第09讲 平面直角坐标系（复习讲义，3考点12题型3重难）（北京专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦平面直角坐标系中考核心考点，涵盖坐标系概念、点的坐标特征、坐标与图形变换及实际应用，构建“考情-知识-考点-命题-突破”复习体系，通过考点梳理、易错提示、真题训练帮助学生突破象限参数、对称规律等难点，体现系统性与针对性。 亮点在于“命题趋势分析+分层突破”策略，如结合北京中考真题分析坐标与几何图形综合题，培养学生几何直观与推理能力。设计“基础-能力-新趋势”三级练习，配合规律探索题型训练，提升学生数学思维与应用意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第四章 函数及其图象 第09讲平面直角坐标系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 11 命题点一 平面直角坐标系概念 题型01已知点所在的象限求参数 题型02点的规律探索 命题点二 点的坐标特征 题型01 中点坐标 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01 点的坐标的对称 05·重难突破·思维进阶难 17 突破一 坐标轴中两点之间的距离 突破二 坐标与轴对称 突破三 已知点所在的象限求参数 06·优题精选·练能提分 19 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角坐标系的概念 北京卷T28（综合题涉及坐标表示） 北京卷T8（旋转中坐标关系） 北京卷T22（函数图像与坐标） 理解平面直角坐标系的有关概念，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出坐标；能在方格纸上建立适当的直角坐标系描述物体的位置 点的坐标特征 / 北京卷T12（反比例函数图像上点的坐标） 北京卷T12,T26（反比例函数和一次函数图像上点的坐标） 掌握坐标轴上点的坐标特征；理解各象限内点的坐标符号特征；掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标关系 坐标与图形变化 / 北京卷T8（菱形旋转与坐标） 北京卷T28（几何变换与坐标） 能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；能写出一个已知顶点坐标的多边形关于坐标轴或原点对称的图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系 命题预测 1. 结合几何图形（如菱形、旋转图形）考查点的坐标表示及对称性；2. 坐标与函数图像结合，判断点是否在函数图像上；3. 网格中坐标与图形变换（平移、旋转、对称）的综合应用，强调数形结合思想 考点一 平面直角坐标系概念 1. 坐标系的组成 水平数轴叫x轴（横轴），向右为正方向；垂直数轴叫y轴（纵轴），向上为正方向。 两轴交点为原点O，坐标为(0,0)；x轴和y轴将平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标表示 平面内任意一点P，过P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（a）；过P作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（b），则P的坐标记为(a,b)（横坐标在前，纵坐标在后，不可颠倒）。 特殊点的坐标：原点(0,0)；x轴上的点纵坐标为0，记为(a,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,b)。 易错点提示 混淆横、纵坐标的顺序（如将(2,3)写成(3,2)）； 误将坐标轴上的点归为某一象限（如认为(2,0)在第一象限）。 1．（2024·北京丰台·一模）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（　　） A．（6，3） B．（6，4） C．（7，4） D．（8，4） 2．（2025·北京石景山·二模）如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1） 3．（2024·北京模拟）五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为 的位置处． 考点二 点的坐标特征 1. 各象限内点的坐标符号规律（北京中考高频选择题考点） 象限 横坐标（a） 纵坐标（b） 坐标符号示例 第一象限 正（+） 正（+） (3,2) 第二象限 负（-） 正（+） (-2,5) 第三象限 负（-） 负（-） (-1,-4) 第四象限 正（+） 负（-） (5,-3) 2. 对称点的坐标规律（中考核心，直接考查或结合几何图形对称） 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)（如(2,3)关于x轴对称点为(2,-3)）； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)（如(2,3)关于y轴对称点为(-2,3)）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)（如(2,3)关于原点对称点为(-2,-3)）； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)（北京中考偶尔考查，需掌握）。 3. 特殊位置点的坐标特征 平行于x轴的直线上的点：纵坐标相同（如(1,2)和(5,2)在同一条平行于x轴的直线上）； 平行于y轴的直线上的点：横坐标相同（如(3,-1)和(3,4)在同一条平行于y轴的直线上）； 第一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等（a=b，如(2,2)、(-3,-3)）； 第二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数（a=-b，如(2,-2)、(-1,1)）。 易错点提示 记忆对称点坐标时混淆“关于x轴”和“关于y轴”的规律（可总结：“关于x轴横不变，关于y轴纵不变”）； 忽略“关于原点对称”需横、纵坐标同时变号（易只变一个坐标）。 1．（2025·北京通州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个矩形，小球P从点出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹．每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京门头沟·二模）如图，在棋盘上摆放着6枚棋子，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果白棋A的坐标为（1，0），黑棋B的坐标为（2，1），当放入第4枚黑棋C时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋C的坐标不可能是（    ）    A．（0，1） B．（1，1） C．（－1，2） D．（3，－2） 3．（2025·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点三 坐标与距离、图形变换 1. 点到坐标轴、原点的距离（必考计算点） 点P(a,b)到x轴的距离：纵坐标的绝对值，即b； 点P(a,b)到y轴的距离：横坐标的绝对值，即a； 点P(a,b)到原点O的距离：利用勾股定理，即北京中考常结合勾股定理考查）。 2. 两点间距离公式（中考综合题常用工具） 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)： 当AB平行于x轴时（y1=y2），距离AB=x2-x1； 当AB平行于y轴时（x1=x2），距离AB=y2-y1； 任意两点间距离：（结合勾股定理推导，需熟练掌握）。 3. 坐标与图形变换（平移、旋转、对称，北京中考高频综合考点） （1）平移变换（中考最常考，结合函数图像平移或几何图形移动） 平移规律：“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”（核心口诀，避免混淆）； 具体：点P(a,b)平移后坐标： 向右平移m个单位：(a+m, b)；向左平移m个单位：(a-m, b)； 向上平移n个单位：(a, b+n)；向下平移n个单位：(a, b-n)。 （2）旋转变换（结合几何图形旋转考查，以原点为旋转中心） 绕原点旋转90°（顺时针）：P(a,b)→(b,-a)； 绕原点旋转90°（逆时针）：P(a,b)→(-b,a)； 绕原点旋转180°：P(a,b)→(-a,-b)（与关于原点对称规律相同）。 易错点提示 混淆“点到x轴距离”与“到y轴距离”（易把a当成到x轴的距离）； 平移时记错“左减右加” “上加下减”的对象（如向左平移误减纵坐标）； 两点间距离公式计算时忽略平方和开根号（或符号错误）。 1．（2024·北京通州·一模）平面直角坐标系中，点A(，﹣)到x轴的距离是 ． 2．（2024北京东城模拟）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 3．（2025北京模拟）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 考点四 坐标的实际应用 1. 用坐标表示地理位置（中考填空/解答题小题） 步骤：建立坐标系（确定原点、正方向、单位长度）→ 确定各地点的坐标→ 描述位置或计算距离。 常见场景：地图定位、校园布局、路线规划等（需注意单位长度统一）。 2. 坐标与方位角（结合三角函数考查，中考偶尔出现） 例：点A在点B的北偏东30°方向，距离5km处，可通过建立坐标系，用坐标表示A、B位置，结合三角函数求坐标。 易错点提示 建立坐标系时原点或正方向选择不当，导致坐标计算错误； 方位角与坐标结合时，混淆“北偏东” “东偏北”等方向描述。 1．（2025·北京中考模拟）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近． 3．（2025·北京模拟）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）    4．（2024·北京昌平·二模）昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（   ） A．（－2，－3） B．（－2，－2） C．（－3，－3） D．（－3，－4） 命题点一 平面直角坐标系概念 ►题型01 已知点所在的象限求参数 1. 象限坐标符号记混，列错不等式（组） 2. 忽略坐标轴点非象限内点，未排除横/纵坐标为0的情况 3. 含绝对值、平方的坐标表达式，未分析其非负/恒正性 4. 解不等式时，负系数化1未变号或混淆不等号边界 5. 多象限分类讨论（如第一或三象限）漏解 【典例】已知点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2024·北京朝阳）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且k是整数，则k的值为 ． 【变式2】（2025·北京通州）已知平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，则a的取值范围是 题型02 点的规律探索 1. 规律类型：周期性、递推性、图形关联 2. 核心易错：周期找错、符号遗漏、项数对应混乱、方向忽略 3. 解题关键：列前5点、分横纵坐标分析、验证规律 【典例】（2024·北京模拟）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，….若点的坐标为（3，1），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；若点的坐标为（，），对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为 . 【变式1】如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【变式2】（2025·北京联考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长CB交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形；….按照这样的规律，第2020个正方形的面积是 ． 命题点二 点的坐标特征 ►题型01 中点坐标 1. 象限点符号记反：混淆各象限横、纵坐标的正负组合 2. 坐标轴点特征混淆：误将x轴点记为横0，y轴点记为纵0 3. 特殊点特征遗漏：忽略原点(0,0)或其非象限内点属性 4. 坐标与位置对应错：横纵正负与左右上下的对应关系搞反 【典例】（2025北京延庆模拟）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，连接，若点M是线段的中点，则称点M是点P与图形W的“关联点”.已知点，点. (1)在点，，中，其中点 是点与线段的“关联点”； (2)若点O是点与线段的“关联点”，求m的取值范围； (3)若在直线上存在点E，使点E与线段的“关联点”是点，则b的最小值为________． 【变式1】（2024北京通州模拟）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”．    (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； (2)的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； (3)如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【变式】（2025北京朝阳联考）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01 坐标系中的对称 1. 对称规律记混：x轴（横同纵反）、y轴（纵同横反）、原点（横纵全反）混淆 2. 特殊点遗漏：坐标轴上点的对称未结合轴的坐标特征（如x轴上点对称后纵坐标仍为0） 3. 符号处理错：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时符号反号错误 【典例】（2025北京海淀）在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T不与O重合，使点P关于直线的对称点在⊙C上，则称P为的反射点．下图为的反射点P的示意图． (1)已知点A的坐标为，的半径为2， ①在点中，的反射点是 ； ②点P在直线上，若P为的反射点，求点P的横坐标的取值范围； (2)的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围 【变式1】（2025北京模拟）京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①图形关于直线对称； ②线段的长为； ③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形有两个公共点． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【变式2】（2024北京模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 题型02 点到坐标轴的距离 1. 混淆对应关系：误将到x轴距离记为横坐标绝对值，到y轴距离记为纵坐标绝对值（正确：x轴→纵绝，y轴→横绝） 2. 忽略绝对值：直接用坐标本身表示距离，未考虑坐标为负的情况 3. 已知距离求坐标漏解：忘记绝对值的双向性，只取正号或负号 【典例】（2023北京怀柔联考）在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离． (1)点关于x轴的折对点的坐标是______，折对距离为______； (2)点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标； (3)已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围． 【变式1】平面直角坐标系中，已知点，，且ABx轴，若点到轴的距离是到轴距离的2倍，则点的坐标为 ． 【变式2】（2023北京怀柔模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称． （1）当t =-3时，点N的坐标为 ； （2）以MN为底边作等腰三角形MNP． ①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 ； ②若MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是 (用含a的代数式表示) 突破一 坐标轴中两点之间的距离 【典例】（2024北京专练）在平面直角坐标系中有一个点，则点到坐标原点的距离是（   ） A． B．5 C． D． 【变式1】（2025北京模拟）如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿途中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“”或“”）装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为 ． 突破二 坐标与轴对称 【典例】对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则 ．    【变式2】如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为 ． 突破三 已知点所在的象限求参数 【典例】（2023北京东城）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限．若点在两坐标轴夹角平分线上，则的值为 ． 【变式1】（2025北京专题练习）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024北京西城二模）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣4，m+2）在y轴上，则m＝ ，点P的坐标为 ． 1．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是（　　） A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22） 2．（2025·北京顺义·二模）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，如图.建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1）； 乙同学：A（0，0），B（0，-1），C（1，-1），D（1，0）； 丙同学：A（1，0），B（1，-2），C（3，-2），D（3，0）； 丁同学：A（-1，2），B（-1，0），C（0，0），D（0，2）； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是（      ） A．甲、乙、丙 B．乙、丙、丁 C．甲、丙 D．甲、乙、丙、丁 3．（2024·北京顺义·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，有、、、四点．若有一直线l经过点且与轴垂直，则l也会经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·北京海淀·模拟预测）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，则一定在第四象限的点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 6．（2023·北京海淀·模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点顺时针旋转，若，则点的对应点的坐标为 ．    7．（2025·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，等腰直角三角形的边在x轴的正半轴上，，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将绕点A逆时针旋转，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边的长为 ． 8．（2025·北京·模拟预测）如图，点，点在轴上，绕着顺时针旋转至，点的横坐标为7，求点的纵坐标 ． 9．（2024·北京门头沟·二模）如图，动点在平面直角坐标系中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点的坐标是(　　) A．(26，0) B．(26，1) C．(27，1) D．(27，2) 10．（2023·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，是正方形边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线与x轴正半轴的夹角为，且，则点M所在的线段可以是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 1．（2025·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． (1)点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； (2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 2．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 3．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 2．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 7．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度．四边形顶点都在格点上，点的坐标为 (1)以点为旋转中心，将四边形顺时针旋转，得到四边形，画出旋转后的图形，并写出、、的坐标； (2)求点旋转轨迹的长度． 8．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标； (2)如图2，平分交于点，求的面积； 10．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 函数及其图象 第09讲平面直角坐标系 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 20 命题点一 平面直角坐标系概念 题型01已知点所在的象限求参数 题型02点的规律探索 命题点二 点的坐标特征 题型01 中点坐标 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01 点的坐标的对称 05·重难突破·思维进阶难 43 突破一 坐标轴中两点之间的距离 突破二 坐标与轴对称 突破三 已知点所在的象限求参数 06·优题精选·练能提分 52 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 平面直角坐标系的概念 北京卷T28（综合题涉及坐标表示） 北京卷T8（旋转中坐标关系） 北京卷T22（函数图像与坐标） 理解平面直角坐标系的有关概念，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出坐标；能在方格纸上建立适当的直角坐标系描述物体的位置 点的坐标特征 / 北京卷T12（反比例函数图像上点的坐标） 北京卷T12,T26（反比例函数和一次函数图像上点的坐标） 掌握坐标轴上点的坐标特征；理解各象限内点的坐标符号特征；掌握关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标关系 坐标与图形变化 / 北京卷T8（菱形旋转与坐标） 北京卷T28（几何变换与坐标） 能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；能写出一个已知顶点坐标的多边形关于坐标轴或原点对称的图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系 命题预测 1. 结合几何图形（如菱形、旋转图形）考查点的坐标表示及对称性；2. 坐标与函数图像结合，判断点是否在函数图像上；3. 网格中坐标与图形变换（平移、旋转、对称）的综合应用，强调数形结合思想 考点一 平面直角坐标系概念 1. 坐标系的组成 水平数轴叫x轴（横轴），向右为正方向；垂直数轴叫y轴（纵轴），向上为正方向。 两轴交点为原点O，坐标为(0,0)；x轴和y轴将平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 点的坐标表示 平面内任意一点P，过P作x轴的垂线，垂足对应的数为横坐标（a）；过P作y轴的垂线，垂足对应的数为纵坐标（b），则P的坐标记为(a,b)（横坐标在前，纵坐标在后，不可颠倒）。 特殊点的坐标：原点(0,0)；x轴上的点纵坐标为0，记为(a,0)；y轴上的点横坐标为0，记为(0,b)。 易错点提示 混淆横、纵坐标的顺序（如将(2,3)写成(3,2)）； 误将坐标轴上的点归为某一象限（如认为(2,0)在第一象限）。 1．（2024·北京丰台·一模）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（　　） A．（6，3） B．（6，4） C．（7，4） D．（8，4） 【答案】C 【详解】根据题意知小李所对应的坐标是（7，4）. 故选C. 2．（2025·北京石景山·二模）如图，小石同学在正方形网格中确定点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（﹣2，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1） 【答案】A 【分析】直接利用已知点坐标确定平面直角坐标系，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 点C的坐标为（1，-2）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是要正确得出原点位置． 3．（2024·北京模拟）五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子的坐标为，为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为 的位置处． 【答案】或 【分析】根据五子连棋的规则，白方已把（4，6）（5，5）（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，据此即可确定点的坐标． 【详解】解：根据题意可知因为白方已把（4，6）（5，5）（6，4）三点凑成在一条直线，黑方只有在此三点两端任加一点即可保证不会让白方在短时间内获胜，即（3，7）或（7，3）， 故答案为：（3，7）或（7，3）． 【点睛】本题考查点的坐标的确定及生活中的棋类常识，熟练并正确理解题意和识图是解题的关键． 考点二 点的坐标特征 1. 各象限内点的坐标符号规律（北京中考高频选择题考点） 象限 横坐标（a） 纵坐标（b） 坐标符号示例 第一象限 正（+） 正（+） (3,2) 第二象限 负（-） 正（+） (-2,5) 第三象限 负（-） 负（-） (-1,-4) 第四象限 正（+） 负（-） (5,-3) 2. 对称点的坐标规律（中考核心，直接考查或结合几何图形对称） 关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即P(a,b)→P1(a,-b)（如(2,3)关于x轴对称点为(2,-3)）； 关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即P(a,b)→P2(-a,b)（如(2,3)关于y轴对称点为(-2,3)）； 关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即P(a,b)→P3(-a,-b)（如(2,3)关于原点对称点为(-2,-3)）； 关于直线y=x对称：横、纵坐标互换，即P(a,b)→P4(b,a)（北京中考偶尔考查，需掌握）。 3. 特殊位置点的坐标特征 平行于x轴的直线上的点：纵坐标相同（如(1,2)和(5,2)在同一条平行于x轴的直线上）； 平行于y轴的直线上的点：横坐标相同（如(3,-1)和(3,4)在同一条平行于y轴的直线上）； 第一、三象限角平分线上的点：横、纵坐标相等（a=b，如(2,2)、(-3,-3)）； 第二、四象限角平分线上的点：横、纵坐标互为相反数（a=-b，如(2,-2)、(-1,1)）。 易错点提示 记忆对称点坐标时混淆“关于x轴”和“关于y轴”的规律（可总结：“关于x轴横不变，关于y轴纵不变”）； 忽略“关于原点对称”需横、纵坐标同时变号（易只变一个坐标）。 1．（2025·北京通州·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个矩形，小球P从点出发沿直线向点B运动，到达点B时被第一次反弹．每当小球P沿直线运动碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用100除以6，根据商的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图， ∵...4， ∴当小球P第次碰到矩形的边时，小球P所在位置的坐标为． 故选：A． 【点睛】此题考查了坐标的变化规律，找到小球位置变化规律是解题的关键． 2．（2024·北京门头沟·二模）如图，在棋盘上摆放着6枚棋子，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系．如果白棋A的坐标为（1，0），黑棋B的坐标为（2，1），当放入第4枚黑棋C时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋C的坐标不可能是（    ）    A．（0，1） B．（1，1） C．（－1，2） D．（3，－2） 【答案】B 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：平面直角坐标系如图所示：    当放入第4枚黑棋时，所有棋子恰好组成轴对称图形，黑棋的坐标不可能是， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律，正方形的性质，解直角三角形，由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，再结合，得出点在第三象限的角平分线上，分别求出，，，同理可得，，再求出点的横纵坐标即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向上方作正方形， ∴， ∴； 同理可得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 考点三 坐标与距离、图形变换 1. 点到坐标轴、原点的距离（必考计算点） 点P(a,b)到x轴的距离：纵坐标的绝对值，即b； 点P(a,b)到y轴的距离：横坐标的绝对值，即a； 点P(a,b)到原点O的距离：利用勾股定理，即北京中考常结合勾股定理考查）。 2. 两点间距离公式（中考综合题常用工具） 若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)： 当AB平行于x轴时（y1=y2），距离AB=x2-x1； 当AB平行于y轴时（x1=x2），距离AB=y2-y1； 任意两点间距离：（结合勾股定理推导，需熟练掌握）。 3. 坐标与图形变换（平移、旋转、对称，北京中考高频综合考点） （1）平移变换（中考最常考，结合函数图像平移或几何图形移动） 平移规律：“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”（核心口诀，避免混淆）； 具体：点P(a,b)平移后坐标： 向右平移m个单位：(a+m, b)；向左平移m个单位：(a-m, b)； 向上平移n个单位：(a, b+n)；向下平移n个单位：(a, b-n)。 （2）旋转变换（结合几何图形旋转考查，以原点为旋转中心） 绕原点旋转90°（顺时针）：P(a,b)→(b,-a)； 绕原点旋转90°（逆时针）：P(a,b)→(-b,a)； 绕原点旋转180°：P(a,b)→(-a,-b)（与关于原点对称规律相同）。 易错点提示 混淆“点到x轴距离”与“到y轴距离”（易把a当成到x轴的距离）； 平移时记错“左减右加” “上加下减”的对象（如向左平移误减纵坐标）； 两点间距离公式计算时忽略平方和开根号（或符号错误）。 1．（2024·北京通州·一模）平面直角坐标系中，点A(，﹣)到x轴的距离是 ． 【答案】 【分析】直接利用点的坐标性质得出A到x轴的距离． 【详解】解：∵点A(，﹣)， ∴A点到x轴的距离是：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质：点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，正确利用点的坐标特点是解题关键． 2．（2024北京东城模拟）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，的半径为1．若P是上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 【答案】(1)， (2)3 (3)点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围为 【分析】（1）分别求出各点到x轴和y轴的距离，得到“和距离”，从而作出判断即可； （2）设点P的坐标为，则点P关于x轴和y轴的“和距离”为，分类讨论根据m的取值范围，求得的值的范围，从而得到其最小值，即可解答； （3）设点，利用等面积法表示出点P到直线的距离，从而表示出d，发现d的范围取决于的范围，令，则直线与有公共点，即点到的距离，利用前面得到的点到直线的距离公式计算t的范围，从而得到d的范围． 【详解】（1）解：点到x轴的距离为0，到y轴的距离为3，则“和距离”为； 点到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则“和距离”为； 点到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则“和距离”为； 点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，． 故答案为：，． （2）解：点P是直线上的动点， 设点P的坐标为， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，关于x轴和y轴的“和距离”为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当时，该不等式组无解． ， 即点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3， 故答案为：3． （3）解：如图，设点，作轴于点N，交直线于点R，直线于点M，轴交直线于点S， ，=，点，点， ， ， ， ， 令，则直线，依题意，直线与有公共点， 设直线点到的距离为，则， 根据上面点到直线的距离公式得到，则， ， ，即． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，绝对值不等式的分类讨论等，解题关键是利用点到直线的距离公式数形结合进行分析． 3．（2025北京模拟）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①4；②1 (2)①或5；②或 【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可 （2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可； ②分和讨论即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大，∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ， ∵线段上点C到x轴的距离最大，∴； （2）解：①∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5； ②∵，， I. 当时，，， ∴，， ∴， ， ∴当时，的值总不变； II. 当时，，， ∴， ∴， III. 当时，，，即， ∴，， ∴， ∴当时，的值总不变； 综上，当或时，的值总不变． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型． 考点四 坐标的实际应用 1. 用坐标表示地理位置（中考填空/解答题小题） 步骤：建立坐标系（确定原点、正方向、单位长度）→ 确定各地点的坐标→ 描述位置或计算距离。 常见场景：地图定位、校园布局、路线规划等（需注意单位长度统一）。 2. 坐标与方位角（结合三角函数考查，中考偶尔出现） 例：点A在点B的北偏东30°方向，距离5km处，可通过建立坐标系，用坐标表示A、B位置，结合三角函数求坐标。 易错点提示 建立坐标系时原点或正方向选择不当，导致坐标计算错误； 方位角与坐标结合时，混淆“北偏东” “东偏北”等方向描述。 1．（2025·北京中考模拟）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可． 【详解】根据点A的坐标为，表示点B的坐标为， 可得： ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查坐标确定位置，本题解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向． 2．（2024·北京海淀·一模）小杰与同学去游乐城游玩，他们准备根据游乐城平面示意图安排游玩顺序，如果用表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，那么攀岩的位置可以表示为 ， 的位置离入口最近． 【答案】 天文馆 【分析】先根据入口和高空缆车的位置，确定原点，并建立平面直角坐标系，即可进行解答． 【详解】解：∵表示入口处的位置，表示高空缆车的位置， ∴可建立如图所示平面直角坐标系： 由图可知：攀岩的位置可以表示为，天文馆的位置离入口最近． 故答案为：，天文馆． 【点睛】本题主要考查了根据题意建立平面直角坐标系，解题的关键是根据表示入口处的位置，表示高空缆车的位置，确定原点位置． 3．（2025·北京模拟）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示．）    【答案】 3或4 6n－3 【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与△AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案． 【详解】解：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1）， （1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4． 当点B的横坐标为4n（n为正整数）时， ∵以OB为长OA为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n－1）×3=12n－3，对角线AB上的整点个数总为3， ∴△AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n－3－3）÷2=6n－3． 故答案为：3或4；6n－3．    【点睛】本题考查分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质． 4．（2024·北京昌平·二模）昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2，0），表示园中园的点的坐标为（-1，2），则表示弘文阁所在的点的坐标为（   ） A．（－2，－3） B．（－2，－2） C．（－3，－3） D．（－3，－4） 【答案】B 【分析】直接利用文节亭的点的坐标为（2，0），进而得出原点位置进而得出答案． 【详解】如图所示： 弘文阁所在的点的坐标为：（-2，-2）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 命题点一 平面直角坐标系概念 ►题型01 已知点所在的象限求参数 1. 象限坐标符号记混，列错不等式（组） 2. 忽略坐标轴点非象限内点，未排除横/纵坐标为0的情况 3. 含绝对值、平方的坐标表达式，未分析其非负/恒正性 4. 解不等式时，负系数化1未变号或混淆不等号边界 5. 多象限分类讨论（如第一或三象限）漏解 【典例】已知点A（m，n）在第二象限，则点B（|m|，-n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数，即可确定出m、n的正负，从而确定|m|，-n的正负，即可得解． 【详解】解:∵点A在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴|m|＞0，-n＜0， ∴点B在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 【变式1】（2024·北京朝阳）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且k是整数，则k的值为 ． 【答案】1 【分析】由象限的横纵坐标的符号特征可列出不等关系，再根据k为整数即可求解． 【详解】解：由题意可知k满足且， 解得：， 又因为k为正数，则， 故答案为：1． 【点睛】本题考查点所在的象限、解一元一次不等式组，解答的关键是熟知点所在的象限符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【变式2】（2025·北京通州）已知平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限，则a的取值范围是 【答案】a＜3． 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标小于0，纵坐标大于0，可得a﹣3＜0，求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中的点P（a﹣3，2）在第二象限， ∴a的取值范围是：a﹣3＜0， 解得：a＜3． 故答案为a＜3． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 题型02 点的规律探索 1. 规律类型：周期性、递推性、图形关联 2. 核心易错：周期找错、符号遗漏、项数对应混乱、方向忽略 3. 解题关键：列前5点、分横纵坐标分析、验证规律 【典例】（2024·北京模拟）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点，已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，….若点的坐标为（3，1），则点的坐标为 ，点的坐标为 ；若点的坐标为（，），对于任意的正整数，点均在轴上方，则，应满足的条件为 . 【答案】（-3，1）；（0，4）；且 【分析】由伴随点的定义，可以找出数据的各个数值，从而发现规律，由规律即可得出结论． 【详解】由题意可知，若A1（x,y)，则有A2（-y+1,x+1）、A3（-x,-y+2）、A4（y-1,-x+1）、A5（x,y）、A6（-y+1,x+1）、A7（-x,-y+2）、… 由此可知这样的点四个就开始循环了， 因此可知点A3的坐标为（-3，1），点A2014的坐标为（0，4）； 若要 对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则必须满足b>0、-b+2>0、a+1>0、-a+1>0 因此可得a，b应满足的条件为且 故答案为：（-3，1）；（0，4）；且 【变式1】如图，是坐标原点，的直角顶点在轴的正半轴上，，，反比例函数的图象经过斜边的中点，点关于的对称点为点，连接交反比例函数图象于点． （1） ； （2）点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】（1）由，可得，根据，可得，求出，再根据中点坐标公式求出点的坐标，即可求解； （2）根据对称的性质求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，最后联立直线和反比例函数的解析式，即可求解． 【详解】解：（1）， ， 在中，， ， ， 点是的中点， ，即， ， （2）点关于的对称点为点，， ， 设直线的解析式为，将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（1）可得反比例函数的解析式为， 联立， 解得：（负值已舍去）， 点的横坐标为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，对称的性质，解题的关键是掌握相关知识． 【变式2】（2025·北京联考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长CB交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形；….按照这样的规律，第2020个正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】先求出正方形ABCD的边长和面积，再求出第一个正方形A1B1C1C的面积，得出规律，根据规律即可求出第2020个正方形的面积． 【详解】解：由题意得，，根据勾股定理得， ∴正方形ABCD的面积为. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴正方形的面积为：. 同理可得正方形的面积为：， 根据规律可得第2020个正方形的面积为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，以及坐标与图形性质；通过求出正方形ABCD和正方形A1B1C1C的面积得出规律是解决问题的关键．错因分析：①不能通过相似正确求出、的长度；②不能正确找到后一个正方形面积是前一个正方形面积的倍这一递变的规律. 命题点二 点的坐标特征 ►题型01 中点坐标 1. 象限点符号记反：混淆各象限横、纵坐标的正负组合 2. 坐标轴点特征混淆：误将x轴点记为横0，y轴点记为纵0 3. 特殊点特征遗漏：忽略原点(0,0)或其非象限内点属性 4. 坐标与位置对应错：横纵正负与左右上下的对应关系搞反 【典例】（2025北京延庆模拟）在平面直角坐标系中，对于点P和图形W，给出如下定义：点Q是图形W上任意一点，连接，若点M是线段的中点，则称点M是点P与图形W的“关联点”.已知点，点. (1)在点，，中，其中点 是点与线段的“关联点”； (2)若点O是点与线段的“关联点”，求m的取值范围； (3)若在直线上存在点E，使点E与线段的“关联点”是点，则b的最小值为________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的几何问题，求中点坐标，待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解题意，掌握中点坐标公式． （1）利用待定系数法求出直线的解析式，根据定义求出“关联点”的解析式，然后判断点是否在直线上即可； （2）根据题意，求出临界点线段的中点坐标即可； （3）假设，根据临界点线段中点的坐标求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，点，代入解析式得， ， 解得， ∴，， ∴点与线段的“关联点”的解析式为， 当时，， ∴点不是点与线段的“关联点”； 当时，， ∴点是点与线段的“关联点”； 当时，， ∴点是点与线段的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：∵点，点，点，， ∴当点是线段中点时，； 当点是线段中点时，； ∴； （3）解：假设， ∵点，点， ∴当点为线段中点时，， 解得， ∴， 解得； 当点为线段中点时，， 解得， ∴， 解得； ∴b的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（2024北京通州模拟）在平面直角坐标系中，的半径为．给出如下定义：过外一点作直线与交于点、，若为线段的中点，则称线段是的“外倍线”．    (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的“外倍线”是______； (2)的“外倍线”与直线相交，求点纵坐标的取值范围； (3)如图，若的“外倍线”，的坐标为，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）由题意确定点的位置，再用勾股定理即可求解； （3）连接，过点P作，交x轴于点B，求出点P所在的位置，得到若直线与线段有公共点，则直线与有交点，从而求出b的取值范围． 【详解】（1）解：根据“外倍线”定义可知： ∴，是的“外倍线”， 故答案为：，； （2）解：如图，由（）得：    如图，点在以为圆心，半径为的圆上，该圆与直线在第一象限的交点的纵坐标为：， 根据对称性可知第四象限的交点的纵坐标为：， ∴； （3）解：连接，过点P作，交x轴于点B， ∵，点M是的中点，， ∴， ∴点A是中点，， ∵， ∴， ∵， ∴点P在以A为圆心，2为半径的圆上， 若直线与线段有公共点，则直线与有交点， 作直线与只有唯一一个交点P，交x轴于点C， ∴是的切线， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴点C的坐标为 把代入，得， 得直线的解析式为， 同理可得的解析式为， 若直线与有交点，则b的取值范围是． 【点睛】本题考查了新定义的概念，切线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，本题的关键在于理解新定义的概念，从而画出图象解题． 【变式】（2025北京朝阳联考）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点分别为，，，线段在矩形的外面．给出如下定义：将线段关于直线对称，得到线段，若线段不在矩形的外面，则称线段为矩形关于直线的对称线段，线段与线段中点间的距离为线段到矩形的对称距离． (1)如图，已知点，，，在线段，中，是矩形关于轴的对称线段的是______，该线段到矩形的对称距离为______； (2)过点作轴的垂线． ①已知点，，若存在，使线段MN是矩形关于直线的对称线段，则的取值范围是______； ②已知点，，若存在，使线段是矩形关于直线的对称线段，则线段到矩形的对称距离的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）分别写出，，，关于轴对称的坐标，即可得出答案，然后再写出相应的中点坐标，求出其距离即可； （2）①过点作轴的垂线，那么该直线为，然后写出点，关于直线的对称点为，，据题意可知，点，，在矩形的外面，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和讨论即可得出答案；②点，关于直线的对称点为，，根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部，那么有，那么有，然后分成和分别讨论出的范围，进而得到的范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，，关于轴对称的坐标分别为，，在矩形的内部，，关于轴对称的坐标分别为，，不在矩形的内部， 那么矩形关于轴的对称线段的是，如图所示： 那么、的中点为，，即、， 那么、之间的距离为，该线段到矩形的对称距离为， 故答案为：，； （2）解：①过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，，在矩形的外面， ，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 那么当时，点为，， ，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 综上，； 故答案为：； ②过点作轴的垂线，那么该直线为， 点，关于直线的对称点为，， 根据题意可知，点，在矩形的外面，，，在矩形的内部， 那么有，那么有， 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 那么当时，点为，，，，为保证，在矩形的内部，如图所示： 那么需要满足，即， 此时，点为，的中点为，，的中点为，则线段到矩形的对称距离为，那么； 综上，； 则线段到矩形的对称距离的取值范围是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了“对称线段”，“对称距离”，两点距离公式，两点的中点公式，轴对称的性质，理解“对称线段”和“对称距离”，画出图形数形结合是解题的关键． 命题点三 坐标与距离、图形变换 题型01 坐标系中的对称 1. 对称规律记混：x轴（横同纵反）、y轴（纵同横反）、原点（横纵全反）混淆 2. 特殊点遗漏：坐标轴上点的对称未结合轴的坐标特征（如x轴上点对称后纵坐标仍为0） 3. 符号处理错：原点对称仅变一个坐标符号，或轴对称时符号反号错误 【典例】（2025北京海淀）在平面直角坐标系中，对于点P和，给出如下定义：若上存在一点T不与O重合，使点P关于直线的对称点在⊙C上，则称P为的反射点．下图为的反射点P的示意图． (1)已知点A的坐标为，的半径为2， ①在点中，的反射点是 ； ②点P在直线上，若P为的反射点，求点P的横坐标的取值范围； (2)的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值范围 【答案】(1)①M、N；②，或 (2) 【分析】（1）①根据的反射点的定义，画出图形即可判断； ②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作轴于点H，如图．求出点 D、E、F、G的横坐标，结合反射点的定义即可解决问题； （3）如图3中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，由此即可判断． 【详解】（1）解：①如图中， 观察图象可知：⊙A的反射点是M，N． 故答案为M、N． ②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，过点作轴于点H，如图． 可求得点D的横坐标为． 同理可求得点E，F，G，的横坐标分别为，，． 点P是的反射点，则上存在一点T，使点P关于直线的对称点在上，则. ∵， ∴． 反之，若，上存在点Q，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点P是的反射点． ∴点P的横坐标x的取值范围是，或； （2）如图中，当C坐标为时，的反射点P是以为圆心的，此时与y轴相切，所以满足条件的圆心C的横坐标x的取值范围是． 【点睛】本题考查圆的有关知识、反射点的定义、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（2025北京模拟）京剧作为一门中国文化的传承艺术，常常受到外国友人的青睐．如图，在平面直角坐标系中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形．点，，，分别是图形与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，且，半圆圆心的坐标为．关于图形给出下列四个结论： ①图形关于直线对称； ②线段的长为； ③图形围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ④当时，直线与图形有两个公共点． 其中正确的是（   ） A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景，曲线的对称性、整点问题，构造直角三角形，利用勾股定理求点的坐标． 由题意很明显可以得到图形的对称轴为，故①正确；构造直角三角形，利用勾股定理求得的长，进而求得的长，故②正确；从图中可以很直观地得到③错误；最后将，，代入图中，不能得出结论④，故④错误． 【详解】解：依题意，由圆可知，，， 且点，在抛物线上， 图形关于对称，故①正确； 连接， 在中， ， ， ， 又， ， ，故②正确； 根据题意得，由图形围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误； 由题意得，， 当时，与图形有一个公共点， 当时，与图形有两个公共点，故④错误； 故选：B． 【变式2】（2024北京模拟）在平面直角坐标系中，的半径为1，点是外一点，给出如下定义：若在上存在点，使得点关于某条过点的直线对称后的点在上，则称点为点关于的“关联对称点”． (1)若点在直线上； ①若点的坐标为，则，，中，是点关于的“关联对称点”的是_____； ②若存在点关于的“关联对称点”，求点的横坐标的取值范围； (2)已知点，动点满足，若点关于的“关联对称点”存在，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，平行线分线段成比例，解一元二次方程，点与圆的位置关系求最值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）①根据新定义，画出图形，进而即可求解； ②设与交于点，，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据勾股定理得出，联立直线解析式，得出交点坐标，进而根据平行线段成比例得出，同理可得的最小值为，即可求解； （2）依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，进而根据点与圆的位置关系，求得的最值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 连线的中点在的内部，的中点的纵坐标为1，则点，关于y=1对称点关于的关联点是， 故答案为：，． ② 如图所示，点在线段和上， 设， 在中，， 解得（舍）， ； 同理，，， 或； （2）解：依题意，关于的关联点在半径为3的圆内，如图所示， ， 则在半径为1的上以及圆内，关于的关联点， ∴的最大值为， 如图所示，当在线段上时，取最小值， ， 四边形是矩形，则， 设，则， 在中，， 在中，， ， 解得， ． 题型02 点到坐标轴的距离 1. 混淆对应关系：误将到x轴距离记为横坐标绝对值，到y轴距离记为纵坐标绝对值（正确：x轴→纵绝，y轴→横绝） 2. 忽略绝对值：直接用坐标本身表示距离，未考虑坐标为负的情况 3. 已知距离求坐标漏解：忘记绝对值的双向性，只取正号或负号 【典例】（2023北京怀柔联考）在平面直角坐标系中，点，过点P作轴，垂足为点H，给出如下定义：将点H向右平移个单位，得到点Q，则称点Q是点P关于x轴的折对点；当时，则称d为点P关于点Q的折对距离． (1)点关于x轴的折对点的坐标是______，折对距离为______； (2)点Q是点P关于x轴的折对点，若折对点，写出一个符合条件的P点坐标； (3)已知点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形，在正方形上存在点P，且点P关于点Q的折对距离，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据折对点及折对距离的定义求解即可； （2）根据折对点的定义确定平移距离，写出点的坐标即可； （3）由题意可知正方形边长为，根据点P关于点Q的折对距离，分类讨论，确定取值范围即可． 【详解】（1）解：点，过点P作轴，则点H的坐标为，， 向右平移个单位后得到折对点坐标为； 折对距离为， 故答案为：，． （2）解：点Q是点P关于x轴的折对点，折对点，设点Q是向右平移个单位得到的，则点P的坐标为或（答案不唯一）． （3）解：∵点，，以线段AB为边，在x轴上方作正方形， ∴正方形的边长为，当点P在上时，点P关于点Q的折对距离，t的最小值为，即． 当点P在上时，点P关于点Q的折对距离，t的最大值为，即； 所以，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，解题关键是准确理解新定义，利用点的坐标特征解决问题． 【变式1】平面直角坐标系中，已知点，，且ABx轴，若点到轴的距离是到轴距离的2倍，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】根据AB平行x轴，两点的纵坐标相同，得出y=2，再根据点到轴的距离是到轴距离的2倍，得出即可． 【详解】解：∵点，，且ABx轴， ∴y=2， ∵点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴， ∴， ∴B（-4，2）或（4，2）． 故答案为（-4，2）或（4，2）． 【点睛】本题考查两点组成线段与坐标轴的位置关系，点到两轴的距离，掌握两点组成线段与坐标轴的位置关系，与x轴平行，两点纵坐标相同，与y轴平行,两点的横坐标相同，点到两轴的距离，到x轴的距离为|y|，到y轴的距离是|x|是解题关键． 【变式2】（2023北京怀柔模拟）在平面直角坐标系xOy中，点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称． （1）当t =-3时，点N的坐标为 ； （2）以MN为底边作等腰三角形MNP． ①当t =1且直线MP经过原点O时，点P坐标为 ； ②若MNP上所有点到x轴的距离都不小于a(a是正实数)，则t的取值范围是 (用含a的代数式表示) 【答案】（1）(2，-1)；（2）①(-2，1)；②t≥a+2或t≤-a-2 【分析】（1）先求出对称轴，再表示N点坐标即可； （2）①以MN为底边作等腰三角形MNP，则点P在直线y=t=1上，直线OM与y=1的交点即为所求； ②表示出M、N、P的坐标，比较纵坐标的绝对值即可． 【详解】（1）过点(0，t)且垂直于y轴的直线解析式为y=t ∵点M(2，t-2)与点N关于过点(0，t)且垂直于y轴的直线对称 ∴可以设N点坐标为（2，n），且MN中点在y=t上 ∴，记得 ∴点N坐标为 ∴当t =-3时，点N的坐标为 （2）①∵以MN为底边作等腰三角形MNP，且点M(2，t-2)与点N直线y=t对称． ∴点P在直线y=t上，且P是直线OM与y=1的交点 当t =1时M(2，-1)，N(2，3) ∴OM直线解析式为 ∴当y=1时， ∴P点坐标为(-2，1) ②由题意得，点M坐标为(2，t-2)，点N坐标为，点P坐标为 ∵，MNP上所有点到x轴的距离都不小于a ∴只需要或者 当M、N、P都在x轴上方时，，此时，解得t≥a+2 当MNP上与x轴有交点时，此时MNP上所有点到x轴的距离可以为0，不符合要求； 当M、N、P都在x轴下方时，，此时，解得t≤-a-2 综上t≥a+2或t≤-a-2 【点睛】本题考查坐标与轴对称、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称表示坐标，属于中考常考题型． 突破一 坐标轴中两点之间的距离 【典例】（2024北京专练）在平面直角坐标系中有一个点，则点到坐标原点的距离是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：点， 点到坐标原点的距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是利用数形结合思想，根据勾股定理，准确进行计算． 【变式1】（2025北京模拟）如图，某建筑公司有，，三个建筑工地，三个工地的水泥日用量分别为吨，吨，吨，有，两个原料库供应水泥，使用一辆载重量大于吨的运输车可沿途中虚线所示的道路运送水泥．为节省运输成本，公司要进行运输路线规划，使总的“吨千米数”（吨数×运输路线千米数）最小．若公司安排一辆装有吨的运输车向和工地运送当日所需的水泥，且，为使总的“吨千米数”最小，则应从 原料库（填“”或“”）装运；若公司计划从原料库安排一辆装有吨的运输车向，，三个工地运送当日所需的水泥，，，则总的“吨千米数”最小为 ． 【答案】 24 【分析】本题考查了坐标与图形，整式加减运算的应用，勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 先利用勾股定理和点的坐标求出各线段的长度，根据题意列式，利用整式的加减运算，分类求解即可． 【详解】解：（1）根据点的坐标得，，，，，， 由勾股定理得，,，， 若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地， 总的“吨千米数”至少为； 若从原料库装运，应先沿着运往工地，再沿着运往工地， 总的“吨千米数”至少为； ∵， ∴， ∴应选从原料库装运； （2）方案一，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案二，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案三，若先送达到工地，则总的“吨千米数”为， 将，，代入上式得， 原式； 方案一和方案三比较，方案一的值较小，选择方案一， 方案一和方案二比较， ∵，， ∴方案二的值最小，选择方案二， 所以，最小值为． 突破二 坐标与轴对称 【典例】对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义： 线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线． (1)已知点，， ①线段的“轴距”______； ②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______； (2)已知点，，线段关于直线的对称线段为． ①若，求m的值； ②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①4；②1 (2)①或5；②或 【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可； ②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可 （2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可； ②分和讨论即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵线段上点B到x轴的距离最大，∴； ②∵，， ∴A，B关于直线的对称点，， 如图2， ， ∵线段上点C到x轴的距离最大，∴； （2）解：①∵，， ∴E，F关于直线的对称点，， 当时， ∵， ∴， ∴或7（舍去）； 当时， ∵， ∴， ∴或（舍去）； 综上，或5； ②∵，， I. 当时，，， ∴，， ∴， ， ∴当时，的值总不变； II. 当时，，， ∴， ∴， III. 当时，，，即， ∴，， ∴， ∴当时，的值总不变； 综上，当或时，的值总不变． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则 ．    【答案】 【分析】表示出点和点的坐标，再利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：点关于直线对称得到点， ， 设， 点为点C关于直线和直线的二次对称点， ，得， ， 当是直角三角形时，只存在一种情况， ， 可得方程， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，熟知轴对称的性质是解题的关键． 【变式2】如图已知点，，，点关于轴对称，点关于轴对称，是等腰直角三角形，，点在四边形边上从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第2025秒时，点的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】首先确定，，进而可得，结合题意确定点的运动规律，进而可得第2025秒时，点运动到点，然后分点在第四象限和点在第一象限两种情况讨论，结合全等三角形的性质确定点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，点关于轴对称，点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴， ∵点在四边形边上以每秒5个单位长度沿方向运动， 又∵， ∴第2025秒时，点运动到点，如下图所示， 此时可分两种情况讨论， 当点在第四象限时，过点作轴于点， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当点在第一象限时，过点作轴于点， 同理可证明， ∴，， ∴， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的定义、坐标与图形、点的坐标规律探索、勾股定理等知识，解题关键是确定点的运动规律，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 突破三 已知点所在的象限求参数 【典例】（2023北京东城）在平面直角坐标系中，已知点在第四象限．若点在两坐标轴夹角平分线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】由点在第四象限且在两坐标轴夹角平分线上，得出，求解即可． 【详解】由题意知，， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征，熟练掌握第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 【变式1】（2025北京专题练习）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用第四象限点的坐标特征求解． 【详解】解：点在第四象限，且点到轴的距离为1，到轴的距离为， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为，． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标：理解坐标的意义，记住各象限内和坐标轴上点的坐标特征；坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【变式2】（2024北京西城二模）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣4，m+2）在y轴上，则m＝ ，点P的坐标为 ． 【答案】 4 （0，6） 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点P（m﹣4，m+2）在y轴上， ∴m﹣4＝0， 解得：m＝4， ∴m+2＝6， ∴点P的坐标为：（0，6）． 故答案为：4，（0，6）． 【点睛】本题考查了已知点所在象限求参数，要熟练掌握点在坐标轴上的特征：点在轴上时，纵坐标为，点在轴上时，横坐标为． 1．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，张敏做走棋游戏，其走法：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…，以此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n能被3除时，余数为1时，则向右走1个单位；当n能被3除时，余数为2时，则向右走2个单位，当走完67步时，棋子所处的位置坐标是（　　） A．（66，22） B．（66，23） C．（67，23） D．（67，22） 【答案】D 【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用67除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可． 【详解】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ∵67÷3＝22余1， ∴走完第67步，为第23个循环组的第1步， 所处位置的横坐标为22×3+1＝67， 纵坐标为22×1＝22， ∴棋子所处位置的坐标是（67，22）． 故选D． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键． 2．（2025·北京顺义·二模）数学课上，王老师让同学们对给定的正方形ABCD，如图.建立合适的平面直角坐标系，并表示出各顶点的坐标．下面是4名同学表示各顶点坐标的结果： 甲同学：A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1）； 乙同学：A（0，0），B（0，-1），C（1，-1），D（1，0）； 丙同学：A（1，0），B（1，-2），C（3，-2），D（3，0）； 丁同学：A（-1，2），B（-1，0），C（0，0），D（0，2）； 上述四名同学表示的结果中，四个点的坐标都表示正确的同学是（      ） A．甲、乙、丙 B．乙、丙、丁 C．甲、丙 D．甲、乙、丙、丁 【答案】A 【分析】根据正方形的性质结合平面直角坐标系对各选项进行判断即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=AD， 结合坐标系可知：甲、乙、丙同学表示的各顶点坐标结果均正确， 而丁同学的AB=2，BC=1，显然是错误的， 故选A. 【点睛】本题考查正方形的性质和平面直角坐标系，比较基础，进行逐个验证即可解决问题. 3．（2024·北京顺义·二模）如图，平面直角坐标系xOy中，有、、、四点．若有一直线l经过点且与轴垂直，则l也会经过的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】直接利用点的坐标，正确结合坐标系分析即可． 【详解】如图所示：有一直线通过点（-1，3）且与y轴垂直，故也会通过D点． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了点的坐标，正确结合平面直角坐标系分析是解题关键． 4．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，点，，为的顶点，则顶点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点D的坐标为，由平行四边形对角线中点坐标相同可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设点D的坐标为， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为， 故选：C． 5．（2023·北京海淀·模拟预测）为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，则一定在第四象限的点是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限，得轴在点A的左侧，轴在点A与点B之间，再结合平面直角坐标系的各点位置，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为这个坐标系分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向，若点在第四象限，点在第一象限， 所以轴在点A的左侧，轴在点A与点B之间 结合平面直角坐标系的各点位置， 所以一定在第四象限的点是点， 故选：D 【点睛】本题考查了坐标与图形，正确掌握平面直角坐标系的轴、轴以及各个象限的分布情况是解题的关键，难度较小． 6．（2023·北京海淀·模拟预测）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，将三角板绕原点顺时针旋转，若，则点的对应点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据旋转的性质画出图形，求出，解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图所示，将绕原点顺时针旋转得到，过作轴于，    则，， ∴， ∵点在第四象限， ∴点的对应点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、坐标与图形性质以及解直角三角形等知识，求出是解题的关键． 7．（2025·北京·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，等腰直角三角形的边在x轴的正半轴上，，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将绕点A逆时针旋转，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么边的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，等腰直角三角形的性质的综合运用，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．依据旋转的性质，即可得到，再根据，即可得出，进而可得到． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴，． 由旋转的性质可知，，， ∴， ∴． ∵点A的坐标为， ∴． ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 8．（2025·北京·模拟预测）如图，点，点在轴上，绕着顺时针旋转至，点的横坐标为7，求点的纵坐标 ． 【答案】 【分析】在x轴上取点D和点E，使得，过点C作于点F，在中，解直角三角形可得，，再证明，则，，求得，在中，得，，得到，解方程即可求得答案．此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得， 过点C作于点F， 依题意，设点C的坐标为， ∴，， 在中， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点C的坐标为， 故答案为： 9．（2024·北京门头沟·二模）如图，动点在平面直角坐标系中，按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，2)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，1)，第4次接着运动到点(4，0)，……，按这样的运动规律，经过第27次运动后，动点的坐标是(　　) A．(26，0) B．(26，1) C．(27，1) D．(27，2) 【答案】C 【分析】根据图形中前几次运动后，动点P的坐标，归纳类推出规律，由此即可得出答案． 【详解】由图可归纳出以下两条规律：（n为正整数） （1）第n次运动后，动点P的横坐标为n （2）在运动过程中，动点P的纵坐标是以为循环变换的 则经过第27次运动后，动点的横坐标为27 经过第27次运动后，动点的纵坐标与第3次运动后，动点的纵坐标相同，即为1 综上，所求的动点P的坐标是 故选：C． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索，依据题意，正确归纳总结出规律是解题关键． 10．（2023·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，，是正方形边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线与x轴正半轴的夹角为，且，则点M所在的线段可以是（       ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，解直角三角形等知识，分别求出当点M在线段和上时，连接，根据正弦函数，余弦函数的定义求出，，再根据判断即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 如图，当点M在线段上时，连接． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴此时不存在； 如图，当点M在线段上时，连接，则， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点M在线段上时， ∵和在线段上， ∴点M所在的线段可以是和， 故选：D． 1．（2025·北京西城·二模）给定线段和位于直线同一侧的两点，，若在线段上（不含端点，）存在点，使得且，则称点与关于线段等角等距．在平面直角坐标系中，已知点． (1)点的坐标为， ①在点，，，中，与点关于线段等角等距的点是______； ②点是直线上一点，若在以点为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点关于线段等角等距，则点的横坐标的取值范围是______； (2)已知点，在以为圆心，1为半径的圆上存在点，使得点与关于线段等角等距，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，； ②； (2)或 【分析】本题考查垂直平分线，平行线的判定与性质，圆与直线的关系，勾股定理，相似三角形的运用，正确分类是解题的关键． （1）①判断出点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可解答； ②根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，再分类讨论，即可解答． （2）根据点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且，即可画图，易得时，满足题意；当时，求出继而求出，证明，可求出，再根据，可列出关于m的不等式，即可解答． 【详解】（1）解：作的平分线交于点F，如图， ∴， ∵， ∴， 即为的垂直平分线， ∵， ， ∴，即， ∴，， ∴， 即点K为线段的垂直平分线与线段的交点，且． ①由结论及图，可得与点关于线段等角等距的点是点B，C． ②如图，当时，圆上不存在一点满足题意； 当时，由图可知，满足题意； 当时，过点F作轴于点N，有 ，， ∴， ∴， 由题意，可知关于线段等角等距，即的垂直平分线与线段（不包括端点）有交点，有 由成立， ∴ 即， ， ∴， 即或（无解） ∴， 综上所述，． （2）当时，的垂直平分线为直线； 当时，的垂直平分线为第一，三象限的角平分线； 如图，可知，当时，总有点与关于线段等角等距． 当时，过点O作垂直于的垂直平分线于点A，延长与圆的交点即为H，如图，有，，， 即， ∵是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∴， 由，得， 由得 ， ， ∴，解得， 由得． 综上所述，或 2．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于和图形，给出如下定义：若图形上任意两个不同点，，上存在两点，使得，则称图形为的“平衡图形” (1)如图1，的半径为1 ①点，，，，，．在线段，，中，线段______是的“平衡图形”； ②若直线与坐标轴交于点，线段为的“平衡图形”．则的取值范围是______； (2)如图2，点，，．若是的“平衡图形”，直接写出的半径的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据“平衡图形”的定义分别求出各个线段上任意点到的距离的取值范围即可确定答案；②设直线与轴交于点；进而可求得，，分以下几种情况：当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，此时；当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意，当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足，当与相切时．此时，；当线段全部在外时，作于，点到的距离满足，点到的距离满足，进而，确定时符合题意，即可求解； （2）设直线为，求得； ，分 ①当在内时，②当在时，同法求得上任意点到距离的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：①设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ， ， 线段上任意一点到的距离满足， 线段上存在任意两个不同点，，使得，则线段为的“平衡图形”； 设线段上点到的距离为， ， 设线段上点到的距离为， ， ，这两个距离范围没有公共部分， 线段上不存在任意两个不同点，， 使得，则线段不是的“平衡图形”； 综上所述，线段、是的“平衡图形”； 故答案为：、； ②解：设直线与轴交于点； 当时 ，， 当 时，， ，， ， ， ， 当线段完全在内时，线段上任意一点P到的距离满足，即只要这个图形都在内这个图形上所有的点都符合题意，此时； 当线段上点在上时，任意一点P到的距离满足，时也符合题意， 当线段一部分在内，一部分在外时，点到的距离满足， 当与相切时．如上图所示∶此时， ； 当线段全部在外时，如图所示： 作于， ， 点到的距离满足， 点到的距离满足， 时符合题意，即， 综上所述，， 故答案为：； （2）解：设直线为， 将，代入， 得， 解得， ； 点， ， ①当在内时， 由题意可知，若是的“平衡图形”，则上任意一点到的距离满足， 作于，由上题可知：， 上点到的距离满足， 上任意一点到的距离满足， 时符合题意，即． ②当在时， 同①可得：， ，即此时可以无限大； 综上所述，若是的“平衡图形”，的半径的取值范围是． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系， “平衡图形”，的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会结合图形利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型． 3．（2025·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为．对于的弦和点C（C可以与A，B重合）给出如下定义：若直线经过弦的一个端点，另一端点与点C之间的距离恰好等于，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点． ①点，在点，，中，弦AB的“关联点”是________； ②点，若点C是弦的“关联点”，直接写出点D的坐标________； (2)已知点，．线段上存在弦的“关联点”，记的长为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②，； (2)，． 【分析】（1）①如图所示，通过题中关联点的定义，分别分析点、、即可判断；②根据题意分析可得，以点为圆心，半径为作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、，设点的坐标为，则，即，解得，进而求出点的纵坐标，考虑轴对称的性质，可得点与点关于轴对称，即可求出点、的坐标； （2）通过分析可得线段与圆相切，设线段与圆相切于点，连接，设线段上的“关联点”为点，当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为，，第一种情况，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，第二种情况，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑），过点作于点，连接、、，设，根据勾股定理，得，即可确定t的取值范围． 【详解】（1）解：①由点可得，所在直线的解析式为， 直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点是弦的“关联点”； 由题中图像可得，直线经过点， 点与点之间的距离为，， ， 点不是弦的“关联点”； 故答案为：，； ②点是弦的“关联点”，直线经过点， ， ， ， 如图所示，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点，过点作轴于点，连接、， 设点的坐标为，则， 即， 解得， ， 点的坐标为， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， 故答案为：，； （2）如图所示，在直角坐标系中作出点，，连接， 根据题意得，， ， ， 即等于圆的半径， ，即， 线段与圆相切， 设线段与圆相切于点，连接， 线段上存在弦的“关联点”，设此“关联点”为点，点为线段上的动点， 当点在点时，取最小值，最小值为，当点在点时，取最大值，最大值为， 设， ， 第一种情况，如图所示，连接交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， ， 记的长为， ； 第二种情况，如图所示，连接，延长交圆于点，以点为圆心，长为半径作圆，交圆于点、点（，点不用考虑）， 过点作于点，连接、、，设， 根据勾股定理，得， 即， ， 记的长为， ； 综上所述，，． 【点睛】本题是新定义综合题，考查了最值问题、圆的定义、切线的性质、直角坐标系中两点坐标、勾股定理、锐角三角函数的应用等知识点，解题的关键是通过题干，熟练掌握新定义“关联点”的内涵，同时运用“分类讨论”、“数形结合”的思想画图，根据动点的轨迹确定的取值范围，通过勾股定理找到与之间的关系，进而确定的取值范围． 1．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 2．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．利用旋转的性质求得点的坐标为，，点的坐标为，观察图形，每12个一次循环，余9，则点的坐标与的坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵，，点为的中点， ∴点的坐标为，，， ∴，点的坐标为， 由折叠的性质得点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 观察图形，每12个一次循环， ∵余9， ∴点的坐标与的坐标相同， 由轴对称的性质，点的坐标为， 故选：A． 3．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，据此可求得的坐标． 【详解】解：∵，，，，，，，…，， ∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，， ∵， ∴的坐标为． 故选：B． 4．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，，沿折叠正方形，折叠后，点落在平面内的点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的翻折变换和正方形的性质，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理． 过点作，因为，，所以，，根据勾股定理得，故，即点的坐标即可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： 四边形是正方形，点的坐标是， ，， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， 即点的坐标为， 故答案为：． 5．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解此题的关键．过点作轴于C点，由等边三角形的性质可得：，由旋转的性质可得：，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于C点， 是等边三角形， ， 由旋转可知：， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 6．（2025·湖北·模拟预测）如图，在轴上有，两点，点为轴右侧一动点，且．将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最大值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以为一边在的上方作等边，连接，依题意得，，则，，由旋转的性质得是等边三角形，则，，进而得，由此可依据“”判定和全等得，再根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最大值． 【详解】解：以为一边在的上方作等边，连接，如图所示： 点，点， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，共线时，为最大，最大值是． 故答案为：． 7．（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，每个小方格的边长为个单位长度．四边形顶点都在格点上，点的坐标为 (1)以点为旋转中心，将四边形顺时针旋转，得到四边形，画出旋转后的图形，并写出、、的坐标； (2)求点旋转轨迹的长度． 【答案】(1)见解析，，， (2) 【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等且都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、和，然后写出、、的坐标； （2）先计算出的长，然后利用弧长计算点旋转轨迹的长度． 【详解】（1）解：如图， ，，， （2）解：， 则点旋转轨迹的长度 ． 8．（2025·安徽淮南·一模）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点均在格点（网格线的交点）上，且点A，B，C的坐标分别为，，． (1)将绕点O逆时针旋转得到，画出； (2)在所给的网格中确定一个格点P，使得，并写出点P的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，点P的坐标为 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握旋转性质，轴对称性质，是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方向以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并首尾顺次连接即可； （2）根据点B、P在线段的垂直平分线上，确定P点． 【详解】（1）解：∵A、B、C的坐标分别为、、，绕点O逆时针旋转得到， ∴点的坐标为、、， 首尾顺次连接， 如图所示，即为所求． （2）解：∵点B在线段的垂直平分线上， ∴点P也在线段的垂直平分线上， 如图所示，点P即为所求， 点P的坐标为． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图1，在矩形中，点，分别在轴、轴正半轴上，点在第一象限，，． (1)请直接写出点的坐标； (2)如图2，平分交于点，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数形结合是解题的关键； （1）根据矩形的性质写出点C的坐标，即可求解． （2）根据勾股定理求得，证明，得出，，，进而勾股定理建立方程求得，再根据三角形的面积公式，即可求解； 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴，，，， ∴． （2）过点作交于，如图： ，， ， 平分， ， 在和中， ， ，，， ， ， ， 解得， ． 10．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $