精品解析：北京八中乌兰察布分校2025-2026学年上学期九年级数学1月份期末测评卷

2025-2026学年第一学期学科素养评估试题（四） 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志图案中，是中心对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：B． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解： 则， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 将抛物线向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答，再配成顶点式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为，即． 故选：B． 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当该电阻为时，通过它的电流为（ ） A. 12A B. 8A C. 6A D. 4A 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与应用，根据图象求出解析式是解题关键． 设反比例函数的解析式为，根据图象可知，双曲线过点，代入解析式求出k，再令，求出此时电流的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将，代入解析式得，， ∴， ∴， 令，则， 故选：C． 5. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆切线定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理可得出，由圆的切线定理可得出，由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B 6. 某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据2023年全年接待游客的总量和2025年全年接待游客的总量建立方程求解即可． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B． 7. 如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据正方形的性质和旋转的性质得到是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， 绕点B顺时针旋转与重合， ，， 是等腰直角三角形， ， 故选：B． 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，根据时，时点A和点B都在第三象限可判断B、C、D；根据时，点A在第三象限，点B在第一象限可判断A． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， 当时，若，即，那么此时点A和点B都在第三象限，则此时有，故D说法正确，B、C说法不正确； 当时，，那么此时点A在第三象限，点B在第一象限，则此时，故A说法错误； 故选；D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若是一元二次方程的两个实数根，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， 则． 故答案为：． 10. 已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 【详解】解；∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 12. 如图，AB为⊙O切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π） 【答案】π−. 【解析】 【分析】过O点作OE⊥CD于E，根据AB为O的切线，得∠ABO=90°，进而得到∠AOB=60°和∠OCD=∠ODC=30°，根据垂径定理即可求得CD，最后用扇形面积减去三角形面积即可． 【详解】过O点作OE⊥CD于E ∵AB为O的切线 ∴∠ABO=90° ∵∠A=30° ∴∠AOB=60° ∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30° ∵⊙O的半径为2 ∴OE=1，CE=DE= ∴CD=2 ∴图中阴影部分的面积为：×120×π×22−×2×1=π−． 【点睛】本题考查的是垂径定理，扇形面积，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 14. 内蒙古有着丰富多样的传统文化，其中那达慕大会的竞技项目和特色美食深受人们喜爱．某学校开展“内蒙古文化体验”活动，设置了两个抽奖环节，每个环节的奖券分别对应不同的内蒙古文化元素，这些奖券除标注内容外都相同．第一个抽奖箱中装有3张不同的奖券，分别标注“摔跤”“赛马”“射箭”（均为那达慕大会核心竞技项目）；第二个抽奖箱中装有2张不同的奖券，分别标注“手扒肉”“奶茶”（均为蒙古族传统美食）．活动规则如下：参与者先从第一个抽奖箱中随机抽取1张奖券，记录类别后放回；再从第二个抽奖箱中随机抽取1张奖券． （1）求参与者第一次抽取到“赛马”奖券的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求参与者两次抽取的奖券中，一次对应那达慕竞技项目“摔跤”，一次对应传统美食“奶茶”的概率； （3）你知道内蒙古还有哪些传统文化或者旅游景点，请列举1到2个． 【答案】（1） （2） （3）蒙古包，呼伦贝尔草原 【解析】 【分析】本题考查概率计算和内蒙古文化常识 （1）问基于等可能事件概率公式； （2）问需用树状图或列表分析所有等可能结果，再求满足条件的概率； （3）问属文化常识题． 【小问1详解】 解：∵第一个抽奖箱中有3张不同的奖券，且抽到每张奖券的可能性相同， ∴参与者第一次抽取到“赛马”奖券的概率为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下：设摔跤为A、赛马为B、射箭为C，手扒肉为D、奶茶为E 所有等可能结果共有种， 其中第一次抽到“摔跤”且第二次抽到“奶茶”的结果有1种， ∴参与者两次抽取的奖券中，一次对应“摔跤”，一次对应“奶茶”的概率为； 【小问3详解】 解：内蒙古传统文化或旅游景点有蒙古包、呼伦贝尔草原等． 15. 如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后所得到的（点D，E，F分别对应点A，B，C）． （2）画出关于原点对称的图形（点P，M，N分别对应点D，E，F）． （3）直接写出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）先画出点A、B、C绕点O顺时针旋转后的对应点D、E、F再依次连接即可； （2）先画出但D、E、F关于原点对称的对应点P、M、N，再依次连接即可； （3）用割补法即可求出的面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了旋转作图，关于原点对称的图形作图，解题的关键是掌握旋转作图的方法和步骤，关于原点对称的图形作图方法和步骤，用割补法求面积的方法． 16. 为庆祝伟大祖国建国76周年，某文创店近期推出一款进价为30元的纪念品，若按每个40元的售价销售，平均每天可售出600个，经市场调研发现，该纪念品售价每上涨1元，平均每天的销量就会减少10个，请根据以上信息回答下列问题： （1）若文创店为了尽快减少库存，想实现每天获得10000元的利润，求此时每个纪念品涨价多少元？ （2）该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是多少？此时对应的售价为多少元？ 【答案】（1）10元 （2）该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是12250元，此时对应的售价为65元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键． （1）设此时每个纪念品涨价x元，则每个纪念品的利润为元，销售量为个，根据总利润等于每个纪念品的利润乘以销售量建立方程求解即可； （2）设每个纪念品涨价m元，每天的利润为w元，根据总利润等于每个纪念品的利润乘以销售量列出w关于m的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设此时每个纪念品涨价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵文创店为了尽快减少库存， ∴， 答：此时每个纪念品涨价10元； 【小问2详解】 解：设每个纪念品涨价m元，每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当，即时，w有最大值，最大值为12250， 此时售价为元， 答：该文创店每天销售这款纪念品的最大利润是12250元，此时对应的售价为65元． 17. 如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案； （2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， 且， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． 【小问2详解】 设半径为； 则：，得； 在直角三角形中，， ，解得 【点睛】本题主要考查与圆相关综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 问题情境：篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可看作抛物线． 实验数据：篮球从水平地面的投篮点投出，落回水平地面，其运动路线的最高点距地面，投篮点与落地点的水平距离为． 数学建模：如图，将篮球运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，投篮点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数解析式； （2）问题解决：已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变）． 若篮球从点正上方的点处投出，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，求投篮点与落地点的水平距离的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可直接得出二次函数的顶点为，落地点为，用待定系数法即可求出解析式； （2）根据题意得，抛物线形状不变，从点正上方的点处投出，二次函数的图像可看作是由（1）的抛物线向上平移个单位长度，得到解析式，令其等于，即可解得的长． 【小问1详解】 解：由题意得：顶点的坐标为， 落地点为 设二次函数的表达式为， 代入和得，解得， 该抛物线的函数解析式； 【小问2详解】 解：抛物线的形状不变，点， 第二次的抛物线图像可看作是由（1）的抛物线向上平移个单位长度， 当时，即，解得（负值已舍去）， ， 答：投篮点与落地点的水平距离的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期学科素养评估试题（四） 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列交通标志图案中，是中心对称图形的为（ ） A B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 将抛物线向下平移2个单位长度后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当该电阻为时，通过它的电流为（ ） A. 12A B. 8A C. 6A D. 4A 5. 如图，已知，以为直径的交于点，与相切于点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，E是正方形内一点，将绕点B顺时针旋转与重合，若，则EF长为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若是一元二次方程的两个实数根，则____________ 10. 已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________． 11. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 12. 如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD，若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留π） 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 内蒙古有着丰富多样的传统文化，其中那达慕大会的竞技项目和特色美食深受人们喜爱．某学校开展“内蒙古文化体验”活动，设置了两个抽奖环节，每个环节的奖券分别对应不同的内蒙古文化元素，这些奖券除标注内容外都相同．第一个抽奖箱中装有3张不同的奖券，分别标注“摔跤”“赛马”“射箭”（均为那达慕大会核心竞技项目）；第二个抽奖箱中装有2张不同的奖券，分别标注“手扒肉”“奶茶”（均为蒙古族传统美食）．活动规则如下：参与者先从第一个抽奖箱中随机抽取1张奖券，记录类别后放回；再从第二个抽奖箱中随机抽取1张奖券． （1）求参与者第一次抽取到“赛马”奖券的概率； （2）请用画树状图或列表方法，求参与者两次抽取的奖券中，一次对应那达慕竞技项目“摔跤”，一次对应传统美食“奶茶”的概率； （3）你知道内蒙古还有哪些传统文化或者旅游景点，请列举1到2个． 15. 如图，A，B，C三点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转，画出旋转后所得到的（点D，E，F分别对应点A，B，C）． （2）画出关于原点对称的图形（点P，M，N分别对应点D，E，F）． （3）直接写出的面积． 16. 为庆祝伟大祖国建国76周年，某文创店近期推出一款进价为30元的纪念品，若按每个40元的售价销售，平均每天可售出600个，经市场调研发现，该纪念品售价每上涨1元，平均每天的销量就会减少10个，请根据以上信息回答下列问题： （1）若文创店为了尽快减少库存，想实现每天获得10000元的利润，求此时每个纪念品涨价多少元？ （2）该文创店每天销售这款纪念品最大利润是多少？此时对应的售价为多少元？ 17. 如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 18. 问题情境：篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可看作抛物线． 实验数据：篮球从水平地面投篮点投出，落回水平地面，其运动路线的最高点距地面，投篮点与落地点的水平距离为． 数学建模：如图，将篮球运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，投篮点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数解析式； （2）问题解决：已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变）． 若篮球从点正上方的点处投出，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上，求投篮点与落地点的水平距离的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $