第11讲 反比例函数的图像与性质（复习讲义，5考点9题型5重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦反比例函数专题，覆盖定义与解析式、图像性质、k的几何意义、与几何及一次函数综合等中考核心考点，按“考情剖析-知识导航-考点解析-题型预测-分层突破”架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生构建知识网络，突破增减性判断、面积计算等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于紧密对接中考命题规律，如结合北京近三年真题设计“k值几何意义与矩形面积”探究活动，培养学生几何直观和空间观念，通过“基础-能力-新趋势”分层练习和“典例+变式”题型训练，提升运算能力与推理意识。教师可借助考情预测和重难突破模块精准把控复习节奏，助力学生高效提升应考能力。

第四章 函数及其图象 第11讲 反比例函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 15 命题点一 反比例函数的定义与解析式 题型01根据反比例函数的定义求参数 题型02由反比例函数值求自变量 命题点二 反比例函数的图像与性质 题型01由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型02已知反比例函数的增减性求参数 题型03比较反比例函数值或自变量的大小 命题点三 系数k的几何意义 题型01根据图形缅面积求比例系数 命题点四 反比例函数解析式的求法 题型01求反比例函数解析式 命题点五 反比例函数与一次函数的综合应用 题型01一次函数与反比例函数的交点问题 题型02一次函数与反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 40 突破一 反比例函数的图像与性质 突破二 反比例函数系数k的几何意义 突破三 反比例函数与一次函数的综合 突破四 实际问题与反比例函数 突破五 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 62 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的概念与解析式 / 北京卷T12（求反比例函数解析式） 北京卷T12（反比例函数图像上点的坐标） 理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式 反比例函数的图像与性质 北京卷T8（反比例函数与几何综合） / / 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y=k/x(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况 反比例函数中k的几何意义 / / / 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能运用几何意义解决与面积相关的问题 反比例函数与几何综合 北京卷T28（反比例函数与四边形综合） / / 能运用反比例函数的图像和性质解决与几何图形（如三角形、四边形）结合的综合问题 命题预测 1. 反比例函数解析式求解及k值的几何意义（与三角形、矩形面积结合）；2. 反比例函数与几何图形（菱形、圆）的综合应用，涉及对称性、交点坐标计算；3. 结合图像比较反比例函数与一次函数的函数值大小 考点一 反比例函数的定义与解析式 1. 反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，且 ） 的函数，叫做反比例函数。 自变量 的取值范围：（分母不能为0）； 函数值 的取值范围：； 自变量 的次数为 ，这是判断反比例函数的关键依据。 2. 解析式的三种等价形式（中考常用变形） 标准式：（） 乘积式：（，最常用的变形形式，用于求 值或判断函数类型） 指数式：（，体现自变量次数为 ） 3. 与正比例函数的区别 函数类型 解析式形式 自变量次数 系数要求 正比例函数 反比例函数 易错点提示 忽略 的条件，如误将 或 当作反比例函数； 混淆反比例函数与一次函数的自变量次数，如认为 是反比例函数； 忽略自变量 的取值范围，在求函数值或画图像时出错。 1．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：0 ． 2．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求反比例函数的自变量，求出反比例函数解析式成为解题的关键． 先求出反比例函数解析式，根据函数图象上的点满足函数解析式、列出方程求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴，解得：． 故答案为：． 3．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 考点二 反比例函数的图像与性质 1. 图像形状 反比例函数 （）的图像是 双曲线，由两支组成，且两支关于原点中心对称。 画反比例函数图像的方法：描点法（需注意取点的对称性，如 、、、）； 图像与坐标轴的关系：永不与x轴、y轴相交（因为 ，）。 2. 系数 的作用（决定图像的位置和增减性，北京中考必考） （1） 的符号决定图像所在象限 的符号 图像所在象限 示例（） 第一、三象限 第二、四象限 （2） 的符号决定函数的增减性（北京中考高频选择考点） 核心前提：在每个象限内（双曲线的两支分别在不同象限，增减性需分象限讨论，不能跨象限判断） 当 时，在每个象限内， 随 的增大而 减小； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而 增大。 3. 图像的对称性（中考偶尔考查） 中心对称：图像关于 原点 中心对称（若点 在双曲线上，则点 也一定在双曲线上）； 轴对称：图像关于直线 和 轴对称（若点 在双曲线上，则点 和 也一定在双曲线上）。 易错点提示 判断增减性时，遗漏“在每个象限内”的前提，如认为“当 时， 随 的增大而减小”（跨象限如 到 ， 从 变为 ，实际是增大的）； 误判图像与坐标轴的关系，认为双曲线会与x轴或y轴相交； 忽略图像的对称性，在求对称点坐标时出错。 1．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第二、四象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“<”，“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象可得，求出，，即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∵点，都在该图象上， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，利用中心对称性质是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数均是中心对称图形即可得到． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的两个交点，且正比例函数与反比例函数均是中心对称图形， ∴， 故答案为：0． 考点三 系数 的几何意义 1. 基本模型（核心结论） 过反比例函数 （）图像上任意一点 ，作 x轴、y轴的垂线，垂足分别为 、，则： 矩形 的面积：矩形； 三角形 （或 ）的面积：三角形。 2. 延伸模型（中考常考变形） （1）斜垂线模型 过双曲线上一点 作x轴（或y轴）的垂线，连接 ，则 的面积恒为 。 （2）两点模型 若点 、 都在双曲线上，且 平行于x轴或y轴，则 的面积可通过分割法转化为两个基本三角形的面积和或差，最终仍与 相关。 （3）一次函数与反比例函数交点模型 一次函数与反比例函数的两个交点 、 关于原点对称，连接 、，则 的面积可通过“割补法”结合 的几何意义求解。 易错点提示 计算面积时忽略绝对值，导致面积为负（ 可正可负，但面积一定为正，需取 ）； 对延伸模型的转化能力不足，无法将复杂图形面积转化为基本模型求解； 混淆“过点作垂线”与“连接原点”的图形，误判面积公式。 1．（2025·北京房山）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点， ，， ， 故答案为：． 2．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键．由过点作轴于点，利用反比例函数的几何意义表示出三角形与三角形面积，由三角形面积减去三角形面积表示出三角形面积，将已知三角形面积代入求出的值即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点， ，， ，即， 解得：， 故答案为：1． 3．（2025·北京大兴·一模）【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 【答案】（1）6（2）见详解（3）小，．（4） 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可． （2）描点连线即可． （3）根据函数图像可知存在最小值，的最小值约为．根据矩形的周长求解即可． （4）求出圆的周长比较大小即可． 【详解】解：（1）∵在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形， ∴矩形的面积为∶． 故答案为：6． （2）以的长为横坐标，的和为纵坐标的函数图如下： （3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着长度的变化，的值先减小后增大，所以存在最小值．从表格数据中可以看出的最小值约为．因为矩形的周长， 当约为时，矩形的周长C约为， 故答案为：小，． （4）面积为6的圆的半径为r， 则 ，则 则， ∵， ∴， 故答案为： 考点四 反比例函数解析式的求法 反比例函数解析式中只有一个待定系数 ，因此 只需知道图像上一个点的坐标，即可用待定系数法求出解析式。 1. 待定系数法步骤 设：设反比例函数解析式为 （）； 代：将已知点的坐标 代入解析式，得到 ； 解：求解关于 的方程，得 （利用乘积式 更简便）； 写：将 的值代入所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 常见已知条件类型 已知 一个点的坐标（最基础类型）； 已知 图像上一点到坐标轴的距离（需注意分情况讨论坐标的符号）； 已知 与 相关的面积（利用 或 求出 ，再结合图像所在象限确定 的符号）； 已知 与一次函数的交点坐标（将交点坐标代入反比例函数解析式即可）。 易错点提示 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒（如将点 代入为 ）； 已知面积求 时，忽略 的符号（需结合图像所在象限判断 为正或负）； 已知点到坐标轴的距离时，未分情况讨论坐标的正负，导致漏解。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数的计算，掌握反比例函数求自变量或函数值的计算是关键． 根据点在反比例函数图象上，分别求出的值，代入计算即可． 【详解】解：点和都在函数的图象上， ∴将两点坐标代入函数解析式，可得， 解得，， ∴， 故答案为：0． 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图象的特点，交点的意义，函数值比较大小的方法，不等式的性质即可求解． （1）把图象的一个交点的横坐标为2代入一次函数，计算出交点坐标，再代入反比例函数即可求解； （2）根据题意联立方程组求出一次函数与反比例函数的交点，再根据反比例函数值大于一次函数的函数值，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2， 代入一次函数得，， 交点坐标为， 把代入反比例函数得，， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由（1）得，反比例函数解析式为，函数图象经过第一、三象限， 联立方程组得，， 整理得， ∴ 解得，或， 一次函数与反比例函数的交点是，， 若当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值， ， 解得，． 3．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数和对称的性质，解题的关键在于根据对称求出点B的坐标，从而求得k值． 先求出，而点A与点B关于y轴的对称，则，即可得到，即可求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴； 又∵点A与点B关于y轴的对称， ∴ ∵点B在双曲线上， ∴； ∴； 故答案为：0． 考点五 反比例函数与一次函数的综合应用 反比例函数与一次函数的综合是中考的常考题型，多以解答题形式出现，考查交点坐标、图像分布、函数值比较及面积计算。 1. 求交点坐标 联立一次函数与反比例函数的解析式，组成方程组： 解此方程组，得到的解即为两个函数图像的交点坐标。 当方程组有两个不同的解时，两函数图像有 两个交点； 当方程组有一个解时，两函数图像 相切（北京中考较少考查）； 当方程组无解时，两函数图像 无交点。 2. 判断图像所在象限 根据一次函数的系数 、 和反比例函数的系数 的符号，共同判断两函数图像的交点所在象限。 3. 比较函数值大小 给定自变量 的取值范围，通过观察图像或代入计算，比较一次函数值 与反比例函数值 的大小关系： ：一次函数图像在反比例函数图像 上方 对应的x的取值范围； ：一次函数图像在反比例函数图像 下方 对应的x的取值范围。 4. 面积计算 结合两函数的交点坐标，利用“割补法”求围成的三角形或四边形的面积，核心是利用 的几何意义和一次函数与坐标轴的交点坐标。 易错点提示 解方程组时计算错误，导致交点坐标出错； 比较函数值大小时，忽略自变量的取值范围（尤其是双曲线的两支分属不同象限的情况）； 面积计算时，割补方法选择不当，导致计算复杂或出错。 1．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求n和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)n的值是1，k的值是2 (2) 【分析】此题考查反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先利用反比例函数求出，得到，把代入求出； （2）在同一坐标系中画出函数图象，根据图象进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意将代入， 得， 解得：； 将代入， 得， 解得： ∴n的值是1，k的值是2； （2）解：由（1）可知，函数即为函数， 当时，， 当过点时，，解得，即，如图： 当时，为，与平行， 如图， 根据图象可知，当时，对于x的每个值，函数既大于函数的值，又小于函数的值，此时． 2．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）把代入，可得点，再把代入，即可求解； （2）分别求出当时，函数图象与一次函数的图象与函数的图象的交点，可求出对应的n的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ∴，解得：， ∴点， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：如图， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 对于， 当时，， 把，代入得： ，解得：， 观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为． 3．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，根据反比例函数的图像和正比例函数的图像均关于原点对称，进而得到点和关于原点对称，求出的值，进而求出的值，进行求解即可． 【详解】解：∵直线 与反比例函数 的图像均关于原点对称， ∴两个图像的交点也关于原点对称，即点和关于原点对称， ∴， ∴，， 把分别代入和中，得， ∴， ∴； 故答案为：． 命题点一 反比例函数的定义与解析式 ►题型01 根据反比例函数的定义求参数 1. 忽略k≠0限制：仅满足形式，未排除比例系数k=0的情况 2. 函数形式误判：混淆反比例函数（x的指数为-1）与一次、正比例函数，或解析式含常数项 3. 参数多重条件漏解：未同时满足“x指数为-1”和“k≠0”的双重要求 4. 解析式变形失误：整理含参解析式时出错，误判是否符合反比例函数定义 【典例】（2025北京专题）若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义以及性质．根据反比例函数的定义以及性质解答即可． 【详解】解：由反比例函数的定义，得：， 解得：， 又因为函数在所在象限内y随x的增大而增大， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得或，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴或 ∴（不合题意，舍去）或 即的值为． 故答案为：． 【变式2】（2025·北京顺义）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A． B．1 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质．由点在反比例函数图象上，可得，代入代数式计算即可． 【详解】点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：D． 题型02 由反比例函数值求自变量 1. 忽略y≠0前提：对函数值y=0的情况误求x，实际无解 2. 解析式变形错误：由求x时，误得x，或移项乘除出错 3. 符号判断失误：k与y异号时，误判自变量x的符号 4. 遗忘k≠0限制：未确认k≠0，若k=0函数无意义，无法求x 【典例】如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)减少，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据表格中变量的变化规律写出y与x之间的函数表达式，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． （1）根据表格中变量的变化规律解答即可； （2）当时，求出对应x的值即可； （3）根据反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，， 与x之间的函数表达式为 故答案为：； （2）解：当时，得， 解得， 当砝码的质量为时，托盘B与O点之间的距离为； （3）解：托盘中应减少砝码．理由如下： ，， 随x的增大而减小， 当托盘B向右移动时x增大， 托盘中的砝码质量y应该减小， 托盘中应减少砝码． 【变式1】（2025·北京专题）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)y (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求解反比例函数解析式，解题的关键是掌握反比例函数的一般表达式． （1）用待定系数法求得反比例函数解析式， （2）代入x求得y的值， （3）代入y求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴； （2）当时，； （3）当时，． 【变式2】（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 命题点二 反比例函数的图像与性质 ►题型01 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1. 对称规律记混：混淆原点（横纵全反）、y=x/y=-x（横纵互换/反号互换）的对称规则 2. 符号处理失误：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时横纵符号/位置错 3. 特殊点误判：误求坐标轴上的对称点（反比例图象与轴无交点，对称点也不在轴上） 4. 漏验证：未将所求对称点代入解析式确认，导致错误 【典例】（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【变式1】如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 ． 【答案】（﹣3，﹣4） 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【变式】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 . 【答案】0. 【分析】由点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上，可得k1=ab，由点A与点B关于x轴的对称，可得到点B的坐标，进而表示出k2，然后得出答案． 【详解】解：∵点A（a，b）（a＞0，b＞0）在双曲线上， ∴k1=ab； 又∵点A与点B关于x轴的对称， ∴B（a，-b） ∵点B在双曲线上， ∴k2=-ab； ∴k1+k2=ab+（-ab）=0； 故答案为0． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质． 题型02 已知反比例函数的增减性求参数 1. 忽略前提限制：忘记增减性需“在每个象限内”，误将k>0/k<0的性质推广到全体实数 2. k符号判断反：把“k>0（每一象限内y随x增而减）、k<0（每一象限内y随x增而增）”记反 3. 漏k≠0条件：仅根据增减性求k范围，未排除k=0（此时非反比例函数）的情况 4. 多条件叠加漏解：结合函数过某象限等条件时，未综合增减性与象限对k的双重要求 【典例】（2024·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题可知，在两个象限，根据得到图象位于二、四象限，即给出符合题意的k值即可． 【详解】由题可知，在两个象限， ∵， ∴反比例函数的图象位于二、四象限， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 【变式1】（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个小于0的值即可． 【详解】解：、两点的横坐标都为正数， 、两点在同一个象限， 又，， 随的增大而增大， ， 的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 1. 忽略象限前提：跨象限比较时，误用同一象限内的增减性规律 2. 增减性记反：混淆k>0（每象限内y随x增而减）、k<0（每象限内y随x增而增）的性质 3. 图象位置漏判：未结合图象判断不同象限内函数值的大小（如k>0时，第一象限y值恒大于第三象限） 4. 自变量符号遗漏：比较自变量时，忽略x≠0及同一象限内x的符号一致性 【典例】（（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】1，2（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个大于0的值即可． 【详解】解：∵两点的横坐标一正一负， ∴两点在两个象限内， ∵， ∴， ∴k的值可以为1，2， 故答案为：1，2（答案不唯一）． 【变式1】（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，把代入解析式求出解析式，根据增减性，求出y的取值范围即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴当，， 故答案为：． 【变式2】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据，可知函数的图象经过第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，因为，所以． 【详解】解：函数的图象经过第一、三象限， 在每个象限内随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 命题点三 系数 的几何意义 题型01 根据图形面积求比例系数 1. 忽略绝对值：误将面积直接等于k，忘记面积对应|k| 2. 符号判断错：仅求|k|值，漏根据点所在象限确定k的正负 3. 图形类型混淆：混淆矩形（面积=|k|）、三角形（面积=）与k的关系 4. 点的归属误判：误用不在双曲线上的点构成的图形求k 【典例】（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2024·北京海淀）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ． 【答案】S 【分析】画出过点N的反比例函数图像，根据题意得到正确默写出的单词个数即为 “单词的记忆效率”对应点所在的矩形的面积大小，通过反比例函数的几何性质即可判断． 【详解】解：如图， 设M，N，S，T四个同学的“单词的记忆效率”对应点所在的长方形的面积分别记作SM，SN，SS，ST， 则ST＜SN＜SM＜SS， ∴这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是S． 故答案为：S． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何性质的应用，正确理解题目的意思是解题的关键． 【变式2】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 命题点四 反比例函数解析式的求法 题型01 求反比例函数解析式 1. 忽略k≠0限制：仅求出k值，未排除k=0（此时非反比例函数）的情况 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=时计算失误 3. 解析式变形失误：由y=推导k=xy时算错，或整理含参解析式误判形式 4. 隐含条件漏用：结合面积、对称点等条件时，漏根据象限判断k的正负 【典例】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 把代入反比例函数解析式求出k的值． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， 故答案为：． 【变式1】（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据题意，和都满足解析式，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，若点，在函数的图象上，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：3． 命题点五 反比例函数与一次函数的综合应用 题型01 一次函数与反比例函数的交点问题 1. 联立方程失误：消元时计算错误，或未将反比例函数化为整式方程（漏乘x） 2. 漏验根：解分式方程后未检验，导致交点横坐标为0（反比例函数无意义） 3. 交点个数误判：忽略联立后一元二次方程的判别式，或混淆k符号对交点位置的影响 4. 符号代入错误：将交点坐标代入任一函数时，横纵坐标颠倒或符号处理失误 5. 忽略取值限制：未考虑实际问题中自变量的范围，误取无效交点 【典例】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质解答即可． 本题考查正比例函数与反比例函数的交点，正比例函数与反比例函数图像的中心对称性质，掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：函数的图象与直线交于点和点， ， ， 根据中心对称性质，得， 故答案为：． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点．则 ． 【答案】4 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点性质． 先把A点代入中，可求得，然后把A点代入反比例函数中求出k的值，一次函数和反比例函数联立方程组，即可求出的值，进而求出． 【详解】解：把代入中，可求得， 把代入中，可求得， 联立方程组， 即可求出（即为A点横坐标），（即为B点横坐标）， ∴． 故答案为：4． 【变式2】（2025·北京·二模）下面关于函数的说法，正确的是 ．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 【答案】（2）（3） 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，反比例函数的图象与性质，一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理等知识； （1）由条件可求得直线a的解析式，从而求得点P的坐标，结合函数图象即可判断； （2）解方程组可求得A、B两点的坐标，利用勾股定理即可判断； （3）由反比例函数的图象与性质知，求得m的范围即可判断； 综上即可作出判断． 【详解】解：（1）∵直线：与轴交于， ∴，即， ∴； ∵直线与直线：交于， ∴， 解得：，即； 观察图象知，关于的不等式解集为； 故错误； （2）由得：，解得：，从而有， ∴， 由勾股定理得：； 故正确； （3）由题意知，当时，有， 则，即； 故正确； 综上，正确的有（2）（3）； 故答案为：（2）（3）． 题型02 一次函数与反比例函数的实际应用 1. 模型选择错误：混淆两函数适用场景（如误将“路程固定的速度与时间”用一次函数建模，或“匀速运动的路程与时间”用反比例函数建模） 2. 数据处理失误：点坐标代入解析式时横纵颠倒，或未统一题目中单位（如km与m、h与min）就计算 3. 忽略取值限制：未考虑自变量实际意义（如人数、路程非负，速率非0），导致解不符合实际 4. 检验环节缺失：仅验证方程解的正确性，未检验解对应的函数值、实际情境是否合理 5. 跨象限分析错误：利用反比例函数增减性解决实际问题时，忽略其“同一象限内”的前提，跨象限比较大小或求范围 【典例】（2024·北京海淀）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 【变式】（2023·北京东城·二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)直线与轴交点的纵坐标为； (4)周长的最小值为8米；矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【分析】（1）根据x，y是矩形的边长，都是正数，即可求解； （2）通过描点法可画出的图像； （3）根据题意将点代入，求出m，即可求出答案； （4）联立和，可知，即可求解． 【详解】（1）解：∵x，y是矩形的边长，都是正数， 所以点在第一象限； （2）解：当时，， 当时，， ∴图像如图所示：    （3）解：将点代入得：， 解得：， 即， 当时，， ∴直线与轴交点的纵坐标为； （4）解：联立和并整理得：， ∴时，两个函数有交点， 解得：， ∴周长的最小值为8米， 可得，解得， ∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大． 突破一 反比例函数的图像与性质 【典例】（2025·北京平谷）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)取几组与的对应值，填写在下表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_____________； (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点(点在点的左侧)，则的值为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析； (4)①直线；②6 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象． （1）根据分式有意义的条件即可得到结论； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． （3）利用描点法画出函数图象即可． （4）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形．②求出，的长（用n表示）即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：由题意时，， ∴， 故答案为：2． （3）解：函数图象如图所示： （4）解：①观察图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； 故答案为：直线． ②由题意，，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 【变式1】（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)①见解析；② (2)①5.0；②22.5 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）①描点并连线即可；②利用待定系数法解答即可； （2）①根据图象，计算当时对应两函数值之差即可；②根据图象，当时对应x的值即为所求． 【详解】（1）解：①描点并连线如图所示： ②∵与x之间的函数图象是一条直线， ∴与x之间是一次函数的关系， 设与x之间的函数表达式是（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式是； （2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为克， 故答案为：5.0； ②随着实验的进行，当时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟． 故答案为：22.5． 突破二 反比例函数系数k的几何意义 【典例】如图，在矩形中，点O是坐标原点，点在的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【答案】 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，反比例函数k的几何意义等，综合性强，有一定难度，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，依据题意，如图，连接，延长交轴于点，又点，，三点共线．轴，设点，则，推出，推出，再由的面积．可得，从而可得，即可判断得解．解题时要能熟练运用待定系数法求函数解析式及菱形的性质是关键． 【详解】解：如图，连接，延长交轴于点， 点是菱形对角线的中点，， 点，，三点共线．轴， 设点，则， ，则 设直线解析式为，代入 ∴ 直线， ， 设直线解析式为，代入 解得： 直线， 当时， ， ，， ， ，则， 故答案为：． 【变式2】（2025·北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识，根据反比例函数比例系数的几何意义及矩形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意； 由点坐标为，设点，，则， ∴，， ∴，即是一个定值，故③符合题意， 故选：D． 突破三 反比例函数与一次函数的综合 【典例】（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 【变式】（2025·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和点，反比例函数图象上的一点C到直线的距离的最小值为，则 ． 【答案】 【分析】由待定系数法可得直线的表达式，设点，则点，得到，由勾股定理，得出，进而得到，即，然后利用完全平方公式，得出，即的最小值为，即可求解． 【详解】解：过点C作轴交于点H，作交于点D， 则， 设直线的表达式， 由点和点得，， 解得：， 直线的表达式， 设点，则点， ，， ， 点C在反比例函数的图象上， ， 和点， ，， 由勾股定理得：， ， ， ， ，， ， ， ，即的最小值为， ， 点C到直线的距离的最小值为， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，锐角三角函数，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式等知识，利用数形结合的思想解决问题是是解题关键，综合性较强． 突破四 实际问题与反比例函数 【典例】（2025·北京海淀）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【答案】(1)2，3.2 (2)图见解析， (3)40，3.6，10 【分析】本题考查列函数关系式，求自变量和函数值，画函数图象，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）根据，求出的值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）根据均值不等式，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； ∴； 故答案为：2，3.2； （2）描点，连线，画出函数图象如图： 由题意，可知：； （3）首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：40，3.6，10 【变式】（2025北京通州）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到 (2)见解析， (3) 【分析】（1）①由阅读部分提示信息直接作答即可；②由，结合提示信息可得答案；③由，结合提示信息可得答案； （2）先判断是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；再利用图象的平移进行画图即可，结合函数的图象可得时x的范围； （3）先求出第一次复习的“最佳时机点”，然后代入，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”． 【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为； ②∵， ∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到； ③∵， ∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到． （2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到； ∴其对称中心是．图象如图所示：    由，得， 解得，经检验符合题意． 结合图象可得，当时，． （3）当时， ， 则由，解得：，经检验符合题意， 即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1， ∴点在函数的图象上， 则，解得：， 经检验符合题意； ∴， 当， 解得：，经检验符合题意； 即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键． 突破五 反比例函数与几何综合 【典例】（2024·北京西城·模拟预测）一次函数与反比例函数图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． （1）若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围． 【答案】（1）；点的坐标为；（2）或． 【分析】（1）把代入反比例函数图象上可求点A坐标，再将点A代入一次函数解析即可求出m，最后联立解析式即可求出交点坐标； （2）分m>0,m<0两种情况，画出图形求出点A、B、C坐标（用m代数式表示）进而根据列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）当时，，∴． ∴，． ∴一次函数的表达式为． 当时，解得，； 点的坐标为． （2）当时，一次函数，即：C点坐标为：(0，m)， ∵一次函数与反比例有两个交点，当时，即，，即， ∴或时，， 又∵点的横坐标小于点的横坐标． 故点的横坐标，点的横坐标； ①当时，此时，如解图①         ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即： ∴，整理得：， 结合，解得：， ②当时，，此时，如解图② ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴，整理得：， ∴， 结合解得：， 综上所述：的取值范围为： 或． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合、利用二次函数的图像解不等式，根据函数解析式求出交点坐标是关键，问题（2）由已知确定不等式、求二次不等式解是难点． 【变式1】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）一次函数与y轴相交于点M，与反比例函数（）的图象交于点N，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当时，通过画图，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据题意直接带入坐标即可求解； （2）结合图像表示出三角形的各边，根据特殊三角形表示出面积，代入题干中的条件求解即可； 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点P（2，2） ∴代入得：，解得 （2）作图可知 ∵一次函数与y轴相交于点 M， ∴当时，，即点， ∵一次函数 与反比例函数的图象交于点N， ∴， 解得： ∵ ∴， 则结合图像知， ∴,故为等腰直角三角形， ∵， ∴， 解得：， 由图知当时，， 此时即，则， 解得， 当时，， 此时即，则， 可得， 综上所述． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数交点中三角形面积问题，结合三角形面积表达式和图像特点求解，有一定难度． 【变式2】如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（    ） A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域② C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 【答案】D 【分析】由图形可知：当时，，从而可判断A；根据点A是直线与双曲线的交点可判断B；求出可判断C；由点A位于区域①可得，由形2落在区域④中可得，从而可判断D． 【详解】设点（x，y均为正数）， A、设反比例函数解析式为：， 由图形可知：当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点A的横坐标不可能大于3， 故选项A不正确； B、当矩形1为正方形时，边长为x， ， 则点A是直线与双曲线的交点，如图2，交点A在区域③， 故选项B不正确； C、当一边为x，则另一边为， ∵当点A沿双曲线向上移动时，x的值会越来越小， ∴矩形1的面积会越来越大， 故选项C不正确； D、当点A位于区域①时， ∵点， ∴，即另一边为：， 矩形2落在区域④中，，即另一边， ∴当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等； 如矩形的两条邻边长分别为0.9，2.9时，两个矩形都符合题意且全等， 故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数图象和新定义，理解x和y的意义是关键，并注意用数形结合的思想解决问题． 1．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的图像，先根据一次函数可知，直线经过点，故选项B、D不符合题意，然后由A、C选项可知，的符号，从而选出答案． 【详解】解：函数的图像经过点， 选项B、选项D不符合题意； 由A、C选项可知：， 反比例函数的图像在第一、三象限， 故选项A符合题意，选项C不符合题意； 故选：A． 2．（2024·北京东城·一模）已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ， ，，，两点在第二象限，点，在第四象限， ． 故选：D． 3．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润（售价进价）销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：①，y是x的反比例函数，故此选项不符合题意； ②，y是x的正比例函数，故此选项不符合题意； ③，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 故选：C． 4．若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选D． 5．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象和性质，先将点A、B代入反比例函数解析式求出，，再相加即可. 【详解】解：∵点A、B在反比例函数图象上 ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：B. 6．（2025·北京西城·模拟预测）已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数图象过点求出k的值，再根据的特点进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数图象过点， ∴，即， A、，点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、，在反比例函数的图象上，故本选项正确； C、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵，∴不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：B． 7．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，根据的坐标得到在一三象限的角平分线上，根据菱形的对角线互相垂直平分，得到为反比例函数与二四象限角平分线的交点，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在一三象限的角平分线上， ∵四边形是菱形， ∴为反比例函数与二四象限角平分线的交点， 联立，解得：或， ∴点的坐标可以为； 故选C． 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称， ∴点A与点B关于原点对称， ∵点B的横坐标为2， ∴点A的横坐标为-2， 由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方， ∴当或时，， 故选：C． 【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键． 9．（2024·北京·三模）如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入得到反比例函数的表达式为，把代入即可得到结论； （2）设直线的解析式为：，解方程组得到直线的解析式为，求得点，点，得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，得到，把代入中即可得到结论； 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数y的图像交于点和点， ∴把代入得，， ， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得，； （2）设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，，当时，， ∴点，点， ， 是等腰直角三角形， ， ∵将沿直线翻折， ∴四边形是正方形， ， ， 把代入中得，， ； 【点睛】本题考查了反比例函数性质、一次函数表达式的求解、图形折叠的性质等知识点，解题的关键在于准确运用待定系数法求解函数表达式，理解并应用图形折叠前后对应点的坐标关系，通过点的坐标求解相关参数，进而解决几何问题． 10．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 1．（2024·北京大兴）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数图象恰好过DE的中点F．则k＝ ，线段EH的长为： 　． 【答案】 -2 2 【分析】连接BO与ED交于点Q，过点Q作QG⊥x轴，垂足为G，可通过三角形全等证得BO与ED的交点就是ED的中点F，由相似三角形的性质可得S△OGF＝S△OCB，根据反比例函数比例系数的几何意义可求出k，从而求出S△OAE，进而可以得到AB＝4AE，即BE＝3AE．由轴对称的性质可得OE＝BE，从而得到OE＝3AE，也就有AO＝2AE，根据△OAE的面积可以求出AE，OA的值．易证四边形OAEH为矩形，从而得到EH＝OA，就可求出EH的值． 【详解】解：连接BO与ED交于点Q，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，如图所示， ∵矩形OABC沿DE翻折，点B与点O重合， ∴BQ＝OQ，BE＝EO． ∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥CO，∠BCO＝∠OAB＝90°． ∴∠EBQ＝∠DOQ． 在△BEQ和△ODQ中， ． ∴△BEQ≌△ODQ（ASA）． ∴EQ＝DQ． ∴点Q是ED的中点． ∵∠QNO＝∠BCO＝90°， ∴QN∥BC． ∴△ONQ∽△OCB． ∴． ∴S△ONQ＝ S△OCB． ∵S矩形OABC＝8， ∴S△OCB＝S△OAB＝4． ∴S△ONQ＝． ∵点F是ED的中点， ∴点F与点Q重合． ∴S△ONF＝． ∵点F在反比例函数y＝上， ∴＝． ∵k＜0， ∴k＝﹣2． ∴S△OAE＝＝． ∵S△OAB＝4， ∴AB＝4AE． ∴BE＝3AE． 由轴对称的性质可得：OE＝BE． ∴OE＝3AE．OA＝＝2AE． ∴S△OAE＝AO•AE＝×2AE×AE＝． ∴AE＝1． ∴OA＝2×1＝2． ∵∠EHO＝∠HOA＝∠OAE＝90°， ∴四边形OAEH是矩形． ∴EH＝OA＝2． 故答案分别为：﹣2、2． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，有一定的综合性． 2．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则 ．（用n的代数式表示） 【答案】． 【详解】试题分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，所以图中阴影部分的面积：，因为，所以=． 故答案为． 考点：图形的变化规律类问题． 3．（2025·北京平谷）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数的表达式为 ． 【答案】如（x<0），答案不唯一． 【详解】试题分析：∵OA=4，AB=OC=6，∴，∵，∴，故答案为如（x<0），答案不唯一．故答案为如（x<0），答案不唯一．． 考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．代数几何综合题． 4．（2024·北京海淀）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x>0）的图象与直线y=x+1交于点A（2，m）． （1）求k、m的值； （2）已知点P（n，0），过点P作平行于 y 轴的直线，交直线y=x+1于点B，交函数y=（x>0）的图象于点C．若y=（x>0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（不包括边界），记作图形G．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当n=4时，直接写出图形G的整点坐标； ②若图形G 恰有2 个整点，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）k＝4，m＝2；（2）①（3，2），②0＜n＜1或4＜n≤5． 【分析】（1）将A点代入直线解析式可求m，再代入y＝，可求k． （2）①根据题意先求B，C两点，可得图形G的整点的横坐标的范围2＜x＜4，且x为整数，所以x取3．再代入可求整点的纵坐标的范围，即求出整点坐标． ②根据图象可以直接判断2≤n＜3． 【详解】解：（1）∵点A（2，m）在y＝x＋1上， ∴m＝×2＋1＝2． ∴A（2，2）． ∵点A（2，2）在函数y＝的图象上， ∴k＝4． 故答案为：k＝4，m＝2． （2）①当n＝4时，B、C两点的坐标为B（4，3）、C（4，1）． ∵整点在图形G的内部， ∴2＜x＜4且x为整数 ∴x＝3 ∴将x＝3代入y＝x＋1得y＝2.5， 将x＝3代入y＝得y＝， ∴＜y＜2.5， ∵y为整数， ∴y＝2， ∴图形G的整点坐标为（3，2）． ②当x＝3时，＜y＜2.5，此时的整点有（3，2）共1个； 当x＝4时，1＜y＜3，此时的整点有（4，2）共1个； 当x＝5时，＜y＜3.5，此时的整点有（5，1），（5，2），（5，3）共3个； ∵图形G 恰有2 个整点， ∴4＜n≤5， 当x＝1时，1.5＜y＜4，此时的整点有（1，2），（1，3）共2个； ∵图形G 恰有2 个整点， ∴0＜n＜1， 综上所述，n的取值范围为：0＜n＜1或4＜n≤5． 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法，以及函数图象的性质．关键是能利用函数图象有关解决问题． 5．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 【答案】(1)反比例函数的解析式 (2) 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得出，再利用三线合一得出为边上的中线，从而可求得，接着利用勾股定理求得，从而可求得点的坐标，再利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）选①，先利用位似的性质得出，从而可得，再利用位似的性质求得、的坐标，从而可利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线与反比例函数的交点的坐标，即可求向三角形的面积；选择，先利用位似的性质、等边三角形的性质求出位似比，从而可求出点的坐标，与选择①同样的方法可求解． 【详解】（1）解：过点B作轴于点F， ∵等边 的边长为2， ∴， ∴为边上的中线， ， ， ， 又反比例函数的图象经过点B， ， 反比例函数的解析式为； （2）选择， 如图，连结， ∵以点O为位似中心，作的位似图形， ， ， 与的位似比为，，等边 的边长为2， ，， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ； 选择， ，，等边 的边长为2， ， 与的位似比为， ， ，， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， ，解得：或（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质综合，求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 1．（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 【答案】(1)任务一： (2)任务二：（1）；（2）减小 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； 任务一：由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； 任务二：（1）由任务一可知，，，则，从而得，然后根据可得出与 （2）根据反比例数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵光轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）任务二：（1）依题意得：四边形为矩形，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由任务一可知：，设， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， 即与的关系式是：； （2）由（1）可得，可以看成向右平移个单位， ∵ ∴时，随的增大而减小 故答案为：减小． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【详解】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 3．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 【答案】(1)2， (2)①见解析；②函数值逐渐减小 (3)或 【分析】（1）根据解析式求解即可； （2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论； （3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，由得， 当时，， 故答案为：2，； （2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：    ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小， 故答案为：函数值逐渐减小； （3）解：当时，，当时，， ∴函数与函数的图象交点坐标为，， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，    由图知，当或时，， 即当时，的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键． 4．【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 【答案】（1）6（2）见详解（3）小，．（4） 【分析】本题主要考查了反比例函数k值的几何意义，画函数图像，从函数图像上获取信息是解题的关键． （1）根据反比例函数k值的几何意义求解即可． （2）描点连线即可． （3）根据函数图像可知存在最小值，的最小值约为．根据矩形的周长求解即可． （4）求出圆的周长比较大小即可． 【详解】解：（1）∵在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形， ∴矩形的面积为∶． 故答案为：6． （2）以的长为横坐标，的和为纵坐标的函数图如下： （3）图2中描出的点所形成的图象趋势可以发现随着长度的变化，的值先减小后增大，所以存在最小值．从表格数据中可以看出的最小值约为．因为矩形的周长， 当约为时，矩形的周长C约为， 故答案为：小，． （4）面积为6的圆的半径为r， 则 ，则 则， ∵， ∴， 故答案为： 5．（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）①；②或 【分析】将A代入直线l解析式求a值，进而求k值即可； 先联立直线了和反比例函数解析式求出B点坐标，进而求出点E坐标，再求直线解析式，从而求出和交点是中点即可得证； ①，则，，，根据三角函数的定义即可求得答案； ②由题易知，分类讨论，点F在A上方或下方，因此或者，设参数，利用三角函数值解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）将代入直线了：中可得， ， ， 再将点A代入反比例函数中，得； （2）证明：由知， 反比例函数表达式为， 令， 整理得， 解得，， ， ， 设直线表达式为，则， 解得， 直线表达式为， 再联立直线和直线l得，， ， 解得， ，， 中点横坐标为， 和交点为中点， 把分成面积相等的两部分； ①如图，中，，， ， 设，则，， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， 如图，过作轴，则， 由①知， 设， ，， ， ， ， ， ； 同理； 综上，F点的坐标为或 【点睛】本题主要考查反比例函数综合题，反比例函数与一次函数交点问题、反比例函数和一次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 函数及其图象 第11讲 反比例函数的图像与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 反比例函数的定义与解析式 题型01根据反比例函数的定义求参数 题型02由反比例函数值求自变量 命题点二 反比例函数的图像与性质 题型01由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型02已知反比例函数的增减性求参数 题型03比较反比例函数值或自变量的大小 命题点三 系数k的几何意义 题型01根据图形缅面积求比例系数 命题点四 反比例函数解析式的求法 题型01求反比例函数解析式 命题点五 反比例函数与一次函数的综合应用 题型01一次函数与反比例函数的交点问题 题型02一次函数与反比例函数的实际应用 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 反比例函数的图像与性质 突破二 反比例函数系数k的几何意义 突破三 反比例函数与一次函数的综合 突破四 实际问题与反比例函数 突破五 反比例函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 反比例函数的概念与解析式 / 北京卷T12（求反比例函数解析式） 北京卷T12（反比例函数图像上点的坐标） 理解反比例函数的概念，能根据已知条件确定反比例函数的解析式 反比例函数的图像与性质 北京卷T8（反比例函数与几何综合） / / 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y=k/x(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况 反比例函数中k的几何意义 / / / 理解反比例函数中比例系数k的几何意义，能运用几何意义解决与面积相关的问题 反比例函数与几何综合 北京卷T28（反比例函数与四边形综合） / / 能运用反比例函数的图像和性质解决与几何图形（如三角形、四边形）结合的综合问题 命题预测 1. 反比例函数解析式求解及k值的几何意义（与三角形、矩形面积结合）；2. 反比例函数与几何图形（菱形、圆）的综合应用，涉及对称性、交点坐标计算；3. 结合图像比较反比例函数与一次函数的函数值大小 考点一 反比例函数的定义与解析式 1. 反比例函数的定义 一般地，形如 （ 为常数，且 ） 的函数，叫做反比例函数。 自变量 的取值范围：（分母不能为0）； 函数值 的取值范围：； 自变量 的次数为 ，这是判断反比例函数的关键依据。 2. 解析式的三种等价形式（中考常用变形） 标准式：（） 乘积式：（，最常用的变形形式，用于求 值或判断函数类型） 指数式：（，体现自变量次数为 ） 3. 与正比例函数的区别 函数类型 解析式形式 自变量次数 系数要求 正比例函数 反比例函数 易错点提示 忽略 的条件，如误将 或 当作反比例函数； 混淆反比例函数与一次函数的自变量次数，如认为 是反比例函数； 忽略自变量 的取值范围，在求函数值或画图像时出错。 1．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若点和都在函数的图象上，则的值是 ． 2．（2025·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 3．（2025·北京·三模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 考点二 反比例函数的图像与性质 1. 图像形状 反比例函数 （）的图像是 双曲线，由两支组成，且两支关于原点中心对称。 画反比例函数图像的方法：描点法（需注意取点的对称性，如 、、、）； 图像与坐标轴的关系：永不与x轴、y轴相交（因为 ，）。 2. 系数 的作用（决定图像的位置和增减性，北京中考必考） （1） 的符号决定图像所在象限 的符号 图像所在象限 示例（） 第一、三象限 第二、四象限 （2） 的符号决定函数的增减性（北京中考高频选择考点） 核心前提：在每个象限内（双曲线的两支分别在不同象限，增减性需分象限讨论，不能跨象限判断） 当 时，在每个象限内， 随 的增大而 减小； 当 时，在每个象限内， 随 的增大而 增大。 3. 图像的对称性（中考偶尔考查） 中心对称：图像关于 原点 中心对称（若点 在双曲线上，则点 也一定在双曲线上）； 轴对称：图像关于直线 和 轴对称（若点 在双曲线上，则点 和 也一定在双曲线上）。 易错点提示 判断增减性时，遗漏“在每个象限内”的前提，如认为“当 时， 随 的增大而减小”（跨象限如 到 ， 从 变为 ，实际是增大的）； 误判图像与坐标轴的关系，认为双曲线会与x轴或y轴相交； 忽略图像的对称性，在求对称点坐标时出错。 1．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和都在反比例函数的图象上，当时，都有，则的取值范围为 ． 2．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，且点，都在该图象上，则 （填“<”，“>”或“=”） 3．（2025·北京·模拟预测）已知点是反比例函数与正比例函数的两个交点，则的值是 ． 考点三 系数 的几何意义 1. 基本模型（核心结论） 过反比例函数 （）图像上任意一点 ，作 x轴、y轴的垂线，垂足分别为 、，则： 矩形 的面积：矩形； 三角形 （或 ）的面积：三角形。 2. 延伸模型（中考常考变形） （1）斜垂线模型 过双曲线上一点 作x轴（或y轴）的垂线，连接 ，则 的面积恒为 。 （2）两点模型 若点 、 都在双曲线上，且 平行于x轴或y轴，则 的面积可通过分割法转化为两个基本三角形的面积和或差，最终仍与 相关。 （3）一次函数与反比例函数交点模型 一次函数与反比例函数的两个交点 、 关于原点对称，连接 、，则 的面积可通过“割补法”结合 的几何意义求解。 易错点提示 计算面积时忽略绝对值，导致面积为负（ 可正可负，但面积一定为正，需取 ）； 对延伸模型的转化能力不足，无法将复杂图形面积转化为基本模型求解； 混淆“过点作垂线”与“连接原点”的图形，误判面积公式。 1．（2025·北京房山）如图，、两点在函数的图象上，轴于点，轴于点，若△，△的面积分别记为，，则 （填“<”“＝”或“>”）． 2．（2025·北京·一模）如图，点M在函数图象上，过点M作轴于点A，交函数图象于点N，连接和，如果的面积为1，那么 ． 3．（2025·北京大兴·一模）【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 考点四 反比例函数解析式的求法 反比例函数解析式中只有一个待定系数 ，因此 只需知道图像上一个点的坐标，即可用待定系数法求出解析式。 1. 待定系数法步骤 设：设反比例函数解析式为 （）； 代：将已知点的坐标 代入解析式，得到 ； 解：求解关于 的方程，得 （利用乘积式 更简便）； 写：将 的值代入所设解析式，写出最终的函数解析式。 2. 常见已知条件类型 已知 一个点的坐标（最基础类型）； 已知 图像上一点到坐标轴的距离（需注意分情况讨论坐标的符号）； 已知 与 相关的面积（利用 或 求出 ，再结合图像所在象限确定 的符号）； 已知 与一次函数的交点坐标（将交点坐标代入反比例函数解析式即可）。 易错点提示 代入点的坐标时，横、纵坐标颠倒（如将点 代入为 ）； 已知面积求 时，忽略 的符号（需结合图像所在象限判断 为正或负）； 已知点到坐标轴的距离时，未分情况讨论坐标的正负，导致漏解。 1．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若点和在函数（）的图象上，则的值为 ． 2．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点的横坐标为2． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，反比例函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围______． 3．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点A关于y轴的对称点B在双曲线上，则的值为 ． 考点五 反比例函数与一次函数的综合应用 反比例函数与一次函数的综合是中考的常考题型，多以解答题形式出现，考查交点坐标、图像分布、函数值比较及面积计算。 1. 求交点坐标 联立一次函数与反比例函数的解析式，组成方程组： 解此方程组，得到的解即为两个函数图像的交点坐标。 当方程组有两个不同的解时，两函数图像有 两个交点； 当方程组有一个解时，两函数图像 相切（北京中考较少考查）； 当方程组无解时，两函数图像 无交点。 2. 判断图像所在象限 根据一次函数的系数 、 和反比例函数的系数 的符号，共同判断两函数图像的交点所在象限。 3. 比较函数值大小 给定自变量 的取值范围，通过观察图像或代入计算，比较一次函数值 与反比例函数值 的大小关系： ：一次函数图像在反比例函数图像 上方 对应的x的取值范围； ：一次函数图像在反比例函数图像 下方 对应的x的取值范围。 4. 面积计算 结合两函数的交点坐标，利用“割补法”求围成的三角形或四边形的面积，核心是利用 的几何意义和一次函数与坐标轴的交点坐标。 易错点提示 解方程组时计算错误，导致交点坐标出错； 比较函数值大小时，忽略自变量的取值范围（尤其是双曲线的两支分属不同象限的情况）； 面积计算时，割补方法选择不当，导致计算复杂或出错。 1．（2025·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求n和k的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出m的取值范围． 2．（2025·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 3．（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线 与反比例函数 的图象分别交于点和，则 的值为 ． 命题点一 反比例函数的定义与解析式 ►题型01 根据反比例函数的定义求参数 1. 忽略k≠0限制：仅满足形式，未排除比例系数k=0的情况 2. 函数形式误判：混淆反比例函数（x的指数为-1）与一次、正比例函数，或解析式含常数项 3. 参数多重条件漏解：未同时满足“x指数为-1”和“k≠0”的双重要求 4. 解析式变形失误：整理含参解析式时出错，误判是否符合反比例函数定义 【典例】（2025北京专题）若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，则a的值是 ． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点两个不同的点和，若，则的值为 ． 【变式2】（2025·北京顺义）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为(    ) A． B．1 C．9 D．6 题型02 由反比例函数值求自变量 1. 忽略y≠0前提：对函数值y=0的情况误求x，实际无解 2. 解析式变形错误：由求x时，误得x，或移项乘除出错 3. 符号判断失误：k与y异号时，误判自变量x的符号 4. 遗忘k≠0限制：未确认k≠0，若k=0函数无意义，无法求x 【典例】如图，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的托盘中放置一定质量的砝码，可使仪器水平平衡平衡时遵循杠杆平衡条件，改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)与x之间的函数表达式为______； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与O点之间的距离； (3)当托盘B向右移动时，应往托盘中添加砝码还是减少砝码？并说明理由． 【变式1】（2025·北京专题）已知与成反比例，当时，． (1)求与的函数关系式； (2)当时，求y的值； (3)当时，求x的值． 【变式2】（2024·北京·中考）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则m的值为 ． 命题点二 反比例函数的图像与性质 ►题型01 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1. 对称规律记混：混淆原点（横纵全反）、y=x/y=-x（横纵互换/反号互换）的对称规则 2. 符号处理失误：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时横纵符号/位置错 3. 特殊点误判：误求坐标轴上的对称点（反比例图象与轴无交点，对称点也不在轴上） 4. 漏验证：未将所求对称点代入解析式确认，导致错误 【典例】（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【变式1】如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是 ． 【变式】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为 . 题型02 已知反比例函数的增减性求参数 1. 忽略前提限制：忘记增减性需“在每个象限内”，误将k>0/k<0的性质推广到全体实数 2. k符号判断反：把“k>0（每一象限内y随x增而减）、k<0（每一象限内y随x增而增）”记反 3. 漏k≠0条件：仅根据增减性求k范围，未排除k=0（此时非反比例函数）的情况 4. 多条件叠加漏解：结合函数过某象限等条件时，未综合增减性与象限对k的双重要求 【典例】（2024·北京延庆·一模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上，且，请你写出一个符合要求的k的值 ． 【变式1】（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 【变式2】（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 题型03 比较反比例函数值或自变量的大小 1. 忽略象限前提：跨象限比较时，误用同一象限内的增减性规律 2. 增减性记反：混淆k>0（每象限内y随x增而减）、k<0（每象限内y随x增而增）的性质 3. 图象位置漏判：未结合图象判断不同象限内函数值的大小（如k>0时，第一象限y值恒大于第三象限） 4. 自变量符号遗漏：比较自变量时，忽略x≠0及同一象限内x的符号一致性 【典例】（（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则的值可以为 （写出一个即可）． 【变式1】（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，的取值范围是 ． 【变式2】（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则 （填“”“”或“”）． 命题点三 系数 的几何意义 题型01 根据图形面积求比例系数 1. 忽略绝对值：误将面积直接等于k，忘记面积对应|k| 2. 符号判断错：仅求|k|值，漏根据点所在象限确定k的正负 3. 图形类型混淆：混淆矩形（面积=|k|）、三角形（面积=）与k的关系 4. 点的归属误判：误用不在双曲线上的点构成的图形求k 【典例】（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【变式1】（2024·北京海淀）“单词的记忆效率”是指复习一定量的单词，一周后能正确默写出的单词个数与复习的单词个数的比值．如图描述了某次单词复习中M，N，S，T四位同学的单词记忆效率y与复习的单词个数x的情况，则这四位同学在这次单词复习中正确默写出的单词个数最多的是 ． 【变式2】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 命题点四 反比例函数解析式的求法 题型01 求反比例函数解析式 1. 忽略k≠0限制：仅求出k值，未排除k=0（此时非反比例函数）的情况 2. 点坐标代入错误：横纵坐标颠倒，或代入y=时计算失误 3. 解析式变形失误：由y=推导k=xy时算错，或整理含参解析式误判形式 4. 隐含条件漏用：结合面积、对称点等条件时，漏根据象限判断k的正负 【典例】（2025·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值是 ． 【变式1】（2025·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 【变式2】（2025·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，若点，在函数的图象上，则m的值为 ． 命题点五 反比例函数与一次函数的综合应用 题型01 一次函数与反比例函数的交点问题 1. 联立方程失误：消元时计算错误，或未将反比例函数化为整式方程（漏乘x） 2. 漏验根：解分式方程后未检验，导致交点横坐标为0（反比例函数无意义） 3. 交点个数误判：忽略联立后一元二次方程的判别式，或混淆k符号对交点位置的影响 4. 符号代入错误：将交点坐标代入任一函数时，横纵坐标颠倒或符号处理失误 5. 忽略取值限制：未考虑实际问题中自变量的范围，误取无效交点 【典例】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，若函数的图像与直线交于点和点，则点的坐标是 ． 【变式1】（2025·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象交于点．则 ． 【变式2】（2025·北京·二模）下面关于函数的说法，正确的是 ．（填序号） （1）如图，直线：与轴交于，直线与直线：交于，则关于的不等式的解集是； （2）已知反比例函数的图象与直线交于两点、，则； （3）已知反比例函数图象上有两点，，且，则的取值范围是． 题型02 一次函数与反比例函数的实际应用 1. 模型选择错误：混淆两函数适用场景（如误将“路程固定的速度与时间”用一次函数建模，或“匀速运动的路程与时间”用反比例函数建模） 2. 数据处理失误：点坐标代入解析式时横纵颠倒，或未统一题目中单位（如km与m、h与min）就计算 3. 忽略取值限制：未考虑自变量实际意义（如人数、路程非负，速率非0），导致解不符合实际 4. 检验环节缺失：仅验证方程解的正确性，未检验解对应的函数值、实际情境是否合理 5. 跨象限分析错误：利用反比例函数增减性解决实际问题时，忽略其“同一象限内”的前提，跨象限比较大小或求范围 【典例】（2024·北京海淀）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【变式】（2023·北京东城·二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 突破一 反比例函数的图像与性质 【典例】（2025·北京平谷）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量的取值范围是 ； (2)取几组与的对应值，填写在下表中． … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 1.5 1 … 的值为_____________； (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是____________； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点(点在点的左侧)，则的值为____________． 【变式1】（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 突破二 反比例函数系数k的几何意义 【典例】如图，在矩形中，点O是坐标原点，点在的图象上，点B在反比例函数， ，则 ． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，函数的图象经过顶点和对角线的中点，交轴于点，若的面积为5，则的值为 ． 【变式2】（2025·北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 突破三 反比例函数与一次函数的综合 【典例】（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【变式】（2025·北京·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点和点，反比例函数图象上的一点C到直线的距离的最小值为，则 ． 突破四 实际问题与反比例函数 【典例】（2025·北京海淀）喜欢物理的小颖用如图1所示电路研究导体中的电流与电阻的关系，电源电压恒为，调节滑动变阻器的滑片可改变电阻的阻值．（），同时电流大小会随之改变．已知串联电路中，电流与电阻及之间关系为，滑动变阻器消耗的功率与电流及它自身电阻之间关系为，其中，通过实验和计算小颖得到了如下数据： 0 5 10 20 30 40 50 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 0 2.0 3.2 3.6 2.7 2.304 2.0 (1)补全表格中的信息：_________________，___________________． (2)结合表格信息，在图2中画出关于的函数图象，并写出其解析式：_________________． (3)小颖通过计算得到关于的函数解析式为，并借助计算机得到其函数图象如图3所示，由此她认为有最大值，为了证明这个结论，她查阅资料自学均值不等式的知识：“对于任意的两个正数，都有，当且仅当时等号成立”，请你补全下方小颖的证明过程： 首先 ∵时 ∴只需考虑的情况，此时， 又∵__________________， ∴__________________，当且仅当_____________时等号成立． 【变式】（2025北京通州）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所的图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．    (1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ； ②函数的图象可由得图象向 平移 个单位得到； ③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ (2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，． (3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案． 突破五 反比例函数与几何综合 【典例】（2024·北京西城·模拟预测）一次函数与反比例函数图象交于，两点（点的横坐标小于点的横坐标）． （1）若点的横坐标为，求一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； （2）若直线与轴交于点，与轴交于点，当时，求的取值范围． 【变式1】（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点． （1）求的值； （2）一次函数与y轴相交于点M，与反比例函数（）的图象交于点N，过点作x轴的平行线，过点作y轴的平行线，两平行线相交于点Q，当时，通过画图，直接写出a的取值范围． 【变式2】如图1，矩形的一条边长为x，周长的一半为y．定义为这个矩形的坐标．如图2，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成4个区域．已知矩形1的坐标的对应点A落在如图所示的双曲线上，矩形2的坐标的对应点落在区域④中． 则下面叙述中正确的是（    ） A．点A的横坐标有可能大于3 B．矩形1是正方形时，点A位于区域② C．当点A沿双曲线向上移动时，矩形1的面积减小 D．当点A位于区域①时，矩形1可能和矩形2全等 1．函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京东城·一模）已知三个点，，，，，在反比例函数的图象上，其中，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 4．若正比例函数与反比例函数的图象的一个交点是，则另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图象上，则的值（   ） A．一定是正数 B．一定是负数 C．一定等于0 D．是正数、负数或0都有可能，与k的取值有关 6．（2025·北京西城·模拟预测）已知点在反比例函数上，则下列各点也在该反比例图象上的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京海淀·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点是反比例函数图象上的两点．若四边形是菱形，则点的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．（2024·北京·三模）如图1，直线与反比例函数的图像交于点和点，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数的表达式及n的值； (2)将沿直线翻折，点O落在第一象限内的点E处，与反比例函数的图像交于点F，请求出点F的坐标． 10．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 1．（2024·北京大兴）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，点A在y轴正半轴上，矩形OABC的面积为 ．把矩形OABC沿DE翻折，使点B与点O重合，点C落在第三象限的G点处，作EH⊥x轴于H，过E点的反比例函数图象恰好过DE的中点F．则k＝ ，线段EH的长为： 　． 2．在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则 ．（用n的代数式表示） 3．（2025·北京平谷）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，若OA=4，OC=6，写出一个函数，使它的图象与矩形OABC的两边AB，BC分别交于点D，E，这个函数的表达式为 ． 4．（2024·北京海淀）在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x>0）的图象与直线y=x+1交于点A（2，m）． （1）求k、m的值； （2）已知点P（n，0），过点P作平行于 y 轴的直线，交直线y=x+1于点B，交函数y=（x>0）的图象于点C．若y=（x>0）的图象在点A、C之间的部分与线段AB、BC所围成的区域内（不包括边界），记作图形G．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当n=4时，直接写出图形G的整点坐标； ②若图形G 恰有2 个整点，直接写出n的取值范围． 5．（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为2，顶点A在x轴上，以点O为位似中心，作的位似图形，反比例函数的图象经过点B，交边于点E． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，结合以上信息，从①与的位似比为；②点C的坐标为这两个条件中任选一个条件作为补充，求的面积．你选择的条件是_______（只填序号），并写出求解过程． 1．（2025·广东湛江·一模）综合与实践-项目式学习 【项目主题】学科融合-用数学的眼光观察现实世界． 【项目背景】学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 【项目素材】 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：设表示物体到凸透镜的距离，表示像到凸透镜的距离，表示凸透镜的焦距（凸透镜中心到焦点之间的距离），小明在研究的过程中发现了，和之间在成实像时存在着关系： 【项目任务】根据项目素材解决问题： 任务一：如图，为物体，点为凸透镜的中心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点，为所成的像．当时，求的值． 任务二：已知凸透镜的焦距为，物体的高度为，当物体到凸透镜的距离为（）时，测量物体的成像的高度为． (1)请你利用所学的知识求出与的关系式． (2)当时，随的增大而________（填“增大”或“减小”）． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 3．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 …    (1)_______，_______； (2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；    ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________． (3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________． 4．【思维激活】 在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？ 【思维引导】 由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图1）． 如图1，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形．为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量和的长，得到部分数据如下： AB … 1.00 1.50 2.00 3.00 3.50 4.00 5.00 6.00 … … 7.00 5.50 5.00 5.00 5.21 5.50 6.20 7.00 … 【思维呈现】 （1）矩形的面积为__________； （2）根据上面表格中的数据，以的长为横坐标，的和为纵坐标，在图2的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑的曲线连接； （3）根据以上信息，判断存在最__________值（填“大”或“小”），此时矩形的周长约为__________（结果保留小数点后一位）； 【思维拓展】 （4）若一个面积为6的圆的周长记为，则__________（填“”，“”，“”） 5．（2025·广东东莞·二模）在平面直角坐标系中，直线l：与反比例函数的图象相交于，B两点，与x轴正半轴相交于点C，与y轴正半轴相交于点D，连接． 【数学理解】（1）求a和k的值； 【知识技能】（2）如图1，当点A在点B的左侧时，过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线相交于点E，连接，求证：把分成面积相等的两部分； 【拓展探究】（3）①如图2，在中，，点N在边上，，，则______． ②设F为反比例函数的图象上的点，连接，若，请求出F点的坐标（小贴士：）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $