专题01 坐标系与一次函数（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题01 坐标系与一次函数 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：点的坐标特点 易｜混｜易｜错 1） x轴、y轴不属于任何一个象限； 2） 一个点关于轴、轴成轴对称的规律——关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数 3） 若两个点关于原点（0,0）成中心对称，则两点的横纵坐标均互为相反数； 1．（2024•西湖区校级二模）如图所示，若点E坐标为（m，n），则（m﹣2，n+2）对应的点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【分析】根据点E的坐标可知（m﹣2，n+2）在点E的左上方，进而可得出结论． 【解答】解：∵点E坐标为（m，n），m﹣2＜m，n+2＞n， ∴m﹣2，n+2）在点E的左上方， ∴点A符合． 故选：A． 【点评】本题考查的是点的坐标，根据题意得出m﹣2＜m，n+2＞n是解题的关键． 2．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据象限内点的坐标特征即可得出答案． 【解答】解：横坐标为负，纵坐标为正的点在第二象限内． 故选：B． 【点评】本题主要考查点的坐标，牢记各象限内点的坐标性质是解题的关键． 3．（2025•杭州一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成．三只冰壶A，B，C的位置如图所示，∠APB＝120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A，B分别表示为（4a，0°），（2a，120°），则冰壶C可表示为（　　） A．（3a，120°） B．（4a，200°） C．（3a，240°） D．（3a，300°） 【分析】设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，根据题意求出图形和题意得出点C的位置． 【解答】解：设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，如图： ∵∠APB＝120°，CP的延长线平分∠APB， ∴∠APD＝∠DPB＝60°， ∴∠DPE＝30°， ∴∠CPF＝30°， ∴冰壶C可表示为（3a，240°）， 故选：C． 【点评】本题考查坐标定位置，关键是掌握平面直角坐标系中坐标的位置． 4．（2025•舟山三模）如图，在平面直角坐标系中，如果点M的位置用（3，2）表示，点N的位置用（0，1）表示，那么（2，﹣1）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出（2，﹣1）对应的点． 【解答】解：根据点M和点N的位置坐标确定直角坐标系和单位长度，即可找出（2，﹣1）对应的点如下： ∴（2，﹣1）表示的位置是点A． 故选：A． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题关键是牢记平面内的点与有序实数对是一一对应的，以及直角坐标系中特殊位置的点的坐标． 考点二：坐标系内的规律题 易｜混｜易｜错 1）平面直角坐标系内点的规律变化题，可以从点的变化过程思考，多为周期性规律，也有周期递进性规律； 1．（2025•杭州模拟）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，1） B．（2024，0） C．（2025，1） D．（2025，2） 【分析】根据动点P的运动规律，求出其坐标． 【解答】解：根据题意有， 第1次点P的坐标为（1，1）， 第2次点P的坐标为（2，0）， 第3次点P的坐标为（3，2）， 第4次点P的坐标为（4，0）， 第5次点P的坐标为（5，1）， 第6次点P的坐标为（6，0）， 第7次点P的坐标为（7，2）， 第8次点P的坐标为（8，0）， ……， 易知第n次，点P的横坐标即为n，纵坐标的值以1，0，2，0为一个周期， 2025÷4＝506……1， ∴第2025次运动后，动点P的坐标是（2025，1）． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，根据题意找出规律，利用周期性进行计算是解本题的关键，综合性较强，难度适中． 2．（2025•金华模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　 　 ． 【分析】根据题意，依次求出点A2，A3，A4，…，的坐标，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A1的坐标为（2，3）， 则﹣3+1＝﹣2，2+1＝3， 所以点A2的坐标为（﹣2，3）． 同理可得，点A3的坐标为（﹣2，﹣1），点A4的坐标为（2，﹣1），点A5的坐标为（2，3），…， 由此可见，从点A1开始，这列点的坐标按（2，3），（﹣2，3），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）循环． 又因为2025÷4＝506余1， 所以点A2025的坐标为（2，3）． 故答案为：（2，3）． 【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律，能通过计算发现从点A1开始，这列点的坐标按（2，3），（﹣2，3），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）循环是解题的关键． 3．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 【分析】按照反弹角度依次画图，探索反弹规律，即可求出答案． 【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下， 由图中可知，P2（4，1），P3（0，3），P4（2，4），P5（4，3），最后再反射到P（0，1），由此可知，每6次循环一次， ∴2024÷6＝337…2， ∴点P2024的坐标与P2相同， ∴P2024（4，1）． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标规律探究性问题，解题的关键在于寻找循环坐标，得出规律． 考点三：函数的图象与应用 1．（2025•浙江模拟）某数学项目化学习小组在研究某两地高铁不同车次的平均运行速度（km/h）和运行时间t（h）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：km/h） 210.7 158.0 143.6 98.8 t（单位：h） 1 下面能够最符合与t之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据沪杭高铁之间的距离是定值，结合，判定与t是成反比例函数的，计算出定值即可． 【解答】解：沪杭高铁的总里程是固定的． 由得， 由得，s＝158.0， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的生活应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 2．（2025•杭州校级模拟）小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 【分析】首先小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，回家也是先上坡后下坡，而据图象知道上坡路程是36百米，下坡路程是60百米，由此先求出上坡和下坡的速度，再根据返回时原来上坡变为下坡，下坡变为上坡，利用时间＝路程÷速度即可求出小亮从学校骑车回家用的时间． 【解答】解：由图可得，去校时，上坡路的距离为36百米，所用时间为18分， ∴上坡速度＝36÷18＝2（百米/分）， 下坡路的距离是96﹣36＝60百米，所用时间为30﹣18＝12（分）， ∴下坡速度＝60÷12＝5（百米/分）； ∵去学校时的上坡回家时变为下坡、去学校时的下坡回家时变为上坡， ∴小亮从学校骑车回家用的时间是：60÷2+36÷5＝30+7.2＝37.2（分钟）． 故选：A． 【点评】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，需要注意去学校时的上坡，返回家时是下坡，去学校时的下坡，返回家时是上坡． 3．（2025•钱塘区二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x＞0时的函数图象判断n的正负． 【解答】解：∵， ∴x的取值范围是x≠﹣m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧， ∴m＜0，由图可知，当x＞0时的函数图象位于x轴的下方， ∴当x＞0时，y＜0， 又∵当x＞0时，（x+m）2＞0， ∴n＜0， 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数图象与点的坐标的关系是解题的关键． 4．（2025•定海区三模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　） A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D． 【分析】分析各个转折点所表示的实际意义即可得解． 【解答】解：如图所示， 先分析图象，A点之前两人距离一直变大，A点之后两人距离变小， 则说明A点表示茗茗达到B地的时间为40分钟，此时两人的距离为a米， ∴茗茗的速度为：150米/分； C点表示在茗茗返回过程中，两人相遇时的时间； 很明显CB段比BE段更陡，则可说明CB段是相遇之后茗茗从往A地返回，清清继续往B地去， ∴B点表示清清达到B地的时间为50分钟，此时两人相距b米， ∴清清的速度为120米/分； E点则表示茗茗返回A时间，D点第二次相遇时的时间， ∴a＝（150﹣120）×40＝1200， 故A选项正确； 当清清到达B地时，茗茗距离B地：（50﹣40）×150＝1500米， 即b＝1500， 故B选项正确； 两人第一次相遇时：150（x﹣40）+120x＝6000， 解得x，即c， 故C选项错误； ∴d＝2c， 故D选项正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象分析等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．（2025•浙江模拟）如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】记GH交A′C于点O，连接BD，根据菱形的性质和平移的性质得出四边形A′HCG是平行四边形，结合相似三角形的判定与性质得出四边形A′HCG是菱形，根据菱形的性质得出GH⊥AC，设AC＝m，BD＝n，则A′C＝m﹣x，根据锐角三角形函数的定义推得，整理得出，结合一次函数的性质即可求解． 【解答】解：如图，记GH交A′C于点O，连接BD， ∵AB∥CD，AD∥BC，AD＝AB，BD⊥AC， 由平移的性质可得：A′B′∥AB，C′D′∥CD，C′B′∥CB，A′D′∥AD， ∴A′G∥HC，A′H∥GC， ∴四边形A′HCG是平行四边形， ∵A′B′∥AB，A′D′∥AD， ∴△A′GC∽△ABC，△A′HC∽△ADC， ∴，， ∴A′G＝A′H， ∴四边形A′HCG是菱形， ∴GH⊥AC， 设AC＝m，BD＝n，则A′C＝m﹣x， ∵A′B′∥AB， ∴∠GA′C＝∠BAC， 故，， 即， 整理得：， ∵为定值， ∵， ∴y随x的增大而减小． 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，一次函数的性质等，结合锐角三角函数的定义求出y与x的函数表达式是解题的关键． 考点四：一次函数的性质 易｜混｜易｜错 1）一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 1．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 2．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 　 ． 【分析】依据题意，由函数的图象，可以得到该函数y＝0时x的值和该函数的增减性，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围． 【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，一次函数y＝kx+b中y随x的增大而减小， 又∵当x＝2时，y＝0， ∴当y＜0时，x的取值范围是x＞2， 故答案为：x＞2． 【点评】本题主要考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，利用数形结合的思想解答． 3．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 【分析】根据函数解析式得到函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大，根据自变量取值范围即可得到当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4，列方程并解方程即可． 【解答】解：∵k＝1＞0 ∴函数y＝x﹣1的函数值随着x的增大而增大， 当a≤x≤a+3时，则当x＝a时取得最小值2a+4， 即a﹣1＝2a+4， 解得a＝﹣5， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握函数的增减性是解答本题的关键． 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，可以得到a﹣1＞0，从而可以得到a的取值范围，然后即可得到一次函数y＝ax﹣a经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【解答】解：∵一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限， ∴a﹣1＞0， 解得a＞1， ∴﹣a＜﹣1， ∴一次函数y＝ax﹣a的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 5．（2025•金华模拟）已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　 　 ． 【分析】根据y随x的增大而减小，即可得出答案． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象过点（1，m）与（2，n），m＞0，n＜0， ∴k+2＞0，2k+2＜0， 解得﹣2＜k＜﹣1． 故答案为：﹣2＜k＜﹣1． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 考点五：一次函数图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1） 解决图象上点的坐标特征问题时，牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质； 2） 对于一次函数，若点在其图象上， 1．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 【分析】对k、b的正负进行分类讨论，并分别根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：当k＞0，b＞0时，kb＞0，且y随x的增大而增大，y1＜y2当x1＜x2＜0，不能确定y1、y2的正负，则y1y2＜0或y1y2＞0，故C、D错误； 当k＞0，b＜0时，kb＜0，且y随x的增大而增大，y1y2＞0，故A选项正确； 当k＜0，b＞0时，kb＜0，且y随x的增大而减小，y1y2＞0，故B选项错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 2．（2025•嘉兴二模）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3），由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论： ①函数表达式为y＝x+3； ②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大； ③点P（3a，3a+3）在该函数图象上； ④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9． 其中错误的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【分析】①采用待定系数法求出关系式即可； ②根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k＝1＞0，y随x的增大而增大即可判断； ③把点P（3a，3a+3）代入解析式中，其坐标满足y＝x+3，即可判断； ④根据函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积即可． 【解答】解：设一次函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3）， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为：y＝x+3； 故结论①正确； ∵k＝1＞0， ∴y随x的增大而增大，故②正确； 点P（3a，3a+3），其坐标满足y＝x+3， 因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确； ∵直线AB与x，y轴的交点分别（﹣3，0），（0，3）， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为：，故④不正确； 因此，不正确的结论是④． 故选：D． 【点评】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识点是解题的关键． 3．（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） 【分析】根据题意，分别求出满足要求的一次函数的解析式，即可得出答案． 【解答】解：由题意，当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点B时， ， 解得， 一次函数的解析式为y＝3x+4；同理可得， 当一次函数y＝kx+b的图象经过点A和点C时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点C时，一次函数的解析式为yx； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点B和点D时，一次函数的解析式为yx； 当一次函数y＝kx+b的图象经过点C和点D时，一次函数的解析式为y＝2x+3； 所以A、C、D都在一次函数y＝2x+3的图象上，该函数图象没有经过的点的坐标是B（1，7）． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，分别求出满足要求的一次函数的解析式是解题的关键． 4．（2025•萧山区一模）已知点A是正比例函数y＝kx图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则k＝ 　 　 ． 【分析】设出点A的坐标，再表示出平移后所得点的坐标，代入正比例函数解析式即可解决问题． 【解答】解：由题知， 设点A的坐标为（m，mk）， 则把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后所得点的坐标为（m+k，mk+4）． 因为此点在y＝kx的图象上， 所以k（m+k）＝mk+4， 解得k＝2（舍负）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 5．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 【分析】（1）把原式化为y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1的形式，令x+3＝0，求出y的对应值即可； （2）分a＞0和a＜0两种情况进行讨论即可． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+3a+1＝（x+3）a+1， 当x＝﹣3时，y＝1， ∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点（﹣3，1）； （2）当a＞0时，此函数是增函数，当x＝4时，最大值为6， 当x＝4时，一次函数y1＝4a+3a+1＝6， 解得， 当a＜0时，此函数是，减函数，当x＝2时，最大值为6 当x＝2时，一次函数y1＝2a+3a+1＝6， 解得a＝1（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 考点六：待定系数法求一次函数解析式 易｜混｜易｜错 1） 待定系数法求一次函数解析式的步骤： ①设；②带入两个点的坐标，得关于k、b的二元一次方程组； ③解方程组得k、b的值；④再代入,得解析式 1．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 【分析】本题分情况讨论①x＝1时对应y＝8，x＝﹣3时对应y＝﹣1；②x＝1时对应y＝﹣1，x＝﹣3时对应y＝8；将每种情况的两组数代入即可得出答案． 【解答】解：①将x＝1，y＝8代入得：8＝k+b，将x＝﹣3，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣3k+b， 解得：k，b；函数解析式为yx，经检验验符合题意； ②将x＝1，y＝﹣1，代入得：﹣1＝k+b，将x＝﹣3，y＝8代入得：8＝﹣3k+b， 解得：k，b，函数解析式为yx，经检验符合题意； 综上可得b或． 故选：C． 【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，注意本题需分两种情况，不要漏解． 2．（2025•浙江模拟）定义：在平面直角坐标系中，若m﹣n≠﹣2，称点（m，n）与点（n﹣2，m+2）互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 【分析】先根据“友好点”得定义找出友好点坐标之间关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线得斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式． 【解答】设点（m，n）在直线上，其友好点（n﹣2，m+2）也在直线l上， ∴根据过两点（x1，y1），（x2，y2）直线得斜率公式k1， ∴可设直线l的表达式为y＝﹣x+b， 当x＝0时，y＝b，即直线l与y轴交点为（0，b）， 当y＝0时，0＝﹣x+b，解得x＝b，即直线l与x轴交点为（b，0）， ∴S|x|×|y||b|×|b|＝3， ∴b， ∴直线得表达式y＝﹣x，或y＝﹣x． 故答案为：y＝﹣x，或y＝﹣x． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键． 3．（2025•临平区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2）． （1）若2k﹣b＝3，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且S＝k﹣2b，求S的取值范围． 【分析】（1）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2），得到﹣2＝﹣k+b，再结合2k﹣b＝3，解二元一次方程组求解即可； （2）根据﹣2＝﹣k+b，即k＝b+2，进而得到S＝k﹣2b＝b+2﹣2b＝2﹣b，再根据一次函数的图象经过第四象限，可得到b＜0，由不等式的性质即可解答． 【解答】解：（1）将点（﹣1，﹣2）代入一次函数解析式得：﹣2＝﹣k+b， 联立得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：y＝x﹣1； （2）根据题意：﹣2＝﹣k+b，即k＝b+2， ∴S＝k﹣2b＝b+2﹣2b＝2﹣b， ∴b＝2﹣S， ∵k＞0， ∴b+2＞0，即b＞﹣2； ∵一次函数y＝kx+b的图象经过第四象限，且k＞0，则b＜0， ∴﹣2＜b＜0， ∴﹣2＜2﹣S＜0， ∴2＜S＜4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出函数解析式是解题的关键． 4．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）． （1）一次函数的表达式． （2）如果点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A′恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）先求出点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A'（﹣m﹣2，﹣3），然后代入求值． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）， ∴3k+5＝﹣1， 解得k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+5； （2）由（1）知，一次函数的解析式为y＝﹣2x+5， ∵点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A'（﹣m﹣2，﹣3），点A′恰好落在第一次函数的图象上， ∴﹣2（﹣m﹣2）+5＝﹣3， 解得m＝﹣6， ∴点A的坐标为（﹣4，3）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 【分析】（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1，设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得，解出k，b的值可得直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）求出y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3，可得2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5，故2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【解答】解：（1）把A（2，m）代入y＝2x﹣3得：m＝2×2﹣3＝1， ∴m的值为1，A（2，1）， 设直线AB解析式为y＝kx+b，把A（2，1），B（0，3）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝﹣x+3； （2）2y1+y2的值不随t的变化而变化，理由如下： ∵点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上， ∴y1＝﹣t+3，y2＝2（t+1）﹣3， ∴2y1+y2＝2（﹣t+3）+2（t+1）﹣3＝5， ∴2y1+y2的值不随t的变化而变化，2y1+y2的值为5． 【点评】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法和一次函数图象上点坐标的特征． 考点七：一次函数与方程、不等式的关系 易｜混｜易｜错 1）求两个一次函数的交点坐标，就是在求两个函数解析式联立所得方程（组）的解； 2）由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标； ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025•瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0 【分析】利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D． 【解答】解：如图， 若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误； 若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误； 当m+n＝3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3， ∵一次函数y＝kx+b图象经过A（3，3），P（m，n）， ∴y随x的增大而增大， ∴k＞0，故C正确，D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2024•黄岩区校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣|kx+1|+b（k，b为常数，k≠0）上，下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2＜b，则 B．若x1x2，则|b﹣y1|＞|b﹣y2| C．若y1＜y2＜b，则 D．若x1x2，则|b﹣y1|＜|b﹣y2| 【分析】根据题意，画出示意图，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由题知， 函数y＝|kx+1|的图象是将函数y＝kx+1图象在x轴下方的部分关于x轴对称到x轴的上方， 函数y＝﹣|kx+1|的图象与函数y＝|kx+1|的图象关于x轴对称， 函数y＝﹣|kx+1|+b的图象可由函数y＝﹣|kx+1|的图象向上（或向下）平移|b|个单位长度得到， 所以函数y＝﹣|kx+1|+b的大致图象如图所示， 由函数的图象可知， 函数图象上的点，纵坐标越大，这个点离直线y越近． 当y1＜y2＜b时， ||＞||， 即||＞||， 所以A选项符合题意． 当x1x2时， 点A在直线x的左侧，点B在直线x的右侧， 但这两个点离直线y＝b的远近无法判断， 所以CD选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 3．（2024•瓯海区模拟）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b＞mx﹣3的解集是 　 　 ． 【分析】由于一次函数y1同时经过A、P两点，可将它们的坐标分别代入y1的解析式中，即可求得k、b与m的关系，将其代入所求不等式组中，即可求得不等式的解集． 【解答】解：由于直线y1＝kx+b过点A（0，3），P（1，m）， 则有：， 解得． ∴直线y1＝（m﹣3）x+3． 故所求不等式组可化为：mx＞（m﹣3）x+3＞mx﹣3， 解得：1＜x＜2． 故答案为：1＜x＜2． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解决此题的关键是确定k、b与m的关系，从而通过解不等式组得到其解集． 4．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 【分析】根据一次函数与方程、不等式的关系求解． 【解答】解：A、由图象得：当x＞2时，y1＞y2，故A不符合题意； B、由图象得：当x＜0时，y1＜3，y2＞3，故B不符合题意； C、由图象得：当x﹣2时，y1＝y2，即2a+b＝2m+n， ∴b﹣n＝2（m﹣a），故C是符合题意； D、由图象得：关于x，y的方程组的解为，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数与方程、不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 考点八：一次函数的应用 易｜混｜易｜错 1）行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度； 2）准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义； 3）销售类应用常用等量关系：总利润=单件利润×数量； 4）销售类应用题常利用函数的增减性得到最大利润； 1．（2025•鹿城区二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s（千米）与小鹿所用时间t（分）之间的函数关系，则图中m的值为（　　） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 【分析】求出小鹿的速度，从而求出二人共同休息的时间，设小晨的速度为v千米/分，根据二人同时到达休息点时距离图书馆的路程相等列关于v的方程并求解，进而求出m的值即可． 【解答】解：小鹿的速度为1÷5（千米/分）， 则二人共同休息的时间为25﹣4.52.5（分）， 设小晨的速度为v千米/分， 则二人同时到达休息点时，得（15﹣5）v15， 解得v， 5+2.5+4.522.5（分）， ∴m＝22.5． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 2．（2025•上城区二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据： 轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　 公里就必须去加油． 【分析】设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），根据表格中的数据，利用待定系数法，可求出y与x之间的函数关系式，再代入y＝5，求出x的值即可． 【解答】解：设y关于x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（0，50），（100，42）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣0.08x+50． 当y＝5时，﹣0.08x+50＝5， 解得：x＝562.5， ∴小明家的轿车至多开562.5公里就必须去加油． 故答案为：562.5． 【点评】本题考查了一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 3．（2025•浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示． （1）分析题意，图2中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式； （3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度． 【分析】（1）根据已知直接可得a＝14，b＝8； （2）用待定系数法可得F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）； （3）令F＝10.4求得h＝8，即可得圆柱体浸入水中的高度为3cm． 【解答】解：（1）根据已知可得，a＝14，b＝8； 故答案为：14，8； （2）设AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式为F＝kh+b， ∴， 解得， ∴F＝﹣1.2h+20（5≤h≤10）； （3）在F＝﹣1.2h+20中，令F＝10.4时，10.4＝﹣1.2h+20， 解得h＝8， ∵8﹣5＝3（cm）， ∴圆柱体浸入水中的高度为3cm． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 4．（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时100﹣m的值即可． 【解答】解：（1）设该扎染坊第一次购进甲种布料x件，购进乙种布料y件． 根据题意，得， 解得． 答：该扎染坊第一次购进甲种布料25件，购进乙种布料55件． （2）根据题意，得m≤1.5（100﹣m）， 解得m≤60， W＝（100﹣60）m+（70﹣40）（100﹣m）＝10m+3000， ∵10＞0， ∴W随m的增大而增大， ∵m≤60， ∴当m＝60时W值最大，W最大＝10×60+3000＝3600， 100﹣60＝40（件）． 答：第二次购进甲种布料60件、乙种布料40件，全部售完后获得的利润最大，最大利润是3600元． 【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 5．（2025•长兴县模拟）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【分析】（1）依据题意，由桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，则桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分），进而可以判断得解； （2）依据题意，由桐桐在A景点休息10分钟，则此时图象起点为（35，0），又桐桐比小兴早5分钟到达C景点，从而图象过（45，3500），又设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b，则，求出a，b后即可判断得解； （3）依据题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt，又图象过（50，3500），从而求出小兴的路程s与t的解析式为s＝70t，再求出桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式，然后结合图象列出方程后即可判断得解． 【解答】解：（1）∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点， ∴桐桐所用时间为：1500÷60＝25（分）． ∴m＝25． ∴m的实际意义是桐桐25分钟步行1500米到达A景点． （2）由题意，∵桐桐在A景点休息10分钟， ∴此时图象起点为（35，0）． 又∵桐桐比小兴早5分钟到达C景点， ∴图象过（45，3500）． 设桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝at+b， ∴． ∴． ∴桐桐骑车时距A景点的路程s与t之间的函数解析式为s＝350t﹣12250． （3）由题意可设小兴的路程s与t的解析式为s＝kt， 又∵图象过（50，3500）， ∴3500＝50k． ∴k＝70． ∴小兴的路程s与t的解析式为s＝70t． 又∵桐桐从B景点出发步行去A景点的图象过（0，1500）（25，0）， 设此时的解析式为s＝pt+q， ∴． ∴． ∴桐桐从B景点出发步行去A景点的解析式为s＝﹣60t+1500（0≤t≤25）． ∵两人在途中相遇，结合函数图象， ∴令70t＝﹣60t+1500，则t；令70t＝350t﹣12250，则t． ∴两人在途中相遇时的时间为分或分． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质结合图象分析是关键． 考点九：一次函数的综合 易｜混｜易｜错 1） 与其他几何图形结合的问题，注意结合对应几何图形的性质； 2） 当几何图形中出现垂直、平行关系时，可以将线段与线段的关系转化为直线中 的关系，进而转化为解析式求解或者交点问题。 1．（2025•建德市校级模拟）如图1，直线y＝kx+1（k＞0）分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． （1）点C的坐标为 　 　 ，点A的坐标为 　 　 （点A用含k的代数式表示）； （2）若点A关于y轴的对称点A′恰好落在△BDE的内部，求k的取值范围； （3）如图2，若点D为CE的中点，点Q为直线AB上一点，连接DQ，记点E关于直线DQ的对称点为E′．请问：是否存在点Q，使得点E′恰好落在直线CD上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别把y＝0代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出A′（），根据A′恰好落在△BDE的内部得出不等式，从而得出k； （3）可推出DE＝DE′＝CD，E（﹣4，﹣6），进而得出OE′＝OC＝4，从而得出EE′∥y轴，从而得出yQ＝﹣3，求得直线BE的解析式后，代入求得x的值，进而得出结果；当点E′在y轴上时，可求得点E（0，2），F（﹣2，﹣2），求得直线直线DF的解析式后，与直线BE的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【解答】解：（1）当y＝0时， 0，0＝kx+1， ∴x＝4，x， ∴C（4，0），A（）， 故答案为：（4，0），（）； （2）∵A′（），C（4，0），A′恰好落在△BDE的内部， ∴， ∴k； （3）如图1， 当点E′落在x轴上时，设E′（a，0）， ∵E关于直线DQ的对称点为E′， ∴DE′＝DE，∠E′DQ＝′EDQ， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴D（0，﹣3）， ∵点D是CE的中点， ∴DE＝CD，E（﹣4，﹣3×2） ∴DE′＝CD，E（﹣4，﹣6）， ∴OD⊥CE′， ∴OE′＝OC＝4， ∴E′（﹣4，0）， ∴EE′∥y轴， ∵DE′＝DE，∠E′DQ＝′EDQ， ∴DF⊥EE′， ∴DE′⊥y轴， ∴yQ＝﹣3， y＝kx+1过E（﹣4，﹣6）， ∴﹣6＝﹣4k+1， ∴k， ∴y， 由﹣3得， x， ∴Q（）， 如图2， 当点E′在y轴上时， ∵DE′＝DE＝CD5，OD＝3， ∴OE′＝2， ∴E（0，2）， ∵∠E′DQ＝′EDQ， ∴E′F＝EF， ∴F（，），即F（﹣2，﹣2）， 设直线DF的解析式为：y＝mx+n， ∴， ∴， ∴y， 由得， ， ∴Q（）， 综上所述：Q（）或（）． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 2．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】 （1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 3 … （2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围． 【分析】【解决问题】（1）根据“等距点”的定义分别求得x＝﹣2，﹣1，2，3时的横距，进而确定纵距，确定点的坐标，完成填表，画图； （2）根据图形待定系数法求解析式，即可求解； 【拓展应用】分别代入点 （﹣2，4）和点 （2，3），得出b的值，观察图形，即可求解． 【解答】解：【解决问题】（1）根据定义，当x＝﹣1时，横距＝纵距＝3，y＝3， 当x＝﹣2时，横距＝纵距＝2﹣（﹣2）＝4，则 y＝4， 当 x＝2时，横距＝纵距＝3，y＝3， 当 x＝3时，横距＝纵距＝3﹣（﹣1）＝4，则 y＝4， 补全表格. x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 4 3 3 3 4 … 如图， （2）∵当x＜﹣1时，经过点（﹣2，4），（﹣1，3）， 设直线解析为 y＝kx+b，代入（﹣2，4），（﹣1，3）， 得， 解得：， ∴y＝﹣x+2（x＜﹣1）， 同理可得当x＞2时，y＝x+1， ∴点P轨迹的函数解析式为； 【拓展应用】如图， 当经过点（﹣2，4）时， ， 解得：m＝5， 当经过点（2，3）时， ， 解得：m＝2， ∴2≤m≤5． 【点评】本题考查了“等距点”的定义，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，注意分类讨论思想的应用． 1．（2025•浙江模拟）函数的图象上有A（m，y1），B（m+6，y2）两点．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m≤0 C．m＜﹣6 D．m＜﹣3 【分析】根据一次函数图象的性质，分类讨论求解． 【解答】解：函数的图象上有A（m，y1），B（m+6，y2）两点， 当m≥0时，y＝x，y随x的增大而增大， ∵0≤m＜m+6， ∴y1＜y2， ∴m≥0，符合题意； 当m＜﹣6，y＝﹣x，y随x的增大而减小， ∴y1＝﹣m，y2＝﹣m﹣6， ∴y1＞y2， ∴m＜﹣6，不符合题意； 当m＜0，m+6＞0时，y1＝﹣m，y2＝m+6，若y1＜y2， ∴﹣m＜m+6， 解得，m＞﹣3， 综上所述，当m＞﹣3时，y1＜y2， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的增减性，分类讨论思想是关键． 2．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 【分析】A．分x≥0及x≤0两种情况，利用一次函数的性质，可得出当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； B．代入y＝0，求出x的值，画出函数图象，观察图形，可得出k＞﹣4； C．观察函数图象，可得出当﹣2＜x＜2时，y＜0； D．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【解答】解：A．当x≥0时，原函数为y＝2x﹣4， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4； 当x≤0时，原函数为y＝﹣2x﹣4， ∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝0时，y取得最小值，最小值为﹣4，选项A不符合题意； B．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， 描点、连线，画出函数图象，如图所示． ∵y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点， ∴k＞﹣4，选项B不符合题意； C．观察函数图象，可知：当﹣2＜x＜2时，y＜0，选项C符合题意； D．当y＝0时，2|x|﹣4＝0， 解得：x＝﹣2或x＝2， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（2，0）， ∴y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积|2﹣（﹣2）|×|﹣4|＝8，选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形的面积以及一次函数的图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 3．（2025•温州模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，若函数图象最低点E的坐标为（2，3），则BC的长为 　 　 ． 【分析】根据平行线的性质，用x表示出MP和NP，再根据勾股定理表示出MN，配方求解x值，然后据此求解BC的长即可． 【解答】解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，AC⊥BC， ∴MP∥BC，PN∥AC， 设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则a2+b2＝c2， ∵AP＝x， ∴BP＝c﹣x， ∵，， ∴PMx，PN（c﹣x）＝bx， ∴MN， ∵E（2，3）， ∴2，b29， ∴b，c， ∴a． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例以、勾股定理以及二次函数，用x表示出MN是本题解题的关键． 4．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 【分析】根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：根据所给图象可知， 点P（x，y）在直线l的左侧，且直线l为x＝2， 所以x＜2． 点P（x，y）在直线m的上方，且直线m为y＝﹣1， 所以y＞﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查坐标与图形性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 5．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 【分析】根据所给定义，对选项依次进行判断即可． 【解答】解：由y1＝x+1得， 点（a，a+1）在此函数的图象上． 将x＝a+1代入y2＝x﹣1得， y2＝a+1﹣1＝a， 所以点（a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故A选项不符合题意． 由y1＝﹣2x+1得， 点（a，﹣2a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣2a+1代入得， ， 所以点（﹣2a+1，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故B选项不符合题意． 由y1＝2x﹣2得， 点（a，2a﹣2）在此函数图象上． 将x＝2a﹣2代入得， ， 所以点（2a﹣2，a）在函数y2的图象上， 则函数y1和y2具有性质P． 故C选项不符合题意． 由y1＝﹣x+1得， 点（a，﹣a+1）在此函数图象上． 将x＝﹣a+1代入y2＝﹣x﹣1得， y2＝﹣（﹣a+1）﹣1＝a﹣2≠a， 所以点（﹣a+1，a）不在函数y2的图象上， 则函数y1和y2不具有性质P． 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，理解题中所给定义是解题的关键． 6．（2024•仙居县三模）把函数y的图象在直线y＝n下方的部分沿直线y＝n翻折后，再把翻折前后的图象中在直线y＝n上方部分叫做新函数图象T．当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n的取值范围是（　　） A．n＞0 B．n＞1 C．n＞﹣1 D．n＜﹣2 【分析】由函数的解析式求得最低点为（0，﹣2），点（0，﹣2）关于直线y＝n的对称点为（2n+2），由题意可知n+3＜2n+2，解不等式即可． 【解答】解：函数y可知函数的最低点为（0，﹣2）， 点（0，﹣2）关于直线y＝n的对称点为（2n+2）， 当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n+3＜2n+2， 解得n＞1． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，求得关键点的坐标是解题的关键． 7．（2025•宁波一模）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，之出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线OAB，线段CD分别表示甲，乙的飞行高度s（米）与甲飞行时间t（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）分别求出线段AB，CD对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围． 【分析】（1）根据“OA段飞行的路程+AB段飞行的路程＝300”列关于a的方程并求解，根据“当t＝30时，甲飞行的高度﹣乙飞行的高度＝40”列关于b的方程并求解即可； （2）分别根据路程＝速度×时间解答即可； （3）分别求出当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时对应的t的值，从而得到符合条件的t的取值范围即可． 【解答】解：（1）120+（60﹣30）a＝300， 解得a＝6， 120﹣（30﹣20）b＝40， 解得b＝8． 故答案为：6，8． （2）s＝120+6（t﹣30）＝6t﹣60， ∴线段AB对应的函数表达式为s＝6t﹣60（30≤t≤60）， s＝8（t﹣20）＝8t﹣160， 当8t﹣160＝300时，解得t＝57.5， ∴CD对应的函数表达式为s＝8t﹣160（20≤t≤57.5）． （3）当30≤t≤57.5时，当|8t﹣160﹣（6t﹣60）|＝20时， 解得t＝40或t＝60（舍去）， ∴在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围是40≤t≤57.5． 【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 8．（2025•杭州模拟）已知直线AB的解析式为，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，S△ABO＝3． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，点P为BA延长线上一动点，点C在x轴正半轴上，连接PC，且PB＝PC，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在AB的延长线上取点Q，连接QC交y轴于点D，取BQ的中点E，连接EO并延长交PC于点F，DQ＝CD，当PF＝2PA时，求S的值． 【分析】（1）求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用面积得出方程求解即可； （2）由题意，得．过P作PS⊥BC于点S．结合图形及线段间的关系确定BC＝2m+4，然后利用S△PAC＝S△PBC﹣S△ABC求解即可； （3）连接ED．根据三角形中位线的性质得出BC∥ED，BC＝2ED，过Q作QM⊥y轴交于M．连接EM，过点P作PS⊥BC于S．过P作PW⊥AD于W，则∠PWA＝90°．利用全等三角形及相似三角形的判定和性质求解即可． 【解答】解：（1）已知直线AB的解析式为，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A， 当x＝0时，得：y＝b； 当y＝0时，得：x+b＝0， 解得：xb， ∴A（0，b），， ∴OA＝b，， ∵S△ABO＝3， ∴，即， 解得：b1＝3，b2＝﹣3（不合题意，舍去）， 即b的值为3； （2）∵b＝3， ∴， ∴OA＝3，OB＝2， 由题意，得．过P作PS⊥BC于点S，如图2， ∴， ∴BS＝m+2， ∵PB＝PC，PS⊥BC， ∴BS＝SC＝m+2， ∴BC＝2m+4， ∴S△PAC＝S△PBC﹣S△ABC ， 即； （3）连接ED． ∵E是BQ中点，DQ＝CD， ∴ED是△BQC的中位线， ∴BC∥ED，BC＝2ED， ∴∠COF＝∠DEO，∠EDA＝∠AOB＝90°， 过Q作QM⊥y轴交于M， ∴∠QMD＝90°， ∵∠COD＝90°， ∴∠QMD＝∠COD＝90°， ∵∠QDM＝∠CDO，QD＝CD， ∴△QMD≌△COD（AAS）， ∴QM＝OC，DM＝OD， 连接EM， ∵∠EDA＝90°， ∴∠EDM＝180°﹣∠EDA＝90°＝∠EDA， ∵ED＝ED， ∴△MED≌△OED（SAS）， ∴∠CED＝∠DEO＝∠COF， ∵∠EDO＝∠QMO＝90°， ∴ED∥QM，∠CED＝∠QME， ∴∠QME＝∠COF， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝∠PED＝∠PQM， ∴△OFC≌△MEQ（AAS）， ∴CF＝EQ＝BE， 过点P作PS⊥BC于S， ∴∠BSP＝90°， ∵， ∵， ∴BS＝ED， ∵∠PBS＝∠PED，∠EDA＝∠PSB＝90°， ∴△AED≌△PBS（AAS）， ∴AE＝BP， ∴BP﹣AB＝AE﹣AB， ∴BP﹣AB＝AE﹣AB， ∴AP＝EB， 设BE＝EQ＝a，则PA＝a，FC＝a， ∴PF＝2PA＝2a， ∴PB＝PC＝3a， ∴AB＝2a， 过P作PW⊥AD于W，则∠PWA＝90°， ∴∠PWA＝∠AOB＝90°， ∵∠BAO＝∠WAP， ∵∠BAO＝∠WAP， ∴△WPA∽△OBA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴PW＝1，即m＝1， ∴． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 1．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 　 ． 【分析】先利用待定系数法求得函数y＝x+b的解析式，然后计算x＝3时，y＝4，再把点（3，4）代入函数中得到n＝2，则利用一次函数的性质可判断当n≥2时满足条件． 【解答】解：∵函数y＝x+b的图象经过点（1，2）， ∴2＝1+b，解得b＝1， ∴y＝x+1， 当x＝3时，y＝x+1＝4， 把（3，4）代入函数得，4，解得n＝2， ∵当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+1的值， ∴n≥2． 故答案为：n≥2． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，DO＝2AO，CB＝OB． （1）求直线CD的解析式． （2）点P在第三象限的直线AB上，PQ∥x轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围． （3）在（2）的条件下，点F在第四象限的△PQE的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG（点F的对应点为点G），旋转角等于∠AED，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，∠PFE＝90°，EF＝PF，△FGQ的面积为8，求△PQE的面积． 【分析】（1）先求得A（﹣2，0），，再根据题意求得D（4，0），，再利用待定系数法求解即可； （2）过E作EK⊥AD于点K，延长EK交PQ于W，联立求得E（1，4），证明得到AK＝DK，EA＝ED，EP＝EQ，PW＝WQ，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接GQ，设EQ与FG的交点为R．证明△EPF≌△EQG，推出∠EPF＝∠EQG，PF＝GQ，∠EFP＝∠EGQ＝90°，过P作PM⊥HG于点M，过Q作QT⊥HG于点T，△PFM≌△QGT和△PHM≌△QHT，得到HM＝HT，PH＝HQ，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）直线交x轴于点A，交y轴于点B， 当x＝0时，得：， 当y＝0时，得：， 解得x＝﹣2， ∴A（﹣2，0），， ∴OA＝2，， ∵DO＝2AO， ∴DO＝4， ∴D（4，0）， ∵BC＝OB， ∴， ∴， ∴， 设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C，点D的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线CD的解析式为； （2）自变量t的取值范围为；理由如下： 过E作EK⊥AD于点K，延长EK交PQ于W， 联立， ∴， ∴E（1，4）， ∴K（1，0）， ∴OK＝1，EK＝4， ∴AK＝3，DK＝4﹣1＝3， ∴AK＝DK， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA， ∵PQ∥AD， ∴∠EPQ＝∠EAD，∠EDA＝∠EQP，∠EKA＝∠EWP， ∴∠EPQ＝∠EQP， ∴EP＝EQ， ∵EK⊥AD， ∴∠AKE＝90°， ∴∠EWP＝∠EKA＝90°， ∴EW⊥PQ， ∴PW＝WQ，点W的横坐标为1， 由题意，得， ∴PW＝1﹣t， ∴PQ＝2PW＝2﹣2t， ∵PQ∥AD，点P、W在PQ上， ∴点W的纵坐标与点P纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接GQ，设EQ与FG的交点为R．如图2， ∵∠AED＝∠FEG， ∴∠PEF＝∠GEQ， ∵PE＝EQ，EF＝EG， 在△EPF和△EQG中， ， ∴△EPF≌△EQG（SAS）， ∴∠EPF＝∠EQG，PF＝GQ，∠EFP＝∠EGQ＝90°， ∵EF＝PF， ∴EG＝EF＝PF＝GQ， ∴，∠EFG＝∠EGF， ∵∠EFG+∠EGF+∠FEG＝180°，∠EPQ+∠EQP+∠PEQ＝180°，∠PEQ＝∠FEG， ∴∠EPQ＝∠EQP＝∠EGF＝∠EFG， ∵∠ERG＝∠HRQ， ∴∠QHR＝∠GER＝45°， 过P作PM⊥HG于点M，过Q作QT⊥HG于点T， ∴∠M＝90°，∠QTM＝∠QTG＝90°， ∴∠M＝∠QTG， ∵∠PFM+∠EFG＝90°，∠QGH+∠EGH＝90°， ∴∠PFM＝∠QGH， ∴△PFM≌△QGT（AAS）， ∴PM＝TQ，FM＝TG， ∵∠M＝∠QTH＝90°，∠PHM＝∠QHT， ∴△PHM≌△QHT， ∴HM＝HT，PH＝HQ， ∵∠PHM＝∠THQ＝45°， ∴∠TQH＝45°＝∠THQ，∠MPH＝45°＝∠PHM， ∴PM＝MH＝HT＝TQ， 设QT＝TH＝m， ∴PM＝HM＝m， ∴TG＝MF＝m+HF， ∴FG＝TG+FT＝m+FH+m﹣FH＝2m， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴PQ＝8， ∴2﹣2t＝8， ∴t＝﹣3， ∴， 即△PQE的面积为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确添加辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题01 坐标系与一次函数 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：点的坐标特点 易｜混｜易｜错 1） x轴、y轴不属于任何一个象限； 2） 一个点关于轴、轴成轴对称的规律——关于谁对称谁不变，另一坐标互为相反数 3） 若两个点关于原点（0,0）成中心对称，则两点的横纵坐标均互为相反数； 1．（2024•西湖区校级二模）如图所示，若点E坐标为（m，n），则（m﹣2，n+2）对应的点可能是（　　） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．（2024•钱塘区三模）在平面直角坐标系中，坐标为（﹣2024，2025）的点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025•杭州一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成．三只冰壶A，B，C的位置如图所示，∠APB＝120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A，B分别表示为（4a，0°），（2a，120°），则冰壶C可表示为（　　） A．（3a，120°） B．（4a，200°） C．（3a，240°） D．（3a，300°） 4．（2025•舟山三模）如图，在平面直角坐标系中，如果点M的位置用（3，2）表示，点N的位置用（0，1）表示，那么（2，﹣1）表示的位置是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 考点二：坐标系内的规律题 易｜混｜易｜错 1）平面直角坐标系内点的规律变化题，可以从点的变化过程思考，多为周期性规律，也有周期递进性规律； 1．（2025•杭州模拟）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律经过第2025次运动后，动点P的坐标是（　　） A．（2024，1） B．（2024，0） C．（2025，1） D．（2025，2） 2．（2025•金华模拟）在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P′（﹣y+1，x+1）叫作点P的“相伴点”．已知点A1的“相伴点”为A2，点A2的“相伴点”为A3，点A3的“相伴点”为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，An．若点A1的坐标为（2，3），则点A2025的坐标为　 　 ． 3．（2024•杭州三模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2024的坐标是（　　） A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1） 考点三：函数的图象与应用 1．（2025•浙江模拟）某数学项目化学习小组在研究某两地高铁不同车次的平均运行速度（km/h）和运行时间t（h）之间的关系时，上网查阅了相关资料．下表是他们收集的数据： 车次 G7506 G7382 G1866 G7492 （单位：km/h） 210.7 158.0 143.6 98.8 t（单位：h） 1 下面能够最符合与t之间的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•杭州校级模拟）小亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示．若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么小亮从学校骑车回家用的时间是（　　） A．37.2分钟 B．48分钟 C．33分钟 D．30分钟 3．（2025•钱塘区二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　） A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0 4．（2025•定海区三模）为了准备参加深圳市马拉松比赛，茗茗和清清约定每周六同时从A地到相距6000米的B地匀速往返跑（中途不休息），茗茗的速度大于清清的速度．图中的折线表示从开始到第二次相遇截止时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的关系的图象，下列结论错误的是（　　） A．a＝1200 B．b＝1500 C．c＝45 D． 5．（2025•浙江模拟）如图，AC是菱形ABCD的对角线，把菱形ABCD沿着对角线AC方向平移，得到菱形A′B′C′D′，A′B′，A′D′分别交BC，CD于点G，H，若AA′＝x（0＜x＜AC），GH＝y，则y与x之间的关系大致可以用函数图象表示为（　　） A． B． C． D． 考点四：一次函数的性质 易｜混｜易｜错 1）一次函数的图象是经过点和点的一条直线； 2）一次函数的k决定直线的增减性，b决定直线与y轴的交点纵坐标； 1．（2025•浙江一模）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 2．（2025•黄岩区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数且k≠0）的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 　 ． 3．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，当a≤x≤a+3（其中a为常数）时．函数y＝x﹣1的最小值为2a+4，则满足条件的a的值为（　　） A．﹣5 B．﹣2 C． D．﹣1 4．（2024•西湖区校级二模）在平面直角坐标系中，若一次函数y＝x+a﹣1的图象经过第二象限，则一次函数y＝ax﹣a一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025•金华模拟）已知一次函数y＝kx+2（k是常数，k≠0）的图象过点（1，m）与（2，n），若m＞0，n＜0，则k的取值范围是　 　 ． 考点五：一次函数图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1） 解决图象上点的坐标特征问题时，牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质； 2） 对于一次函数，若点在其图象上， 1．（2025•龙港市二模）已知点（x1，y1），（x2，y2）在一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且kb≠0）的图象上，x1＜x2＜0，则下列说法一定正确的是（　　） A．若kb＜0，则y1y2＞0 B．若kb＜0，则y1y2＜0 C．若kb＞0，则y1y2＞0 D．若kb＞0，则y1y2＜0 2．（2025•嘉兴二模）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（0，3），由此可得出哪些结论？”小明思考后得到下列4个结论： ①函数表达式为y＝x+3； ②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大； ③点P（3a，3a+3）在该函数图象上； ④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为9． 其中错误的结论是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 3．（2025•湖州一模）在平面直角坐标系中，有A（﹣1，1），B（1，7），C（4，11），D（7，17）四个点，一次函数y＝kx+b的图象恰好经过其中三个点，则该函数图象没有经过的点的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B．（1，7） C．（4，11） D．（7，17） 4．（2025•萧山区一模）已知点A是正比例函数y＝kx图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移k（k＞0）个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则k＝ 　 　 ． 5．（2024•拱墅区校级模拟）设一次函数y＝ax+3a+1（a是常数，a≠0）． （1）无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标： （2）若2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6，求a的值； 考点六：待定系数法求一次函数解析式 易｜混｜易｜错 1） 待定系数法求一次函数解析式的步骤： ①设；②带入两个点的坐标，得关于k、b的二元一次方程组； ③解方程组得k、b的值；④再代入,得解析式 1．（2025•富阳区一模）已知一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为﹣1≤y≤8，则b的值是（　　） A． B． C．或 D． 2．（2025•浙江模拟）定义：在平面直角坐标系中，若m﹣n≠﹣2，称点（m，n）与点（n﹣2，m+2）互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 3．（2025•临平区二模）已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k＞0）的图象经过点（﹣1，﹣2）． （1）若2k﹣b＝3，求一次函数的表达式． （2）若该一次函数的图象经过第四象限，且S＝k﹣2b，求S的取值范围． 4．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过Q（3，﹣1）． （1）一次函数的表达式． （2）如果点A（m+2，3）关于原点O中心对称的对称点A′恰好落在第一次函数的图象上，求点A的坐标． 5．（2024•浙江模拟）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣3上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）． （1）求m的值和直线AB的函数表达式． （2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t+1，y2）在直线y＝2x﹣3上，判断2y1+y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值；若变化，求出它的取值范围． 考点七：一次函数与方程、不等式的关系 易｜混｜易｜错 1）求两个一次函数的交点坐标，就是在求两个函数解析式联立所得方程（组）的解； 2）由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标； ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025•瓯海区二模）如图，在“探索一次函数y＝kx+b中k，b与图象的关系”活动中，已知点A（3，3），点P（m，n）在第一象限内，若一次函数y＝kx+b图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　） A．当m＞n时，b＞0 B．当m＜n时，b＜0 C．当m+n＝3时，k＞0 D．当m+n＝3时，k＜0 2．（2024•黄岩区校级模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝﹣|kx+1|+b（k，b为常数，k≠0）上，下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2＜b，则 B．若x1x2，则|b﹣y1|＞|b﹣y2| C．若y1＜y2＜b，则 D．若x1x2，则|b﹣y1|＜|b﹣y2| 3．（2024•瓯海区模拟）如图，直线y1＝kx+b过点A（0，3），且与直线y2＝mx交于点P（1，m），则不等式mx＞kx+b＞mx﹣3的解集是 　 　 ． 4．（2024•拱墅区二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b（a≠0）与y2＝mx+n（m≠0）的图象如图所示，则（　　） A．当x＞2时，y1＜y2 B．当x＜0时，y1＞3，y2＜3 C．b﹣n＝2（m﹣a） D．关于x，y的方程组的解为 考点八：一次函数的应用 易｜混｜易｜错 1）行程问题中，一次函数中|k|通常对应行程问题中的速度； 2）准确理解函数图象中出现的起点、拐点、终点的意义； 3）销售类应用常用等量关系：总利润=单件利润×数量； 4）销售类应用题常利用函数的增减性得到最大利润； 1．（2025•鹿城区二模）小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程s（千米）与小鹿所用时间t（分）之间的函数关系，则图中m的值为（　　） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 2．（2025•上城区二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据： 轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 … 若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　 公里就必须去加油． 3．（2025•浙江模拟）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中．当圆柱体的下底面刚好接触到水面时，弹簧测力计的读数为14N；当圆柱体刚好完全浸入水中时，弹簧测力计的读数为8N．整个过程中，弹簧测力计读数F（N）与圆柱体下降高度h（cm）的关系图象如图2所示． （1）分析题意，图2中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）求AB段F（N）与h（cm）之间的函数表达式； （3）若弹簧测力计的读数为10.4N，求圆柱体浸入水中的高度． 4．（2025•金华模拟）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 （1）该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ （2）因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 5．（2025•长兴县模拟）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． （1）求m的值，并说出m的实际意义； （2）求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； （3）请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 考点九：一次函数的综合 易｜混｜易｜错 1） 与其他几何图形结合的问题，注意结合对应几何图形的性质； 2） 当几何图形中出现垂直、平行关系时，可以将线段与线段的关系转化为直线中 的关系，进而转化为解析式求解或者交点问题。 1．（2025•建德市校级模拟）如图1，直线y＝kx+1（k＞0）分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． （1）点C的坐标为 　 　 ，点A的坐标为 　 　 （点A用含k的代数式表示）； （2）若点A关于y轴的对称点A′恰好落在△BDE的内部，求k的取值范围； （3）如图2，若点D为CE的中点，点Q为直线AB上一点，连接DQ，记点E关于直线DQ的对称点为E′．请问：是否存在点Q，使得点E′恰好落在直线CD上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，对任意三点A，B，C给出如下定义：三点中横坐标的最大值与最小值的差称为“横距”．纵坐标的最大值与最小值的差称为“纵距”．若三点的“横距”与“纵距”相等，我们称这三点为“等距点”． 【提出问题】如果点A（﹣1，0），点B（2，0），动点P（x，y）是“等距点”，请探索动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． 【解决问题】 （1）列表、描点、连线：先将如表补充完整，然后在图中描出动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 … y … 3 … （2）根据动点P（x，y）在x轴上方平面的轨迹，求出该轨迹的函数解析式． 【拓展应用】在x轴上方平面中，若函数的图象上存在点Q，使得A，B，Q是“等距点”，求出m的取值范围． 1．（2025•浙江模拟）函数的图象上有A（m，y1），B（m+6，y2）两点．若y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞﹣3 B．m≤0 C．m＜﹣6 D．m＜﹣3 2．（2024•下城区校级模拟）小涵同学类比研究一次函数性质的方法，探索出函数y＝2|x|﹣4的四条性质，其中错误的是（　　） A．当x＝0时，y具有最小值为﹣4 B．如果y＝2|x|﹣4的图象与直线y＝k有两个交点，则k＞﹣4 C．当﹣4＜x＜0时，y＜0 D．y＝2|x|﹣4的图象与x轴围成的几何图形的面积是8 3．（2025•温州模拟）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P为线段AB上动点，并以每秒1个单位的速度从点A向点B运动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间x（秒）的函数关系如图2所示，若函数图象最低点E的坐标为（2，3），则BC的长为 　 　 ． 4．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知直线l：x＝2和直线m：y＝﹣1，点P（x，y）的位置如图所示，则（　　） A．x＞2，y＞﹣1 B．x＞2，y＜﹣1 C．x＜2，y＞﹣1 D．x＜2，y＜﹣1 5．（2025•绍兴二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在y1的图象上时，点（b，a）就在y2的图象上，则称函数y1和y2具有性质P．以下函数y1和y2不具有性质P的是（　　） A．y1＝x+1和y2＝x﹣1 B．y1＝﹣2x+1和 C．y1＝2x﹣2和 D．y1＝﹣x+1和y2＝﹣x﹣1 6．（2024•仙居县三模）把函数y的图象在直线y＝n下方的部分沿直线y＝n翻折后，再把翻折前后的图象中在直线y＝n上方部分叫做新函数图象T．当直线y＝n+3与图象T有四个交点时，n的取值范围是（　　） A．n＞0 B．n＞1 C．n＞﹣1 D．n＜﹣2 7．（2025•宁波一模）在一次无人机表演活动中，甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞，飞行的路径互相平行，当飞行高度达到300米时，飞机停止表演．甲从起点出发，先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒，然后以a米/秒的速度继续匀速飞行．乙在甲出发20秒后起飞，以b米/秒的速度匀速飞行，之出发10秒后，与甲飞行的高度相差40米．如图，折线OAB，线段CD分别表示甲，乙的飞行高度s（米）与甲飞行时间t（秒）之间的函数图象．请结合图象解答下列问题． （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ． （2）分别求出线段AB，CD对应的函数表达式． （3）当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时，能形成特定的表演效果．求在整个飞行过程中，能形成这种特定的表演效果时t的取值范围． 8．（2025•杭州模拟）已知直线AB的解析式为，直线AB交x轴于点B，交y轴于点A，S△ABO＝3． （1）如图1，求b的值； （2）如图2，点P为BA延长线上一动点，点C在x轴正半轴上，连接PC，且PB＝PC，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，在AB的延长线上取点Q，连接QC交y轴于点D，取BQ的中点E，连接EO并延长交PC于点F，DQ＝CD，当PF＝2PA时，求S的值． 1．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象经过点（1，2），当x＜3时，对于x的每一个值，函数的值大于函数y＝x+b的值，则n的取值范围是 　 ． 2．（2025•杭州模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD交x轴于点D，交y轴于点C，交直线AB于点E，DO＝2AO，CB＝OB． （1）求直线CD的解析式． （2）点P在第三象限的直线AB上，PQ∥x轴交直线CD于点Q，点P的横坐标为t，△PQE的面积为S，求S与t的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围． （3）在（2）的条件下，点F在第四象限的△PQE的内部，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转至EG（点F的对应点为点G），旋转角等于∠AED，直线FG交线段PQ于点H，连接FQ，PF，∠PFE＝90°，EF＝PF，△FGQ的面积为8，求△PQE的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $