专题02 一元二次方程根的判别式、根与系数关系7种题型（高效培优专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

专题02 一元二次方程根的判别式、根与系数关系7种题型 题型一：应用根的判别式确定字母的取值（范围） 题型二：与根的判别式有关的代数式求值问题 题型三：与一元二次方程的根有关的存在性问题 题型四：根的判别式与三角形边长综合 题型五：运用韦达定理求值 题型六：韦达定理与根的判别式综合应用 题型七：与根与系数有关的新定义与阅读理解 题型一：应用根的判别式确定字母的取值（范围） 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 若方程无实数根，则需满足，即， 解得． 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个实数根的条件，需满足二次项系数不为0且判别式为非负数计算即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴ 解得， ∴的取值范围是且， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式．一元二次方程根的判别式．一元二次方程有两个不相等的实数根，；一元二次方程有两个相等的实数根，；一元二次方程没有实数根，．熟练掌握是解决问题的关键． 根据一元二次方程有实数根，求解，结合即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，． ∴，且． 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的解、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． 由可得或，然后分和，两种情况分别根据方程的解以及一元二次方程的判别式解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 当时，将代入方程可得：，解得：， 此时方程为：，即， ∴，即方程有两个不等的实数根， ∴符合题意； 当时，方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 综上，k的值为或． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 【答案】(1)且 (2)另一个根是， 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得到，再由方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出的范围，即可得出答案； （2）代入到，求出的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出另一个根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且； （2）解：代入到，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得：，， ∴另一个根是， ∴综上所述，另一个根是，． 题型二：与根的判别式有关的代数式求值问题 9．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式得出，然后求解即可； 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴解得， ∴ ． 10.已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2025 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此可证出：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）代入可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）解： ； 因为， 所以， 所以无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：当时代入得，， 即， ． 11.已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的根、求代数式的值； （1）计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号证明即可； （2）代入到方程，得到，再整体代入求值即可． 【详解】（1）证明： ∵，， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：代入到方程，得， ∴， ∴． 12.阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 【答案】(1)C (2)的最大值为 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根判别式的应用，分式化简求值等知识． （1）根据判别式的定义和用法即可得出答案． （2）根据题干的解题方式求解即可． （3）根据题干的解题方式求解出的最大值，再根据分式的化简和性质即可求出答案． 【详解】（1）解：用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，需根据，或来判断，则体现的数学思想是分类讨论， 故选C． （2）解：由，得 将其代入，得， 设，则， 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． （3）解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是正数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为9． ∴， ∵的最大值为9， ∴的最小值为：． 题型三：与一元二次方程的根有关的存在性问题 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 【答案】当为整数时，关于的方程没有有理根．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，为完全平方数时，方程有有理根．先计算出△，并设（n为整数），整系数方程有有理根的条件是△为完全平方数．变形为，，利用，都为整数进行讨论即可． 【详解】解：当为整数时，关于的方程没有有理根．理由如下： ①当为整数时，假设关于的方程有有理根，则要为完全平方数，而， 设（n为整数），即为整数），所以有， 与的奇偶性相同，并且、都是整数， 所以或， 解得， ②时，（不合题意舍去）． 所以当为整数时，关于的方程没有有理根． 14.已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）k不存在．理由见解析． 【分析】（1）因为方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．得出其判别式Δ＞0，可解得k的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的k的值． 【详解】解：（1）方程（k-1）x2+（2k-3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2， 可得k-1≠0， ∴k≠1且Δ=-12k+13＞0， 可解得且k≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2， ∵x1+x2=0， ∴， ∴， 又∵且； ∴k不存在． 题型四：根的判别式与三角形边长综合 15．已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 【答案】或 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论． 【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则， ， 解得：， 此时原方程化为， ，即， 此时三边为，，能构成三角形， ； 若，则或，即方程有一根为， 把代入方程，得， 解得：， 此时方程为， 解得：，， 方程另一根为， 、、能构成三角形， ，综上，的值为或， 故答案为：或． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）有一边长为3的等腰三角形，它的其他两边长是方程的两根，求k的值． 【答案】或4 【分析】此题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义和三角形三边关系，分两种情况分别求出k的值，再解一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：①若等腰三角形的底边长为3，则方程的两根为腰长，两根相等， ，得， 当时，方程为，两根为，符合要求； ②若等腰三角形的腰长为3，则方程两根中有一个根为3， 将代入方程得， 此时方程为，两根为，符合要求， 综合可得，或4． 17．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】本题考查了解一元二次方程，也考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握因式分解求方程的解，以及具有分类讨论的思想． （1）计算判别式的值得到即可证明； （2）利用因式分解法解方程得到，求出方程的两个解为，再进行分类讨论即可． 【详解】（1）证明：． 方程有两个不相等的实数根； （2）解：由， 得， 即、的长为， 当时，即 ，满足三角形构成条件； 当时，，解得 ，满足三角形构成条件． 综上所述，或 ． 18．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）证明根的判别式恒大于0即可； （2）将代入方程，求出方程的两个根，再分情况讨论，结合三角形的三边关系求解． 【详解】（1）证明：中， ，，， ， 无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得，即， 因式分解得， 解得，， 当为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，，1，符合三角形的三边关系， 等腰三角形的周长； 当1为等腰三角形的腰时，三条边长分别为，1，1， ，不符合三角形的三边关系，即这种情况不存在， 综上可知，等腰三角形的周长是6． 19．（22-23八年级下·安徽亳州·月考）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形一边，另两边为方程的根，求值及三角形的周长 【答案】(1)见解析 (2)或2；三角形的周长为8或7 【分析】（1）求出，即可说明关于x的方程有实数根； （2）分为等腰三角形的腰，为等腰三角形的底两种情况讨论，分别先求出k的值，然后再解方程求出三角形的三条边长，求出周长即可． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论取何值，它总有实数根． （2）解：当为等腰三角形的腰长时，则另外一腰为3，且3为方程的一个根， 把代入得： ， 解得：， ∴方程为， 即， 解得：，， ∴此时三角形的周长为； 当为等腰三角形的底时，则另外两边为腰，且另外两边为方程的两个根， ∴此时方程的两个根相等， ∴， 解得：， ∴方程为， ∴， 解得：， ∴此时三角形的周长为； 综上分析可知，或2；三角形的周长为8或7． 20.发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 【答案】(1)⑤；2，2，5不能构成三角形 (2)①当时，的周长为；②当为等边三角形时，的值为1． 【分析】（1）根据三角形的三边关系判断； （2）①把的值代入方程，解方程得到，，根据三角形的三边关系、三角形的周长公式计算； ②根据一元二次方程根的判别式计算． 【详解】（1）解：涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形， 故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形； （2）解：①当时，方程为， ，， 当为腰时，， 、、不能构成三角形； 当为腰时，等腰三角形的三边为、、， 此时的周长为， 答：当时，的周长为； ②若为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， △， ， 答：当为等边三角形时，的值为1． 题型五：运用韦达定理求值 21．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若方程的两根为α和β，则，直接代入题目方程的系数进行求解，作答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故选：A． 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到的表达式，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：B． 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 24．（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则_____ 【答案】37 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 26．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 27．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案； （2）根据根与系数的关系可得，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ． 题型六：韦达定理与根的判别式综合应用 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 29．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程． (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； (2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 【答案】(1)该方程不存在两个相等的实数根，见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）直接根据一元二次方程根的判别式判断即可； （2）由根与系数的关系可知，求出，由根与系数的关系得到，进而可知的值． 【详解】（1）解：由题可知 该方程不存在两个相等的实数根； （2）由根与系数的关系可知 又 30．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式及根与系数的关系． （1）证明根的判别式，可得结论； （2）将代入方程，根据根与系数的关系得到，再代入代数式求值． 【详解】（1）， 无论k为何值，，即， 关于x的一元二次方程都有实数根； （2）当时，原方程为，则， ． 31．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数以及根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）先计算判别式得到，根据非负数的性质得，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根； （2）根据，再结合，得出，代入原方程进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴此方程总有两个实数根； （2）解：方程的两根分别是， ①． ②， ∴由，得， ． 将代入原方程，得， 解得：． 32．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 33．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【详解】（1）证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2），是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到，再根据相反数的定义得到，即可求出的值． 【详解】（1）证明：， 其中，，， ， 无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程的两个根为和， ， 该方程的两个实数根互为相反数， ， ， ． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，解一元二次方程，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系得到，，将变形为，代入后得到关于k的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）证明：， 其中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个根分别为和， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：，， 即k的值为或． 36．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据根的判别式即可求出答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求出答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根 ，， 整理得 ， ， 即， ∴a的取值范围为 且 （2）方程两个实数根的差为 即 是方程 的两个实数根， 整理得 解得 或 (不是整数，舍去)， 37．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 题型七：与根与系数有关的新定义与阅读理解 38．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)的值为； (2)代数式的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． （2）解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 39．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）在一个数学密码游戏中，规定在一元二次方程中，若，则称a是该方程的特殊中点值，密码的一部分就由这个“特殊中点值”来确定． (1)现在给出方程，为了获取密码信息，求该方程的特殊中点值是_____． (2)已知在另一个用于生成密码的一元二次方程中，其特殊中点值是4．其中一个根是3，求n的值及方程的另一个实数根． 【答案】(1)5 (2)，方程的另一个实数根为5． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． （1）根据方程的中点值的定义计算； （2）利用方程的中点值的定义得到，再把把代入计算出的值，再利用根与系数的关系即可求得方程的另一个实数根． 【详解】（1）解：∵， ∴方程的中点值为5； 故答案为：5； （2）解：∵， ∴， 把代入得， 解得， ∴一元二次方程为， 设方程的另一个根为， ∴， 解得， ∴，方程的另一个实数根为5． 40．（22-23八年级下·安徽六安·期中）观察下面一元二次方程的解法： ①； 解：这里，，，， 所以，方程的根为，即，． ②； 解：这里，，，， 所以，方程的根为， 即，． 【观察思考】 （1）方程①的两个根都是有理数（称为有理数根），而方程②的两个根是含有无理数的实数根．若一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数，应满足的条件是________； 【问题解决】 （2）若一元二次方程有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数的值． 【答案】（1）的值能够从二次根号内开尽方；（2）满足条件的正整数的值为2或3 【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式，只有当为完全平方数时，一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数； （2）先利用根的判别式的意义得到，则或2或3，然后依次进行判断，最后得出符合条件的值． 【详解】解：（1）的值能够从二次根号内开尽方． （或者的值能够化成某个有理数平方的形式）；     （2）因为， 所以，． 又因为是正整数，所以或2或3． 经验证，当时，开不尽方，不符合条件； 当时，；当时，，都符合条件， 因此，满足条件的正整数的值为2或3． 41．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 42．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 43．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可； （3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：实数，满足：，， ，是方程的根， ，， ； （2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数， 解方程， ， ∴黄金分割数为； （3）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 44．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 【答案】(1)方程为波浪方程，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键： （1）直接根据波浪方程的定义判断即可； （2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可； （3）根据根与系数的关系推出，根据波浪方程的定义得到，据此得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴方程为波浪方程， （2）解：∵关于x的方程为波浪方程， ∴，且， ∴， ∵是关于x的方程的一个根， ∴， 联立①②解得； （3）解：∵一个波浪方程的两个根分别为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴这个波浪方程为． 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】(1) (2) (3)121，242，363，484 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清“如意数”的定义． （1）根据如意数的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合如意数的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是如意数， ，即； 故答案为：； （2）解：是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ，， 将两边同除以得：， 将m、看成是方程的两个根， ， 方程有两个相等的实数根， ，即； 故答案为： （3）解：，， ，， ， ， ， ， 解得：， 满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 46．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是，，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出下列方程的根，并判断是否为“邻根方程”： ①；②； (2)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，探索与之间的数量关系，并加以说明． 【答案】(1)①，，不是“邻根方程”；②，，是“邻根方程” (2)或 (3) 【分析】（1）分别求得①②中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）将方程化为求得两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于m的方程求解即可，注意有两种情况； （3）设方程的两个根，根据 “邻根方程”的定义得到，利用根与系数关系可得到a、b的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； （2）解：解方程即得，， ∵该方程是“邻根方程”， ∴或， 解得或； （3）解：∵关于的方程（，是常数，是“邻根方程”， ∴设方程的两个根，则，，，， 由得， ∴，即， ∴即． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程根的判别式、根与系数关系7种题型 题型一：应用根的判别式确定字母的取值（范围） 题型二：与根的判别式有关的代数式求值问题 题型三：与一元二次方程的根有关的存在性问题 题型四：根的判别式与三角形边长综合 题型五：运用韦达定理求值 题型六：韦达定理与根的判别式综合应用 题型七：与根与系数有关的新定义与阅读理解 题型一：应用根的判别式确定字母的取值（范围） 1．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 4．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 7．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个实数根，若，求的值． 8．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 题型二：与根的判别式有关的代数式求值问题 9．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，化简：． 10.已知关于的方程． (1)试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 11.已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式的值． 12.阅读与思考 下面是小玲撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务． 我们知道，对于一元二次方程根的判别式能判断方程实数根的个数；对于二次函数能判断抛物线与轴的交点个数．另外还有其他的应用：求代数式的最值． 如：已知，求的最大值． 解：由，得 将其代入，得 设，则 整理为一元二次方程的一般形式： 因为是实数，所以该方程有实数根， 即，解得 所以的最大值为． 学习任务： (1)用根的判别式判断一元二次方程根的情况，体现的数学思想是（   ） A．整体思想        B．数形结合        C．分类讨论        D．转化 (2)通过阅读材料的解题步骤，完成下题： 已知，求的最大值，请写出完整解题过程． (3)已知正数满足，直接写出的最小值_____．（提示：先求的最大值） 题型三：与一元二次方程的根有关的存在性问题 13．（2024八年级下·安徽·专题练习）当为整数时，关于的方程是否有有理根？如果有，求出的值；如果没有，请说明理由． 14.已知关于的方程有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数?如果存在，决出k的值；如果不存在，请说明理由． 题型四：根的判别式与三角形边长综合 15．已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）有一边长为3的等腰三角形，它的其他两边长是方程的两根，求k的值． 17．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为4，当是等腰三角形时，求k的值． 18．（22-23八年级下·安徽合肥·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该一元二次方程都有两个不相等的实数根； (2)若时，该一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形的两边，求等腰三角形的周长． 19．（22-23八年级下·安徽亳州·月考）已知关于x的方程． (1)求证：无论取何值，它总有实数根； (2)若等腰三角形一边，另两边为方程的根，求值及三角形的周长 20.发现思考：已知等腰三角形的两边分别是方程的两个根，求等腰三角形三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业： 解：． ，，． ，① ．② ，．③ 所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．④ 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．⑤ (1)涵涵的作业错误的步骤是_____（填序号），错误的原因是____． (2)探究应用： 请解答以下问题： 已知等腰三角形的一腰和底边的长是关于的方程的两个实数根． ①时，求的周长； ②当为等边三角形时，求的值． 题型五：运用韦达定理求值 21．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2025 B． C．1 D． 22．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 24．（24-25八年级下·安徽六安·期末）方程的两个根分别为，，则_____ 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知是一元二次方程的两个根，则的值为______． 26．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）若是方程的两个根，则___________． 27．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1) (2) 题型六：韦达定理与根的判别式综合应用 28．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 29．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）已知关于的一元二次方程． (1)请问该方程是否存在两个相等的实数根？请说明理由； (2)若该方程的两个实数根为和，且满足，求的值． 30．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程都有实数根； (2)当时，已知是关于的一元二次方程的两个根，不解方程求的值． 31．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于x的方程 (1)说明无论k取何实数值，该方程必有两个实数根； (2)若该方程的两根分别是，且，求k的值． 32．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 33．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程 (1)求证：无论取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根满足，求k的值． 36．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知关于x的一元二次方程，有两个实数根 (1)求的取值范围； (2)若方程两个实数根的差为且为整数，求的值． 37．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 题型七：与根与系数有关的新定义与阅读理解 38．（24-25八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 39．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）在一个数学密码游戏中，规定在一元二次方程中，若，则称a是该方程的特殊中点值，密码的一部分就由这个“特殊中点值”来确定． (1)现在给出方程，为了获取密码信息，求该方程的特殊中点值是_____． (2)已知在另一个用于生成密码的一元二次方程中，其特殊中点值是4．其中一个根是3，求n的值及方程的另一个实数根． 40．（22-23八年级下·安徽六安·期中）观察下面一元二次方程的解法： ①； 解：这里，，，， 所以，方程的根为，即，． ②； 解：这里，，，， 所以，方程的根为， 即，． 【观察思考】 （1）方程①的两个根都是有理数（称为有理数根），而方程②的两个根是含有无理数的实数根．若一元二次方程（，，均为整数，且）的根是有理数，应满足的条件是________； 【问题解决】 （2）若一元二次方程有两个不相等的有理数根，求满足条件的正整数的值． 41．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 42．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 43．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 44．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程． (1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由． (2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值； (3)若一个波浪方程的两个根分别为，，求这个波浪方程． 45．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（、b、，其中a，b，c，为正整数），请直接写出a，b，c，所满足的关系式 ； (2)利用（1）中“如意数”k中的a，b，c，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 46．（22-23八年级下·安徽滁州·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根分别是，，则方程是“邻根方程”． (1)直接写出下列方程的根，并判断是否为“邻根方程”： ①；②； (2)若关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，是“邻根方程”，探索与之间的数量关系，并加以说明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $