精品解析：陕西省宝鸡市第一中学2025-2026学年九年级上学期期末学情调研数学试题

2025−2026学年度第一学期期末学情调研测试（卷） 九年级数学（北师大版） （时间：120分钟 分值：120分） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数是二次函数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A．，x的最高次数为1，不是二次函数，该项错误； 选项B．，x的最高次数为3，不是二次函数，该项错误； 选项C．，符合形式，且，是二次函数，该项正确； 选项D．，含分式，不是二次函数，该项错误． 故选C． 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键；根据从正面看到的是主视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的主视图为： ， 故选：． 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边的比值，余弦等于邻边比斜边的比值，正切等于对边比邻边的比值是解题的关键． 根据正弦的定义解得即可． 【详解】解：． 故选：C 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确的计算是解决本题的关键． 通过计算判别式的值来判断根的情况进而分析选项即可． 【详解】解：在中，， ∴ ， ∴方程有两个相等的实数根． 故选A． 5. 如图，是反比例函数的图象上一点，若图中阴影部分的矩形面积是3，则这个反比例函数的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中的比例系数k的意义，熟练掌握在反比例函数图象上的点的横纵坐标的积等于反比例函数的比例系数是解决此题的关键． 设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可． 【详解】解：设点P的坐标为． ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴． 故选：B． 6. 已知，其中，若的最长边为8，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，先根据最长边确定对应边，求出相似比即可． 【详解】解：∵ ，且是的最长边， ∴是的最长边， ∴ 相似比， ∴． 故选A． 7. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用；由题意可知，在中，即可求出结果． 【详解】解：由题意可知，在中， ； 此时火箭距海平面的高度为千米． 故选：D． 8. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 5个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与x轴的交点问题，根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，函数的增减性，二次函数图象与x轴的交点个数，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：开口向下，即，与y轴的交点在正半轴，即，对称轴为直线，即，当时，y随x的增大而减小；故②正确； ∴，故①正确； 由图象可知当时，即，故④正确； 二次函数图象与x轴有两个交点，即，所以；故⑤正确； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点在和0之间， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数的图象与x轴的另一个交点在和3之间， ∴当时，即，故③错误； 综上所述：正确的结论有①②④⑤共4个； 故选A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据反比例函数的图象位于第一、三象限，得出，解出不等式，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限 ∴ ∴ 故答案为： 10. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为_____________． 【答案】0.960 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率即可． 【详解】解：∵头盔的合格频率稳定在0.960附近， ∴抽查一个头盔，合格的概率约为0.960． 故答案为：0.960． 11. 宝鸡某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，2025年的近视学生人数是2023年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 根据题目中的等量关系列出方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得． 故答案为：． 12. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记二次函数图象平移的规律是解此题的关键． 根据二次函数图象的平移规则：左加右减，上加下减，对原抛物线进行平移变换，即可求解． 【详解】解：∵将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度， ∴新抛物线为． 故答案为：． 13. 如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小宇家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得分别交边、于点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，则，由菱形的面积，即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 菱形的面积， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． 根据矩形的性质求出相等的角，证明，得出对应边成比例，求出，然后根据线段的数量关系和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 由勾股定理得，． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不同特殊角的三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 先求出各特殊角的三角函数值，再进行混合运算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 17. 如图，在中，，，，求的长，的值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数值求线段长及求三角函数值，掌握三角函数值的定义，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键． 根据直角三角形中，，，得出长，再结合勾股定理求出，进而利用正切函数值定义求出． 【详解】解：在中，，，， ，即； 根据勾股定理可得, ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．以点O为位似中心，在第一象限画出，使与的位似比为2：1，并写出点的坐标． 【答案】作图见解析，，， 【解析】 【分析】本题考查直角坐标系，坐标系中的位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．“以原点为位似中心”，只需要记住“横纵坐标同时乘以位似比  ，考虑正负号决定方向”即可轻松解题． 利用位似的性质得出，，，再连接即可解决． 【详解】解：如图，即为所求作： 其中，，，； 19. 如图，在正方形中，是上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，从而完成证明． 【详解】证明： 在正方形中，，， 由作法可知，， 在和中， ， ∴， ∴， 20. 已知关于的二次函数，若点在此函数的图象上，判断点是否在此函数的图象上． 【答案】点不这个二次函数图象上 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，点与二次函数图象的关系，理解题意是解决本题的关键． 将代入二次函数即可求出a；把代入二次函数计算，若，则点在二次函数的图象上，否则就不在二次函数的图象上． 【详解】解：将代入二次函数得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时， ， 点不在这个二次函数图象上． 21. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】本题考查了反比例函数： （1）先计算甲乙两地的距离，根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【小问1详解】 ， 汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间的函数关系式：； 【小问2详解】 函数如图所示，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 22. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统．是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小辰在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示、正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上．洗匀放好． （1）小辰从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为______； （2）小辰从中随机抽取一张卡片不放回，小宇再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，理解题意是解决本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可； （2）通过画树状图，可得共有12种等可能结果，其中，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词一共有2种，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有文、明、自、由，4张卡片，小辰从中随机抽取一张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“明”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词结果有2种， ∴（两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词）． 23. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据得出，进而根据两边成比例夹角相等，证明即可； （2）根据（1）的结论，得出，代入已知条件即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得 ． 24. 无人机在实际生活中的应用十分广泛．如图，，是同一水平线上的两点．无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为，点，，，在同一平面内．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】无人机从点到点的上升高度为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 解，求出的长，解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 答：无人机从点到点的上升高度为． 25. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． （1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出取值范围； （3）求出，设，则，即可求解． 【小问1详解】 解：把、代入得， 解得， 抛物线解析式为，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时， 当时，此时 ， 坐标为或或或． 26. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）分别求出函数与的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式的解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的综合知识，利用待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点坐标，函数图象与几何图形面积问题，正确掌握一次函数与反比例函数的综合知识点是解题的关键． （1）将点A的坐标代入，求出m，再将点A的坐标代入，把代入，进而求得的解析式； （2）根据函数图象的交点坐标即可解答； （3）求出点B、点B关于y轴对称点，待定系数法求得直线的解析式，进而求得的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，可得， ∴， 把代入双曲线，可得， ∴与x之间的函数关系式为：． 把代入，可得， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，不等式的解集为：． 【小问3详解】 解：，令，则， ∴点B的坐标为，则点B关于y轴对称点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴，当最小，即时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年度第一学期期末学情调研测试（卷） 九年级数学（北师大版） （时间：120分钟 分值：120分） 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断根的情况 5. 如图，是反比例函数的图象上一点，若图中阴影部分的矩形面积是3，则这个反比例函数的表达式为（ ） A B. C. D. 6. 已知，其中，若的最长边为8，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 2025年10月31日23点44分，搭载神舟二十一号载人飞船的火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面上的观测点到的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 如图，二次函数图象的对称轴是直线，则下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 5个 D. 2个 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是__________． 10. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.970 0.963 0.958 0.961 0.960 0.960 请由此估计抽查一个头盔，合格的概率为_____________． 11. 宝鸡某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，2025年的近视学生人数是2023年近视学生人数的．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，根据题意，可列方程为______． 12. 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛物线对应的函数表达式是______． 13. 如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小宇家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得分别交边、于点，，则的长为______． 14. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，，垂足为．若，，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，，，求的长，的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．以点O为位似中心，在第一象限画出，使与的位似比为2：1，并写出点的坐标． 19. 如图，在正方形中，是上一点，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，求证：． 20. 已知关于的二次函数，若点在此函数的图象上，判断点是否在此函数的图象上． 21. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以千米/小时的平均速度用6小时到达目的地． （1）当他按原路匀速返回时，求汽车速度（千米/小时）与时间（小时）之间函数关系式； （2）若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过每小时公里，最低车速不得低于每小时公里，试问返程时间的范围是多少？ 22. 甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统．是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小辰在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示、正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上．洗匀放好． （1）小辰从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“明”的概率为______； （2）小辰从中随机抽取一张卡片不放回，小宇再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“自由”一词的概率． 23. 如图，在和中，是边上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 24. 无人机在实际生活中的应用十分广泛．如图，，是同一水平线上的两点．无人机从点竖直上升到点，在点测得点的俯角为，，两点的距离为．无人机继续竖直上升到点，在点测得点的俯角为，点，，，在同一平面内．求无人机从点到点的上升高度（结果精确到）．（参考数据：） 25. 如图，抛物线经过点，． （1）求抛物线顶点坐标； （2）当时，求y的最大值； （3）M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 26. 如图，直线，都与双曲线交于点，这两条直线分别与x轴交于B，C两点． （1）分别求出函数与的函数表达式； （2）直接写出当时，不等式解集； （3）若点P为y轴上的一个动点，当最小时，求出点P坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $