5.2解一元一次方程（基础篇）练习2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

5.2解一元一次方程 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。 方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 等式的基本性质： · 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果，那么。 · 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果，那么；如果（），那么。 解一元一次方程的一般步骤： · 去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。 · 去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号，括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号。 · 移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，移项要变号。 · 合并同类项：把方程化成（(a)，(b)为常数，）的形式。 · 系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数(a)，得到方程的解。 型 习 练 题 等式的性质 1．下列运用等式的性质，变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．根据等式的性质，下列各式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．如图，天平从左到右的变化情况，与下列式子的变形意义相同的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．下列等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 判断是否是一元一次方程及解 、 6．如果关于x的方程是一元一次方程．那么m，n应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 7．下列各式中，一元一次方程的个数有（   ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 9．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 10．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是    （   ） A． B． C． D． 一元一次方程解的关系 11．关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，m的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 12．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 14．如果，那么关于x的方程的解有（   ） A．只有一个解 B．只有一个解或无解 C．只有一个解或无数个解 D．无解 15．当取不同值时对应的多项式的值如下表所示，则关于的方程的解是（   ） 0 1 2 3 14 10 6 2 A．14 B．10 C．2 D．6 解一元一次方程 16．解下列方程： (1)； (2)． 17．解方程． (1) (2) 18．解方程： (1) (2) 19．解方程 (1) (2) 20．解方程： (1)； (2)． 一元一次方程的应用 21．一张桌子售价86元，比一把椅子的售价的3倍多5元，一把椅子售价多少元？ 22．王师傅加工一批零件，第一天完成的个数是零件总数的，如果再加工45个，就可以完成这批零件的一半，这批零件共有多少个？ 23．问题解决 2025年全国“敬老月”活动于10月10日至31日开展，此次活动的主题为“弘扬孝亲敬老美德共建老年友好社会”．某校学生为敬老院的老人们表演了《花样跳绳》节目．已知甲种跳绳每根20元，乙种跳绳每根15元，用390元购买这两种跳绳，一共买了22根，求两种跳绳各买了几根． 24．两船从港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是千米/时． (1)4小时后两船相距多远？ (2)若甲船由港到港用了2小时30分钟．再立即由港返回港时，用了10小时，试求水流速度． 25．一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要6小时，顺流而下需要4小时，若船在静水中的速度为20千米/时． (1)求水流的速度是多少千米/时？ (2)求两个码头之间的距离是多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年1月8日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C D C A A B B 题号 11 12 13 14 15 答案 A A C C C 1．C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式性质，判断各选项变形是否正确，注意两边操作是否一致且除数不为零． 【详解】解：选项A：若，则，左边减5，右边加5，操作不一致，故A错误； 选项B：若，则，可能为零，除数未保证不为零，故B错误； 选项C：若，则，由于，则两边同除以，得，故C正确； 选项D：若，则，左边除以2，右边除以3，操作不一致，故D错误； 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据等式性质1、等式的性质2，对四个式子逐一分析，再作出判断． 【详解】解：若，当时，；但当时，a与b不一定相等，故A错误，符合； 若，两边减3，得，故B正确，但不符合； 若，两边减1，得，故C正确，但不符合； 若，两边乘，得，故D正确，但不符合， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查等式的基本性质1：等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍然成立；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．结合图形前后变化和等式的基本性质，即可得解； 【详解】解：由图可知：设小正方块为，小球为，圆柱体为， 由左图可知：， 由右图可知： 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查等式的基本性质，掌握 “等式两边同时加、减、乘同一个数（或式），等式仍成立；除以同一个数（或式）时需保证除数不为 0” 是解题的关键．根据等式的性质，等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立进行判断即可． 【详解】 等式变形必须基于等式的性质：等式两边同时加、减、乘或除以（除数不为零）同一个数，等式仍成立． A．如果，那么，故选项不符合题意； B．如果，那么，故选项不符合题意； C．如果，两边同乘，得，故选项符合题意； D．如果，但可能为零，当时，不成立，故选项不符合题意． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍成立，等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立，逐项进行判断即可．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据等式的基本性质1，在等式的两边同时加上2，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； B、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时除以3，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； C、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时乘以9，等式仍然成立，即，故本选项不符合题意； D、根据等式的基本性质2，在等式的两边同时除以一个不等于0的数，等式仍然成立，而c可能为0，因此不一定成立． 故选：D 6．C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴，， ∴，， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次数是1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：∵ ①不是方程，不符合定义； ②符合一元一次方程定义； ③含有两个未知数，不符合定义； ④符合一元一次方程定义； ⑤未知数最高次数为2，不符合定义； ∴ 一元一次方程的个数有2个； 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，正确理解一元一次方程的定义是关键．只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于A、 ，只含未知数y，次数为1，且为整式方程，所以选项A符合题意；. 对于B、 ，含有分式，不是整式方程，所以选项B不符合题意； 对于C、 ，未知数次数为2，所以选项C不符合题意； 对于D、 ，含有两个未知数，所以选项D不符合题意． 故选：A． 9．B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； B、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边相等，故是方程的解，符合题意； C、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； D、当时，方程的左边，此时原方程的左右两边不相等，故不是方程的解，不符合题意； 故选：B． 10．B 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 根据一元一次方程的定义列出关于m的方程，求出m的值即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， ∴原方程可化为，解方程得； 故选：B 11．A 【分析】本题主要考查解一元一次方程、一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义是解决本题的关键． 先解，再根据方程的解及相反数的定义解决此题． 【详解】解：∵， ∴． ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴方程的解为． ∴． ∴． 故选：A． 12．A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 关于的一元一次方程和方程的解互为倒数， ， 解得：． 故选：A． 13．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程解，解一元一次方程等知识点，先求方程的解，再代入求得的值即可，熟练掌握一元一次方程解，解一元一次方程是解决此题的关键． 【详解】解：解方程，得， 把代入， 得， 解得：， 故选：C． 14．C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．此题属于易错题，学生往往忽略了这一情况．需要对的取值进行分类讨论：和两种情况． 【详解】解：当，时，方程有无数个解； 当，时，方程只有一个解． 综上所述，方程的解只有一个解或无数个解． 故选：C． 15．C 【分析】本题考查了解一元一次方程．方程可化为，观察表即可求得方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 由表知，当时，的值为， 所以方程的解为， 故选：C． 16．(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后将系数化为1即可； （2）先去括号计算，再移项，合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题关键． （1）先合并，再将等式两边同乘以，即可解答． （2）先将百分数化为小数，根据方程的解答步骤求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按移项，合并同类项进行求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项进行求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 19．(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后未知数系数化1； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项，最后未知数系数化1． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 即， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 方程两边同乘以6去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 21．27元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确找到等量关系求解． 设一把椅子售价x元，根据题意，得，再解方程即可． 【详解】解：设一把椅子售价x元， 根据题意，得 答：一把椅子售价27元 22．150个 【分析】该题考查了一元一次方程的应用，设这批零件共有x个，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这批零件共有x个， 则， 解得：， 答：这批零件共有 150 个． 23．甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根，根据用390元购买这两种跳绳，可列出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设甲种跳绳买了根，则乙种跳绳买了根， 那么可列方程， 解得， （根）． 答：甲种跳绳买了12根，乙种跳绳买了10根． 24．(1)4小时后两船相距400千米 (2)水流速度a为30千米/时 【分析】本题主要考查整式加减的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）分别得出甲船和乙船行驶的路程，然后问题可求解； （2）由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：甲船行驶的路程为（千米）， 乙船行驶的路程为（千米）， ∴它们相距的路程为（千米）； 答：4小时后两船相距400千米． （2）解：由题意得： ， 解得：； 答：水流速度a为30千米/时． 25．(1)4千米/时 (2)96千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）设水流的速度是x千米/时，根据题意列出方程求解即可； （2）根据（1）中结果计算即可 【详解】（1）解：设水流的速度是x千米/时， 由题意得，， 解得：． ∴水流的速度是4千米/时； （2）两个码头之间的距离是：千米， ∴两个码头之间的距离是96千米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $