精品解析：辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题

辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中任意一点到轴的距离公式计算即可. 【详解】因为点，所以点到轴的距离为. 故选：B 2. 已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求解渐近线方程，进而求解倾斜角即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，则的倾斜角为或. 故选：D 3. 某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】求出4人随机站成一排的全排列数，然后求教练站两边的排列数，两数相减即可. 【详解】1名教练和3名学员站成一排，有种站法， 其中教练站两边有种站法，所以教练不站在两边的排法种数为. 故选：B 4. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，从而得，写出直线的点斜式方程，再化成一般式即可. 【详解】圆的圆心为， 则直线的斜率， 因为过圆上一点的切线与该点和圆心所在的直线垂直， 即， 所以， 则切线的斜率， 所以直线的方程为， 即. 故选：C. 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法求解即可. 【详解】由题意知， 所以点到平面的距离. 故选：A. 6. 已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定的 【答案】C 【解析】 【分析】利用 “对称轴是对称点连线的垂直平分线” 这一性质，通过两个关键条件建立方程组求解即可. 【详解】因为点在轴上，故设（为实数）， 因为直线的斜率为−1，直线与直线垂直，故两直线的斜率乘积为. 则直线的斜率为，即. 因为点与点的中点为，该点在直线上， 所以代入可得：. 所以，化简可得，解得. 故选：C 7. 设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由抛物线的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可知的坐标为的准线的方程为， 由抛物线的定义可知|MF|等于到的距离， 所以的最小值为到的距离，即最小值为. 故选：D 8. 给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（ ） A. 192 B. 168 C. 224 D. 208 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法计数：先给，，三块区域涂色，再给区域涂色，然后给区域涂色，最后给区域涂色，即可求解. 【详解】第一步，给，，三块区域涂色，有种涂色方法； 第二步，给区域涂色，有种涂色方法； 第三步，给区域涂色，有种涂色方法； 第四步，给区域涂色，有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数是，故A正确. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 在平面上的投影向量的模长为 D. 在上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A：向量分解法，拆分为基向量（）的组合，结合点的中点关系推导表达式； 选项B：向量点积法，展开，利用直三棱柱侧棱垂直、正三角形夹角性质计算点积； 选项C：平面投影，作向量端点到平面的垂线，用勾股定理算投影向量模长； 选项D：直线投影，作端点到直线的垂线，或用投影公式算投影向量； 【详解】因为直三棱柱所有棱长为1，分别是，中点，所以 选项A：，A正确； 选项B ：因为底面是正三角形，所以与的夹角是，与的夹角是， 所以； ； 又，故， 所以 ，B错误； 选项C ：过作平面，垂足为，易知， 过作平面，垂足为，易知， 即在平面上的投影向量为， 所以.C正确； 选项D ：过作，垂足为，易知，过作，垂足为， 易知，即在上的投影向量为， 因为，则：.D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B. 将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D. 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分步计数原理判断选项A；结合组合数的定义判断选项B；利用捆绑分组法判断选项C；由平均分组分配法判断选项D. 【详解】对于A，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中， 由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数是，A选项正确； 对于B，将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中， 则需要在6个盒子选出5个放入小球，不同的放法种数是，B选项正确； 对于C，将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球， 将其中2个球捆绑在一起，与另两个球分别放入3 个盒子中，不同的放法种数是，C选项错误 对于D， 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球， 把6个球平均分成3组，再分别放入3个盒子中，不同的放法种数是，D选项正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线与直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则被曲线截得的线段长度为 B. 若与没有公共点，则的取值范围为 C. 若与的公共点有且只有一个，则的取值范围为 D. 若与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，首先判断直线与曲线的位置关系，并通过直线与圆的弦长公式进行求解即可；对于B选项，利用圆心到直线的距离大于半径即可判断选项正误；对于C、D选项，通过圆心到直线的距离与半径的关系即可判断选项的正误. 【详解】对于A选项，由，得， 所以曲线是圆心为原点的半圆. 当时，易得与相交，因为到的距离为， 所以被曲线截得的线段长度为，A正确. 对于B选项，若与没有公共点，则到的距离为，B正确. 对于C选项，当与相切时，.由，得. 当与相交时，，得.故的取值范围为，C错误. 对于D选项，当与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个时，且点到的距离为，得（当时，与有公共点，舍去），D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则满足的所有的和为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】利用组合数的性质解组合数方程即可. 【详解】由组合数的性质可得，解得， 又，则或，解得或， 故满足的所有的和为. 故答案为：5 13. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到的周长的表达式为，分析出当时，取得最小值，进而得到的关系，即可求出离心率. 【详解】 的周长为. 因为周长的最小值为8a，所以可得的最小值为. 因为直线过点，所以当时，取得最小值. 令，得，则，解得. 故的离心率为. 故答案为： 14. 某操场的正前方有两根高度均为、相距6 m的旗杆AB，CD（两根旗杆都与地面垂直）.有一条10 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则__________m. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义可以得到其标准方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为，所以的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为的椭圆. 如图，以直线BD为轴，BD的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. 易得该椭圆的方程为. 当时，，得，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先求出线段的中垂线方程，然后再与直线联立可求得圆心，再求出半径，即可求解； （2）将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为，再利用垂径定理可求公共弦的弦长. 【小问1详解】 由题可知直线的斜率为，线段的中点坐标为， 线段的中垂线方程为，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上， 由，得，所以圆心， 又， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 又圆的半径，所以由圆的弦长公式得. 故公共弦的方程为；公共弦的长为. 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，即可得各点坐标和向量坐标，然后由空间向量的数量积证明线线垂直； （2）根据线面角的向量求法即可求出. 【小问1详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则，则，，，，，. ，， 则，所以. 【小问2详解】 在平面中，，，. 设平面的法向量为，则， 即，所以， 令，则，，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知. （1）若，求的值. （2）已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过赋值法，结合已知条件列方程，求解的值. （2）（i）先由二项式系数之和的性质求出，再利用二项展开式的通项公式写出的表达式，列方程求解的值. （ii）根据是展开式中最大的系数，列出不等式，解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 令，则， 令，则， 所以，故. 【小问2详解】 由二项式系数之和为，得，解得. （i）为展开式中的系数，即. 计算，故，得，即. （ii）当时，展开式中第项的系数为（）. 计算相邻两项系数的比值：，， 要使（），需为系数序列的最大值，满足： ①.序列递增到：对，，即， 此时对，，故，满足. ②.序列递减自：对，，即， 此时对，，故，满足. 综上所述，的取值范围是. 18. 已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于A，B两点. （i）若，求的方程； （ii）证明：点在以AB为直径的圆外. 【答案】（1）； （2）（i）或；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义写出抛物线方程； （2）（i）设，联立抛物线并应用韦达定理和抛物线的定义及弦长列方程求参数值，即可得直线方程；（ii）由题设，应用向量数量积的坐标表示，代入韦达公式判断是否成立，即可证. 【小问1详解】 动点到的距离等于到直线的距离， 则是焦点为，准线为的抛物线， 所以的方程为. 【小问2详解】 由题意知的斜率不为0，设， 由，得，则， （i）由 ，得， 所以，即的方程为或. （ii）， 因为 ， 所以，则，故点在以AB为直径的圆外. 19. 如图1，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线，与交于，两点，且的周长为，. （1）求的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为. （i）若直线的斜率为，求； （ii）求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点三角形的周长与椭圆的定义即可求解； （2）（i）联立直线与椭圆方程，根据根与系数的关系得到，，的值，然后利用空间向量的加法法则将向量表示成，求出即可； （ii）将的方程设为，并与椭圆方程联立，根据根与系数的关系得到，的值，结合图形得到三棱锥的底面积和高，最后得到三棱锥的体积关系式，根据的范围即可求求解. 【小问1详解】 依题意，，又的周长为，所以，解得； 又，所以，所以； 所以的方程为； 【小问2详解】 设 （i）由（1）知，，又直线的斜率为，所以MN的方程为， 由，得， 所以， 则. 如图，过作，垂足为，过作，垂足为， 则； 因为二面角的大小为，所以，又，，所以，即； （ii）设的方程为， 由，得，所以； 因为二面角的大小为，所以到平面的距离为； 因为，所以； 所以，当时，等号成立； 故三棱锥体积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高二上学期期末联考数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册至选择性必修第二册第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2. 已知是双曲线的一条渐近线，则的倾斜角可能为（ ） A. B. C. D. 3. 某羽毛球比赛结束，1名教练和3名学员站成一排拍照留念，其中教练不站在两边的排法种数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 4. 过圆上一点作圆的切线，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点关于直线对称的点恰好在轴上，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 无法确定的 7. 设抛物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 给如图所示的六块区域，，，，，涂色，有四种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都要使用），要求相邻区域涂不同颜色，则不同的涂色方法种数是（ ） A. 192 B. 168 C. 224 D. 208 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，直三棱柱的所有棱长均为1，，分别为，的中点，则（ ） A. B. C. 在平面上的投影向量的模长为 D. 在上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 B. 将5个相同的小球放入6个编号不同的盒子中，每个盒子至多放1个小球，而且小球必须全部放入盒中，那么不同的放法种数是 C. 将4个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，小球必须全部放入盒中，每个盒子至少放1个小球，那么不同的放法种数是 D. 将6个不同的小球放入3个编号不同的盒子中，每个盒子放2个小球，那么不同的放法种数是 11. 已知曲线与直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则被曲线截得的线段长度为 B. 若与没有公共点，则的取值范围为 C. 若与的公共点有且只有一个，则的取值范围为 D. 若与没有公共点且上到的距离为2的点有且只有2个，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则满足的所有的和为___________. 13. 已知分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左支交于A，B两点，且周长的最小值为8a，则的离心率为__________. 14. 某操场的正前方有两根高度均为、相距6 m的旗杆AB，CD（两根旗杆都与地面垂直）.有一条10 m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则__________m. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆经过两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）已知圆，求圆与圆的公共弦的方程以及公共弦的长. 16. 如图，已知四边形是直角梯形，，，平面，，是的中点. （1）证明：. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知. （1）若，求的值. （2）已知展开式的所有二项式系数之和为256. （i）若，求的值； （ii）若，且，求的取值范围. 18. 已知动圆经过点，且与直线相切，记圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知过点的直线与交于A，B两点. （i）若，求的方程； （ii）证明：点在以AB为直径的圆外. 19. 如图1，分别是椭圆的左、右焦点，过点作直线，与交于，两点，且的周长为，. （1）求的方程； （2）如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为. （i）若直线的斜率为，求； （ii）求三棱锥体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $