第12讲 二次函数的图像与性质（复习讲义，5考点10题型9重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦二次函数专题，覆盖定义、图像性质、变换、解析式求法及与方程不等式关系等中考核心考点，通过“考情剖析-知识导航-考点解析-真题训练-分层练习”系统流程，结合北京近三年考情梳理知识网络，指导学生突破图像变换、最值计算等难点。 亮点在于“情境化问题解决”和“思维分层进阶”设计，如通过拱桥、投球等实际问题培养数学建模意识，利用“易错点提示”和“一题多解”训练推理能力。分层练习匹配不同学生需求，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应试能力。

第四章 函数及其图象 第12讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 22 命题点一 二次函数的定义与解析式 题型01 根据二次函数的定义求参数 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01二次函数一般式的图像和性质 题型02 顶点式的图像和性质 命题点三 二次函数的图像变换 题型01 二次函数图像的平移 提醒02 二次函数的对称 命题点四 二次函数解析式的求法 题型01 待定系数法求二次函数解析式 题型02 设顶点式求解析式 命题点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题型01 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型02 图像法确定一元二次方程的近似根 题型03 二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶难 60 突破一 二次函数的图像与系数的关系 突破二 二次函数的最值 突破三 求x轴与抛物线的截线长 突破四 销售问题与二次函数 突破五 图形问题与二次函数 突破六 拱桥问题与二次函数 突破七 投球问题与二次函数 突破八 喷水问题与二次函数 突破九 二次函数综合 06·优题精选·练能提分 90 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的概念与解析式 / / 北京卷T26（二次函数解析式） 理解二次函数的概念，能根据已知条件确定二次函数的解析式 二次函数的图像与性质 北京卷T26（二次函数对称性） / 北京卷T26（二次函数增减性） 通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数的顶点、开口方向与解析式中系数的关系 二次函数与方程、不等式的关系 北京卷T26（二次函数与不等式） / / 体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 二次函数图像的平移与变换 / / / 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴 命题预测 1. 二次函数图像的顶点坐标、对称轴、增减性及最值问题；2. 二次函数与一元二次方程根的判别式结合，判断方程根的情况；3. 二次函数与不等式结合，求解参数范围或比较函数值大小 考点一 二次函数的定义与解析式 1. 二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫做二次函数。 自变量 的最高次数为 2，这是判断二次函数的核心依据； 二次项系数 （若 ，则函数退化为一次函数或常数函数）； 一次项系数 和常数项 可以为任意实数（包括 0）。 2. 解析式的三种核心形式（中考必考，需灵活选择） 解析式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3. 三种形式的转化 一般式转顶点式：通过配方法，，顶点坐标为 ； 交点式转一般式：展开多项式即可； 顶点式转一般式：展开完全平方公式即可。 易错点提示 忽略 的条件，误将 或 当作二次函数； 选择解析式形式不当，如已知顶点坐标却用一般式，增加计算量； 配方法转化时符号错误，如将 配成 后，忘记减去 。 1．（2025·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：①扇形的面积，扇形的圆心角n一定， 面积S与半径r两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ②矩形的面积，矩形的面积S与一边长两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示，符合题意， ③行驶路程，行驶路程s与行驶时间t两个变量之间的函数关系可以利用一次函数表示，不符合题意， 则①②符合题意， 故选：A． 2．（2025·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 3．（2024·北京·二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【分析】先求出，再证明都是等腰直角三角形，从而推出，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，列函数关系式，二次函数的定义等等，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 考点二 二次函数的图像与性质 1. 图像形状 二次函数的图像是抛物线，具有对称性，对称轴为直线 （顶点式）或 （一般式）。 2. 系数 、、 的几何意义（中考选择/填空必考） （1）二次项系数 开口方向： 时，抛物线开口 向上； 时，开口 向下； 开口大小： 越大，抛物线开口越 小； 越小，开口越 大； 最值： 时，函数有 最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有 最大值，最大值为顶点纵坐标。 （2）一次项系数 （与 共同决定对称轴位置） 对称轴公式：直线 ； 符号规律：“左同右异” 当 、 同号时，，对称轴在 y轴左侧； 当 、 异号时，，对称轴在 y轴右侧； 当 时，，对称轴为 y轴（直线 ）。 （3）常数项 抛物线与 y轴的交点坐标：令 ，得 ，交点为 ； 符号规律： 时，交点在y轴 正半轴； 时，交点为 原点； 时，交点在y轴 负半轴。 （4）系数组合的意义（，判别式） 决定抛物线与 x轴的交点个数： ：抛物线与x轴有 两个不同的交点； ：抛物线与x轴有 一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴 无交点。 3. 二次函数的增减性（中考必考，需结合对称轴讨论） 核心前提：以对称轴为界，左右增减性相反 当 时： 在对称轴 左侧（），y 随 x 的增大而 减小； 在对称轴 右侧（），y 随 x 的增大而 增大。 当 时： 在对称轴 左侧（），y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴 右侧（），y 随 x 的增大而 减小。 4. 抛物线的特殊点与对称轴 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）； 对称点：若点 和点 在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为直线 ； 与x轴交点：当 时，交点横坐标为方程 的两个根 、，且满足 韦达定理：，（北京中考综合题常用）。 易错点提示 判断对称轴位置时，忽略“左同右异”的前提是 的符号，单独根据 的符号判断； 讨论增减性时，遗漏“以对称轴为界”的前提，跨对称轴判断增减性； 混淆判别式 的作用，误将 认为是抛物线与x轴无交点。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数对称轴公式即可求解； （2）先表示出，再根据已知条件得到不等式组，化为解不等式组即可． 【详解】（1）解：对于抛物线， ∴ ∴对称轴为直线； （2）解：∵点，，在抛物线上，且， ∴，，， ∴由得： 由①得：； 由②得：，即或， 解得：； 由③得：，则， ∴或， 解得：或， ∴原不等式组的解集为：． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求拋物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）先把函数解析式化成顶点式，然后确定对称轴即可； （2）分、两种情况，分别根据二次函数的性质列不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． （2）解：抛物线的对称轴为直线， ∴①若，则时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 设抛物线上的点关于直线的对称点为 对于，，都有， ， ， ， ， ， ； ②当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 对于，，都有， ， ． 综上，或． 3．（2024·北京昌平）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)a的取值范围是或 (3)或 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． （1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴； （2）把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围； （3）先画出函数图象，再根据确定m的取值范围． 【详解】（1）解：∵，为抛物线上的对称点， ∴， 抛物线的对称轴； （2）解：∵过，， ∴，，， ∴对称轴． ①当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴． ②当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴， 综上：a的取值范围是或； （3）解：∵点在抛物线上， ， ∵点，在抛物线上， ∴对称轴为直线， ①如图所示：   ， 且， ； ②如图所示：   ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 考点三 二次函数的图像变换 二次函数的图像变换包括平移、对称、旋转，核心是顶点的变换，解析式的变化可通过顶点式快速推导。 1. 平移变换（核心口诀：“左加右减，上加下减”，针对顶点式） 设原抛物线为 （），平移后抛物线的形状不变（ 不变），仅顶点位置改变。 左右平移（针对自变量 ）： 向右平移 个单位（）：； 向左平移 个单位（）：。 上下平移（针对函数值 ）： 向上平移 个单位（）：； 向下平移 个单位（）：。 拓展：一般式的平移 需先将一般式转化为顶点式，按顶点式规律平移后，再转化回一般式。 2. 对称变换（解析式变化规律，中考常考） 设原抛物线为 （），对称后抛物线的 不变，开口方向可能改变。 关于x轴对称： 顶点关于x轴对称，开口方向相反，解析式为 ； 关于y轴对称： 顶点关于y轴对称，开口方向不变，解析式为 ； 关于原点对称： 顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 ； 关于顶点对称（旋转180°）： 顶点不变，开口方向相反，解析式为 （顶点式）。 3. 旋转变换（中考偶尔考查，主要是绕顶点旋转180°） 绕顶点旋转180°：开口方向相反，顶点坐标不变，解析式为 ； 绕原点旋转180°：与关于原点对称的规律一致。 易错点提示 平移时混淆“左加右减”的对象，对一般式直接进行平移，未转化为顶点式； 对称变换时，遗漏开口方向的改变（如关于x轴对称时，未改变 的符号）； 旋转180°时，误将顶点坐标也进行旋转。 1．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为，根据已知，代入计算解答即可； （2）根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为；故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，，根据函数的增减性解答即可． 本题考查了函数值的计算，抛物线的平移，二次函数的增减性，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 当时，点，，此时，， 故，， 故． （2）解：根据题意，得，抛物线向右平移2个单位得到抛物线，解析式为， 故抛物线的对称轴为直线，的对称轴为直线，              根据题意，得点关于对称轴直线的对称点坐标分别为 ； 故点，分别向右平移2个单位长度后得到点的坐标分别为，， 由对于，都有， 故或， 解得或，     故t的取值范围是或． 2．（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是解题关键． （1）①将代入即可求出该抛物线的对称轴； ②根据二次函数的性质即可求解； （2）因为不确定，所以要分类讨论，根据和分两种情况讨论，再根据范围取舍即可． 【详解】（1）解：①将代入得， ∴该抛物线的对称轴为直线； 即该抛物线的对称轴为直线； ②∵， ∴该抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 分两种情况： ①当时，，在对称轴右侧， 当和是都在对称轴右侧，此时随增大而增大， ∵对于，，都有， ，， ； 即 当在对称轴左侧时，关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 此时随增大而增大， ∵， ∴， ∵对于，，都有， ，即， ， ∵， ∴此时没有符合条件的a存在； 综上分析可知：此时； ②当时，，在对称轴左侧， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，随增大而减小， ∵对于，，都有， ， ； 综上，的取值范围为或． 3．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． (1)求的值； (2)将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法求二次函数的解析式，理解题意并准确计算、分类讨论是正确解答此题的关键． （1）将代入，即可求解； （2）分两种情况：①当时，根据在对称轴右侧随的增大而减小，，列不等式组；②当时，根据在对称轴左侧随的增大而增大，，列不等式组；分别求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线中， 得：， 解得：； （2）解：将点向左平移2个单位长度即在抛物线上，记为， 对称轴：， 点关于对称轴的对称点为， 点关于对称轴的对称点为， ①当时，在对称轴右侧随的增大而减小， ， ， 解得：； ②当时，在对称轴左侧随的增大而增大， ， ， 解得：； 综上所述，或． 考点四 二次函数解析式的求法 核心方法是待定系数法，关键在于根据已知条件选择合适的解析式形式，减少计算量。 1. 已知三个点的坐标（无特殊条件） 选择一般式：（）； 步骤：将三个点的坐标代入，得到关于 、、 的三元一次方程组，解方程组即可。 2. 已知顶点坐标或对称轴 选择顶点式：（）； 步骤：将顶点坐标 代入，再代入另一个点的坐标，求出 的值。 3. 已知与x轴的两个交点坐标 选择交点式：（）； 步骤：将两个交点坐标 、 代入，再代入另一个点的坐标，求出 的值。 4. 已知抛物线的最值或增减性 优先选择顶点式，利用顶点纵坐标为最值，对称轴为增减性的分界点求解。 易错点提示 选择解析式形式不当，导致计算复杂或出错； 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒； 解三元一次方程组时计算错误。 1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1)a＝1，顶点坐标为（1，﹣3） (2)﹣3≤n＜6 【分析】（1）把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得到a的值，即可得到函数解析式，将解析式化为顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标； （2）利用描点法画出函数图象，即可得到n的取值范围． 【详解】（1）解：把P（﹣1，1）代入y＝ax2﹣2ax﹣2中，得a+2a-2=1， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴图象的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）解：如图所示： 由图象知，当m=-1时，n=1；当m=4时，n=6；图象最低点在此段函数图象上， ∴点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，﹣3≤n＜6． 【点睛】此题考查了二次函数的知识，利用待定系数法求函数解析式，将函数解析式化为顶点式求顶点坐标，画函数图象，利用函数图象确定纵坐标的取值范围，属于基础题型． 2．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）分情况讨论：当原点位于对称轴的左侧时，当原点位于对称轴的右侧时，根据，，都有，确定b的取值范围． 【详解】（1）解： ∵抛物线过点 ∴，解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵抛物线的对称轴为， 当时 解得 故与x轴的交点为 情况1：当原点位于对称轴的左侧时， 要满足对于，，都有， 此时，有解得 情况2：当原点位于对称轴的右侧时 要满足对于，，都有， 此时，有，解得，解得 综上，或 3．（2024·贵州遵义·一模）已知点在抛物线（a为常数，）上． (1)若，， ①求抛物线的解析式； ②若点，在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若，求t的取值范围； (2)若时，总有，且当时总有，求a的值． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②根据二次函数的增减性进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性，得到当时，，代入求解即可． 【详解】（1）解：①当，时，代入得： ，解得：， ∴； ②∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， 由题意，得：， 解得：； （2）∵点在抛物线上， ∴， ∴对称轴为直线， ∵时，总有，且当时总有， ∴在对称轴的左侧随的增大而增大，在对称轴的右侧随的增大而减小， ∴当时，， ∴， 解得：． 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根； 判别式 的作用： ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 2. 二次函数与一元二次不等式的关系 当 时： 的解集：抛物线在x轴 上方 部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴 下方 部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴 上方 部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴 下方 部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 3. 二次函数与一次函数的交点问题 联立二次函数与一次函数的解析式，组成方程组： 方程组的解即为两个函数图像的交点坐标； 消去 得到一元二次方程 ，其判别式决定交点个数： ：两个交点； ：一个交点（相切）； ：无交点。 易错点提示 解一元二次不等式时，忽略 的符号对解集方向的影响； 求两个函数交点时，消元后计算错误，导致判别式出错； 混淆“抛物线与x轴的交点”和“两个函数的交点”的判别式应用。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)若为抛物线上一点，求的值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的性质，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）将代入求解即可； （2）首先求出抛物线与x轴的交点为和，然后得出抛物线开口向上，然后根据题意得，进而求解即可． 【详解】（1）∵为抛物线上一点 ∴ 解得； （2）当时， 解得或 ∴抛物线与x轴的交点为和 ∵ ∴抛物线开口向上 ∵存在，使得 ∴ 解得： ∴的取值范围． 2．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点A代入解析式即可求出a的值，进而得到解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）先求出，令，则，求出的值，根据，求出或，分，两种情况，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵在抛物线上， ∴， ∵在抛物线上， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，结合函数的图象可得或， 当时，结合函数的图象可得， 当时，结合函数的图象可得或， ∵， ∴， 综上所述，的取值范围是或． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 【答案】(1)对称轴为 (2)或或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练利用数形结合思想是解题的关键． （1）利用二次函数的性质即可解答； （2）求得二次函数与轴的交点，使交点与比较即可； （3）表示出，再表示出，最后解不等式即可． 【详解】（1）解：对称轴为； （2）解：令，， 解得， 二次函数与轴的交点为， 当在点左边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 当与时，抛物线与线段只有一个交点，此时； 当在点右边时，抛物线与线段只有一个交点，此时， 解得； 综上所述，或或； （3）解：对称轴为， 为顶点， 二次函数开口向上， ， ， 可得， ， ， ， 可得， 解得． 命题点一 二次函数的定义 ►题型01 根据二次函数的定义求参数 1. 忽略a≠0核心限制：仅满足x最高次数为2，未排除二次项系数a=0的情况（a=0时为一次/常数函数，非二次函数） 2. 函数形式误判：混淆二次函数（y=ax²+bx+c，a≠0）与一次函数、正比例函数，或误将含x³等更高次项的式子当作二次函数 3. 参数多重条件漏解：未同时满足“x最高次数为2”和“a≠0”双重要求，仅单一条件求解导致参数范围出错 4. 含参解析式整理失误：展开、合并同类项时计算错误，误判x的次数或二次项系数a的表达式 【典例】（2025·北京昌平）已知是关于的二次函数，则值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，因式分解法解方程，根据二次函数的定义，得出x的最高次数为2，且二次项系数不为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 解得， 故答案为：2 【变式1】（2025·北京西城）若函数是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式为（是常数，且），其中最高次项的次数为．要确定函数为二次函数，需根据二次函数定义，先令最高次项的次数为2，再保证二次项系数不为，从而求解的值． 【详解】是二次函数， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（2024·北京）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； (2)若存在，使得，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知抛物线解析式为，将代入，即可求出m和n的值，再比较即可； （2）由函数解析式可得出其对称轴为直线，且开口向上，从而得出在对称轴右侧，y随x的增大而增大．再找出临界状态，即当则，解得或，当时，则，则，解得，再根据存在，都有，故，即可作答． 【详解】（1）解：． 理由：当时，抛物线解析式为，点， 将代入， 得：，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵该函数解析式为， ∴其图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大． ∵，， ∴点B在点A右侧， 依题意，当时，， ∴， 解得或， 当时，则， 把代入， 得 ∴ ∵存在，都有， ， 即时，存在，都有． 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1. a的符号混淆：记反a>0（开口向上）、a<0（开口向下）的对应关系，或误判增减性、最值类型 2. 对称轴计算错误：记错对称轴公式，出现符号颠倒（如写成）或分子分母混淆 3. 顶点坐标失误：顶点纵坐标计算错误，或未通过对称轴横坐标代入解析式求纵坐标 4. 增减性前提遗漏：跨对称轴判断增减性，忽略“对称轴左侧/右侧”的分段要求 5. 与坐标轴交点误判：与y轴交点记为需解方程（实际为(0,c)），或与x轴交点忽略判别式Δ=b²-4ac的取值条件 6. 最值类型记反：混淆a的符号与最值的关系（a>0有最小值，a<0有最大值），或误将最值点当作与x轴交点 【典例】（2023·北京海淀·模拟预测）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（        ）    A．圆的面积y与它的半径x B．正方形的周长y与它的边长x C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x 【答案】D 【分析】根据题意求出两个变量之间的函数关系式分别判断即可． 【详解】圆的面积y与它的半径x的关系式为 圆的面积y随半径x的增大而增大，故A选项不符合题意； 正方形的周长y与它的边长x的关系式为 正方形的周长y随边长x的增大而增大，故B选项不符合题意； 设路程为，则所用时间y与平均速度x的关系式为 所用时间y随平均速度x的增大而减小，故C选项不符合题意； 设铁丝的长度为，则矩形的面积 矩形的面积y与边长x的之间的函数关系可以用如图所示的图象表示，故D选项符合题意． 故答案选D． 【点睛】本题考查了函数的图象，准确地得出两个变量之间的关系式是解题的关键． 【变式1】对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的图象与性质，以及与轴的交点问题，由题意得，即得，可得，得，再画出二次函数图象，由图象可得当时，，即得，综上即可求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ∵二次函数有两个相异的不动点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 令， 画该二次函数的草图如下： 设抛物线与轴交点的横坐标为，且， 当时，， ∴， ∴的取值范围是， 故选：． 【变式】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质等知识点，熟练掌握相关函数的性质是解题的关键． 由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二四象限，不满足条件， 故选：． 题型02 顶点式的图像和性质 1. 顶点坐标误读：混淆顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）中顶点坐标为(h,k)，误写成(-h,k)或(h,-k) 2. 对称轴记忆错误：记错顶点式对称轴为x=h，误写成x=-h，或与一般式对称轴公式混淆 3. a的符号关联失误：记反a>0（开口向上）、a<0（开口向下）与增减性、最值类型的对应关系 4. 增减性前提遗漏：跨对称轴x=h判断增减性，忽略“对称轴<h，右侧（x>h）”的分段要求 5. 顶点式变形错误：将顶点式展开为一般式时去括号、合并同类项失误，或由一般式配方法化顶点式时符号出错 6. h/k的几何意义混淆：误判h（对称轴左右平移）、k（图象上下平移）对图象位置的影响，或平移规律记反 7. 忽略a≠0前提：未排除a=0的情况，误将常数函数当作二次函数分析顶点、开口等性质 【典例】（2025·北京海淀）抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 【变式1】（2024·北京门头沟）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 【变式2】下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练运用配方法和判别式是解题关键． 通过配方法将二次函数化为顶点式，得到顶点坐标和开口方向，再根据二次函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 对于A：开口向下，错误； 对于B：顶点坐标是，不是，错误； 对于C：∵ 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，正确； 对于D：判别式， ∴与轴有两个交点，错误． 故选 C． 命题点三 二次函数的图像变换 题型01 二次函数图象的平移 平移规律记反：顶点式中，混淆“左加右减（针对）、上加下减（针对）”，误写为“左减右加”或“上减下加” 平移对象混淆：未将一般式先配方为顶点式，直接对²的或进行加减平移，导致解析式错误 符号处理失误：顶点式平移时，括号内的符号变化出错（如向左平移个单位，误将写为 忽略不变前提：平移不改变开口方向和大小，误在平移后修改二次项系数的取值 平移距离误判：混淆“图象平移距离”与“顶点平移距离”，或跨坐标轴方向计算平移距离时出错 点与图象平移混淆：将“图象的平移规律”与“平面内点的平移规律”（左减右加、上加下减）弄反，导致方向错误 【典例】（2025·北京）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 【变式1】（2025·北京）把抛物线向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，抛物线向下平移时，函数表达式需在常数项上减去平移的单位数即可． 【详解】解：原抛物线表达式为，向下平移个单位长度，即在原函数值上减去，得． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京西城）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的性质（单调性）、二次函数与一次函数的交点问题以及不等式求解等知识点． （1）把抛物线解析式配方成顶点式即可得出顶点坐标； （2）根据抛物线开口方向时，取最大值，再由对称性可得直线与直线关于直线对称，故当时，，所以，求解该不等式组即可解答； （3）因为抛物线顶点坐标为，所以抛物线顶点在直线上运动，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象分类讨论即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：， 点的坐标为； （2）由题意，结合（1）， 当时，抛物线对称轴为直线，开口向下， 时，随增大而减小， ， 时，取最大值， 直线与直线关于直线对称， 时，， ， ； （3）抛物线顶点坐标为， 抛物线顶点在直线上运动， 点向右平移个单位得到点， ， ①如图，抛物线顶点在所在直线上， ，即，符合题意， ②如图， 当抛物线过时，则， ， 又当抛物线过时，则， （舍去）或， 又抛物线与线段只有一个公共点， ， 综上，或． 题型02 二次函数的对称 1. 对称规律记混：混淆关于x轴、y轴、原点、对称轴（自身）的解析式变换规则，如误将“关于x轴对称时a变号、b变号、c变号”记为“a不变” 2. a的符号/绝对值失误：对称后误改a的绝对值（平移、对称不改变开口大小，a绝对值不变），或记反x轴/原点对称时a的符号方向 3. 顶点坐标变换错误：顶点式y=a(x-h)2+k对称时，误算顶点(h,k)的对称坐标（如关于原点对称误写为(h,-k)，而非(-h,-k) 4. 混淆“图象对称”与“点关于图象对称”：误将“函数图象自身对称”（如关于对称轴）与“点关于二次函数图象的对称点”规则等同，导致计算偏差 5. 漏验证对称有效性：未通过原函数上点的对称点代入新解析式验证，直接套用规律导致错误 6. 忽略对称轴自身对称特性：误将二次函数关于自身对称轴的对称图象当作新函数，实则图象不变，无需变换解析式 7. 含参对称多条件漏解：结合a的符号、顶点位置等条件时，未综合对称规则与二次函数定义（a≠0）求参数范围 【典例】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据对称性求出对称轴，即可得出结果； （2）根据对称性确定对称轴的范围，根据二次函数的增减性，比较的大小即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且 ∴关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线； 故； （2），理由如下： ∵， ∴当时，， ∴抛物线过点， 又∵抛物线过点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，在抛物线上， ∴三点到对称轴的距离分别为，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先配方成顶点式，即可求解对称轴； （2）分两种情况讨论，①；②，分别根据二次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解： 该抛物线的对称轴为直线； （2）解：由题意，得． ． ， ． ①当时， 可得，． 又， ． 点总在点的右侧，且点都在对称轴右侧． 时，随增大而增大． 又， ． 当时，恒成立 ②当时， 可得． 点在对称轴左侧． 设点关于对称轴的对称点为， ． ． , ． ， ． ． 综上，或． 【变式】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将抛物线解析数化为顶点式，即可求解； （2）根据抛物线解析式得到抛物线的对称轴为．根据抛物线的开口方向分两种情况讨论：①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．再分别分三种情况讨论三个点的函数值大小，即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为． 对于，，； ①若，则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∵，， ∴，． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴． （Ⅰ）当时，有． ∵， ∴， ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有． ∵，， ∴． ∴，符合题意； （Ⅲ）当时，令，则． ∴，不符合题意． ②若，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． ∵，， ∴． 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． （Ⅰ）当时，有，． 令，则，即． ∴，不符合题意． （Ⅱ）当时，有，则． 若，有，则，符合题意； 若， 设点关于对称轴的对称点为， 则，． ∴． ∴， ∴． ∴，符合题意． （Ⅲ）当时，有． ∴，不符合题意． 综上所述，的取值范围是或． 命题点四 二次函数解析式的求法 题型01 待定系数法求二次函数解析式 1. 忽略a≠0前提：求出参数后未检验二次项系数a≠0，导致解析式沦为一次函数 2. 解析式形式选错：已知顶点却误用一般式（增加计算量易出错），已知与x轴交点却不用交点式，或交点式中误将“x=x₁”“x=x₂”写成“x+x₁”“x+x₂” 3. 点坐标代入失误：横纵坐标颠倒代入，或代入时符号处理错误（如负坐标未加括号） 4. 参数求解条件不足：用一般式（y=ax²+bx+c）时仅用2个点求3个参数，漏用顶点、对称轴、与坐标轴交点等隐含条件 5. 顶点式符号错误：顶点式y=a(x-h)²+k中，误将顶点(h,k)的负坐标直接代入（如顶点(-2,3)误写为a(x-2)²+3） 6. 交点式应用错误：混淆与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)与交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)的对应关系，或漏求a的值 7. 计算与检验缺失：解参数方程组时移项、系数化1出错，或求出解析式后未代入已知点验证正确性 【典例】（2025·北京西城）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】该题考查了二次函数的图像和性质，二次函数解析式求解，由二次函数有最小值可知开口向上，即二次项系数；由图象经过点可知常数项． 【详解】解：设二次函数解析式为． ∵二次函数有最小值， ∴． ∵图象经过点， ∴当时，，即． 取，，则解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（2025·北京朝阳）写出一个满足与抛物线开口方向相同，且过点的抛物线的表达式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，并利用待定系数法确定函数表达式． 先根据开口方向相同确定二次项系数的符号，再结合过点确定常数项，进而写出抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的二次项系数为1，开口向上， 要满足与它开口方向相同，则所求抛物线的二次项系数也需大于0， 又因为抛物线过点，将代入抛物线一般式，可得， 不妨取，则抛物线表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2025·北京）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点两点，下面有四个判断： ①若该二次函数图象过点，则该二次函数有最大值； ②若该二次函数图象过点，则当时，函数随增大而增大； ③若该二次函数图象过点，则； ④若该二次函数图象开口向上，且，则． 所有合理推论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键；根据待定系数法和二次函数的图象和性质可判断①②③，由待定系数法可得，再根据a的范围求h的范围即可． 【详解】解：二次函数的图象过点，， ， 解得：， 二次函数有最大值， 故①符合题意； ， ③符合题意； 二次函数的图象过点，， ， 解得：， 对称轴为直线， 开口向上， 当时，函数随增大而减小， 故②不符合题意； 二次函数的图象过点， ， 可得， ， ， 解得：， 故④符合题意． 故答案为：①③④． 题型02 设顶点式求表达式 1. 顶点坐标符号错误：顶点式y=a(x-h)2+k中，误将顶点(h,k)的横坐标符号直接代入，如顶点(-m,n)错写为a(x-m)2+n（正确应为a(x+m)2+n） 2. 漏求系数a：仅设出顶点式形式，未将已知点（非顶点）代入解析式求解a，导致解析式含未知参数 3. 忽略a≠0前提：求出a的值后未检验，若a=0则为一次/常数函数，不符合二次函数定义 4. 隐含条件未转化：已知对称轴x=h或最值k，却未将其对应到顶点式的h、k，仍错误设为一般式求解 5. 点坐标代入失误：代入已知点求a时，横纵坐标颠倒，或对含负坐标的点计算时符号处理错误 6. 顶点式变形错误：将顶点式展开验证时，去括号、合并同类项出错，或误将顶点式与交点式形式混淆 【典例】（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称性，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据对称性，求出的值，根据顶点式的性质，求出顶点坐标即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，根据二次函数的对称性求出，进而得到，增减性得到时，，待定系数法求出的值即可． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， ，有 该抛物线的顶点坐标为． （2）抛物线的对称轴是直线， 点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧， 设点关于对称轴的对称点为， 抛物线的对称轴是直线， ． 点在对称轴右侧，且， 当时，根据二次函数的性质，时，随的增大而增大， ． ， ． 当时，． 把代入函数表达式中， ， ． 【变式】（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2）由题意可分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线对称轴为， ①若， 则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ， ， 设点M关于对称轴的对称点为， 则， ， ， （i）当时，有， ， ，符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，令， ， ，不符合题意； ②若， 则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， （i）当时，令， ， ， ，不符合题意； （ii）当时，令， ， ， ，不符合题意； （iii）当时，有， ， ，符合题意， 综上所述，a的取值范围是或． 命题点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题型01 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1. 判别式与交点关系记反：混淆Δ=b²-4ac的符号与根的个数对应关系（Δ>0→2个不等实根→2个x轴交点；Δ=0→2个相等实根→1个x轴交点<0→无实根→无x轴交点） 2. “重根”概念误解：将Δ=0时的“两个相等实根”误表述为“一个根”，忽略二次方程根的个数定义（恒有两个根，含相等情况） 3. a的符号干扰判断：误将开口方向（a的符号）与根的存在性关联，实则根的情况仅由Δ决定，与a的符号无关 4. 忽略a≠0前提：未确认二次项系数a≠0，若a=0则为一次方程，无“判别式”可言，不能用二次函数图象的x轴交点判断根的情况 5. 实际范围漏筛根：未结合实际问题中自变量的取值限制，误将超出范围的x轴交点当作有效根 6. 混淆“函数交点”与“方程根”：误将二次函数与其他函数的交点当作对应一元二次方程的根，实则仅与x轴的交点才对应方程的根 7. 图象读取误差：误判x轴交点的存在性（如将靠近x轴的图象当作与x轴相交），或漏看交点的个数 【典例】（2025·北京专题）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，明确二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．先根据对称轴求出的值，从而二次函数的解析式可得，从而可得当和时的函数值，再根据的解为与直线在范围内的交点横坐标解答即可． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， 二次函数的解析式为：， 其顶点坐标为， 当时，， 时，， 的解为与直线在范围内的交点横坐标， 当时，一元二次方程为实数）在的范围内有解． 故答案为：． 【变式1】（2025·北京）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数与一元二次方程的关系，掌握数形结合思想解答是解题的关键．先将转化成与轴的交点问题，再通过解析式得到相当于向上平移个单位长度，最后通过图像可知最小值为，对的取值范围进行求解即可． 【详解】∵如图所示，的开口向上，与轴有交点， ∴存在最小值为． ∵将看成与轴的交点问题， 又∵方程无实数根， ∴与轴无交点，在轴上方． ∵相当于向上平移个单位长度， ∴，即，． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京海淀）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键， （1）利用待定系数法解函数解析式即可； （2）根据函数图象即可得到当时， x的取值范围； （3）根据图象分两种情况讨论可得到答案． 【详解】（1）解：由图可得：的图象过点，，对称轴是直线， ∴ 解得： ∴二次函数的表达式为：． （2）解：∵， 令，即， ∴， 解得：， ∴二次函数与轴的两个交点是，， ∵， ∴开口向下， 由函数图象可知：当时， ∴． （3）解：由（1）知，二次函数解析式为：， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为：， 由图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标大于0，即此时有两个不同的正实数根． 当时，与的图象有一个交点，且交点的横坐标大于0，即此时有两个相同的正实数根． 综上可知，当时，总有两个正实数根． 题型02 图象法确定一元二次方程的近似根 1. 精度把控失误：未用“逐步缩小区间范围”的方法（如二分法思路）细化近似值，直接根据单次图象读取估计，忽略误差控制 2. 图象读取误判：将函数图象“靠近x轴”误判为“与x轴相交”，或漏看图象的多个x轴交点，导致漏根或误判根的个数 3. 顶点概念混淆：误将顶点横坐标当作近似根，忽略顶点处函数值是否为0（仅Δ=0时，顶点横坐标才是方程的精确根） 4. 坐标对应错误：用二次函数与其他函数的交点求根时，误将交点的纵坐标当作近似根，而非对应方程根的横坐标 5. 验证环节缺失：求出近似根后，未代入原方程或二次函数验证函数值是否接近0，导致错误的近似值未被发现 【典例】（2024·北京海淀·一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【答案】①大；②或 【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当时，，当时，，进而可比较当与时，的值的大小， ②根据函数图象求解即可 【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当时，，当时，，根据函数图象可知，当时，随的增大增大，当时，随的增大而减小， 时，,时， 半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积大 故答案为：大 ②根据函数图象可知，当时，或 故答案为：或 【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键． 【变式1】（2025·北京昌平）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）当时，计算出矩形的宽，进而可得矩形的面积； （2）描点、连线即可； （3）①观察两个函数图象的交点，看横坐标的取值即可： ②)结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为多少时， 【详解】（1）解:(1)当时，， ∴. 故答案为：； （2） （3）（3）①观察两个函数图象的交点，此时两个图形的面积相等，所对应的x的值约为4.7 故答案为：4.7； ②结合（1）得到的结论及函数图象，可得当x约为7.1m时，， 故答案为：； 【变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②或 【分析】本题主要考查了菱形的性质，动点问题的函数图象，解直角三角形，函数的图象，点的坐标的特征，正确理解点的坐标的几何意义是解题的关键． （1）当时，点与点重合，即，利用菱形的性质和直角三角形的边角关系定理求得，即可得出结论； （2）利用表格中的，值作为点的横纵坐标在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线连接即可； （3）①作出函数的图象，观察图象得到直线与函数的图象交点的横坐标约为，再利用的图象解答即可； ②利用三角形的面积公式得到，观察图象可知：与的图象的交点的横坐标即为所求的值． 【详解】（1）解：当时，点与点重合，，如图， 四边形为菱形， ，， ， ， ． 故答案为：； （2）在同一平面直角坐标系中描出了部分点，，得到与关于的函数图象，如图， （3）①当时，即：， 作出函数的图象，如图， 观察图象可知：直线与函数的图象交点的横坐标约为， 由的图象可知：当时，的值约为． 故答案为：； ②过点作于点，则， ， ， 此时， 观察图象可知：与的图象的交点的横坐标为或， 或， 即的长度约为或． 故答案为：或． 题型03 二次函数与不等式 1. 图象与不等号对应错误：混淆“y>0（x轴上方图象对应的x范围）、y<0（x轴下方图象对应的x范围）”，或误将“y≥0”漏算x轴交点（临界点） 2. 解集边界判断失误：忽略不等式“等号”对应二次函数与x轴的交点（方程的根），导致解集少含或多含边界值（如ax²+bx+c≥0漏算x=x₁、x=x₂） 3. 跨对称轴判断解集：未以对称轴为界分段分析函数值正负，跨对称轴直接套用单一区间的规律（如a>0时，误将“x>h（对称轴）y随x增大而增大”等同于“x>h时y>0”） 4. a的符号影响遗漏：未结合a的符号确定解集方向（a>0时，y>0的解集在两根之外；a<0时在两根之间），错用统一规律导致解集完全相反 5. 多函数比较解集误判：二次函数与其他函数（如一次函数）比较大小时，误判两函数交点两侧的函数值大小关系，导致不等式解集错误 6. 实际范围漏筛解集：未考虑实际问题中自变量的取值限制（如非负、整数等），直接套用图象得出的解集，未剔除无效解 7. 根的存在性忽略：未先判断Δ的符号（方程是否有根），就盲目根据“两根之外/之间”求<0时无实数根，需直接根据a的符号判断不等式恒成立或恒不成立 8. 图象读取偏差：误将靠近x轴的图象当作对应不等号的解集区域，或漏看图象的分段区间，导致解集范围判断错误 【典例】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将将，代入抛物线中，再将抛物线的解析式化为顶点式，求出顶点坐标； （2）先由，得到，再将，，三点坐标代入表达式中，然后根据，转化为不等式求解，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得， ∴ ， ∴顶点坐标为． （2）∵， ∴， 将点，和分别代入表达式得， ， ， ， 又∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， 当时， ， ， ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 解不等式组①得： 解不等式组②得：无解． ∴ 同法可求，当时，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的综合应用，把化成顶点式，利用二次函数的性质求不等式的解集等知识，解题的关键是通过将点的坐标代入表达式，把问题转化为不等式求解． 【变式1】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【答案】(1) (2)或． 【分析】此题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把代入解析式，则有，利用对称轴即可求解； （2）根据，中横坐标与对称轴的距离，结合和分别讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， 整理得：， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）当时，抛物线开口向上． 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． ∵，且抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大， ∴，同时 解不等式组 解得； 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， 点到对称轴的距离． 点到对称轴的距离． 若，； ∵， ∴ ． 解得 ． 若，． ∴ ． 解得：， ∵， ∴不等式无解 ． ∴当时，的取值范围是； 综上，a的取值范围是或． 【变式2】（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与不等式，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． （1）由题意，根据，得出点关于直线对称，再由中点坐标公式可得解． （2）根据题意得到即在时恒成立，分两种情况当时，当时分别进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，，对称轴为直线 ∵， ∴点关于直线对称. ∴， ∵； （2）∵点是抛物线上的两个不同点． ∴，， ∵当时，都有 ∴即在时恒成立， 当时，不等式化简为， 则， 解得， ∴，解得， 当时，不等式化简为， 解得或， ∴，解得， ∴， 综上可知，的取值范围是或． 突破一 二次函数的图象与系数的关系 【典例】（2025·北京西城·）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练掌握二次函数图像与函数表达式之间的关系是解题的关键．根据二次函数图像的开口方向、对称轴、增减性、与坐标轴的交点以及图像所经过的点逐项判断即可； 【详解】解：∵该二次函数图像开口向上，对称轴在轴右侧，与轴的交于负半轴； ∴，， ∴；①正确； ∵该二次函数图像经过点， ∴该二次函数的对称轴为直线 ∴ 解得：；②正确 ∵ ∴ 由图像可知： ∴ 即：；③错误； ∵对于的任意值都有 ∴该抛物线与轴负半轴的交点的临界点为，此时抛物线开口最小，最大； ∵该二次函数的对称轴为直线 ∴，即： ∵二次函数图像经过点 ∴ ∴该二次函数的表达式可化为： 将代入得： 解得：，此时最大， ∴；④错误； ∵当变大时，抛物线的开口变小 ∴线段变短；⑤错误 综上，正确的有①②； 故答案为：①②． 【变式1】（2025·北京房山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线对称轴、函数的最值、抛物线与直线交点个数、等边三角形边与高的关系等知识点逐一判断即可． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴，即：①正确； ∵图象有最低点， ∴当时，最小； 当时，； ∴， 即：，即：②错误； ∵图象开口向上，与轴有两个交点， ∴直线与图象有两个交点即：关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，③正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴即：， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∵在的右侧， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴，即：④正确； 综上：①③④正确； 故答案为：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识点，关键是知识点的灵活应用． 【变式2】（2025·北京房山）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，掌握函数图象与x轴交点坐标的求法是解题的关键． 令，分别求出二次函数图象与一次函数图象与x轴的交点坐标，可知都经过点，即可求解． 【详解】解：令二次函数，得，解得，， 二次函数与x轴交点坐标为和， 令一次函数，得，解得， 一次函数与x轴交点坐标为， 二次函数与一次函数的一个交点为， 根据各选项图象，可知选项A符合题目要求． 故选：A． 突破二 二次函数的最值 【典例】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将，，代入化成顶点式即可直接得解； （2）由进而得到抛物线的对称轴为，分类讨论，和，再根据增减性和对称性求解即可； 本题主要考查了二次函数的顶点坐标、二次函数的增减性、二次函数的对称性以及二次函数与直线的交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：将，，代入，得， 顶点的横坐标为，代入纵坐标为 ∴顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为， ①当时，，则在对称轴右侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向上，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当有， 可得， 解得； ②当时，，则在对称轴左侧，其关于对称轴对称点为 ， ∵开口向下，在抛物线对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当有， 可得或， ， 解得； 综上，或； 【变式1】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，该抛物线的对称轴为直线，求解作答即可； （2）当时，，对称轴为直线，图象开口向上，可知当时，；当时，；当时，；由，可得，进而可得的取值范围； （3）由，可知当时，，即，由对称轴为直线，可得，且，可求；当时，，即，同理可求，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：当时，，对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时，； 当时，；当时，； ∵， ∴， ∴当时，的取值范围为； （3）解：∵， ∴当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，； 当时，，即， ∵对称轴为直线， ∴，且， 解得，， 综上所述，或． 【变式2】（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）利用抛物线的对称轴公式求得即可； （2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论； 【详解】（1）∵， ∴， ∴， 即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点关于直线的对称点的坐标是， ∴． ∴． ∵，抛物线开口向上， ∴当时，y随x增大而增大， ∴． 突破三 求x轴与抛物线的截线长 【典例】（2024·北京海淀）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为 ． 【答案】4 【分析】设顶点式，再解方程得，然后把B点和A点的横坐标相减得到AB的长度． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 当y=0时，，解得：， ∴， ∴ 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数与x轴交点问题，解题的关键是设出顶点式并解方程表示出A，B两点的坐标． 【变式】（2025·北京西城·）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）把代入，然后令求解即可； （2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出h的临界值即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 当时，， 解得， ∴， ∴物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点在直线上移动． 如图1，当与抛物线的交点在对称轴的右侧时，当时，不总有，故不符合题意； 如图2，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有， 把代入，得 ， 解得，即． 由，得 ， ∵与抛物线相切， ∴， 解得， ∴当时，总有，的取值范围是． 突破四 销售问题与二次函数 【典例】（2024·北京·模拟预测）某超市销售一种商品，成本是每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克元时，销售量为千克：当售价每千克元时，销售量为千克． (1)求月之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）并求当售价为多少时，利润为元． 【答案】(1)月之间的函数表达式为：； (2)与之间的函数表达式为；当售价为元或元时，利润为元． 【分析】（）直接利用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （）当时，求二次函数的自变量的值，即可得出答案． 【详解】（1）设，把，；，代入得： ， 解得， ∴月之间的函数表达式为：； （2）由题意得：， ， ， ∴当时，， ∴ ∴ ∴， 经检验，，均符合题意． 答：与之间的函数表达式为；当售价为元或元时，利润为元． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数及二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的在实际生活中的应用． 【变式】（2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 【答案】(1) (2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系． （1）当时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可； 当时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，． 即． 故答案为：； （2）当时，， 当时，，解得：（舍去）， 由（1）知，， 当时，， 解得：， 答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元． 突破五 图形问题与二次函数 【典例】（2024·北京海淀·模拟预测）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为 (1)是否存在的值，使得矩形的面积是； (2)为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)不存在的值，使得矩形的面积是； (2)当时，有最大值，最大值是 【分析】（1）设，由题意得，进而得，即可得到与的函数关系式，将数据代入即可判断； （2）将（1）中函数关系式进行变形即可判断； 【详解】（1）解：设，由题意得：， ∵， ∴， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 令得：， 化简得：， ∵， ∴方程无解， 答：不存在的值，使得矩形的面积是． （2）， ∴当时，有最大值，最大值是． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数关系式是解题的关键． 【变式】（2025·北京海淀·模拟预测）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．    下面是探究过程，请补充完整： (1)设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式为______； (2)确定自变量的取值范围是______； (3)列出与的几组对应值． … 1 … … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 … （说明：表格中相关数值均精确到0.1） (4)为观察与之间的关系，建立坐标系（图2），以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接它们； (5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______．（精确到0.1） 【答案】(1) (2) (3)3，2 (4)见解析 (5)0.6 【分析】（1）根据长方体的体积公式长宽高，进行计算即可得到答案； （2）根据盒子的长宽高为正数列出不等式组，求解即可得到答案； （3）分别计算出当时，当时，的值即可得到答案； （4）描点、连线，即可画出图象； （5）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 和的关系式为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 解得：， 自变量的取值范围是， 故答案为：； （3）解：当时，， 当时，， 故答案为：3，2； （4）解：画出图象如图所示： ； （5）解：由图可得：当时，盒子的体积最大，最大值约为， 故答案为：0.6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，求函数关系式、自变量的取值范围、画函数图象，解答此题的关键是采用数形结合的思想解题． 突破六 拱桥问题与二次函数 【典例】（2025·北京·一模）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)，37米 (2)6米 (3)该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由见详解 【分析】本题主要考查了抛物线的解析式，坡度的定义，通过解析式求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握抛物线图象的性质． （1）抛物线的对称轴是轴，因而解析式一定是的形式，根据条件可以求得抛物线上，的坐标分别是和，利用待定系数法即可求解； （2）根据坡度的定义，即垂直高度与水平宽度的比，即可求解； （3）在抛物线解析式中，令，得到的函数值与米，进行比较即可判断． 【详解】（1）解：设所在的抛物线的解析式， 由题意得，，代入抛物线解析式得， ， 解得 ， 所在的抛物线的解析式为， ，且， （米）， （米）； （2）解：，， ， （米）， 所以，AB的宽是6米； （3）解：该大型货车可以从桥下区域安全通过，理由如下： 在中，当时， ， ∴该大型货车可以从桥下区域安全通过． 【变式】（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)d，h (2)见解析 (3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【分析】（1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数； 故答案为：d，h； （2）解：描点，连线，画出图象如图： ； （3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88， 把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88， 令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2， 解得d3.3或d0.7， ∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． 突破七 投球问题与二次函数 【典例】（2025·北京门头沟·二模）射门是足球比赛的重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； (2)点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意找出顶点坐标，再利用待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）①由表格可知抛物线的顶点为，即得出抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值即可； ②令时，求出y的值，再与球门高比较即可． （2）依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，再把点和点分别代入，算出的值，即可作答． 【详解】（1）解：①由表格得：抛物线的顶点为，且过点， ∴， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； ②当时，， 解得：， ∴球不能射进球门； （2）解：依题意，小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 把点代入，得：， 解得（舍去）或， 即． 【变式】（2025·北京丰台·二模）某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 【答案】(1)1； (2)0.8，0.4； (3)上，0.2 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据水平距离与时间的关系为，结合表格中的数据求解即可； （2）利用待定系数法求出对应的抛物线解析式，再求出当时的函数值即可求出h的值；再求出时，x的值即可得到答案； （3）设平移后的抛物线解析式为，由题意得，抛物线经过点，利用待定系数法求出f的结果即可得到答案设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入到中得 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， ∴， 解得， ∴要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向上平移． 突破八 喷水问题与二次函数 【典例】（2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【答案】(1)②，① (2)①不能；理由见解析；② 【分析】本题考查了二次函数的实际应用， （1）由题意可知：顶点坐标，，利用待定系数法即可求出函数解析式为：，利用关于对称轴的对称点为：，可知下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到，求出下边缘抛物线为：； （2）①根据，将代入上边缘抛物线的函数解析式得出，即可求解； ②当点和点重合时，有最小值，此时；当上边缘抛物线过点时，有最大值，；所以． 【详解】（1）解：由题意可知：，故设上边缘抛物线的函数解析式为：， ∵， 将其代入可得：，解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为：， 解：∵关于对称轴的对称点为：， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4个单位得到， ∴下边缘抛物线为：， 故答案为：②，①． （2）①不能，理由如下， 依题意， 将代入上边缘抛物线的函数解析式得 ∴绿化带不全在喷头口的喷水区域内， ∴洒水车不能浇灌到整个绿化带； ②解：设灌溉车到绿化带的距离为， 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则当点和点重合时，有最小值，此时； 当上边缘抛物线过点时，有最大值， ，． 令，解得：或， 结合图像可知： 的最大值为：； ∴． 故答案为：． 【变式】（2025·北京海淀·模拟预测）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．      (1)在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是______m； ②求出与满足的函数解析式（）； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为； ②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”） 【答案】(1)①2.25；② (2) 【分析】（1）①根据当时，即可求解； ②根据待定系数法求解即可； （2）先求出调试①的抛物线解析式，然后令可求出求出，，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：①当时，， ∴水管的长度是2.25m； ②把，；，；，，分别代入， 得， 解得， ∴ （2）解∶∵不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m， ∴向上平移1个单位， ∴平移后的解析式为，即， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴， 对于， 当时， ， 解得，（不符合题意，舍去） ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 突破九 二次函数综合 【典例】（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 【变式1】（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点坐标公式，以及根据函数单调性结合点的位置来确定参数的取值范围． （1）将代入抛物线表达式，通过配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标； （2）先求出对应的函数值，再根据的正负性，结合二次函数单调性以及的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：（1）当时，抛物线为 ∴抛物线的顶点坐标为直线． （2）解：∵抛物线的对称轴为，对于，，分两种情况 ①若，∵抛物线的对称轴为， ∴点在对称轴的右侧 ∵抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时，y随x的增大而减小 ， ∴点N在对称轴右侧， ， ． ②若 抛物线开口向下， 当时，y随x的增大而减小 当时，y随x的增大而增大 抛物线的对称轴为， 点关于对称轴的对称点为 ， ， 即． 解不等式组得 综上所述，a的取值范围是或． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离； (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①求出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点，，且当时，总有，，结合图象，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，以及函数图象交点与一元二次方程的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）把代入，然后令求解即可； （2）①由顶点坐标可知，即可求出的值；②画出函数图象，结合图象求出的临界值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 当时，， 解得：， ， ∴抛物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）解：①∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴； ②∵抛物线顶点坐标为， ∴顶点在直线上移动． 如图 1，当 与抛物线的交点 在对称轴的右侧时，当 时，不总有 ，故不符合题意； 如图 2 ，当与抛物线的交点在对称轴上及对称轴的左侧，与抛物线相切时，当时，总有， 把代入，得， 解得，即． 且， 得， ∵与抛物线相切， ， 解得：， ∴当时，总有的取值范围是． 1．（2025·北京房山）将二次函数的图像向上平移2个单位，得到的函数图像的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移的法则，“上加下减”，向上平移时在函数值上加相应的单位即可． 【详解】解：∵将二次函数的图像向上平移2个单位， ∴新函数表达式为 ， 故选：A． 2．（2025·北京西城）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将二次函数通过配方法化为顶点式的形式，即可求解． 【详解】∵ ， ∴ 配方得：， ∴ 顶点坐标为， 故选：A． 3．（2025·北京）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，通过直接计算点A和点B的纵坐标，比较大小． 【详解】∵ 点在二次函数上， ∴， ∵ 点在二次函数上， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 4．（2025·北京海淀）已知抛物线，则下列说法中不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握这个性质是关键；通过二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、与y轴交点、增减性，逐一判断选项的正确性即可． 【详解】解：∵ 二次函数中，， ∴开口向上， 故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴公式，，， ∴，即对称轴为直线， 故选项B正确，不符合题意； ∵当时，， ∴与轴交于点， 故选项C正确，不符合题意； ∵开口向上，对称轴， ∴当时，随的增大而减小， 故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 5．（2025·北京海淀）如图，二次函数的图像经过点A，B，C．下面推断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值 C．当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根 D．直线经过点A，C，当时，的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与不等式的关系，二次函数的图像和性质，二次函数与一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 依据题意，结合函数图像，利用二次函数的对称性，以及函数图像与不等式和方程的关系逐项判断得出答案． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下，故A错误； ②若当时，取最大值，则对称轴应为直线， ∵点和点到的距离相等，这两点的纵坐标应该相等， 但是图中点和点纵坐标显然不相等，故B错误； ③当时，而点不是抛物线的顶点， 则当时，抛物线与直线有两个交点， 即关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根，故C是正确的； ④∵直线经过点，， ∴当时，的取值范围是或．从而D错误； 故选：C． 6．（2025·北京）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 0 1 3 5 7 0 7 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②拋物线的对称轴为直线； ③是关于的一元二次方程的一个根； ④若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是． 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据表格数据，利用二次函数的对称性求出对称轴，判断开口方向；利用对称性求方程根；根据开口方向和对称轴分析函数值大小与自变量取值范围的关系． 【详解】解：∵当和时，， ∴ 抛物线的对称轴为直线 ，故结论②错误． 由表格数据可知抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，又因当时，，可知抛物线开口向上， ∴结论①正确． ∵ 对称轴为直线， ∴ 和关于对称轴对称， 又 ∵ 当时，， ∴ 当 时，，即 ， ∴ ， 故 是方程 的一个根，结论③正确． ∵ 抛物线开口向上，且当和时，， ∴ 当 时， 或 ， 故结论④错误． 综上所述，正确结论为①③． 故选：A． 7．（2025·北京）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图， ∴抛物线对称轴且， ∴， ∴旋钮的旋转角度x在和之间，燃气灶烧开一壶水最节省燃气． 故选：B． 8．（2025·北京）二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像的对称性、二次函数的最值是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③正确；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，可得当时，，即可判断②正确；根据抛物线的对称性可知点在抛物线上，由抛物线开口向下，可得时，，即可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， ∵二次函数的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵最大值为， ∴， ∴，即，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②正确； ∵点在此抛物线上， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴关于x的不等式的解集是，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共个． 故选：D． 9．（2025·北京大兴）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的综合． 根据条件 可判断，由和，得，，结合对称轴直线的解析式，可判断，由二次函数的图象和性质，结合图象平移变换，可判断，由一元二次方程的根的判别式，可判断． 【详解】解：∵， ∴ 当时，， ∴抛物线过点， 故正确； ∵ 对称轴， 由和，得，， ∴， ∴， ∴， 故错误； 设 ， ∵ ， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线经过点，， ∴抛物线向上平移1个单位后，在对称轴右侧与的交点横坐标一定大于1， ∴关于x的一元二次方程必有一根大于1， 故正确； 方程 的判别式 ， 代入 ，得 ， 若 ，则 ，，但 即 ，矛盾， ∴ ， ∴关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 故正确， 综上，正确结论为． 故选：B． 10．（2025·北京）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230；45 (2) (3)能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式、正确理解题意是解题的关键． （1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离，根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； 当和当时的函数值相同，对称轴为直线， 当时的函数值与当的函数值相同， ∴， 故答案为：230；45； （2）解：设， 把代入 中，得， 解得：， 则满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时， 则此时抛物线解析式为， 当时， 解得或（舍去）， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上， 故答案为：能． 11．（2025·北京）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 【答案】(1)0.88 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． 【详解】（1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 1．（2025·北京房山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ． 【答案】 或或 【分析】（1）令，代入抛物线求解可得点C的坐标； （2）分情况讨论，当、、分别为平行四边形的对角线时，根据平行四边形对角线互相平分列方程求解即可． 本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用平行四边形对角线互相平分列方程是解题的关键． 【详解】解：（1）令，解得， 故点C的坐标为； （2）令，解得或， 故点B的坐标为； ∵， ∴设点，； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 此时点； 综上，点P的坐标为或或． 2．（2025·北京）二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若点在二次函数的图象上，则关于的不等式的解集是．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数与不等式（组，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，掌握二次函数与方程及不等式的关系是解答本题的关键．由抛物线对称轴为直线可得与的数量关系，从而判断①；由抛物线与轴的交点范围及抛物线的对称性可判断②；由抛物线顶点纵坐标为3可判断③；由抛物线经过，可判断④． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ，即， 故①正确； 抛物线与轴的一个交点在点和点之间，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一交点在，之间， 时，， 故②正确； 抛物线顶点纵坐标为3， ， 整理得，即， 抛物线开口向下， ，， ， ， 故③正确； 在抛物线上，对称轴是直线， 也在抛物线上， 的两个根分别是，1， 抛物线开口向下， 关于的不等式的解集是， 故④正确， 故答案为：①②③④． 3．（2025·北京海淀）某商店销售一种进价为40元千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法 售价（元千克） 50 60 70 80 … 月销售量（千克） 250 240 230 220 … 下面有4种说法： ①与之间的函数关系式为 ②当月销售利润为7296元时，售价为72元千克 ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 其中所有正确说法的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题是函数与方程的应用的综合，涉及一次函数、二次函数，解一元二次方程等知识，掌握相关函数与方程的知识是关键；通过给定数据点求一次函数解析式，判断①正确；根据利润函数解方程，利润为7296元时售价有两个值，判断②错误；在总进价限制下求最大利润，判断③错误；由利润函数顶点求最高利润，判断④正确． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为， 将点和代入，得方程组， 解得， 因此， 故①正确； 月销售利润， 当时，即， 整理得， 解得， 因此售价为72元/千克或268元/千克， 故②错误； 每月总进价不超过5000元，则购进量千克， 即， 解得； ， 当时，w随x增大而减小，在时， w最大值为， 故③错误； ，当时，w取最大值16900元， 故④正确； 故答案为①④． 4．（2025·北京西城）在平面直角坐标系中，抛物线 (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； ②已知和是抛物线上的两点．若，当，时，则的最大值是______； (2)若抛物线经过点，已知和是抛物线上的两点，对任意，，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①先将点代入抛物线的解析式可得，再将抛物线的解析式化成顶点式，由此即可得； ②先求出抛物线的解析式，再根据二次函数的增减性求出的取值范围，由此即可得； （2）先求出，再分两种情况：①当时，结合二次函数的增减性求出的最小值，的最大值，建立一元一次不等式，解不等式即可得；②当时，根据当时的值与当时的值也满足，由此即可得． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ②∵， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵和是抛物线上的两点，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∴在内，当时，取得最小值4；在内，当或时，取得最大值，即的最大值为或1， 又∵， ∴要使得当，时，都有，则需， 解得，符合题设； ②当时， ∵当，时，都有， ∴当时的值与当时的值也满足，即， 解得，与题设不符，舍去； 综上，的取值范围是． 5．（2025·北京）若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 【答案】(1)是 (2)、或 (3)①；②的长度最大值为 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数表达式的转换和图像与性质的掌握是解题的关键． （1）根据函数表达式，进行运算，看两抛物线是否满足“孪生抛物线”即可： （2）根据“孪生抛物线”的性质，对顶点位置在轴上或轴上进行分类讨论，计算得出满足条件的抛物线即可； （3）① 根据“孪生抛物线”的性质，即表达式中的值互为相反数，得出的取值；②用未知数表示两点的坐标，判断出纵坐标的大小，计算长度，得出长度表达式后进行求值． 【详解】（1）解：抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 抛物线，即顶点坐标为， 当时，， 即点经过抛物线； 故抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点， 所以抛物线与互为“孪生抛物线”． （2）解：抛物线，即顶点坐标为， 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得，或， 故函数表达式为或； 当其“孪生抛物线”顶点在轴上时，假设其表达式为， 易知，其经过点， 故当时，，解得， 故函数表达式为； 综上，函数抛物线的“孪生抛物线”为、或． （3）解：①由于“孪生抛物线”的表达式中的值互为相反数， 故，解得． ②由于，代入抛物线表达式得，， 由于平行于轴，故点、的横坐标相同， 假设其横坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 点、位于两顶点之间，易判断点在高处， 故线段的长度为， 抛物线的顶点横坐标为， 抛物线的顶点横坐标为， 故的取值范围为， 而在取值范围内， 故． 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【答案】(1)y关于x的函数是二次函数，； (2)． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令和时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：观察上述各点的分布规律， y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为， 将，，代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴种子自然发芽率为35， ∴当时，， 解得，， 当时，， 解得（舍去），， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】(1)点的坐标为，的值分别为 (2)①见解析②或 (3) 【分析】本题考查二次函数的图像综合问题，二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数，平行线的性质，相似三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先求出，，再分别代入，列出二元一次方程组，即可解答． （2）①设直线的解析式为，将，分别代入，得直线的解析式为，设点E的坐标为，求出，设，，则，，即可解答． ②当时，，当时，，再分类讨论，即可解答． （3）易得，当时，取得最小值为，解出；当时，函数的最大值为，解得；当时，，解得，或（舍去），，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴， 将代入，得， ∴， 将，分别代入，得 ， 解得． 答：点的坐标为，的值分别为． （2）①证明：如图， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点E的坐标为 ∵， ∴， 将代入得， 将代入，得， ∴， ， ∴ ②如图 当时，， ∴， ∴， 即，解得． 当时，， ∴， ∴， 即，解得， ∴或． （3）∵次函数与二次函数组成新函数， ∴， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大．且当时，取得最小值． ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴当时，取得最小值为，即， 解得． ∵时，函数的最大值为， ∴当时，函数的最大值为，即， 解得； 当时，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 解得，． 3．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于的解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 5．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （4）根据题意得，，令，解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点， 得， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 函数及其图象 第12讲 二次函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 4 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 二次函数的定义与解析式 题型01 根据二次函数的定义求参数 命题点二 二次函数的图像与性质 题型01二次函数一般式的图像和性质 题型02 顶点式的图像和性质 命题点三 二次函数的图像变换 题型01 二次函数图像的平移 提醒02 二次函数的对称 命题点四 二次函数解析式的求法 题型01 待定系数法求二次函数解析式 题型02 设顶点式求解析式 命题点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题型01 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型02 图像法确定一元二次方程的近似根 题型03 二次函数与不等式 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 二次函数的图像与系数的关系 突破二 二次函数的最值 突破三 求x轴与抛物线的截线长 突破四 销售问题与二次函数 突破五 图形问题与二次函数 突破六 拱桥问题与二次函数 突破七 投球问题与二次函数 突破八 喷水问题与二次函数 突破九 二次函数综合 06·优题精选·练能提分 34 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次函数的概念与解析式 / / 北京卷T26（二次函数解析式） 理解二次函数的概念，能根据已知条件确定二次函数的解析式 二次函数的图像与性质 北京卷T26（二次函数对称性） / 北京卷T26（二次函数增减性） 通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数的顶点、开口方向与解析式中系数的关系 二次函数与方程、不等式的关系 北京卷T26（二次函数与不等式） / / 体会二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系 二次函数图像的平移与变换 / / / 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为顶点式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴 命题预测 1. 二次函数图像的顶点坐标、对称轴、增减性及最值问题；2. 二次函数与一元二次方程根的判别式结合，判断方程根的情况；3. 二次函数与不等式结合，求解参数范围或比较函数值大小 考点一 二次函数的定义与解析式 1. 二次函数的定义 一般地，形如 （、、 为常数，且 ） 的函数，叫做二次函数。 自变量 的最高次数为 2，这是判断二次函数的核心依据； 二次项系数 （若 ，则函数退化为一次函数或常数函数）； 一次项系数 和常数项 可以为任意实数（包括 0）。 2. 解析式的三种核心形式（中考必考，需灵活选择） 解析式形式 表达式 核心特征 适用场景 一般式 （） 包含三个待定系数 、、 已知图像上任意三个点的坐标 顶点式 （） 直接体现顶点坐标 已知顶点坐标或对称轴及一个点 交点式 （） 直接体现与x轴的交点 、 已知与x轴的两个交点及一个点 3. 三种形式的转化 一般式转顶点式：通过配方法，，顶点坐标为 ； 交点式转一般式：展开多项式即可； 顶点式转一般式：展开完全平方公式即可。 易错点提示 忽略 的条件，误将 或 当作二次函数； 选择解析式形式不当，如已知顶点坐标却用一般式，增加计算量； 配方法转化时符号错误，如将 配成 后，忘记减去 。 1．（2025·北京大兴·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①扇形的圆心角一定，面积S与半径r； ②用长度为20的线绳围成一个矩形，矩形的面积S与一边长； ③汽车在高速公路上匀速行驶，行驶路程s与行驶时间t． 其中，两个变量之间的函数关系可以利用二次函数表示的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（2025·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024·北京·二模）如图，某小区有一块三角形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点P，M，N分别在边上．记，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 考点二 二次函数的图像与性质 1. 图像形状 二次函数的图像是抛物线，具有对称性，对称轴为直线 （顶点式）或 （一般式）。 2. 系数 、、 的几何意义（中考选择/填空必考） （1）二次项系数 开口方向： 时，抛物线开口 向上； 时，开口 向下； 开口大小： 越大，抛物线开口越 小； 越小，开口越 大； 最值： 时，函数有 最小值，最小值为顶点纵坐标； 时，函数有 最大值，最大值为顶点纵坐标。 （2）一次项系数 （与 共同决定对称轴位置） 对称轴公式：直线 ； 符号规律：“左同右异” 当 、 同号时，，对称轴在 y轴左侧； 当 、 异号时，，对称轴在 y轴右侧； 当 时，，对称轴为 y轴（直线 ）。 （3）常数项 抛物线与 y轴的交点坐标：令 ，得 ，交点为 ； 符号规律： 时，交点在y轴 正半轴； 时，交点为 原点； 时，交点在y轴 负半轴。 （4）系数组合的意义（，判别式） 决定抛物线与 x轴的交点个数： ：抛物线与x轴有 两个不同的交点； ：抛物线与x轴有 一个交点（顶点在x轴上）； ：抛物线与x轴 无交点。 3. 二次函数的增减性（中考必考，需结合对称轴讨论） 核心前提：以对称轴为界，左右增减性相反 当 时： 在对称轴 左侧（），y 随 x 的增大而 减小； 在对称轴 右侧（），y 随 x 的增大而 增大。 当 时： 在对称轴 左侧（），y 随 x 的增大而 增大； 在对称轴 右侧（），y 随 x 的增大而 减小。 4. 抛物线的特殊点与对称轴 顶点：抛物线的最高点或最低点，坐标为 （一般式）或 （顶点式）； 对称点：若点 和点 在抛物线上，则两点关于对称轴对称，对称轴为直线 ； 与x轴交点：当 时，交点横坐标为方程 的两个根 、，且满足 韦达定理：，（北京中考综合题常用）。 易错点提示 判断对称轴位置时，忽略“左同右异”的前提是 的符号，单独根据 的符号判断； 讨论增减性时，遗漏“以对称轴为界”的前提，跨对称轴判断增减性； 混淆判别式 的作用，误将 认为是抛物线与x轴无交点。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，，在抛物线上，且，求的取值范围． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求拋物线的对称轴； (2)已知和是抛物线上的两点．若对于，，都有，求的取值范围． 3．（2024·北京昌平）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)当时，求抛物线的对称轴； (2)若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围． 考点三 二次函数的图像变换 二次函数的图像变换包括平移、对称、旋转，核心是顶点的变换，解析式的变化可通过顶点式快速推导。 1. 平移变换（核心口诀：“左加右减，上加下减”，针对顶点式） 设原抛物线为 （），平移后抛物线的形状不变（ 不变），仅顶点位置改变。 左右平移（针对自变量 ）： 向右平移 个单位（）：； 向左平移 个单位（）：。 上下平移（针对函数值 ）： 向上平移 个单位（）：； 向下平移 个单位（）：。 拓展：一般式的平移 需先将一般式转化为顶点式，按顶点式规律平移后，再转化回一般式。 2. 对称变换（解析式变化规律，中考常考） 设原抛物线为 （），对称后抛物线的 不变，开口方向可能改变。 关于x轴对称： 顶点关于x轴对称，开口方向相反，解析式为 ； 关于y轴对称： 顶点关于y轴对称，开口方向不变，解析式为 ； 关于原点对称： 顶点关于原点对称，开口方向相反，解析式为 ； 关于顶点对称（旋转180°）： 顶点不变，开口方向相反，解析式为 （顶点式）。 3. 旋转变换（中考偶尔考查，主要是绕顶点旋转180°） 绕顶点旋转180°：开口方向相反，顶点坐标不变，解析式为 ； 绕原点旋转180°：与关于原点对称的规律一致。 易错点提示 平移时混淆“左加右减”的对象，对一般式直接进行平移，未转化为顶点式； 对称变换时，遗漏开口方向的改变（如关于x轴对称时，未改变 的符号）； 旋转180°时，误将顶点坐标也进行旋转。 1．（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线．点在抛物线上，点在抛物线上． (1)当时，比较和的大小，并说明理由； (2)若对于，都有，求的取值范围． 2．（2025·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①求该抛物线的对称轴； ②点和是抛物线上的两点，直接写出m和n的大小关系； (2)如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求a的取值范围． 3．（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在抛物线上． (1)求的值； (2)将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，且总有，求的取值范围． 考点四 二次函数解析式的求法 核心方法是待定系数法，关键在于根据已知条件选择合适的解析式形式，减少计算量。 1. 已知三个点的坐标（无特殊条件） 选择一般式：（）； 步骤：将三个点的坐标代入，得到关于 、、 的三元一次方程组，解方程组即可。 2. 已知顶点坐标或对称轴 选择顶点式：（）； 步骤：将顶点坐标 代入，再代入另一个点的坐标，求出 的值。 3. 已知与x轴的两个交点坐标 选择交点式：（）； 步骤：将两个交点坐标 、 代入，再代入另一个点的坐标，求出 的值。 4. 已知抛物线的最值或增减性 优先选择顶点式，利用顶点纵坐标为最值，对称轴为增减性的分界点求解。 易错点提示 选择解析式形式不当，导致计算复杂或出错； 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒； 解三元一次方程组时计算错误。 1．（2024·北京朝阳·模拟预测）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2图象经过点P（﹣1，1）． (1)求a的值和图象的顶点坐标； (2)若点Q（m，n）在该二次函数图象上，当﹣1≤m＜4时，请根据图象直接写出n的取值范围． 2．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，抛物线． (1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式； (2)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，求b的取值范围． 3．（2024·贵州遵义·一模）已知点在抛物线（a为常数，）上． (1)若，， ①求抛物线的解析式； ②若点，在该二次函数的图象上，且点A在对称轴左侧、点B在对称轴右侧，若，求t的取值范围； (2)若时，总有，且当时总有，求a的值． 考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系 抛物线 与x轴的交点横坐标，就是一元二次方程 的根； 判别式 的作用： ：方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点； ：方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）； ：方程无实数根，抛物线与x轴无交点。 2. 二次函数与一元二次不等式的关系 当 时： 的解集：抛物线在x轴 上方 部分对应的x的取值范围（ 或 ）； 的解集：抛物线在x轴 下方 部分对应的x的取值范围（）。 当 时： 的解集：抛物线在x轴 上方 部分对应的x的取值范围（）； 的解集：抛物线在x轴 下方 部分对应的x的取值范围（ 或 ）。 3. 二次函数与一次函数的交点问题 联立二次函数与一次函数的解析式，组成方程组： 方程组的解即为两个函数图像的交点坐标； 消去 得到一元二次方程 ，其判别式决定交点个数： ：两个交点； ：一个交点（相切）； ：无交点。 易错点提示 解一元二次不等式时，忽略 的符号对解集方向的影响； 求两个函数交点时，消元后计算错误，导致判别式出错； 混淆“抛物线与x轴的交点”和“两个函数的交点”的判别式应用。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)若为抛物线上一点，求的值； (2)若存在，使得，求的取值范围． 2．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两个点，且总成立，求的取值范围． 3．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)写出抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若点，抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围； (3)是抛物线上两点，若，直接写出取值范围． 命题点一 二次函数的定义 ►题型01 根据二次函数的定义求参数 1. 忽略a≠0核心限制：仅满足x最高次数为2，未排除二次项系数a=0的情况（a=0时为一次/常数函数，非二次函数） 2. 函数形式误判：混淆二次函数（y=ax²+bx+c，a≠0）与一次函数、正比例函数，或误将含x³等更高次项的式子当作二次函数 3. 参数多重条件漏解：未同时满足“x最高次数为2”和“a≠0”双重要求，仅单一条件求解导致参数范围出错 4. 含参解析式整理失误：展开、合并同类项时计算错误，误判x的次数或二次项系数a的表达式 【典例】（2025·北京昌平）已知是关于的二次函数，则值是 ． 【变式1】（2025·北京西城）若函数是二次函数，则 ． 【变式2】（2024·北京）在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． (1)若，，直接比较m与n的大小关系：m______n以（填“”，“”，“”）； (2)若存在，使得，求b的取值范围． 命题点二 一次函数的图像与性质 题型01 二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1. a的符号混淆：记反a>0（开口向上）、a<0（开口向下）的对应关系，或误判增减性、最值类型 2. 对称轴计算错误：记错对称轴公式，出现符号颠倒（如写成）或分子分母混淆 3. 顶点坐标失误：顶点纵坐标计算错误，或未通过对称轴横坐标代入解析式求纵坐标 4. 增减性前提遗漏：跨对称轴判断增减性，忽略“对称轴左侧/右侧”的分段要求 5. 与坐标轴交点误判：与y轴交点记为需解方程（实际为(0,c)），或与x轴交点忽略判别式Δ=b²-4ac的取值条件 6. 最值类型记反：混淆a的符号与最值的关系（a>0有最小值，a<0有最大值），或误将最值点当作与x轴交点 【典例】（2023·北京海淀·模拟预测）下面的四个选项中都有两个变量，其中变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（        ）    A．圆的面积y与它的半径x B．正方形的周长y与它的边长x C．小丽从家骑车去学校，路程一定时，匀速骑行中所用时间y与平均速度x D．用长度一定的铁丝围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x 【变式1】对于一个函数：当自变量取时，其函数值也等于，我们称为这个函数的不动点．若二次函数（为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 题型02 顶点式的图像和性质 1. 顶点坐标误读：混淆顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）中顶点坐标为(h,k)，误写成(-h,k)或(h,-k) 2. 对称轴记忆错误：记错顶点式对称轴为x=h，误写成x=-h，或与一般式对称轴公式混淆 3. a的符号关联失误：记反a>0（开口向上）、a<0（开口向下）与增减性、最值类型的对应关系 4. 增减性前提遗漏：跨对称轴x=h判断增减性，忽略“对称轴<h，右侧（x>h）”的分段要求 5. 顶点式变形错误：将顶点式展开为一般式时去括号、合并同类项失误，或由一般式配方法化顶点式时符号出错 6. h/k的几何意义混淆：误判h（对称轴左右平移）、k（图象上下平移）对图象位置的影响，或平移规律记反 7. 忽略a≠0前提：未排除a=0的情况，误将常数函数当作二次函数分析顶点、开口等性质 【典例】（2025·北京海淀）抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【变式1】（2024·北京门头沟）一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列关于二次函数的图象和性质的说法，正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点 命题点三 二次函数的图像变换 题型01 二次函数图象的平移 平移规律记反：顶点式中，混淆“左加右减（针对）、上加下减（针对）”，误写为“左减右加”或“上减下加” 平移对象混淆：未将一般式先配方为顶点式，直接对²的或进行加减平移，导致解析式错误 符号处理失误：顶点式平移时，括号内的符号变化出错（如向左平移个单位，误将写为 忽略不变前提：平移不改变开口方向和大小，误在平移后修改二次项系数的取值 平移距离误判：混淆“图象平移距离”与“顶点平移距离”，或跨坐标轴方向计算平移距离时出错 点与图象平移混淆：将“图象的平移规律”与“平面内点的平移规律”（左减右加、上加下减）弄反，导致方向错误 【典例】（2025·北京）将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【变式1】（2025·北京）把抛物线向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为 ． 【变式2】（2025·北京西城）在平面直角坐标系中，点是抛物线的顶点． (1)求点的坐标（用含有的代数式表示）； (2)若，且对于该抛物线上的两点，，当，时，均满足，求的取值范围； (3)将点向右平移个单位得到点，若抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围． 题型02 二次函数的对称 1. 对称规律记混：混淆关于x轴、y轴、原点、对称轴（自身）的解析式变换规则，如误将“关于x轴对称时a变号、b变号、c变号”记为“a不变” 2. a的符号/绝对值失误：对称后误改a的绝对值（平移、对称不改变开口大小，a绝对值不变），或记反x轴/原点对称时a的符号方向 3. 顶点坐标变换错误：顶点式y=a(x-h)2+k对称时，误算顶点(h,k)的对称坐标（如关于原点对称误写为(h,-k)，而非(-h,-k) 4. 混淆“图象对称”与“点关于图象对称”：误将“函数图象自身对称”（如关于对称轴）与“点关于二次函数图象的对称点”规则等同，导致计算偏差 5. 漏验证对称有效性：未通过原函数上点的对称点代入新解析式验证，直接套用规律导致错误 6. 忽略对称轴自身对称特性：误将二次函数关于自身对称轴的对称图象当作新函数，实则图象不变，无需变换解析式 7. 含参对称多条件漏解：结合a的符号、顶点位置等条件时，未综合对称规则与二次函数定义（a≠0）求参数范围 【典例】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，对称轴为直线 (1)若求的值； (2)已知点，在该抛物线上，且比较的大小，并说明理由． 【变式1】（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 【变式】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，，是抛物线上的三个点．若对于，，，都有，求的取值范围． 命题点四 二次函数解析式的求法 题型01 待定系数法求二次函数解析式 1. 忽略a≠0前提：求出参数后未检验二次项系数a≠0，导致解析式沦为一次函数 2. 解析式形式选错：已知顶点却误用一般式（增加计算量易出错），已知与x轴交点却不用交点式，或交点式中误将“x=x₁”“x=x₂”写成“x+x₁”“x+x₂” 3. 点坐标代入失误：横纵坐标颠倒代入，或代入时符号处理错误（如负坐标未加括号） 4. 参数求解条件不足：用一般式（y=ax²+bx+c）时仅用2个点求3个参数，漏用顶点、对称轴、与坐标轴交点等隐含条件 5. 顶点式符号错误：顶点式y=a(x-h)²+k中，误将顶点(h,k)的负坐标直接代入（如顶点(-2,3)误写为a(x-2)²+3） 6. 交点式应用错误：混淆与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)与交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)的对应关系，或漏求a的值 7. 计算与检验缺失：解参数方程组时移项、系数化1出错，或求出解析式后未代入已知点验证正确性 【典例】（2025·北京西城）已知二次函数满足条件：①有最小值；②它的图象经过点，写出一个满足上述所有条件的二次函数的解析式 ． 【变式1】（2025·北京朝阳）写出一个满足与抛物线开口方向相同，且过点的抛物线的表达式： ． 【变式2】（2025·北京）平面直角坐标系中，已知二次函数的图象过点两点，下面有四个判断： ①若该二次函数图象过点，则该二次函数有最大值； ②若该二次函数图象过点，则当时，函数随增大而增大； ③若该二次函数图象过点，则； ④若该二次函数图象开口向上，且，则． 所有合理推论的序号是 ． 题型02 设顶点式求表达式 1. 顶点坐标符号错误：顶点式y=a(x-h)2+k中，误将顶点(h,k)的横坐标符号直接代入，如顶点(-m,n)错写为a(x-m)2+n（正确应为a(x+m)2+n） 2. 漏求系数a：仅设出顶点式形式，未将已知点（非顶点）代入解析式求解a，导致解析式含未知参数 3. 忽略a≠0前提：求出a的值后未检验，若a=0则为一次/常数函数，不符合二次函数定义 4. 隐含条件未转化：已知对称轴x=h或最值k，却未将其对应到顶点式的h、k，仍错误设为一般式求解 5. 点坐标代入失误：代入已知点求a时，横纵坐标颠倒，或对含负坐标的点计算时符号处理错误 6. 顶点式变形错误：将顶点式展开验证时，去括号、合并同类项出错，或误将顶点式与交点式形式混淆 【典例】（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线上有两点． (1)对于，有，求该抛物线的顶点坐标； (2)对于任意实数，若，都有，求的值． 【变式】（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)和是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围． 命题点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 题型01 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1. 判别式与交点关系记反：混淆Δ=b²-4ac的符号与根的个数对应关系（Δ>0→2个不等实根→2个x轴交点；Δ=0→2个相等实根→1个x轴交点<0→无实根→无x轴交点） 2. “重根”概念误解：将Δ=0时的“两个相等实根”误表述为“一个根”，忽略二次方程根的个数定义（恒有两个根，含相等情况） 3. a的符号干扰判断：误将开口方向（a的符号）与根的存在性关联，实则根的情况仅由Δ决定，与a的符号无关 4. 忽略a≠0前提：未确认二次项系数a≠0，若a=0则为一次方程，无“判别式”可言，不能用二次函数图象的x轴交点判断根的情况 5. 实际范围漏筛根：未结合实际问题中自变量的取值限制，误将超出范围的x轴交点当作有效根 6. 混淆“函数交点”与“方程根”：误将二次函数与其他函数的交点当作对应一元二次方程的根，实则仅与x轴的交点才对应方程的根 7. 图象读取误差：误判x轴交点的存在性（如将靠近x轴的图象当作与x轴相交），或漏看交点的个数 【典例】（2025·北京专题）二次函数的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是 ． 【变式1】（2025·北京）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，若关于的方程无实数根，则的取值范围是 ． 【变式2】（2025·北京海淀）二次函数的部分图象和对称轴如图所示． (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围； (3)若方程总有两个正实数根，直接写出k的取值范围． 题型02 图象法确定一元二次方程的近似根 1. 精度把控失误：未用“逐步缩小区间范围”的方法（如二分法思路）细化近似值，直接根据单次图象读取估计，忽略误差控制 2. 图象读取误判：将函数图象“靠近x轴”误判为“与x轴相交”，或漏看图象的多个x轴交点，导致漏根或误判根的个数 3. 顶点概念混淆：误将顶点横坐标当作近似根，忽略顶点处函数值是否为0（仅Δ=0时，顶点横坐标才是方程的精确根） 4. 坐标对应错误：用二次函数与其他函数的交点求根时，误将交点的纵坐标当作近似根，而非对应方程根的横坐标 5. 验证环节缺失：求出近似根后，未代入原方程或二次函数验证函数值是否接近0，导致错误的近似值未被发现 【典例】（2024·北京海淀·一模）数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系． 具体研究过程如下，请补充完整： （1）建立模型：设该容器的表面积为S，底面半径为cm，高为cm，则 ，    ① ，    ② 由①式得，代入②式得 ．    ③ 可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是． （2）探究函数： 根据函数解析式③，按照下表中自变量x的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值： … 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 … … 666 454 355 303 277 266 266 274 289 310 336 … 在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象； （3）解决问题：根据图表回答， ①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）； ②若容器的表面积为300，容器底面半径约为______cm（精确到0.1）． 【变式1】（2025·北京昌平）如图，现有8m长篱笆和一段墙，围成区域为等腰时面积为，围成区域为矩形时面积为，其中，统计数据如下表所示： … 0.5 1 2 3 4 4.5 5 7 7.5 … … 0.998 1.984 3.873 5.562 6.928 7.441 7.806 6.778 5.220 … … 1.875 3.5 6 7.5 8 7.875 7.5 1.875 … (1)表格中______； (2)在平面直角坐标系中，已经绘制的图象和图象上的部分点，补全的图象； (3)根据图象，完成下列填空： ①当______时，； ②当______时，． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）如图，菱形中，，，点为对角线上一动点，过点作于点，连接．若，，，当点与点，重合时，．下表给出了，，的一些数据（近似值精确到0.01） (1)补全表格； (2)在同一平面直角坐标系中描出了部分点，．请补全表格中数据的对应点，并分别画出与关于的函数图象； (3)结合函数图象，解决下列问题：（结果均精确到0.1） ①当时，的值约为_________； ②过点作于点，当时，的长度约为_________． 题型03 二次函数与不等式 1. 图象与不等号对应错误：混淆“y>0（x轴上方图象对应的x范围）、y<0（x轴下方图象对应的x范围）”，或误将“y≥0”漏算x轴交点（临界点） 2. 解集边界判断失误：忽略不等式“等号”对应二次函数与x轴的交点（方程的根），导致解集少含或多含边界值（如ax²+bx+c≥0漏算x=x₁、x=x₂） 3. 跨对称轴判断解集：未以对称轴为界分段分析函数值正负，跨对称轴直接套用单一区间的规律（如a>0时，误将“x>h（对称轴）y随x增大而增大”等同于“x>h时y>0”） 4. a的符号影响遗漏：未结合a的符号确定解集方向（a>0时，y>0的解集在两根之外；a<0时在两根之间），错用统一规律导致解集完全相反 5. 多函数比较解集误判：二次函数与其他函数（如一次函数）比较大小时，误判两函数交点两侧的函数值大小关系，导致不等式解集错误 6. 实际范围漏筛解集：未考虑实际问题中自变量的取值限制（如非负、整数等），直接套用图象得出的解集，未剔除无效解 7. 根的存在性忽略：未先判断Δ的符号（方程是否有根），就盲目根据“两根之外/之间”求<0时无实数根，需直接根据a的符号判断不等式恒成立或恒不成立 8. 图象读取偏差：误将靠近x轴的图象当作对应不等号的解集区域，或漏看图象的分段区间，导致解集范围判断错误 【典例】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数，）． (1)当，时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知点，和都在抛物线上，如果对于，，都有，求的取值范围． 【变式1】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点，在抛物线上．若，求a的取值范围 【变式2】（2025·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，点是抛物线上的两个不同点． (1)当时，有，求的值； (2)当时，都有，求的取值范围． 突破一 二次函数的图象与系数的关系 【典例】（2025·北京西城·）如图是二次函数的图象，直线（）与抛物线交于，两点，，两点横坐标分别为，，根据函数图象信息有下列结论： ①；②；③； ④若对于的任意值都有，则； ⑤当为定值时，若变大，则线段变长；其中正确的结论是 ． 【变式1】（2025·北京房山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点和点，顶点为，给出下面四个结论： ①； ②（为任意实数）； ③关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ④连接，，若是等边三角形，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【变式2】（2025·北京房山）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 突破二 二次函数的最值 【典例】（2025·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，b为常数且）． (1)若，，求抛物线的顶点坐标； (2)已知，和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【变式1】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）； (2)若，当时，求的取值范围； (3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围． 【变式2】（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，抛物线()的对称轴为． (1)若，求t的值； (2)已知点，，在该抛物线上．若，且，比较，，的大小，并说明理由． 突破三 求x轴与抛物线的截线长 【典例】（2024·北京海淀）若抛物线与x轴交于A，B两点，其顶点C到x轴距离是8，则线段AB的长为 ． 【变式】（2025·北京西城·）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离． (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①直接写出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点和，且当时，总有．结合图象，求的取值范围． 突破四 销售问题与二次函数 【典例】（2024·北京·模拟预测）某超市销售一种商品，成本是每千克元，规定每千克售价不低于成本，且不高于元，经市场调查，每天的销售量（千克）与每千克售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克元时，销售量为千克：当售价每千克元时，销售量为千克． (1)求月之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为（元），求与之间的函数表达式（利润收入成本）并求当售价为多少时，利润为元． 【变式】（2024·北京石景山·二模）一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 突破五 图形问题与二次函数 【典例】（2024·北京海淀·模拟预测）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为 (1)是否存在的值，使得矩形的面积是； (2)为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【变式】（2025·北京海淀·模拟预测）数学活动课上，老师提出问题：如图1，有一张长，宽的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大．    下面是探究过程，请补充完整： (1)设小正方形的边长为，体积为，根据长方体的体积公式得到和的关系式为______； (2)确定自变量的取值范围是______； (3)列出与的几组对应值． … 1 … … 1.3 2.2 2.7 3.0 2.8 2.5 1.5 0.9 … （说明：表格中相关数值均精确到0.1） (4)为观察与之间的关系，建立坐标系（图2），以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接它们； (5)结合画出的函数图象，解决问题：要使得长方体盒子的体积最大，小正方形的边长约为______．（精确到0.1） 突破六 拱桥问题与二次函数 【典例】（2025·北京·一模）某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为8米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为15米，线段和为两段对称的上桥斜坡，其坡度（即垂直高度与水平宽度的比）为．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，直接写出宽的长度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【变式】（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表． d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.88 在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题： ①桥墩露出水面的高度AE为_______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米） 突破七 投球问题与二次函数 【典例】（2025·北京门头沟·二模）射门是足球比赛的重要得分手段，运动员踢出的足球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，足球在空中的飞行过程中，足球距离地面的竖直高度（单位：米）与距离球门的水平距离（单位：米）近似满足函数关系． (1)小明第一次射门时，记录了水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离/米 1 2 3 4 5 6 竖直高度/米 3 根据上述数据，回答下列问题： ①求函数关系式； ②如果球门高米，在没有守门员情况下，判断该球______（填“能”或“不能”）射进球门（忽略足球大小及其它因素影响）； (2)点为上一点，米，现在小明从原有位置带球向正后方移动米再射门，如果足球在空中飞行路线的形状与最大高度均保持不变，当足球射进区域（含点和）时，忽略足球大小及其它因素的影响，直接写出的取值范围． 【变式】（2025·北京丰台·二模）某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直线高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 突破八 喷水问题与二次函数 【典例】（2024·北京大兴·一模）某洒水车为绿化带浇水，图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的．喷水口距地面的竖直高度为，喷水区域的上、下边缘与地面交于，两点，上边缘抛物线的最高点恰好在点的正上方，已知，，．建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)在①，②两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为______，下边缘抛物线的表达式为______（把表达式的序号填在对应横线上）； (2)如图3，洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶，绿化带的横截面可以看作矩形，水平宽度，竖直高度．如图，为喷水口距绿化带底部的最近水平距离（单位：）．若矩形在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带． ①当时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由； ②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则的取值范围是______． 【变式】（2025·北京海淀·模拟预测）某公园修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个可调节角度的喷水头，从喷水头喷出的水柱形状是一条抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线形水柱的竖直高度（单位：m）与到池中心的水平距离（单位：m）满足的关系式近似为（）．      (1)在某次安装调试过程中，测得与的部分对应值如下表： 水平距离 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 竖直高度 2.25 2.8125 3 2.8125 2.25 1.3125 0 根据表格中的数据，解答下列问题： ①水管的长度是______m； ②求出与满足的函数解析式（）； (2)安装工人在上述基础上进行了下面两种调试： ①不改变喷水头的角度，将水管长度增加1m，水柱落地时与池中心的距离为； ②不改变水管的长度，调节喷水头的角度，使得水柱满足，水柱落地时与池中心的距离为．则比较与的大小关系是：______（填“”或“”或“”） 突破九 二次函数综合 【典例】（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【变式1】（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求a的取值范围． 【变式2】（2025·北京·模拟预测）已知抛物线． (1)若，求抛物线与轴的两个交点之间的距离； (2)已知点和点是抛物线上的两点． ①求出的值； ②若对于任意的，直线与抛物线有两个交点，，且当时，总有，，结合图象，求的取值范围． 1．（2025·北京房山）将二次函数的图像向上平移2个单位，得到的函数图像的表达式是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京西城）二次函数的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（2025·北京海淀）已知抛物线，则下列说法中不正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．与轴交于点 D．当时，随的增大而增大 5．（2025·北京海淀）如图，二次函数的图像经过点A，B，C．下面推断中正确的是（　　） A．抛物线开口向上 B．当时，取最大值 C．当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根 D．直线经过点A，C，当时，的取值范围是 6．（2025·北京）二次函数图象上部分点的坐标满足如表： 0 1 3 5 7 0 7 下面有四个结论： ①抛物线的开口向上； ②拋物线的对称轴为直线； ③是关于的一元二次方程的一个根； ④若点，都在抛物线上，且，则的取值范围是． 其中正确的结论有（    ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①④ 7．（2025·北京）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）近似满足函数关系．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·北京）二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 9．（2025·北京大兴）已知：抛物线，对称轴为，且，，有以下结论： 抛物线一定经过点； ； 关于x的一元二次方程必有一根大于1； 关于m的一元二次方程一定有两个不相等的实数根． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 10．（2025·北京）乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高．发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 根据以上数据，解决下列问题： (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是___________，表格中的值为___________； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后___________落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 11．（2025·北京）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 1．（2025·北京房山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，则点C的坐标为 ；若抛物线上存在一点P，对称轴上存在一点Q，使得以C，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为 ． 2．（2025·北京）二次函数的对称轴是直线，该抛物线与轴的一个交点在点和点之间，其部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若点在二次函数的图象上，则关于的不等式的解集是．正确的有 ． 3．（2025·北京海淀）某商店销售一种进价为40元千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法 售价（元千克） 50 60 70 80 … 月销售量（千克） 250 240 230 220 … 下面有4种说法： ①与之间的函数关系式为 ②当月销售利润为7296元时，售价为72元千克 ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 其中所有正确说法的序号是 ． 4．（2025·北京西城）在平面直角坐标系中，抛物线 (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； ②已知和是抛物线上的两点．若，当，时，则的最大值是______； (2)若抛物线经过点，已知和是抛物线上的两点，对任意，，，，都有，求的取值范围． 5．（2025·北京）若抛物线与顶点不同，开口方向相反，且都经过对方的顶点，则称与互为“孪生抛物线”． (1)抛物线与互为“孪生抛物线”吗？ (2)求出抛物线的所有“孪生抛物线”（要求顶点坐标在坐标轴上）； (3)已知抛物线，互为“孪生抛物线”． ①求常数的值； ②点，分别是抛物线与上的动点（位于两顶点之间），且直线平行轴，求线段长的最大值． 1．（2025·甘肃兰州·中考真题）综合与实践 在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度：x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点． 说明：①当生长素浓度时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： (1)观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 2．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为． (1)求点的坐标及的值． (2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值． (3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 3．（2025·广西·中考真题）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 4．（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 5．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． （2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $