17.1一元二次方程 课件 2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过蔬菜产量增长率、长方形空地修路等实际问题导入，对比一元一次方程构建知识支架，帮助学生理解概念形成脉络。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过对比推理发展数学思维，例题分层设计渗透模型意识，如例5用整体思想解决代数式求值。学生能提升应用能力，教师可利用系统资源提高教学效率。

沪科版（新教材）数学八年级下册培优备课课件 17.1一元二次方程 第 17 章 一元二次方程及其应用 授课教师： . 班 级： . 时 间： 2026.01.09 . 1 学习目标 1. 理解一元二次方程的概念. (重点) 2. 根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数. 3. 理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题. (难点) 一元二次方程的概念 问题1 某蔬菜生产基地去年全年无公害蔬菜产量为 100 t，计划明年无公害蔬菜的产量比去年翻一番 ( 即为 200 t )．要实现这一目标，今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少 ? ( 精确到 1 % ) 1 根据数量关系绘制下图： 100x 100 100(1+x) 去年 今年 明年 100 100(1+x)x 分析 设这个生产基地今年和明年无公害蔬菜产量的年平均增长率是 x，那么， 明年无公害蔬菜产量为： 100 + 100x = 100(1 + x) ( t ), 今年无公害蔬菜产量为： 100(1+x)+100(1+x) · x =100(1+x)2 ( t ) . 根据题意，得 100(1 + x)² = 200. 化简，得 (1 + x)² = 2. 整理，得 x² + 2x -1 = 0. ① 问题2 如图，在一块宽 20 m、长 32 m 的长方形空 地上，修筑宽相等的三条小路( 两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直 )，把长方形空地分成大小一样的六块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为 570 m2，问小路的宽度为多少 ? 32 20 x 1. 若设小路的宽是 x m，则横向小路面积是_____m2，纵向小路的面积是 m2，两者重叠的面积是 m2. 思考 32x 2×20x 2x2 2. 由于花坛的总面积是 570 m2，你能根据题意列出方程吗？ 整理以上方程，可得 32×20 - ( 32x+2×20x ) + 2x2 = 570. x2 - 36x + 35 = 0 ②. 32 20 32-2x 20-x 想一想 有同学列出的方程是(20 - x)(32 - 2x) = 570. 这个方程对吗？ 观察与思考 方程①②都不是一元一次方程。那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： (1) 都是整式方程； (2) 只含一个未知数； (3) 未知数的最高次数是 2. x2 - 36x + 35 = 0 ② x² + 2x -1 = 0 ① 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫作一元二次方程. ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数，a ≠ 0). 其中，ax2 叫作二次项，a 是二次项系数；bx 叫作一次项，b 是一次项系数； c 叫作常数项. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 知识要点 1．[安庆期中]下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　) A A. B. C. D. 2.关于的方程是一元二次方程，则 满足_______. 3 中考考法 10 3.填表： 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 ____________ __________ ___ ____ ____ 3 中考考法 11 方程 一般形式 二次项 系数 一次项 系数 常数 项 2x2＝8x ____________ _ ___ ____ ___ x(7x－1)＝4－x ___________ ___ ___ ____ 2 0 7x2－4＝0 7 0 中考考法 12 想一想 为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？ 当 a = 0 时 bx+c = 0, 当 a ≠ 0，b = 0 时 ax2+c = 0, 当 a ≠ 0，c = 0 时 ax2+bx = 0, 当 a ≠ 0，b = c =0 时 ax2 = 0, 总结：只要满足 a ≠ 0 即可，b，c 可以为任意实数. 不符合定义； 符合定义； 符合定义； 符合定义. 例1 下列选项中，是关于 x 的一元二次方程的是 ( ) C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理为 x2 - 3x + 2 = 0 少了先决条件 a ≠ 0 提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程，若是则进一步化简整理后再做判断。 典例精析 例2 a 为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2 - x = 2x2； (2) (a - 1)x|a| + 1 - 2x - 7 = 0. 解：(1) 将方程整理，得 (a - 2)x2 - x = 0， 所以当 a - 2≠0，即 a≠2 时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：根据一元二次方程的定义求参数的值时，根据未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的方程，再排除使二次项系数等于 0 的参数值即可得解. (2) 由 | a | + 1 = 2，且 a - 1≠0 知，当 a = -1 时，原方程是一元二次方程. 例3 将方程 2x(x + 1) = 5 化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 解： 去括号，得 2x2 + 2x = 5. 移项，得该方程的一般形式为 2x2 + 2x - 5 = 0. 其中二次项是 2x2，系数是 2；一次项是 2x，系数是 2；常数项是 -5. 系数和项均包含前面的符号。 注意 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）. 练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4. 解： 3 和 -2. 你注意到了吗？一元二次方程不止一个解(根) 一元二次方程的根 2 例4 已知方程 3x( x - 1 ) = 2( x + 2 ) + 4. (1) 把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； 解 (1) 去括号，得 3x² - 3x = 2x + 4 + 4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式： 3x² - 5x - 8 = 0 它的二次项系数是 3，一次项系数是 -5，常数项是 -8. 典例精析 4．[杭州模拟]已知一元二次方程x2＋2mx＋1＝0的 一个根为1，则m＝________. －1 中考考法 19 5. 下列各数： ，0，1，2，3，其中是一元二 次方程 的根的是______. 1和3 中考考法 20 6．[滁州期末]两个连续奇数的积为99，设其中较小的一 个奇数为 ，则可列方程为______________. 中考考法 21 (2) 把 x = -1 代入原方程的左右两边，得 左边 = 3×(-1)×(-1 - 1) = 6. 右边 = 2×(-1 + 2) + 4 = 6. 因为左边 = 右边，所以 -1 是该方程的根. 例4 已知方程 3x( x - 1) = 2( x + 2 ) + 4. (2) 判断 -1 是否为该方程的根， 例5 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值。 解：由题意得 方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值。 1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程，叫作一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是_________________________________,其中ax2叫作二次项,a是二次项系数,bx叫作一次项,b是一次项系数，c叫作常数项． 3．使一元二次方程左右两边________的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫方程的根． 2 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 相等 中考考法 24 7．[福建中考改编]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的长方形菜地作为实践基地，如图所示．设长方形的一边长为x m，根据题意可列方程为(　　) A．5x2＝6 B．5(1＋x2)＝6 C．x(5－x)＝6 D．5(1＋x)2＝6 C 中考考法 25 2星题 中档练 8. 若关于 的一元二次方程 的常数项为0，则 的值为 ____. 容易忽略二次项系数不等于0而直接得出 . 中考考法 26 9．[合肥期中]已知 是一元二次方程 的一个根，求 的值. 中考考法 27 解：将代入方程 ， 得 . 所以， ， 所以 . 所以 的值为2． 中考考法 28 一元二次方程 概念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是 2 一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), 其中 a ≠ 0 是一元二次方程的必要条件 根 使方程左右两边相等的未知数的值 【变式题】[合肥月考]若关于x的方程(m＋1)x|m－1|＋2x－1＝0是一元二次方程，则m＝________. $