数学一模提分卷05（全国一卷通用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 粉 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][CI[D] 3 [A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 相 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) A B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）: 2026年高考第一次模拟考试 O 高三数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 O 第一部分（选择题共58分） : 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若复数z= 1+i205 则z-2z=() 1-i A.-3i B.3i C.-3 D.3 2.已知1≤m≤10，meN,集合M= xeNx-M.neN 有8个子集，则m的一个值为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.已知数列{an}满足4，=(-1)“2，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则 ·: 写错之前这个数为() A.64 B.-81 C.100 D.-121 黑 : : 4.已知M,N为圆O:x2+y2=4上的两点，点P(1,1),且PM1PW,则线段MN的长的取值范围为（) [V6-√2V6+2 A. B. 「√6-5√6+V5 2 2， 2 c.「6-2,6+V2 D.「6-5，N6+3 5.已知定义在(-n,0)U(0,+∞)上的函数f(x),满足f(-x)+f(x)=2,f(x)在(0，+o)上的最大值为-3， 则f(x)在(-o,0)上的最小值为( : A.-4 B.-3 C.4 D.5 6.将函数f)=4 cosox+0<@<4)的图像向右平移元个单位长度后，所得图像与原来的图像重合， : 3 : 兀兀 当，∈石3时，f6)+f(,)=0,则f(+x)=（） A.2W3 B.2 C.-2W5 D.-2 试题第1页（共4页） .: ©学科网·学易金卷做概德：然限是鲁普 7.已知T面向a石，间2a6-2,向6满-a小五， 则E-(a∈R)的最小值 为() A.V2-1 B.V3-1 C.√5 D.√2 8.一个棱长为2的正方体内有一个内切球O,若球O2与正方体的三个面和球O相切，球O,与正方体的三 个面和球O2相切，依次类推，球On+1与正方体的三个面和球O.相切∈N,设球O.的半径为R,体积为 ',则下列结论不正确的是() A.R2=2-V3 B.数列{R}为等比数列 CR+R+见++R。>1+5 (10+6W3)元 2 D.V+V,+V+…+Vn< 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.数据1,2,4,5,6,7,8,9的第75百分位数是7 B.若样本数据x,2,…,X的方差为4，则数据21+1,2x,+1,…,2x+1的方差为16 C.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AUB)=0.7 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上运动，直线1过点(4,0)且与直线1'：3x+2y=0相互垂直. 记直线l与C交于M,N两点，Q为线段MN的中点，则() A.1在y轴上的截距为3 8 B.|F|+|NF=19 C.满足|PM曰PWI的点P有2个 D.IPF+PQ 2 11.已知在数列a中，4=2，(a,+a)=2(∈N),数列他，}的前项和为S,且满足 2Sn=n(b.+2)(n∈N),则() A数列- 是等比数列 B.数列{a}是等比数列 C.数列{b}是等差数列 D.若6=3，则s=nm+3） 2 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 1+x+ 展开式中的常数项为一。 试题第2页（共4页） 可学科网·学易金卷做怒機：就限是鲁普 1以.改双曲线C号子-口>6>0)的有能方为F,过P作C的家布近线的童绕，垂足为，线院 FH交C于点P,若FP=2P豆，则C的离心率为 14.已知正实数x,y满足(2x+V4x2+1N少+4-2=y,则x2e的最小值为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分 析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y（单位：万亿元)的散点图，如 图所示： 居民存款余额y 160 140 120 100 80 60 40 012345678910111213141516年份序号t (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰 有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=ae"进行拟合，求y关于t的经验回归方程. 16 16 参考数据：设2，=ny,则z≈4，∑24≈578，∑-1672=340，e315≈23.34. =1 参考公式：对于一组数据(t,)(i=1,2,3,,),其经验回归直线z=d+Bt的斜率和截距的最小二乘估计分 ∑4- 别为B= 及 —,a=z-Bt 5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2smC+石 (1)求A: (2)若D为边BC上一点，BD=2DC,AD=6,AD平分∠BAC,求a. 试题第3页（共4页） 17.(15分)如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其中AB∥CD∥EF, CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°. B 2---- D C (1)求证：BC⊥AF: (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值： 张 (3)若空间中存在一点Q,满足D0=DF+uDB(2,u∈R),且直线A9⊥平面BCE,求A0的长. 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为(x+2)+y2=32,点B(2,0),点M是圆A上任意一 教 游 点，线段BM的垂直平分线交半径AM于点N,当点M在圆上运动时，点N的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设C与y轴交于D,D2.两点（点D在点D上方），过点E(0,1)的直线1(1不与y轴重合)与C交于P,Q 两点，直线PD与直线QD2交于点T. (i)证明：点T在定直线上： (i)设D7=P,D,T=uDQ,求+3的最大值 入 19.(17分)关于在(a,b)可导的函数∫(x),某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：∫(x)的导数 O f'(x)在(a,b)单调递增一f(x)在(a,b)是凹函数；f(x)的导数f'(x)在(a,b)单调递减→f(x)在(a,b)是 凸函数已知f)+m-3x在(0，-1是凸函数，在(-L,+m)是凹函数：8()-f()+nE(mneR). (1)求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若8(x)在R是凸函数，求实数n的取值范围： (3)若8(x)在(-o,x)及(x2,+o)是凸函数，在(x,x2)是凹函数；且8(x)在(-0，t)单调递增，在(t,+0)上单 : O 调递减，求证：x2-x<1+V5 试题第4页（共4页）可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.若复数z=1+i0 -,则z-2z=() 1-i A.-3i B.3i C.-3 D.3 2已知1限s10eN,集合MeN升nEN 有8个子集，则m的一个值为() A.4 B.5 C.6 D.7 3.已知数列{a}满足4=(-1)2，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则 写错之前这个数为() A.64 B.-81 C.100 D.-121 4.已知M,N为圆O:x2+y2=4上的两点，点P(1,1),且PM⊥PW,则线段N的长的取值范围为() A. 「6-26+2 √6-3V6+V3 2 B 2 2 2 c.「6-2,6+2 D.[6-5,W6+5 5.已知定义在(-0,0)U(0,+o)上的函数f(x),满足f(-x)+f(x)=2,f(x)在(0，+o)上的最大值为 -3,则f(x)在(-n,0)上的最小值为() A.-4 B.-3 C.4 D.5 6.将函数)=4osOx+3)0<0<)的图像向右平移π个单位长度后，所得图像与原来的图像重合， 当司后》时.))0，则)《) 1/6 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.2W3 B.2 C.-25 D.-2 7已知平面向量a石，且同-2a6=2,向量c满足-a-五-，啡-2e)的最小 值为() A.V2-1 B.V5-1 C.5 D.√2 8.一个棱长为2的正方体内有一个内切球O,若球O,与正方体的三个面和球O相切，球O,与正方体的三 个面和球O2相切，依次类推，球O.1与正方体的三个面和球O.相切n∈N,设球O.的半径为R,体积为 ,则下列结论不正确的是() A.R,=2-V5 B.数列{R}为等比数列 C.R+R+R++R,>1+5 D.v+V+v+...+V< 10+63)π 2 15 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是() A.数据1,2,4,5,6,7,8,9的第75百分位数是7 B.若样本数据x,x2,…,x的方差为4，则数据2x,+1,2x2+1,…,2xg+1的方差为16 C.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.5,则P(AUB)=0.7 10.己知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P在C上运动，直线1过点(4,0)且与直线1'：3x+2y=0相互垂 直.记直线l与C交于M,N两点，O为线段MN的中点，则() 人。1在)轴上的截距为 B.|MF|+|NF=19 C.满足IPM曰PNI的点P有2个 D.F号 山.已知在数列a中，g=2(a+a)=2(加eN),数列，}的前n项和为S,且满足 2Sn=n(b.+2)(n∈N),则() A数列径是等此比数列 B.数列{a}是等比数列 C.数列b}是等差数列 D.若6，=3，则s=nn+3） 2 216 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 1+x+1) x2 展开式中的常数项为一。 1以.设双曲线C菩示-1a>0,60)的右焦点为尸，过r作C的条新近线的董线，重足为，线 FH交C于点P,若FP=2P五，则C的离心率为 14.已知正实数x,y满足(2x+4x2+V2+4-2=y,则xe的最小值为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分 析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额y(单位：万亿元)的散点图，如 图所示： 个居民存款余额y 160 140 120H 20◆◆◆◆···。。。 100 80 60 40 012345678910111213141516年份序号t (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中 恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率： (2)由散点图知，y和t的关系可用经验回归模型y=ae“进行拟合，求y关于t的经验回归方程. 参考数据：设=1m,则三4，兑弘≈578克4-167=340.e2523,34 参考公式：对于一组数据(t,三)i=1,2,3,,n),其经验回归直线z=à+Bt的斜率和截距的最小二乘估计分 4- 别为B=过 -,a=7-BI -2 1=1 316 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2smC+四=b+c (1)求A: (2)若D为边BC上一点，BD=2DC,AD=6,AD平分∠BAC,求a. 17.(15分)如图，四边形ABCD与ABEF为直角梯形，且平面ABCD⊥平面ABEF,其中 AB∥CD∥EF,CD=EF=1,AB=AD=AF=2,∠BAD=∠BAF=90°. 4 --73 D C (1)求证：BC⊥AF; (2)求平面ACF与平面BCE夹角的正弦值： (3)若空间中存在一点2，满足DO=DF+uDB(元，u∈R),且直线A2⊥平面BCE,求AQ的长. 4/6 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(17分)在平面直角坐标系xOy中，圆A的方程为(x+2)+y2=32,点B(2,0),点M是圆A上任意 一点，线段BM的垂直平分线交半径AM于点N,当点M在圆上运动时，点N的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设C与y轴交于D,D2.两点（点D在点D2上方），过点E(0,1)的直线1(1不与y轴重合)与C交于 P,Q两点，直线PD与直线QD2交于点T (i)证明：点T在定直线上： (i设DF=0p,D,r=uD0,求克 +3的最大值， 516 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(17分)关于在(a,b)可导的函数f(x),某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：f(x)的导数 f'(x)在(a,b)单调递增→f(x)在(a,b)是凹函数；f(x)的导数f'(x)在(a,b)单调递减一f(x)在(a,b)是 凸函数已知了)子x+m2-3x在(-m,-1)是凸函数，在(1+)是凹函数：g)=/)+em,n∈R)） 3 (1)求f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若g(x)在R是凸函数，求实数n的取值范围； (3)若g(x)在(-o,x)及(x2,+0)是凸函数，在(x,x2)是凹函数；且g(x)在(-n,t)单调递增，在(t,+0)上单 调递减，求证：x,-x<1+√5 616 2026年高考第一次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 【答案】A 【分析】根据复数的乘方运算以及除法运算即可计算出结果. 【详解】易知，所以复数， 可得，所以. 故选：A 2．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 3．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 【答案】A 【分析】由分组求和及等差数列的前n项和公式即可直接求得答案. 【详解】由，则其前20项和为． 设写错项为，则，解得，故写错之前这个数为. 故选：A 4．已知为圆上的两点，点，且，则线段的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂径定理和勾股定理，结合坐标运算，求出线段中点的轨迹方程，再结合圆内定点到圆上动点的距离问题转化为到圆心的距离与半径的关系，从而可得到线段的长的取值范围. 【详解】 设的中点为，所以， 又，所以， 化简得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 由，则，且点在圆的内部， 所以圆上动点到定点的取值范围是， 即线段的长的取值范围是. 故选：C. 5．已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】构造函数，由题意得函数为奇函数，根据题意求得函数在上最大值，即可求得函数在上最大值，从而得到结果. 【详解】函数的定义域为， 由，得， 令，则，所以函数为奇函数， 因为函数在上的最大值为， 所以函数在上的最大值为， 故函数在上的最小值为4， 从而函数在上的最小值为5， 故选：D. 6．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得函数的周期，根据最小正周期的计算公式，求得参数，根据复合函数以及三角函数的单调性和对称性，可得答案. 【详解】由函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，则是函数的一个周期， 所以，化简可得，其中，由，则， 可得，令，解得，其中， 所以函数的对称中心为，其中， 令，化简可得，则 故函数在上的对称中心为， 由，则，则函数在上单调递减， 由，且，则，即， 所以. 故选：D. 7．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可得，又，易知，，将问题转化为平面点线距离关系：向量的终点为圆心，1为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短，即可求的最小值. 【详解】∵，而， ∴，又，即， 又，， ∴， 若，则， ∴在以为圆心，1为半径的圆上，若，则， ∴问题转化为求在圆上的哪一点时，使最小，又， ∴当且仅当三点共线且时，最小为. 故选：B. 8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得到递推关系，进而推得是等比数列，逐项分析即可. 【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：， 整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确； 对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确； 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．若事件与事件相互独立，，，则 【答案】BD 【分析】根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据方差的求法，可判断B的正误；根据互斥事件的定义，可判断C的正误；根据独立事件的概率公式，可判断D的正误. 【详解】选项A：，所以第75百分位数是，故A错误； 选项B：因为样本数据，，，的方差为4， 所以数据，，，的方差为，故B正确； 选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 选项D：若事件与事件相互独立，，， 则，故D正确. 故选：BD 10．已知抛物线的焦点为，点在上运动，直线过点且与直线相互垂直.记直线与交于，两点，为线段的中点，则（    ） A．在轴上的截距为 B． C．满足的点有2个 D． 【答案】BCD 【分析】设直线代入计算求解判断A，联立计算结合焦半径公式计算判断B，数形结合判断C，应用抛物线定义转化距离结合距离和最小计算判断D. 【详解】由题意设直线的方程为，将代入，解得，令， 解得，故A错误； 联立解得或 不妨设，，故，故B正确； 作图可知，线段的中垂线与有两个交点，故C正确； 分别过，作的准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 当且仅当，，三点共线时取等号，故D正确. 故选:BCD. 11．已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据已知递推式得且，进而有判断A、B；应用的关系得判断C；根据等差数列的定义及前n项和公式判断D. 【详解】因为，即， 所以，则， 所以，而，则， 所以数列是各项都为0的常数列，不是等比数列，故A错误. 因为，所以数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为2的等比数列，故B正确. 由，得， 两式相减并整理，可得，所以， 两式相减并整理，可得，所以， 所以数列是等差数列，故C正确. 当时，由，可得，所以， 又，所以等差数列的公差为1，所以， 所以，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为 。 【答案】4 【分析】利用展开式中常数项的生成过程，结合组合数公式，即可求解. 【详解】， 3个因式中每个因式都包含三个项，若要得到常数项， 第一种方法是3个都取1，为，第二种方法是取2个，1个，为， 所以展开式的常数项为. 故答案为：4. 13．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 . 【答案】 【分析】不妨设点H在第一象限，根据题意可得，然后利用双曲线的定义和余弦定理即可求解. 【详解】由，可知点P在线段FH上，且，如图所示，根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限， 设O为坐标原点，则直线OH的方程为．由，则点到直线距离为， 又，则．由，可知． 设双曲线C的左焦点为，连接， 由双曲线的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 整理得，即，则，，所以C的离心率． 故答案为：. 14．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】化简题目条件得，构建函数，因为是正实数，故此函数单调递增，得到，代入，求导分析其最值. 【详解】由， 整理得， 化简得：， 设函数，可知函数在内单调递增， 由可得，即，代入得， 令， 令，解得， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 故当 时， 取得最小值，此时 ，最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分)某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）16年中有4年居民存款余额超过100万亿元，根据组合知识求解概率； （2）两边取对数，再根据公式求出，，从而，故. 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 16．(15分)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦的和角公式及正弦定理、辅助角公式等进行求解即可； （2）在中利用正弦定理求出的关系，从而可得c和b的方程，利用可再得一个关于b、c的方程，联立求出b、c，再利用余弦定理即可求出a． 【详解】（1）由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； （2）由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 17．(15分)如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）利用空间向量的坐标运算求出，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以. （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又，，，， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面，得是平面的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 18．(17分)在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）1. 【分析】（1）根据圆的性质，以及椭圆的概念，根据参数写出椭圆标准方程即可. （2）根据直线与椭圆的位置关系，以及韦达定理，判断点在定直线上；再根据向量的线性运算，写出点的坐标，进而求出代数式的表达式，再求出最值. 【详解】（1） 如图，由题意知，，可知，所以， 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则， 所以的方程为； （2）①： 由题知，可设直线方程为，. 联立，得，且， 所以， 所以， 如图，，直线的方程为， 直线方程为， 联立两方程得， 所以，则点的纵坐标恒为4，即点在定直线上. ②： 由①有，设，又，且， 则，则， ， 故当时，的最大值为1. 19．(17分)关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；. (1)求在点处的切线方程； (2)若在是凸函数，求实数的取值范围； (3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意和导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可求解； （2）令，由求出参数m，令，将题设问题等价转化为在上恒成立，再化简消参得到在上恒成立，设，求出即可得解； （3）先将题设问题等价转化为的有两个变号零点为，接着利用导数工具研究函数的单调性，分析得到和，接着分析时恒成立得到即可分析求证. 【详解】（1）依题意，， 所以切点为，切线斜率为， 所以在处的切线方程为； （2）令，则， 所以依题意， 所以，. 则，若在是凸函数， 则在R上单调递减，令， 则在上恒成立，即在上恒成立， 设，即， ，所以时，时， 于是在上单调递增，在上单调递减， 于是； （3）由（2）， 由题在和上单调递减，在上单调递增，则的有两个变号零点为， 又时，单调递增，此时至多只有一个零点，不符合题意； 另外由（2）知时，单调，不符合题意，于是， 令为减函数， 令， 所以时，时， 即在上单调递增，在上单调递减， 注意到，， 而，，时，，于是有， 此时，即， 所以， 又时，，时，，时，， 即在，上单调递减，在上单调递增，而， 又时，，时，，时，， 又时，，于是只能有， 即时，恒成立，这只需， 于是. ， 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A C D D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．4 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分). 【详解】（1）由题意，16年中有4年居民存款余额超过100万亿元， 故所求概率为. （2）， 由题知，， ， ， ，故. 16．(15分) 【详解】（1）由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； （2）由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 17．(15分) 【详解】（1）由，得，而平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，所以. （2）由（1）知平面，平面，则， 而，，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 又，，，， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面与平面夹角的正弦值为. （3）设，依题意，， 即，，， 即，则， 由平面，得是平面的一个法向量，于是， 即，解得，， 因此，所以. 18．(17分) 【详解】（1） 如图，由题意知，，可知，所以， 可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，则， 所以的方程为； （2）①： 由题知，可设直线方程为，. 联立，得，且， 所以， 所以， 如图，，直线的方程为， 直线方程为， 联立两方程得， 所以，则点的纵坐标恒为4，即点在定直线上. ②： 由①有，设，又，且， 则，则， ， 故当时，的最大值为1. 19．(17分) 【详解】（1）依题意，， 所以切点为，切线斜率为， 所以在处的切线方程为； （2）令，则， 所以依题意， 所以，. 则，若在是凸函数， 则在R上单调递减，令， 则在上恒成立，即在上恒成立， 设，即， ，所以时，时， 于是在上单调递增，在上单调递减， 于是； （3）由（2）， 由题在和上单调递减，在上单调递增，则的有两个变号零点为， 又时，单调递增，此时至多只有一个零点，不符合题意； 另外由（2）知时，单调，不符合题意，于是， 令为减函数， 令， 所以时，时， 即在上单调递增，在上单调递减， 注意到，， 而，，时，，于是有， 此时，即， 所以， 又时，，时，，时，， 即在，上单调递减，在上单调递增，而， 又时，，时，，时，， 又时，，于是只能有， 即时，恒成立，这只需， 于是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 2．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 4．已知为圆上的两点，点，且，则线段的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 6．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 7．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．若事件与事件相互独立，，，则 10．已知抛物线的焦点为，点在上运动，直线过点且与直线相互垂直.记直线与交于，两点，为线段的中点，则（    ） A．在轴上的截距为 B． C．满足的点有2个 D． 11．已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为 。 13．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 . 14．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 16．(15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 17．(15分）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 18．(17分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 19．(17分）关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；. (1)求在点处的切线方程； (2)若在是凸函数，求实数的取值范围； (3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数，则（    ） A． B．3i C． D．3 2．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（   ） A．64 B． C．100 D． 4．已知为圆上的两点，点，且，则线段的长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数，满足，在上的最大值为，则在上的最小值为（ ） A． B． C．4 D．5 6．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原来的图像重合，当时，，则（   ） A． B．2 C． D． 7．已知平面向量，且，向量满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 B．若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．若事件与事件相互独立，，，则 10．已知抛物线的焦点为，点在上运动，直线过点且与直线相互垂直.记直线与交于，两点，为线段的中点，则（    ） A．在轴上的截距为 B． C．满足的点有2个 D． 11．已知在数列中，，数列的前项和为，且满足，则（    ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列是等差数列 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．展开式中的常数项为 。 13．设双曲线的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，线段交于点，若，则的离心率为 . 14．已知正实数x，y满足，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分）某经济研究所为了解居民存款余额变化情况，对2009年至2024年居民存款余额进行统计分析，将2009年看成第1年，依次类推，得到第1~16年的居民存款余额（单位：万亿元）的散点图，如图所示： (1)已知从2021年开始，居民存款余额超过100万亿元，若从2009年至2024年中任取2年，求这2年中恰有一年居民存款余额超过100万亿元的概率； (2)由散点图知，和的关系可用经验回归模型进行拟合，求关于的经验回归方程. 参考数据：设，则. 参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 16．(15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 17．(15分）如图，四边形与为直角梯形，且平面平面，其中，，，. (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)若空间中存在一点，满足，且直线平面，求的长. 18．(17分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)设与轴交于.两点（点在点上方），过点的直线（不与轴重合）与交于两点，直线与直线交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）设，，求的最大值. 19．(17分）关于在可导的函数，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：的导数在单调递增在是凹函数；的导数在单调递减在是凸函数.已知在是凸函数，在是凹函数；. (1)求在点处的切线方程； (2)若在是凸函数，求实数的取值范围； (3)若在及是凸函数，在是凹函数；且在单调递增，在上单调递减，求证：. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $