精品解析：贵州省遵义市第十二中学2025-2026学年上学期九年级数学期末预考卷

遵义市第十二中学2025—2026学年度第一学期期末预考 九年级数学试题卷 全卷共6页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 2. 点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. (－3，1) B. (3，1) C. (3，－1) D. (－3，－1) 【答案】C 【解析】 【分析】据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（x，y），然后直接作答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点P（3，1）关于原点O中心对称的点的坐标为（3，1）． 故选：C． 【点睛】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形． 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 4. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形外角的性质．掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解题关键．根据平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∴ ∴． 故选：B． 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由直径所对的圆周角是得出，根据直角三角形的两个锐角互余结合圆周角定理计算即可． 【详解】∵在中，为直径， ∴， ∵， ∴， 故选D． 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程中，当根的判别式时，一元二次方程没有实数根，据此即可列出不等式，求出的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， 解得：， 故选项中只有选项A符合题意． 故选：A． 7. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的综合，求正多边形的中心角，三线合一，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握正多边形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，，由题意可知，根据正六边形的性质可得其中心角，由三线合一可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，然后根据勾股定理即可求出这个正六边形的边心距的长． 【详解】解：如图，连接，， 由题意可知：， 是正六边形， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 8. 如图，将绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转至， ，等于旋转角， ， ， 即旋转角的度数是． 故选：B． 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设个位数字为，根据题意列方程即可． 【详解】解：设个位数字为，则十位数字为， 根据题意可得． 故选：A． 10. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦的长为，瓶内液体最大深度，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用等知识点，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接，由垂径定理得，再设球的半径为R，则，然后由勾股定理列方程求得R即可． 【详解】解：如图：连接，由题意得， ∴，， 设球的半径为R，则， 在中，， ∴，解得：． ∴球的半径为． 故选：B． 11. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 12. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，根据形如的抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 13. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先根据利用频率估计概率可得从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为，再利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设袋中白球有个， 由表中数据估计从口袋中随机摸出一个球是黑球的概率约为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以根据表中数据估计袋中白球有3个， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】运用公式（其中勾股定理求解得到的母线长为5）求解． 【详解】由已知得，母线长==5，半径为3， ∴圆锥的侧面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，要学会灵活的运用公式求解． 15. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，2为半径的． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的步骤是解题的关键． （）分别计算算术平方根、负整数指数幂、化简绝对值和零指数幂，再进行加减计算即可； （）通过因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或， ∴，． 17. 下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）这位同学的解答，在第 步出现错误． （2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】（1）二； （2），当时，原式的值为或当时，原式的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． （）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （）原式括号中两项进行分式的减法计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，然后把有意义的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：这位同学的解答，在第二步出现错误，去括号没有变号， 故答案为：二； 【小问2详解】 解： ， ∵（为整数），且，，， ∴当时，原式； 当时，原式． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 【答案】（1）见解析， （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意画出即可，关于y轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； （2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可； （3）点到经过的路径长即是，绕点逆时针旋转时扫过的痕迹可知轨迹为以为半径，以为圆心角扇形弧长； 【小问1详解】 如图所示：点的坐标为：； 【小问2详解】 如图所示； 【小问3详解】 解：， 故； 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 19. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）40，72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的知识以及采用列举法求解概率的知识，注重数形结合是解答本题的关键． （1）用A等级的人数除以其所占比例即可得到总参赛人数，用总人数减去A、C、D等级人数和即可得到B等级人数，按要求补全条形图； （2）用C等级人数除以总人数即可求出m的值，用D等级人数除以总人数再乘以360°即可求解； （3）采用列表法列举即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：（人）， 故答案为：20； 【小问2详解】 解：C级所占的百分比为，表示“D等级”的扇形的圆心角为； 故答案为：40、72． 【小问3详解】 解：列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （男，女） （女，女） 女 （男，女） （女，女） 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种， 则． 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 【答案】（1）60°；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到三角形ODC为等边三角形即可求解；  （2）由旋转的性质得：AD=OB=4，结合题意得到∠ADO=90°．则在Rt△AOD中，由勾股定理即可求得AO的长． 【详解】（1）由旋转的性质得：CD=CO，∠ACD=∠BCO． ∵∠ACB=∠ACO+∠OCB=60°， ∴∠DCO=∠ACO+∠ACD=∠ACO+∠OCB=60°， ∴△OCD为等边三角形， ∴∠ODC=60°． （2）由旋转的性质得：AD=OB=4． ∵△OCD为等边三角形，∴OD=OC=5． ∵∠BOC=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=90°． 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AO=． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是掌握旋转的性质、等边三角形的性质和勾股定理. 21. 绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）售价为元时，利润最大，最大利润是万元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用. （1）先用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，再利用试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于确定x的取值范围即可； （2）根据“利润销售量单件的利润”将（1）中的函数式代入其中，再确定利润和销售单件之间的关系式，最后根据二次函数的性质确定最大利润即可. 【小问1详解】 解：设， 将，两点坐标代入该解析式得： ， 解得：， ∴ ∵成本为每盒60元的土特产品，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40% ∴，即 ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设利润为，可得 ， 由于图像开口向下，对称轴为，取值范围在对称轴左侧，随得增大而增大， 所以当时，（万元）， 答：当售价为84元时，销售最大利润为864万元. 22. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由等面积法列式求出，最后再由勾股定理求出即可； （2）先证明，结合切线性质，等量代换得到即可得证； （3）先得到、，在中，求出，数形结合，得到，代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： 是的切线， ， ， ， ∵为的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：连接，如图所示： ∵为的直径， ， 点是的中点， 在中，是斜边上的中线，则， ， ， ， 是的切线， ， ， 为半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ∵为的直径， ， 在中，，，，则， ∴， 则， ． 【点睛】熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法—连半径证垂直、含的直角三角形性质是解决问题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 【答案】任务一：； 任务二：不能实现，理由如下： 由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为， 则设直线解析式为：， 则 解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 所以不能实现； 任务三： 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，难度较大，正确理解题意， 建立函数模型是解题的关键． 任务一：利用待定系数法即可求解； 任务二：由题意得，击球点，设球网上方点的坐标为，可求直线解析式为，当时，，故不能实现； 任务三：求出弹起后抛物线的表达式为：，而弹起时最大高度为，则弹起高度范围为时，当时，，解得：，即可确定取值范围． 【详解】解：任务一：由题意可知：抛物线的顶点坐标为： 设抛物线的解析式为， 将代入可得，解得：， 所以抛物线的解析式为； 任务二：略； 任务三：设弹起后抛物线的表达式为：， 对于， 当时， 解得：或， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴弹起后抛物线的表达式为：， ∵， ∴弹起时最大高度为， ∴弹起高度范围为， 当时，， 解得：， ∵时，，， ∴击球点与发球机水平距离的取值范围为． 24. 问题背景：如图，在菱形中，，是一条对角线，点M为直线上一个动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，当点C′在线段的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图2，若点M与点B重合，连接交于点O，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M在点C右侧，如图3，连接，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）矩形，理由见解析（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线段中垂线性质、旋转性质和菱形等边三角形特征，推导的度数； （2）通过旋转与菱形性质，先证平行四边形，再结合垂直条件证矩形； （3）分和两种情况，用中位线定理、等边三角形性质及方程思想求． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）四边形是矩形；理由如下： ∵点M与点B重合，将线段绕点M逆时针旋转得到线段， ∴， 在菱形中，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点N是中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （3）的长为或；理由如下： ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴点C为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图4， 取中点为E，连接， ∵点N为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 设，则，，， ∵E为中点， ∴，即， 解得：， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、矩形的判定以及旋转的性质等，解题的关键是根据图形的旋转性质和菱形的特点，结合三角形的相关定理进行分析与推理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第十二中学2025—2026学年度第一学期期末预考 九年级数学试题卷 全卷共6页，分值150分，时间120分钟 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点P(－3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ） A. (－3，1) B. (3，1) C. (3，－1) D. (－3，－1) 3. 已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. 1 C. D. 3 4. 将一把直尺与一块含有角的直角三角板按如图方式放置，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正六边形内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距的长为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，将绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，截面圆中弦的长为，瓶内液体最大深度，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 12. 抛物线的顶点坐标为________． 13. 李老师将1个黑球和若干个白球（球除颜色外其他均相同）放入一个不透明的口袋并搅拌均匀，让学生进行摸球试验，学生每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回．重复该试验，得到如下表所示的一组统计数据： 摸球的次数n 100 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 81 130 204 250 摸到黑球的频率 0.23 0.27 0.26 0.255 0.25 根据表中数据估计袋中白球有______个． 14. 如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于_______． 15. 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1）； （2）． 17. 下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 （1）这位同学的解答，在第 步出现错误． （2）请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，直接写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的； （3）在（2）的条件下，求点到经过的路径长（结果保留）． 19. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题： （1）参加比赛的学生共有_________名； （2）在扇形统计图中，m的值为_________，表示“D等级”的扇形的圆心角为_________度； （3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA． （1）求∠ODC的度数； （2）若OB=4，OC=5，求AO的长． 21. 绿水青山就是金山银山．某乡镇充分利用本地资源，组织生产一种成本为每盒元的土特产品，为了解市场情况，准备先试销一段时间．试销期间规定，销售单价不低于成本价，且获利不得高于成本的.经试销发现，销售量（万盒）与销售单价（元）之间的函数图象如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当销售单价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少万元？ 22. 如图，为的直径，且，点是上的一动点（不与重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接． （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为，宽为，球网高度为．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点正上方的点处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度关于运动的水平距离的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点水平距离为的点处达到最高高度，此时距桌面的高度为，乒乓球落在桌面的点处．以为原点，桌面中线所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点的水平距离为的点处达到最高，设弹起后球达到最高时距离桌面的高度为． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当时，运动员小亮想在点处把球沿直线擦网击打到点，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若，且弹起后球飞行的高度在离桌面至时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离的取值范围． 24. 问题背景：如图，在菱形中，，是一条对角线，点M为直线上一个动点，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接，点N是中点，连接，． 【初步探究】 （1）如图1，当点C′在线段的中垂线上，则 ． 【深入分析】 （2）如图2，若点M与点B重合，连接交于点O，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）若点M在点C右侧，如图3，连接，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $