精品解析：天津市第四十七中学2025-2026学年高二上学期第二次阶段检测数学试卷

天津市第四十七中学2025—2026第一学期高二年级 第二次阶段检测数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（每小题5分共45分） 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 4. 已知双曲线（）的右顶点和抛物线的焦点重合，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 96 B. 144 C. 324 D. 768 6. 若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分共30分） 10. 抛物线的焦点坐标为_________. 11. 已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则____________． 12. 已知数列的前项和为，且，则________． 13. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为___________ 14. 已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则________． 15. 如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________. 三、解答题（共75分） 16. 已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求的值； （3）若，的面积为，求，. 17. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 18. 已知首项大于0的等差数列的公差，且满足；等比数列的前项和为．若，，成等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和，数列的前项和； （3）求的最大值，并求出此时的值． 19. 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值 20. 已知椭圆：的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2025—2026第一学期高二年级 第二次阶段检测数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、选择题（每小题5分共45分） 1. 在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系点的对称问题直接得出结果. 【详解】由题意知，点关于平面对称的点为. 故选：A 2. 若直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系直接求解即可. 【详解】直线的斜率与倾斜角满足，且， 若，则. 故选:C. 3. 在数列中，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的递推公式，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可. 【详解】； 则; ; 数列为周期数列，周期为3. 当时，当时. . 故选：A. 4. 已知双曲线（）的右顶点和抛物线的焦点重合，则a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出其焦点，结合双曲线的几何性质直接得出结果. 【详解】由题意知，抛物线的焦点为， 因为双曲线的右顶点与抛物线的焦点重合， 所以双曲线的右顶点为，即. 故选：C 5. 已知为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 96 B. 144 C. 324 D. 768 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得成等比数列，根据等比数列的通项公式及即可求解. 【详解】因为为等比数列的前n项和， 所以成等比数列，设其公比为， 因为，，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 6. 若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，则称数列为“梦想数列”，根据“梦想数列”的定义可得数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的性质求解即可. 【详解】，可得， 因为正项数列为“梦想数列”， 所以，即， 则数列是以2为公比的等比数列， 因为， 所以. 故选：C. 7. 已知、分别是椭圆（）的左右焦点，A、B是以坐标原点为圆心，以为半径的圆与该椭圆在轴左侧的两个交点，且是等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可求出点坐标，然后代入椭圆，求解离心率. 【详解】因为是等边三角形，且、在圆与椭圆的左半部分交点，可得点坐标为. 如图： 将代入椭圆方程，结合，得 化简为关于离心率的方程为 即，解得. 由于椭圆离心率，故，即. 故选：B 8. 已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知到准线的距离等于点到焦点的距离，进而问题转化为求点到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当三点共线时到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点的距离减去圆的半径. 【详解】抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径， 根据抛物线的定义可知，点到准线的距离等于点到焦点的距离， 由图知，当三点共线时，到点的距离与点到抛物线的焦点距离之和最小， 且最小值为. 故选：D 9. 已知双曲线：的一条渐近线与抛物线：的准线相交于点，点的横坐标为，双曲线的左、右焦点分别为和．若过点的直线交的左支于，两点，且（为坐标原点），记点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线方程可得其准线方程，即可得点坐标，从而可结合双曲线渐近线方程得，再结合等腰三角形性质与双曲线定义，结合勾股定理计算可得，结合的值与计算即可得解. 【详解】由抛物线：的准线方程为，则， 则双曲线的渐近线满足，即， 连接，取中点，连接， 由，则，则， 则，则， 即有，化简得， 又，则，即有， 即，则， 则，又，故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于连接，借助双曲线的性质得到. 二、填空题（每小题5分共30分） 10. 抛物线的焦点坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可求得答案. 【详解】抛物线可化为，焦点在轴上 ，, 抛物线的焦点坐标为, 故答案为: 11. 已知过点的直线l与直线垂直，l与圆相交于A，B两点，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】先由直线的垂直关系求得直线l的方程，再利用几何法求得弦长得答案． 【详解】因为过点的直线l与直线垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为：， 把圆的方程化为标准方程得：， ∴圆心坐标为，半径， ∴圆心到直线的距离， 则， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系，相交时的弦长问题，属于基础题；把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，根据题意画出图形，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，由求出的与半径，根据垂径定理与勾股定理求出的一半，即可得到的长． 12. 已知数列的前项和为，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系可得答案. 【详解】当时，； 当时，， ；不满足， 综上，. 故答案为： 13. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的定义可求得的值，进而确定点的坐标，再结合双曲线的几何性质与两条直线的垂直关系，可解出和的值，从而得解． 【详解】解：设抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知，，解得， 抛物线的方程为， 不妨取在第一象限，则其坐标为， 由题意知，，双曲线的渐近线方程为， 双曲线的离心率为， ，①， 双曲线的一条渐近线与直线垂直， ②， 由①②，解得，， 双曲线的方程为，即． 故答案为：． 14. 已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】取对数得，再结合等差数列、等比数列的性质和对数运算性质，即可求解． 【详解】，两边同时取以为底的对数，得，， 又是等差数列，则（常数）， 故，故是等比数列， 则， 又， . 故答案为：. 15. 如图，分别是双曲线的左､右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，设，根据条件得，可得，由，则，在中，由余弦定理得，解得，得解. 【详解】连接，设，，， 由双曲线定义得， 根据条件得，则，即， 在中，，由，则，， 在中，， 由余弦定理得， 即， 化简整理得，结合，可得， 所以，，则，即， 所以，即. 故答案为：. 三、解答题（共75分） 16. 已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，求的值； （3）若，的面积为，求，. 【答案】(1) ; (2);(3) . 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化即可求出; （2）由同角三角函数的基本关系可求出，由二倍角公式可求出和， 再结合两角差的正弦公式即可求出的值. （3）由面积公式可得，由余弦定理可得，从而可求出，. 【详解】解：（1）因为，则，因为， 所以，所以或，因为三角形是锐角三角形，所以. （2）因为，所以， 则， 所以. （3）因为，则， 由余弦定理得， ，则， 所以，即，联立，解得 , 即. 【点睛】方法点睛: 解三角形的问题中，一般已知条件里既有边又有角，首选利用正弦定理进行边角互化，统一形式，其次是选择用余弦定理进行边角互化. 17. 如图，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且. （1）求证：平面DEC； （2）求平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）求点D到平面BEF的距离. 【答案】（1）证明：由已知，ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD， 由平面ABCD，所以，又， ，平面， 所以平面， 以D为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 则，所以， 易知平面的一个法向量为， 得，又平面， 所以 平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出，平面的一个法向量为，则由，即可证得平面DEC； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，则利用向量坐标运算，求得平面BEC与平面BEF夹角的余弦值； （3）由平面的一个法向量为，，利用点到平面的距离公式即可求得点D到平面BEF的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由上坐标系可知，则， 设平面与平面的一个法向量分别为， 则有，， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则. 【小问3详解】 由（2）得平面的一个法向量为， 又，所以点D到平面的距离. 18. 已知首项大于0的等差数列的公差，且满足；等比数列的前项和为．若，，成等差数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和，数列的前项和； （3）求的最大值，并求出此时的值． 【答案】（1）， （2）， （3），2或3 【解析】 【分析】（1）根据条件得出关于的方程，解出的值，可得出数列的通项公式，利用已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由此可得出数列的通项公式； （2）利用等差数列前项和公式与等比数列前项公式可得答案； （3）令，利用定义分析数列的单调性，由此可得出数列的最大值及其对应的的值. 【小问1详解】 等差数列的公差， ， 整理可得，，解得，. 设等比数列的公比为，则， 由题意可得，即，，则， 解得或. 若，则，解得，不符合题意. 所以，，则，解得，. 【小问2详解】 数列  的前  项和为 ， 数列  的前  项和为 . 【小问3详解】 令，则. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，此时，数列单调递减，即， 所以，当或时，取最大值，且最大值为. 19. 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且 （1）求椭圆的标准方程； （2）若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，可求得，再将点代入椭圆方程可求得； （2）由已知可推得.联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可求得，，由，即可解出的值. 【小问1详解】 因为，，所以，. 又点为椭圆上一点，则有，所以. 所以，椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，，则圆的圆心为，半径为. 直线可化为. 由直线与圆相切，得，整理可得. 设， 联立直线与椭圆方程，得 ，又， 则恒成立， 所以，， . 因为，所以， 即. 化简可得，，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 20. 已知椭圆：的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 【答案】（1） （2） 证明：因为不为椭圆顶点，则的方程为且．① 将①代入，， 故，解得，故． 又直线的方程为．② ①与②联立解得． 由得, 由三点共线可得， 求得． 所以的斜率，则（定值）． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和，联立即可求解得椭圆方程， （2）联立直线与椭圆方程可得，联立两直线方程可求解，进而根据三点共线的向量坐标关系可求解，即可由斜率公式求解. 【小问1详解】 因为，故，所以． 由，得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $