精品解析：辽宁省本溪市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

本溪市2025～2026学年上学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C D. 2. 下列一元二次方程无实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 4. 某商品原售价100元，经过连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 7. 关于反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点和都在该图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 8. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 10. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则_____． 12. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式是_____． 14. 如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为_____． 15. 如图，矩形中，，，点G是边中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 17. 某校为了解九年级学生英语人机对话的学习情况，学校从学生成绩都不低于80分的九（1）班和九（2）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、分析表及条形统计图． 【收集数据】 九（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95． 九（2）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 2 【分析数据】 九（1）班和九（2）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 九（1）班 91 92.5 95 九（2）班 91 90 90 应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）直接补全条形统计图； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加学校组织的英语人机对话的学习经验介绍．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 18. 图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图，在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于地面，测角仪、在两侧，，点C与点E相距（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为，在F处测得铁塔顶点A的仰角为．求铁塔的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 19. 如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． （1）求m与n之间的关系式； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 21. 某蔬菜种植基地计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，其中蔬菜大棚的横截面由抛物线和矩形构成．如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装两根关于y轴对称的支撑柱，在两根支撑柱上架横梁．已知这种支杆材料的价格是每米200元，求三根支杆的总造价最大值． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，已知中，，点E在边上，，点D在线段上，连接，且．求证：； 小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：要证明，结合条件，这样本题就具备了“一边等，一角等”的图形特征，所以小明在AB上取点F，使，从而得到，构造全等三角形，从而使问题得以解决． 独立思考：（1）请参考小明思路或自己的思路完成解答； 实践探究：（2）王老师改变了部分条件，并提出新问题，请你借鉴小明做题方法或自己解答思路，完成下题解答．如图2，已知等腰中，，，点E在边上，且，过点A作于点D，求的值； 问题解决：（3）如图3，在中，，点D在边延长线上，点F在边上，连接交于点E，连接．若，，，，求的长度． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 本溪市2025～2026学年上学期期末考试 九年级数学试卷 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下图是由个完全相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何体的三视图，掌握左视图的定义是解题关键． 分析几何体从左侧呈现的“层数、列数、每列小正方体的个数”，再与选项进行匹配． 【详解】解：观察原几何体，从左侧看，几何体有两层，两列， 左侧列：上下两层共个正方体； 右侧列：上下两层共个正方体． 只有选项符合左视图的形状． 故选：． 2. 下列一元二次方程无实数根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根．当时，方程无实数根． 【详解】解：A：，∵，∴，有实数根； B：，∵，∴，有实数根； C：，∵，∴，无实数根； D：，∵，∴，有实数根； 故选：C． 3. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的矩形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定定理，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原说法是不正确的，符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原说法是正确的，不符合题意； C、对角线垂直的矩形是正方形，故原说法是正确的，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故原说法是正确的，不符合题意； 故选：A． 4. 某商品原售价100元，经过连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设平均每次降价的百分率为x，则连续两次降价后的售价为原价乘以的平方，据此列出方程． 【详解】解：∵经过连续两次降价，每次降价率为x，根据题意，得 ∴． 故选：A． 5. 在中，，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正弦值，勾股定理．在中，，为斜边，求需先利用勾股定理求，再根据正弦定义计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法与树状图法求概率，根据题意正确画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出相应的树状图，即可确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，再运用概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有4种等可能性，其中两次摸球摸到的小球都是红球的可能性有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率是． 故选A． 7. 关于反比例函数，下列结论错误的是（ ） A. 图象位于第一、三象限 B. 点和都在该图象上 C. 当时， D. y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数中，图象位于第一、三象限；点和代入函数成立；当时，满足；y随x的增大而减小需分象限讨论，选项D错误． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，A正确； 当时，，点在图象上；当时，，点在图象上，B正确； 当时，y随x增大而减小；当时，y随x增大而减小；但y随x增大而减小的说法不成立，D错误； 当时，，当时，y随x增大而减小，∴，C正确； 故选：D． 8. 如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的概念求出与的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形是相似三角形、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 与是位似图形， 与的位似比是． 与的相似比为， 与的面积比为， 故选：B． 9. 菱形的边长为2，对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，尺规作线段垂直平分线，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半， 根据作图过程可知直线是的垂直平分线，再根据菱形的性质得，然后根据直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据作图过程可知直线是的垂直平分线， ∴点M是的中点． ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④当时，y随x的增大而增大；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求二次函数的最大值， 根据抛物线的对称轴是解答①；先确定抛物线与x轴的另一个交点是，可得，再根据对称轴可得，进而得出，然后根据解答②；根据抛物线的开口方向和对称轴可得点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大，解答③④；根据直线经过点，可得，由上述知，进而得出，再根据可得关系式，再讨论极值即可说明⑤，则此可解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴，则①不正确； ∵抛物线与x的一个交点为且对称轴是， ∴另一个交点是． 当时，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，则②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是， ∴点离对称轴越近函数值越大，当时，函数值y随着x的增大而增大． ∵， ∴，则③④正确； ∵直线经过点， ∴， 则． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值，则⑤正确， 所以正确的有4个． 故选：C． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，由已知等式求出的值，再代入求的值，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 得； 则把代入，得； ∴， 解得； 故答案为：． 12. 质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示： 抽检产品数n 100 150 200 250 300 500 1000 合格产品数m 89 134 179 226 271 451 904 合格率 0.890 0.893 0.895 0.904 0.903 0.902 0.904 在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）_____________． 【答案】0.9 【解析】 【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率． 【详解】解：根据题意得：该产品合格率大约为0.9， ∴恰好是合格产品的概率约是0.9． 故答案为：0.9 【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用样本估计总体的思想． 13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律．根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位， ∴得到新抛物线的解析式是， 故答案为：． 14. 如图，四边形ABCD中，，，对角线平分，且，则的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值． 作交于E，根据对角线平分得到，证明，得到，即，根据等角的余角相等得到，证明，求出，则，根据特殊角的三角函数值作答即可． 【详解】解：如图，作交于E， ∵对角线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折的性质，矩形的性质，勾股定理，确定当点、、三点共线时，最小是解题的关键，同时注意运用面积法求垂线段的长度．根据矩形的性质和勾股定理可得的长，再由翻折知，由可知当点、、三点共线时，最小． 详解】解：矩形中，，， ，， 点是边的中点， ， 连接， ， 将△沿翻折得到△， ， ， 当点、、三点共线时，最小， 此时，连接，设，则， ， 解得， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答． （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方，然后运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解： ； 17. 某校为了解九年级学生英语人机对话的学习情况，学校从学生成绩都不低于80分的九（1）班和九（2）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、分析表及条形统计图． 【收集数据】 九（1）班20名学生成绩：90，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，95，95． 九（2）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 2 2 【分析数据】 九（1）班和九（2）班20名学生成绩分析表 平均数 中位数 众数 九（1）班 91 92.5 95 九（2）班 91 90 90 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）直接补全条形统计图； （2）请结合数据分析，哪个班级的成绩更好一些？ （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加学校组织的英语人机对话的学习经验介绍．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1）见解析 （2）九（1）班成绩较好． （3） 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、条形统计图、列表法或画树状图求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人，即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数、平均数分析即可得解； （3）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由九年级（1）班20名学生成绩统计可得90分学生有5人，95分学生有8人，补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：九年级（1）班成绩较好 九年级（1）班和（2）班的平均成绩相同，但九年级（1）班的中位数和众数都比（2）班高，即九年级（1）班高分段人数较多．因此九（1）班成绩较好； 【小问3详解】 解：设九年级（1）班的两名100分的学生用、表示．九年级（2）班的两名100分的学生用、表示，则随机抽两名学生的所有情况列表如下： 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两名同学在同一个班级的共有4种， ∴（所抽取的2名学生恰好在同一个班级）． 18. 图1是某市的一座单塔双索自锚式混凝土悬索桥实景图，在学习完“利用三角函数测高”知识后，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中对该桥上铁塔高度进行了测量，图2是其设计的测量示意图．已知铁塔垂直于地面，测角仪、在两侧，，点C与点E相距（点C，B，E在同一条直线上），在D处测得铁塔顶点A的仰角为，在F处测得铁塔顶点A的仰角为．求铁塔的高度（参考数据：，，，结果精确到1米）． 【答案】铁塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，在中得，在中得到，得到方程，解方程得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点G， 由题意得：，，， 设，则， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即铁塔的高度约为． 19. 如图，在中，，D为中点，E为中点，交于点F，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）过点F作于点G，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）先证明，再证明四边形是平行四边形，最后证明是矩形； （2）设，则，，可得．由勾股定理可得．在中，，可得，再求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是的中点， ∴， ∵， ∴是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）可知四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 设，则，， ∴． 在中，，． ． ∴， ∴， ∴的值为2． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是关键． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． （1）求m与n之间的关系式； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点，分别代入，得，，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【小问1详解】 解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴， ∵． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问3详解】 解：由图象可知不等式的解集为或． 21. 某蔬菜种植基地计划在今年建设连栋大棚种植蔬菜，其中蔬菜大棚的横截面由抛物线和矩形构成．如图，建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点E到地面的距离米，支撑杆米，棚宽米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了加固棚顶，现需在上方至顶端部分加装两根关于y轴对称的支撑柱，在两根支撑柱上架横梁．已知这种支杆材料的价格是每米200元，求三根支杆的总造价最大值． 【答案】（1） （2）三根支杆的总造价最大值为2500元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，得出抛物线的顶点，设抛物线的解析式为，且抛物线过点，进行计算，即可作答． （2）设Q点坐标为，的长度之和为L米，整理得，，故，再运用二次函数的性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意知，大棚棚顶最高点E到地面的距离为7米， ∴抛物线的顶点， 依题意，米，棚宽米，则米， ∴ 设抛物线的解析式为，且抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线的函数表达式 依题意，设Q点坐标为，的长度之和为L米， 则，， ∴， ∵， ∴开口向下． 当时，有最大值，最大值为， ∴三根支杆的长度之和的最大值为米． ∴． 答：三根支杆的总造价最大值为2500元． 22. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，已知中，，点E在边上，，点D在线段上，连接，且．求证：； 小明同学从结论的角度出发给出如下解题思路：要证明，结合条件，这样本题就具备了“一边等，一角等”的图形特征，所以小明在AB上取点F，使，从而得到，构造全等三角形，从而使问题得以解决． 独立思考：（1）请参考小明的思路或自己的思路完成解答； 实践探究：（2）王老师改变了部分条件，并提出新问题，请你借鉴小明做题方法或自己解答思路，完成下题解答．如图2，已知等腰中，，，点E在边上，且，过点A作于点D，求的值； 问题解决：（3）如图3，在中，，点D在边延长线上，点F在边上，连接交于点E，连接．若，，，，求的长度． 【答案】（1）见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）在上取点F，使，证明，得出； （2）过点B作于点H，证明，得出，，证明，得出，再根据，即可得出答案； （3）过点E作于点N，过点D作于点M，证明，得出，设，则，证明．得出，，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：在上取点F，使， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点B作于点H， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ∵，， ∴ （3）解：过点E作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23. 给出如下定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“随轴函数”．例如：二次函数的“随轴函数”为． （1）已知二次函数，求该二次函数的“随轴函数”的表达式： （2）如图，设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“随轴函数”的图象为，图象与相交于，两点（点在点的左侧）． ①求，两点的坐标； ②直线与，分别交于点，，与轴交于点．连接，，，当时，且四边形的面积为，求的值； ③若二次函数与它的“随轴函数”组成新函数，若在函数图象上有两点，（与不重合），点的横坐标为，点的横坐标为．当，之间（包含，两点的图象）对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①，．②的值为．③或 【解析】 【分析】（1）根据“随轴函数”的定义，先确定二次函数中、、，代入公式计算和的值，即可求得“随轴函数”的表达式； （2）①用待定系数法求二次函数解析式，解方程组得到、的值，根据 “随轴函数” 的定义，代入二次函数的、、，得到随轴函数的解析式，将二次函数与随轴函数的解析式联立，解一元二次方程，得到的根对应交点、的横坐标，代入函数解析式可得纵坐标； ②根据直线与二次函数、直线，对、两点进行表示，求、纵坐标的差的绝对值，得到，利用四边形的面积公式列方程，解方程得的值； ③分析新函数是分段函数，先确定二次函数的最值、一次函数的单调性，分析出点、的位置关于对称，分和两种情况讨论，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴，， ∴该二次函数的“随轴函数”为． 答：． 【小问2详解】 解：①∵交轴于点，交轴于点， ∴，∴， ∴， ∴该二次函数的“随轴函数”为， 令， 则， 解得，， 则，， ∴，． ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故的值为． ③∵，，∴， ∴点、到直线的距离相等， 当，， 当时，， ∵、之间的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 而当时，，时，， 当，如图： 由题意得：， ∴； 当，如图： 由题意得：， ∴， 综上：或． 答：①，．②的值为．③或 【点睛】本题考查新定义的理解与应用，二次函数解析式求解，平面直角坐标系中图形的面积计算，函数与方程的综合应用，分段函数的最值与取值范围，准确理解新定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $