精品解析：甘肃省兰州市红古区2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相对应的位置． 第一部分（选择题 共33分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列投影中，不是中心投影的是（ ） A. 路灯下行人的影子 B. 舞台上演员的影子 C. 台灯下书本的影子 D. 太阳光下旗杆的影子 6. 已知，是反比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 12 D. 8. 如图，要在一块矩形的劳动实践基地上修建三条同样宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路（阴影部分）外，剩下的都是种植区域．已知该基地的长为，宽为，种植区域的面积为．设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动这两个转盘，那么两个转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 11. 如图1，点P为矩形边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动．设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形的对角线的长是（ ） A. B. C. 7 D. 8 第二部分（非选择题 共87分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_______（精确到0.1）． 13. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，的面积为4．则的面积为_____________． 14. 已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 15. 如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用配方法解方程：． 17. 已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 18. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 19. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 20. 如图所示，小明、小亮、小颖三人为了测量操场上旗杆的高度，他们选择了一个晴朗的天气，拿着皮尺和标杆走到了旗杆旁开始测量，小明握住标杆使它与地面垂直并保持不动，小亮同学测量出标杆的影长为，同一时刻小颖同学测量出旗杆的影长为，若标杆的高度为，请你应用所学的知识帮他们计算一下旗杆的高度． 21. 一个不透明的布袋中装有分别标着数，，2的三个小球，这些小球除标着的数外其他都相同．先从布袋中随机摸出一个小球，记球上的数为，不放回，再从中随机摸出一个小球，记球上的数为． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若将看作平面直角坐标系上的点，求点落在第四象限的概率． 22. 某大学生自主创业，推出销售某纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） （1）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （2）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23. 如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： （1）； （2）． 24. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． （1）求的长； （2）过点作，交于点，求四边形的面积． 25. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 26. 如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末教学质量监测试卷 九年级数学 考生注意：本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．请将答案填写在答题卡相对应的位置． 第一部分（选择题 共33分） 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键；通过将各选项的点代入反比例函数解析式，验证是否满足等式，从而确定图象经过的点． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对于选项A：当时，，∴点不在图象上； 对于选项B：当时，，∴点在图象上； 对于选项C：当时，，∴点不在图象上； 对于选项D：当时，，∴点不在图象上； 故选：B． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从左边看，看到的图形是一个长方形，长方形内部有一条横着的虚线， 故选：D． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解二次方程，熟练运用因式分解是解题关键； 将方程移项后因式分解，利用乘积为零则因式为零求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， 故选 D． 4. 已知，，，依次成比例线段，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的应用，掌握比例线段的关系是解题的关键． 根据成比例线段的定义，有，代入已知值求解即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴. 代入，，， 得， 解得， 故选C． 5. 下列投影中，不是中心投影的是（ ） A. 路灯下行人的影子 B. 舞台上演员的影子 C. 台灯下书本的影子 D. 太阳光下旗杆的影子 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光．根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可． 【详解】解：A. 路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合题意； B. 舞台上演员的影子为中心投影，故此选项不合题意； C. 台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意； D. 太阳光下旗杆的影子为平行投影，符合题意； 故选：D． 6. 已知，是反比例函数的图象上的两点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由反比例函数可知：， ∴在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∵，是反比例函数的图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 7. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有是等边三角形，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴； 故选B． 8. 如图，要在一块矩形的劳动实践基地上修建三条同样宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路（阴影部分）外，剩下的都是种植区域．已知该基地的长为，宽为，种植区域的面积为．设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移思想，结合矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设修建的道路的宽为，则根据题意可列方程为； 故选A． 9. 如图，用两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），其中转盘一被分成不等的两个扇形，转盘二被分成相等的四个扇形．如果同时转动这两个转盘，那么两个转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图得出所有等可能的结果数以及一个转出红色，另一个转出蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：∵转盘一红色区域的扇形圆心角度数为， ∴转盘一蓝色区域是红色区域的2倍， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中一个转出红色，另一个转出蓝色的结果有：（红，蓝），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），（蓝，红），共5种， ∴可配成紫色的概率是 故选：B． 10. 如图所示，在边长为6的正方形中，E为上的点，F为的中点，过点F作交于点H，点M，N分别是和的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理得，再由正方形的性质得由，得，推导出，进而证明，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点M，N分别是和的中点，若， ∴是的中位线， ∴， 四边形是边长为6的正方形， ，， ∵F为的中点， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查正方形的性质，直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，证明是解题的关键． 11. 如图1，点P为矩形边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动．设点P运动的路程长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则矩形的对角线的长是（ ） A. B. C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形，可得，，，由题意和图象可知，，，即，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， 由题意和图象可知，，， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图象，矩形的性质，勾股定理，完全平方公式的变形等知识．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． 第二部分（非选择题 共87分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下： 种子粒数 100 400 800 1000 2000 5000 发芽种子粒数 85 298 652 793 1604 4005 发芽频率 0.850 0.745 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为_______（精确到0.1）． 【答案】0.8 【解析】 【分析】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，即可估计出这种玉米种子发芽的概率．此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 【详解】解：大量的重复试验，发现“该玉米种子发芽”出现的频率越来越稳定于0.801， ∵精确到0.1 该玉米种子发芽的概率为0.8 故答案为：0.8 13. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，的面积为4．则的面积为_____________． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的面积等于位似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵的面积为4， ∴的面积为25． 故答案为：25 14. 已知关于的方程，若等腰三角形的底边长为4，两腰长恰好是这个方程的两实数根，则这个三角形的周长为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式，解一元二次方程，掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键，由腰长恰好是这个方程的两实数根得，求出k值，代入方程求出两根，最后求出周长即可． 【详解】解：∵两腰长恰好是这个方程的两实数根， ∴ ， 解得 ， 代入方程得 ， 解得 ， 即腰长为3， ∵， ∴符合三角形三边要求， ∴周长为 ， 故答案为：10． 15. 如图，正方形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，的中点在轴上，则的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．作轴，轴，设，证得即可求解． 【详解】解：作轴，轴，如图所示： 设， ∵的中点在轴上， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：，， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用配方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤是解题的关键．根据配方法将方程变形，写出完全平方的形式，即可求解． 【详解】解：配方，得， 即． 两边开平方，得 ， 即，或， ，． 17. 已知反比例函数（是常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解一元一次不等式，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键，根据反比例函数（是常数）的图象在第二、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， 的取值范围是． 18. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根． 【答案】 证明：∵， ， 即， ∴无论取何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是做题的关键． 根据一元二次方程根的判别式符号与方程根的情况的关系，即可证明． 【详解】略 19. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 20. 如图所示，小明、小亮、小颖三人为了测量操场上旗杆的高度，他们选择了一个晴朗的天气，拿着皮尺和标杆走到了旗杆旁开始测量，小明握住标杆使它与地面垂直并保持不动，小亮同学测量出标杆的影长为，同一时刻小颖同学测量出旗杆的影长为，若标杆的高度为，请你应用所学的知识帮他们计算一下旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是关键． 根据题意，可得，则，即，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，同一时刻，可得，点在同一条直线上， ∴， ∴，即， 解得，． 答：旗杆的高度为． 21. 一个不透明的布袋中装有分别标着数，，2的三个小球，这些小球除标着的数外其他都相同．先从布袋中随机摸出一个小球，记球上的数为，不放回，再从中随机摸出一个小球，记球上的数为． （1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； （2）若将看作平面直角坐标系上的点，求点落在第四象限的概率． 【答案】（1） 列表如下： 第二次 第一次 2 2 由表可知，共有6种等可能的结果． （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，判断点所在的象限，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）根据题意，列出表格，求解即可； （2）结合（1）中表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知共有6种等可能的结果，若将看作平面直角坐标系上的点，则落在第四象限的有，共2种情况， ∴点落在第四象限的概率 22. 某大学生自主创业，推出销售某纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） （1）当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． （2）该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元 （2）该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元，理由如下： 由题意得： 整理得：， ∵， ∴原方程无解； 故该纪念品的当天销售利润不可能达到3700元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，则有销售量为件，然后可列出方程进行求解； （2）由（1）可得方程，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：设该纪念品的销售单价为x元时，该产品的当天销售利润是2610元，由题意得： 解得：（不符合题意，舍去）； 答：当该纪念品的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【小问2详解】 解：略． 23. 如图，已知梯形中，．是边上一点，与对角线交于点，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； （2） 证明：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）由可证，得到，再由得到，即可证明； （2）由得到，得到，进而得到，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，是边上一点，是边的中点，连接，，．已知，，． （1）求的长； （2）过点作，交于点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理推导出是直角三角形，且，再由直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答； （2）连接，交于点，推导出四边形是平行四边形，得到，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理，得，则，继而求出菱形的面积即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且． ∵是边的中点， 【小问2详解】 解：如图，连接，交于点． ∵四边形是矩形， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∴菱形的面积为． 25. 如图，一次函数的图像交反比例函数图像于两点． （1）求的值． （2）点是轴上一点，且，求点的坐标． （3）请你根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；（2）或；（3）或． 【解析】 【分析】（1）代入即可求出点n，即可求出反比例函数计算型，把代入反比例函数解析式即可求出m； （2）先求出直线解析式，进而求出△AOB面积，设点E坐标为，得到，求p的值，即可求出点E坐标； （2）根据不等式得直线位于反比例函数图形的上方，即可结合图像写出x的取值范围． 【详解】（1）把点代入中，得：， ∴反比例函数的解析式为， 将点代入得， ； （2）把代入得得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与轴交点为， 令， ， ，如图， 的坐标为． ， 设点的坐标为， ， ， 解得：， 点坐标为或； （3）由不等式得直线位于反比例函数图形的上方， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题为反比例函数与一次函数综合练习，综合性较强，理解函数图像上点的坐标的特点，函数解析式与图像的关系是解题关键． 26. 如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在上的点处，延长，交的延长线于点，连接． （1）线段的长为______________． （2）求证：四边形是菱形． （3）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），设，且．是否存在符合条件的点，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由折叠和矩形的性质可得，．设，则，在中，由勾股定理求解，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解； （2）先证明，然后由折叠以及等量代换得到，先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明其为菱形； （3）先证明，然后证明，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，． 由翻折可知：，． 设，则， 在中，， ， 在中，， 即，解得， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 由（1）可知， ∴． 由（2）可知四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， ， 解得． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $