17.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），通过“思考”环节引导学生从求根公式观察两根特点，逐步推导证明定理，衔接前期求根公式知识，构建完整知识支架。 其亮点在于以逻辑推导培养推理能力，例题分层设计（如例2两种解法），结合中考真题与实际情境（如兰兰和笑笑解题错误），落实抽象能力与应用意识。学生能深化理解，教师可直接用于教学，提升效率。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 第 17 章 一元二次方程及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 学习目标 1. 探索一元二次方程的根与系数的关系. (难点) 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. (重点) 一元二次方程的根与系数的关系 思考 我们知道，一元二次方程 ax² + bx + c = 0 ( a≠0 , 且 b2 - 4ac ≥ 0 )的两根为： 观察 x1 ，x2 表达式的特点 ，你有什么发现 ? x1 = , x2 = 1 证一证： 当 b2 - 4ac≥0 时，方程两根之和： 方程两根之和： 1．[知识初练]不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋2x－1＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (2)－x2＋6x－2＝0：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (3)3x2＋x＝6x＋7：x1＋x2＝____；x1x2＝____； (4)(x＋1)(x－2)＝2：x1＋x2＝____；x1x2＝____． －2 －1 6 2 1 －4 中考考法 6 2．已知m，n是一元二次方程x2－2x－4＝0的两个根，则m＋n－mn的值为________. 6 中考考法 7 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1，x2，那么 这个关系通常称为韦达定理. 知识要点 思考与提升 (1) 如果将一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的二次项系数化为 1 ，能化成什么样的形式 ? 因为 a≠0， 将 ax2 + bx + c = 0 的两边同时除以 a，得 这样就可以把原方程化成 x2 + px + q = 0 的形式. 归纳总结 对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q = 0, x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p, x1·x2 = q (2) 一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 有关韦达定理的常见的求值式子如下： 一元二次方程的根与系数的关系的应用 2 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 + 7x + 6 = 0， (2) 2x2 - 3x - 2 = 0. 解： (1) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = -7，x1·x2 = 6. (2) 设方程的两根是 x1，x2，由韦达定理， 得 x1 + x2 = ，x1·x2 = -1. 典例精析 3．[知识初练][马鞍山三模]已知方程x2－5x＋k＝0的一个根为1，则方程的另一个根为________. 4 中考考法 13 4.[天津二模] 已知一元二次方程 的两个 根分别为，，且，，则， 的值 分别是( ) B A.， B.， C.， D.， 中考考法 14 想一想：本题还有别的解法吗？ 解 设方程的另一个根是 x2，则 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. -4 + x2 = -4x2 = 解方程组，得 x2 = ， k = 7. 答：方程的另一个根为 ，k 的值为 7. 解 将 x = –4 代入方程，得 2×( –4 )2 + (–4 )k – 4 = 0. 解得 k = 7. 将 k = 7 代入方程，得 2x2 + 7x – 4 = 0， 例2 已知方程 2x2 + kx - 4 = 0 有两个根，其中一个根 是 -4，求它的另一个根及 k 的值. 解得 x1 = ， x2 = –4. 例3 设 x1，x2 是方程 x2 - 2(k - 1)x + k2 = 0 的两个实数根，且 x12 + x22 = 4，求 k 的值。 解：由方程有两个实数根，得 Δ = 4(k - 1)2 - 4k2≥0， 即 -8k + 4≥0， 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k - 1)，x1 x2 = k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k - 1)2 - 2k2 = 2k2 - 8k + 4 = 4. 解得 k1 = 0，k2 = 4. ∵ ，∴ k = 0. 5.已知、是一元二次方程 的两个根，则 的值是( ) B A. B. C. D.6 中考考法 18 6.若方程的两个根为 ， ，则 的值为( ) C A.2 B. C. D. 中考考法 19 例4 方程 2x² - 3x - 1 = 0 的两个根记作 x1，x2， 求 x1 - x2 的值. ( x1 - x2 )² = ( x1 + x2 )² - 4x1x2 解 由韦达定理，得 x1 + x2 = ，x1x2 = . ∴ x1 - x2 = = ( )² + 4× = . 数学拓展 二次三项式 ax² + bx + c ( abc≠0 ，a，b，c 为常数 ) 在实数范围内的因式分解 ，还可利用求一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的根来进行 . 若 ax² + bx + c = 0 有两个根 x1 ，x2 ，则由根与系数的关系可知 二次三项式的因式分解 7. 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2＋mn＋2m的值．(8分) 思维过程 (1)分析问题：观察m2＋mn＋2m与x2＋2x－5＝0中的哪些整体或部分有关？ (2)写出解题过程． 中考考法 22 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根， 所以mn＝－5，m2＋2m－5＝0， 所以m2＋2m＝5， 所以m2＋mn＋2m＝(m2＋2m)＋mn＝5－5＝0. 中考考法 23 已知m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，求m2－2mn－2n＋1的值． 解：因为m，n是一元二次方程x2＋2x－5＝0的两个根，所以m＋n＝－2，mn＝－5，n2＋2n－5＝0，所以n2＋2n＝5. 所以m2－2mn－2n＋1＝m2－2mn＋n2－n2－2n＋1＝(m－n)2－(n2＋2n)＋1＝(m＋n)2－4mn－(n2＋2n)＋1＝(－2)2－4×(－5)－5＋1＝20. 中考考法 24 8. (真实情境)兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是(　　) A．x2＋7x－12＝0 B．x2－7x－12＝0 C．x2＋7x＋12＝0 D．x2－7x＋12＝0 B 2星题 中档练 中考考法 25 9．[合肥模拟]已知关于x的方程2x2－3x＋k＝0的两根分别为x1和x2，若4x1＋x2＝0，则k的值为(　　) B 中考考法 26 10．[蚌埠三模]已知两个不相等的实数m，n满足m2－4＝2m，n2＝4＋2n，则 (m－n)2＝________. 20 中考考法 27 11. (分类讨论思想)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的两个实数根． (1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值； 解：根据题意得 ， 解得，， ， 因为 ， 即 ， 所以 ， 整理,得，解得， ， 因为，所以 的值为6. 中考考法 28 (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．(8分) 当腰长为7时，则 是一元二次方程 的一个解，记 , 把代入方程得 ， 整理,得，解得， . 当时， ， 中考考法 29 解得x2＝15，而7＋7<15，故舍去； 当m＝4时，x1＋x2＝2(m＋1)＝10， 解得x2＝3，此时符合三角形的三边关系， 所以这个三角形的周长为3＋7＋7＝17. 当7为等腰三角形的底边长时，x1＝x2，所以m＝2， 方程可化为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3， 而3＋3<7，故舍去． 所以这个三角形的周长为17. 中考考法 根与系数的关系 (韦达定理) 内 容 如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根分别是 x1，x2，那么 应 用 …… － A．－ B．－2 C. D．2 $