，则BQ＝BC－CQ＝3－x. 在Rt△BHQ中，由勾股定理得BQ2＝BH2＋HQ2， 中考考法 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方. 如果用a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2. 利用勾股定理进行简单计算. 探索勾股定理 2．[淮北期中]在平面直角坐标系中，点A(3，－4)到原点的距离为(　　) A. B．4 C．2 D．5 ＝＝3. 在Rt△ACQ和Rt△AHQ中， 即(3－x)2＝12＋x2，解得x＝. 即点Q到直线AB的距离为. $