精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星湖学校2025-2026学年七年级上学期12月随堂练习数学卷

星湖学校2025-2026学年度第一学期七年级12月随堂练习试卷 七年级数学 （试卷满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 社会热点情境 亚冬会开幕式；第九届亚冬会开幕式通过AI、AR等技术将1200000朵虚拟雪花结合实体灯光，打造出“超级会客厅”的穹顶景观．数据“1200000”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，5 D. ，5 4. 如图，点C为线段的中点，点D在线段上，如果，，那么线段的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列各式中成立的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形中，，，，垂足为点D，则的长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 的倒数是______． 10. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 11. 用代数式表示：比与3的积小3的数______． 12. 若a，b互为相反数，c为最大的负整数，则的值为______． 13. 如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是______（写出一个正确的数字） 14. 已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 15. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为______． 16. 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为_______． 三、解答题：本大题共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 解方程或解不等式组： （1）． （2）解不等式组． 20. 如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： （1）画直线； （2）画射线； （3）画线段； （4）连接，并反向延长至点，使． （5）在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离和最小，并说明理由___________． 21. 如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，，． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 22. 如图，已知直线与相交于点，平分，． （1）求和的度数； （2）求的度数． 23. 某网店在“双12”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： ①购物金额每满200元减20元； ②购物金额打95折． （1）购物200元时应选择优惠方案 ； （2）某人购物金额超过400元不足600元． 通过计算发现，选择方案①比方案②便宜18元，这个人购物的金额是多少元？ 24. 如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线和重合时，求的值． （2）射线与重合时，求的值． （3）求为何值时，． 25. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 附加题：本大题共2小题，共20分 26. 阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： （1）若，则________；（填“”“”或“”） （2）比较与的大小； （3）已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 27. 【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如、、、…、、，这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数（见下表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 （1）按照以上程序加密1次，明文对应的密文为________；明文对应的密文为________； （2）按照以上程序加密1次的密文为“康居学子”的首字母“”，则其对应的明文为________； （3）加密可以重复进行，按照以上程序加密2024次，明文对应的密文为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星湖学校2025-2026学年度第一学期七年级12月随堂练习试卷 七年级数学 （试卷满分100分，考试时间100分钟） 一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔涂在答题卷相应的位置上． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的定义，化简多重符号，求一个数的绝对值，根据小于0的数为负数，进行判断即可． 【详解】解：； 故是负数； 故选C． 2. 社会热点情境 亚冬会开幕式；第九届亚冬会开幕式通过AI、AR等技术将1200000朵虚拟雪花结合实体灯光，打造出“超级会客厅”的穹顶景观．数据“1200000”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ，4 B. ，4 C. ，5 D. ，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查单项式系数和次数的定义，系数是数字部分包括常数，次数是所有变量指数之和，据此作答即可． 【详解】解：单项式中，系数为数字因数，变量、、的指数分别为、、，则次数为， 故选：． 4. 如图，点C为线段的中点，点D在线段上，如果，，那么线段的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先根据线段中点的定义得到，则． 【详解】解：∵点C为线段的中点，， ∴， 又∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了与线段中点有关的计算，熟知线段中点的定义是解题的关键． 5. 解方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，注意去分母时应等式两边都需乘以分母的最小公倍数． 去分母时，方程两边同时乘以分母的最小公倍数4，化简即可． 【详解】解：方程 ， 两边同时乘以4得， 即 ， 故选D． 6. 若，则下列各式中成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：由可得： A．不等号两边同时再加上2，不等号方向不改变，则，故本选项一定成立，符合题意； B．不等号两边同时减去，不等号方向不改变，则，故本选项一定不成立，不符合题意； C．不等号两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项一定不成立，不符合题意； D．不等号两边同时乘以，不等号方向不改变，则，故本选项一定不成立，不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在三角形中，，，，垂足为点D，则的长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即：； ∴的长可能是4； 故选：A． 8. 如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．请将答案填在答题卷相应的位置上． 9. 的倒数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 10. 比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值和相反数，有理数的大小比较，掌握绝对值和相反数的定义是解题关键．先计算绝对值和负数的相反数，再比较数值大小即可． 【详解】解：，，且， 则， 故答案为：． 11. 用代数式表示：比与3的积小3的数______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，根据题意正确列式即可． 【详解】解：“比与3的积小3的数”，用代数式表示为， 故答案为：． 12. 若a，b互为相反数，c为最大的负整数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值 ，求代数式的值，相反数的性质、最大负整数的概念及绝对值的运算．利用相反数性质得a与b的和为0，确定最大负整数c为并计算其绝对值，最后代入表达式求值，即可作答． 【详解】解：∵a，b互为相反数， ∴， ∵c为最大的负整数， ∴， ∴， 将和代入，得 故答案为：． 13. 如图，点在点的左侧，点在数轴上表示的数分别为和，则的值可能是______（写出一个正确的数字） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式．由数轴得出，解一元一次不等式再根据选项即可求出结果． 【详解】解：由数轴可知，， 解得， ∴的值可能是0． 故答案为： 0（答案不唯一）． 14. 已知点、是数轴上的两个点，若点表示的数为，点表示的数为6，则的中点表示的数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查数轴上线段中点所对应的数的计算方法，根据中点公式求解即可． 【详解】解：若点表示的数为，点表示的数为6， 则线段的中点对应的数为， 故答案为1． 15. 如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据运算程序可得从第三次开始奇数次输出为，偶数次输出为，据此即可求解，由运算程序得到变化规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， ， 由此得到规律，从第三次开始奇数次输出为，偶数次输出为， ∴第次输出结果为， 故答案为：． 16. 把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、B、C、D和一张长方形纸片E，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形C的边长为，正方形D的边长为，则图2中阴影部分的周长与正方形A的周长之比为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查代数式的化简及求值，整式的混合运算的应用，解本题的关键在于结合图形正确列出代数式． 根据题意表示出正方形A、B的边长，长方形E的长和宽，通过图1的周长得到x、y的关系，在表示出阴影部分的周长求解即可得出结论． 【详解】解：长方形E的宽为， 正方形A的边长为， 正方形B的边长为， 长方形E的长为， ∴， ∴， 如图2： 由题意得： ， ∴， ∴阴影部分的周长 ． 正方形的周长． ． 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共68分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，含乘方的有理数混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加法即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可．掌握整式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解： 将，代入， 19. 解方程或解不等式组： （1）． （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 20. 如图，平面上有四个点，根据下列语句画图： （1）画直线； （2）画射线； （3）画线段； （4）连接，并反向延长至点，使． （5）在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离和最小，并说明理由___________． 【答案】（1） 如下图： （2） 如下图： （3） 如下图： （4） 如下图： （5）如图 两点之间，线段最短 【解析】 【分析】本题考查作图——复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据直线的定义解决问题即可； （2）根据射线的定义解决问题即可； （3）根据线段的定义解决问题即可； （4）根据要求画出图形即可； （5）连接，，交于点O，点O即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：连接交于点，点即为所求． 理由：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 21. 如图，点是线段上一点，点是的中点，点是的中点，，． （1）求线段的长； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的性质是解题的关键． （1）根据中点的定义求出的值，再根据即可求解； （2）首先根据求出的值，再根据中点的定义求出的值，最后根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵点是的中点，， ∴． ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵． 22. 如图，已知直线与相交于点，平分，． （1）求和的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线、邻补角，掌握角平分线的定义以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据对顶角的性质及邻补角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义及邻补角的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：与是对顶角， ， , 即：，； 【小问2详解】 解：平分， ， ， 即：． 23. 某网店在“双12”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： ①购物金额每满200元减20元； ②购物金额打95折． （1）购物200元时应选择优惠方案 ； （2）某人购物金额超过400元不足600元． 通过计算发现，选择方案①比方案②便宜18元，这个人购物的金额是多少元？ 【答案】（1）① （2）这个人购物的金额是440元 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题与一元一次方程，解题关键是理解题意，找准数量关系并正确列出方程． （1）按两种方案分别计算出实际消费金额即可解决； （2）根据题意，选择方案①需实际花费元，选择方案②需实际花费元，根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：购物200元时，方案①实际费用：（元）， 方案②实际费用：（元）， 购物200元时应选择优惠方案①， 故答案为：①； 【小问2详解】 解：设这个人购物的金额是元，根据题意， 可得， 解得 ， 答：这个人购物的金额是440元． 24. 如图，已知，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒，射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，和同时开始旋转，当射线第一次与射线重合时，射线和同时停止旋转，设旋转的时间为秒． （1）射线和重合时，求的值． （2）射线与重合时，求的值． （3）求为何值时，． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差，旋转的性质，一元一次方程的应用，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）用除以射线的旋转速度求解即可； （2）用除以射线和的旋转速度和求解即可； （3）分两种情况讨论：①射线与重合前；②射线与重合后，根据角度的和差关系列方程求解即可． 【小问1详解】 解：（秒）； 【小问2详解】 解：（秒）； 【小问3详解】 解：由题意可知，，，， ， ， ①如图，射线与重合前， ， ， 解得：； ②如图，射线与重合后， ， ， 解得：，此时射线和重合， 综上可知，当时，的值为或． 25. 定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． （1）若关于的方程与方程 “和谐方程”（填“是”或“否”）； （2）若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； （3）若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答即可． （1）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，判断即可； （2）分别求出方程和方程的解，再根据“和谐方程”的定义，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先解出方程的解，再根据“和谐方程”的定义得出方程的解为：，代入方程，结合题意，即可得出，，求出与的值，代入即可求解． 【小问1详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵与互为相反数， ∴方程与方程是“和谐方程”． 故答案为：是． 【小问2详解】 解：， 解得：， ， 解得：， ∵与方程是“和谐方程”， ∴， 解得：． 【小问3详解】 解：， 解得：， ∵关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”， ∴方程的解为：， 将代入方程，得， 整理，得， ∵无论取任何有理数，上式都成立， 故，， 解得：，， ． 附加题：本大题共2小题，共20分 26. 阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： （1）若，则________；（填“”“”或“”） （2）比较与的大小； （3）已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 27. 【阅读材料】 在生活中，密码的应用随处可见，如电子支付、电子门禁、密码认证等．如今，密码学已成为网络信息安全的核心，密码学的研究使用了越来越多的数学工具． 有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘上的字母顺序排列，如、、、…、、，这26个字母依次对应1、2、3、…、25、26这26个自然数（见下表）．设明文的任一字母所对应的自然数为，通过某种规定的运算程序把转化为对应的自然数，对应的字母为密文． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 运算程序为： 例如：将明文转换成密文：（26被4除余2），即的密文为；将密文转换成明文，，即的明文为． 【解决问题】 （1）按照以上程序加密1次，明文对应的密文为________；明文对应的密文为________； （2）按照以上程序加密1次的密文为“康居学子”的首字母“”，则其对应的明文为________； （3）加密可以重复进行，按照以上程序加密2024次，明文对应的密文为________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据将明文转换成密文的方法计算即可求解； （2）根据将密文转换成明文的方法计算即可求解； （3）根据将明文转换成密文的方法计算出前几项，找到规律，根据规律即可求解． 【小问1详解】 解：明文对应的密文为（8被4整除）； （25被4除余1）； （19被4除余3）； （20被4整除）； （14被4除余2）； ∴明文对应的密文为；明文对应的密文为； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴“”对应的明文为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（23被4除余3）； （12被4整除）； （3被4除余3）； （7被4除余3）； （8被4整除）； （2被4除余2）； （13被4除余1）； 又回到第一个数， ∴这些数是以、、、、、、四个为一组重复出现， ∵， ∴加密2024次，明文对应的密文为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $